C6 № 484652. Найдите все целые значения m и k такие, что

C6 № 484652. Найдите все целые значения m и k такие, что
.
Тип
Условие
C6 C6 № 484653. Среди обыкновенных дробей с положительными знаменателями,
расположенных между числами
минимален.
и
, найдите такую, знаменатель которой
Тип
Условие
C6 C6 № 484654. Перед каждым из чисел 14, 15, . . ., 20 и 4, 5, . . ., 8 прозвольным
образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся
чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора,
а затем все 35 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по
модулю и какую нибольшую сумму можно получить в итоге?
Тип
Условие
C6 C6 № 484655. Найдите все такие пары натуральных чисел a и b, что если к
десятичной записи числа a приписать справа десятичную запись числа b, то
получится число, большее произведения чисел a и b на 32.
Тип
Условие
C6 C6 № 484656. Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящиеся на 11, в
записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?
Тип
Условие
C6 C6 № 484657. Произведение всех делителей натурального числа N оканчивается
на 399 нулей. На сколько нулей может оканчиваться число N?
Тип
Условие
C6 C6 № 484658. Ученик должен перемножить два трехзначных числа и разделить их
произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял
два записанных рядом трехзначных числа за одно шестизначное. Поэтому
полученное частное (натуральное) оказалось в 3 раза больше истинного. Найдите
все три числа.
Тип
Условие
C6 C6 № 484659. Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед
десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены
возрастающей последовательности натуральных чисел
В результате
получилось рациональное число, которое выражается несократимой дробью,
знаменатель которой меньше 100. Найдите наименьшее возможное значение .
Условие
Тип
C6
C6 № 484660. Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед
десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны все целые
неотрицательные степени некоторого однозначного натурального числа p. В
результате получается рациональное число. Найдите это число.
Тип
Условие
C6 C6 № 484661. Перед каждым из чисел 3, 4, 5, . . . 11 и 14, 15, . . . 18 произвольным
образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся
чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго
набора, а затем все 45 полученных результатов складывают. Какую наименьшую
по модулю сумму и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
Тип
Условие
C6 C6 № 484662. Каждое из чисел 5, 6, . . ., 9 умножают на каждое из чисел 12, 13, . .
., 17 и перед каждым произвольным образом ставят знак плюс или минус, после
чего все 30 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю
сумму и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
Тип
Условие
C6 C6 № 484663. Найдите все простые числа p, для каждого из которых существует
такое целое число k, что число p является общим делителем чисел
и
.
Тип
C6
Условие
C6 № 484665. Найдите несократимую дробь
такую, что
.
Тип
Условие
C6 C6 № 484666. Каждое из чисел 2, 3, ... , 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, ... ,
21 и перед каждым из полученных произведении произвольным образом ставят
знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают.
Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в
итоге?
Тип
Условие
C6 C6 № 484667. Найдите все тройки натуральных чисел k, m и n, удовлетворяющие
уравнению
.
Тип
Условие
C6 C6 № 484668. Найдите все простые числа b, для каждого из которых существует
такое целое число а, что дробь
можно сократить на b.
Тип
Условие
C6 C6 № 484671. На доске написано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее
арифметическое этих чисел равно 4, среднее арифметическое всех положительных
из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно
.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?
Тип
Условие
C6 C6 № 484673. Сумма двух натуральных чисел равна 43, а их наименьшее общее
кратное в 120 раз больше их наибольшего общего делителя. Найдите эти числа.
Тип
Условие
C6 C6 № 485939. Все члены геометрической прогрессии — различные натуральные
числа, заключенные между числами 210 и 350.
а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов?
б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?
Тип
C6
Условие
C6 № 485959. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел,
произведение которых равно 1008 и
а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?
Тип
Условие
C6 C6 № 485960. В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые
три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо
геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а
последний 2076.
а) может ли в последовательности быть три члена?
б) может ли в последовательности быть четыре члена?
в) может ли в последовательности быть меньше 2076 членов?
Тип
Условие
C6 C6 № 500068. Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 99 см,
но не больше 102 см (назовем такие куски стандартными).
а) Некоторый моток веревки разрезали на 33 стандартных куска, среди которых
есть куски разной длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых
кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?
б) Найдите такое наименьшее число , что любой моток веревки, длина которого
больше см, можно разрезать на стандартные куски.
Тип
Условие
C6 C6 № 500136. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом
возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре
было не более
от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино
мальчиков было не более
от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в
группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если
дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся
в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
Тип
Условие
C6 C6 № 500116. Рассматриваются конечные непостоянные арифметические
прогрессии, состоящие из натуральных чисел, которые не имеют простых
делителей, отличных от 2 и 3.
а) Может ли в этой прогрессии быть три числа?
б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
Тип
Условие
C6 C6 № 500197. Натуральные числа от 1 до 12 разбивают па четыре группы, в
каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят
сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности
найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?
Тип
Условие
C6 C6 № 500217. Число таково, что для любого представления в виде суммы
положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые
можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну
группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 19.
а) Может ли число быть равным 38?
б) Может ли число быть больше ?
в) Найдите максимально возможное значение
.
C6 № 484652. Найдите все целые значения m и k такие, что
.
Решение.
Заметим, что из условия следует, что
1. Если
. Далее имеем:
, то каждое из слагаемых равно 1, и при
равенство будет верно.
