ПСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ЦЕНТР РАЗВИТИЯ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ И ЮНОШЕСТВА Областной конкурс «Юные дарования»

ПСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ЦЕНТР РАЗВИТИЯ ОДАРЕННЫХ
ДЕТЕЙ И ЮНОШЕСТВА
Областной конкурс «Юные дарования»
Ответы и решения к заданиям заочного тура конкурса
«Юный знаток математики»
6 класс
2010 – 2011 учебный год
№1. (2 балла) Поставьте вместо звёздочек цифры:
18,96
+**,21
74,*3
135,4*
Ответ:
18,96
+42,21
74,23
135,40
№2. (2 балла) Можно ли на плоскости взять четыре точки так, чтобы любые
три из них были вершинами тупоугольного треугольника?
Ответ: Можно (см. рис.1)
рис. 1
№3. (4 балла) Имеется 9 пластинок и двухчашечные весы без гирь. По
внешнему виду все пластинки одинаковые, но одна из них легче других. Как
с помощью двух взвешиваний найти более лёгкую пластинку?
Решение:
Необходимо пластинки разделить на три равные стопки по 3 пластинки в
каждой. Первым взвешиванием сравниваем любые две стопки: если они
равны, то нестандартная пластинка в третье стопке, если одна из стопок
легче, то нестандартная пластинка в ней. После того, как определили, в какой
стопке нестандартная пластинка, приступаем ко второму взвешиванию.
Вторым взвешиванием сравним любые две пластинки из стопки с
нестандартной пластинкой: если они равны, то оставшаяся пластинка – легче
остальных; если одна из взвешиваемых пластинок оказалась легче, то она и
есть – искомая нестандартная. Процесс взвешивания завершен.
№4. (4 балла) В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвертой,
вторая – с пятой, третья – с шестой. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.
Доказательство:
Запишем данное число в общем виде:
Таким образом, данное число представимо в виде произведения двух
множителей, один из которых равен 1001. Так как 1001 делится на 7, 11, 13,
то и данное число, представленное в виде произведения
,
кратно 7, 11 и 13.
№5. (5 баллов) У электромонтёра был кусок провода длиной 25 м, из
которого утром он собирался вырезать необходимые для работы куски в 1 м,
2 м, 3 м, 6 м и 12 м. Но утром обнаружилось, что ночью какой-то хулиган
разрезал провод на две части. Сможет ли монтёр выполнить намеченные
работы?
Ответ: монтёр сможет выполнить намеченные работы.
Решение: Из двух частей, на которые разрезан провод, хотя бы одна длиннее
12 м (иначе общая длина провода не превышала бы 24 м), поэтому от неё
монтёр может отрезать кусок длиной 12 м.
Оставшиеся после отрезания двенадцатиметрового куска две части в сумме
составляют
м, поэтому хотя бы одна из этих частей длиннее 6 м.
От этой части монтёр может отрезать шестиметровый кусок.
Оставшиеся две части в сумме составляют
м, поэтому от одной из
этих частей монтёр может отрезать трёхметровый кусок.
Оставшиеся две части в сумме составляют
м, поэтому хотя бы одна
из них не короче 2 м, значит, и двухметровый кусок монтёр сможет отрезать.
Из последних двух частей хотя бы одна не короче метра, поэтому монтёр
сможет получить и метровый кусок.
№6. (5 баллов) Три дочери американской писательницы Дорис Кей – Джуди,
Айрис и Линда – тоже очень талантливы. Они приобрели известность в
разных видах искусств – пении, балете и кино. Все они живут в разных
городах, поэтому Дорис часто звонит им в Чикаго, Лос-Анджелес и Париж.
Известно, что:
1. Джуди живет не в Париже, а Линда не в Лос-Анджелесе;
2. Парижанка не снимается в кино;
3. Та, которая живет в Лос-Анджелесе, певица;
4. Линда равнодушна к балету.
Где живет Айрис и какова её профессия?
Ответ: Айрис живет в Париже и является балериной.
Решение:
Из первого и третьего условий можно сделать вывод, что Линда не является
певицей. Кроме того, Линда равнодушна к балету, а значит, она снимается в
кино. Из второго условия, можно сделать вывод, что Линда не является
парижанкой, и так как она не живет в Лос-Анджелесе, то она проживает в
Чикаго.
Так как в Чикаго живет только Линда, то можно сделать вывод, что Джуди не
живет в Чикаго, и по первому условию она также не живет в Париже. Значит,
Джуди – жительница Лос-Анджелеса, и по третьему условию она – певица.
В заключение можно сделать вывод, что Айрис живет в Париже и является
балериной.
Ответ: Айрис живет в Париже и является балериной.
№7. (5 баллов)
Ни у кого из тысячи пиратов
Не наберется тысячи дукатов.
Но даже самый маленький пират
Имеет все же хоть один дукат.
Так можно ли сказать о тех пиратах,
Что среди них – безусых и усатых,
Косматых, безбородых, бородатых –
Есть двое одинаково богатых?
Ответ: можно.
Доказательство:
Предположим, что среди всех пиратов нет двух одинаково богатых, то есть у
каждого пирата разная сумма денег. Тогда у одного пирата 1 дукат, у другого
2 дуката, у третьего – 3 и так далее, всего 999 различных вариантов
имеющихся денежных сумм. Но так как пиратов 1000, то получаем
противоречие. Значит, двое одинаково богатых пиратов найдется.