Задачи на построение возникли в глубокой древности и были

Задачи на построение возникли в глубокой древности и были связаны с практическими потребностями. Примеры из истории развития
геометрии свидетельствуют, что можно добиться точности даже если под рукой нет специальных измерительных инструментов, а есть
подсобные предметы: кусок верёвки, ровная палка и т.д. Поэтому необходимо научиться строить модели геометрических фигур с заданными
свойствами: равносторонний треугольник, шестиугольник, равнобедренный треугольник и пр. Это можно сделать, используя законы
геометрии.
МОДЕЛЬ 1. Деление отрезков (моделирование функций линейки)
Алгоритм деления отрезка пополам приведён на рисунке 1.
Рис. 1. Алгоритм деления отрезка пополам
Порядок построения.
1. Копируем данный отрезок.
2. Из концов данного отрезка проводим линии под углом 45 (с помощью клавиши Shift)
3. Из точки их пересечения проводим строго вертикальную линию (с помощью клавиши Shift) до пересечения с данным отрезком.
4. Точка пересечения и есть искомая середина.
Построение основано на том, что высота в равнобедренном треугольнике является одновременно биссектрисой и медианой. Для построения
достаточно инструмента Линия и клавиша Shift.
Алгоритм деления отрезка на n равных частей для (n = 3) приведен на рисунке 1.2. Для выполнения операции деления используется отрезок
произвольной длинны х. Построение основано на подобии треугольников
Порядок построения.
1. Копируем данный отрезок а
2. В один из концов этой копии три раза копируем произвольный отрезок х
3. Соединяем второй конец копии с концом третьего отрезка х.
4. Полученную линию копируем.
5. Из промежуточных концов х проводим параллельные линии.
Для выполнения операции деления используется отрезок произвольной длинны х. Построение основано на подобии треугольников.
МОДЕЛЬ 2. Построение окружности заданного радиуса и определение её центра (моделирование функции циркуля) Окружность в
графическом редакторе вписывается в квадрат со стороной, равной удвоенному радиусу. Алгоритм построение окружности изображен на
рисунке 1.3.
Рис. 1.3. Алгоритм построения окружности с заданным радиусом
Порядок построения.
1. Копируем данный отрезок а два раза.
2. С помощью стандартной операции (квадрат) строим квадрат со стороной 2а
3. В полученный квадрат, с помощью стандартной операции (окружность) вписываем окружность с радиусом а.
МОДЕЛЬ 3. Деление угла пополам (моделирование функции транспортира)
На рисунке 1.4. приведен один из алгоритма деления. В качестве дополнительного построения используется окружность любого радиуса. В
её центре помещается копия угла, предлежащего делению. Углы АОВ и АСВ относятся как 2:1. Отсюда, если линия DO параллельна линии
АС, то она является биссектрисой заданного угла. Построение сводится к копированию части отрезка АС и установке его копии к точке О.
Полученная параллельная линия DO разделит заданный угол пополам.
Порядок построения.
1. Вставляем данный угол в центр вписанной в квадрат окружности, описанной раньше.
2. Углы АОВ и АСВ относятся как 2:1.
3. Отсюда, если линия DO параллельна линии АС, то она является биссектрисой заданного угла.
4. Копируем часть отрезка АС и вставляем её в точу О.
5. Параллельная линия DO делит данный угол пополам.
Компьютерный эксперимент
План эксперимента.
1. Тестирование построенной по заданному алгоритму модели 1 совмещение отрезков, полученных при делении.
2. Тестирование построенной по заданному алгоритму модели 2 совмещением исходного и повернутого угла на 90° отрезка с радиусами
полученной окружности.
Моделирование объектов с заданными геометрическими свойствами.
Постановка задачи.
Описание задачи.
• Задачи на построение возникли в глубокой древности и были связаны с практическими потребностями. Примеры из истории развития
геометрии свидетельствуют, что можно добиться точности даже если под рукой нет специальных измерительных инструментов, а есть
подсобные предметы: кусок верёвки, ровная палка и т.д.
• Поэтому необходимо научиться строить модели геометрических фигур с заданными свойствами: равносторонний треугольник,
шестиугольник, равнобедренный треугольник и пр. Это можно сделать используя законы геометрии.
Цель моделирования
• В среде графического редактора научиться моделировать геометрические объекты с заданными свойствами.
Формализация задачи.
• Геометрическая фигура характеризуется длинной сторон и углами, которые необходимо задать в виде отрезков и углов на рабочем поле
графического редактора перед началом построения.
МОДЕЛЬ 4. Построение равностороннего треугольника с заданной стороной Данный алгоритм предложил Евклид в IV веке до н.э.
Построить треугольник по алгоритму, приведенному на рисунке 1.5, и доказать, что полученный треугольник действительно правильный.
Рис. 1.5. Алгоритм построения равностороннего треугольника с заданной стороной
Порядок построения.
1. С помощью стандартной операции (квадрат) строим квадрат со стороной а.
2. Для того чтобы вписать две окружности, проходящие через центр друг друга строи шесть квадратов, вписываем в них две окружности с
радиусом а.
3. Точки пересечения окружностей является вершинами треугольника.
МОДЕЛЬ 5. Построение правильного шестиугольника с заданной стороной Используя свойство правильных фигур, вписываются в
окружность и то, что сторона равностороннего шестиугольника равна радиусу описанной окружности, выполнить построение по алгоритму
на рисунке 1.6. Начать построение окружности с радиусом, равным заданной стороне шестиугольника.
Рис. 1.6. Алгоритм построения правильного шестиугольника с заданной стороной
Порядок построения.
1. С помощью стандартной операции (квадрат) строим квадрат со стороной а.
2. С помощью стандартной операции (квадрат) строим квадрат со стороной 2а.
3. С помощью стандартной операции (окружность) строим вписанную окружность с радиусом а
МОДЕЛЬ 6. Построение правильного пятиугольника с заданной стороной
Альбрехт Дюрер не только в рукописях, но также в картинах и книгах оставил многочисленные следы своего математического таланта и
увлечение математикой. Об этом свидетельствует знаменитый дюреровский магический квадрат, являющийся одним из самых старых
магических квадратов в Европе. С его изобретениями мы познакомились на страницах учебника математики для 5 класса (автор
Никольский). Рассмотрим одно небольшое произведение Дюрера, в котором гениальный художник проводит очень хороший и легкий
способ построение правильного пятиугольника с помощью окружности, если известна только длина стороны.
Порядок построения.
1. С помощью стандартной операции (окружность) строим окружность.
2. Копируем окружность три раза так, чтобы при пересечении образовалась сторона пятиугольника.
3. С помощью диагоналей достраиваем пятиугольник.