2. Если
, левая часть уравнения не превосходит суммы конечной геометрической
прогрессии с первым членом
и знаменателем
, сумма которой, в свою очередь,
меньше суммы бесконечно убывающей прогрессии с тем же первым членом и тем же
знаменателем:
.
Таким образом, в этом случае уравнение решений не имеет;
3. Если
, то
, откуда получаем:
.
Числа 670 и
на три нацело не делятся, следовательно,
и
Ответ:
,
, откуда
. Последнее уравнение натуральных решений не имеет.
.
Тип
Условие
C6 C6 № 484653. Среди обыкновенных дробей с положительными знаменателями,
расположенных между числами
минимален.
Решение.
Так как
и
, найдите такую, знаменатель которой
и
,
то достаточно найти правильную дробь с наименьшим знаменателем, лежащую
между числами
и
,
а затем прибавить к ней число 2.
Среди дробей со знаменателями 2, 3, 4, 5 и 6 нужных дробей нет, так как
,
,
,
,
,
Для знаменателя 7 получаем
,
,
.
, т. е.
.
Ответ:
.
Тип
Условие
C6 C6 № 484654. Перед каждым из чисел 14, 15, . . ., 20 и 4, 5, . . ., 8 прозвольным
образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся
чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора,
а затем все 35 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по
модулю и какую нибольшую сумму можно получить в итоге?
Решение.
1. Если все числа первого набора взяты с плюсами, а второго — с минусами, то
сумма максимальна и равна
.
2. Так как предыдущая сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых в
ней — нечетно, причем это свойство всей суммы не меняется при изменении знака
любого ее слагаемого. Поэтому любая из полученны сумм будет не четной, а
значит, не будет равна 0.
3. Значение 1 сумма принимает, например, при следующей расстановке знаков у
чисел:
.
Ответ: 1 и 805.
Тип
Условие
C6 C6 № 484655. Найдите все такие пары натуральных чисел a и b, что если к
десятичной записи числа a приписать справа десятичную запись числа b, то
получится число, большее произведения чисел a и b на 32.
Решение.
,
где k — число цифр в числе b,
Тогда
.
, иначе
.
Непосредственно проверяем
. Соответственно:
.
Ответ: 12 и 8; 23 и 9.
Тип
Условие
C6 C6 № 484656. Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящиеся на 11, в
записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?
Решение.
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его
цифр, стоящих на нечетных и на четных местах, делится на 11.
Запишем все цифры подряд: 9876543210. В написанном числе указанная разность
сумм равна 5. Меняя местами, например, 5 и 8, мы одну сумму увеличиваем на 3, а
другую уменьшаем на 3. Значит, разность между суммами его цифр, стоящих на
нечетных и на четных местах, становится равной 11.
Меняя местами, например, 4 и 7, или 3 и 6, получаем требуемые примеры.
Примечание: в задаче не требуется нахождение всех чисел, обладающих
указанным свойством.
Ответ: найдутся.
Тип
Условие
C6
C6 № 484657. Произведение всех делителей натурального числа N оканчивается
на 399 нулей. На сколько нулей может оканчиваться число N?
Решение.
Разложим N на простые множители:
,
где p — наибольший простой множитель и
оканчивается n нулями, то или
Если запись числа N
или, наоборот,
.
Оценим количество делителей k числа N:
,
при этом k делится на
.
1 случай. Если k — четное, то все делители разбиваются на пар вида
так, что произведение делителей в каждой паре равно N. Поэтому произведение
всех делителей равно
.
2 случай. Если k — нечетное, то
делителей разбиваются на пары указанного
вида, и есть еще один делитель —
делителей:
. И в этом случае тоже произведение всех
.
Значит, для любого N произведение всех делителей оканчивается
следовательно,
. При этом
следует, что n — делитель числа 798, и
.
нулями,
, откуда
Выпишем все такие n: 1,2,3,6,7. Из равенства
также следует, что 798
делится на
. Поэтому возможно только
и
. Для каждого из этих
n подберем настоящее N. Ограничимся простыми множителями 2 и 5. Значит,
нужно подобрать только и .
1.
.
2.
3.
.
,
;
;
.
Таким образом, для
найдены ( и даже не все) N, оканчивающиеся n
нулями, произведение делителей которых оканчивается 399 нулями.
Ответ: 1, 2, 6.
Тип
Условие
C6 C6 № 484658. Ученик должен перемножить два трехзначных числа и разделить их
произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял
два записанных рядом трехзначных числа за одно шестизначное. Поэтому
полученное частное (натуральное) оказалось в 3 раза больше истинного. Найдите
все три числа.
Решение.
Обозначим эти числа за a, b и c. Имеем
,
а значит
.
Так как правая часть полученного равенства делится на a, значит , левая часть
тоже делится на a и
. Получаем
,
что равносильно
.
Обратим внимание, что k не превосходит 9, так как a и b — трехзначные числа, а
делится на 3. Значит, возможны только варианты
.
Если
то
делителей у ab нет).
,а
или
Если
, то
, что противоречит условию.
Если
, то
, что противоречит условию.
(других пятизначных
Ответ: 167, 334 и 27889 или 167, 334 и 55778.
Тип
Условие
C6 C6 № 484659. Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед
десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены возрастающей
последовательности натуральных чисел
В результате получилось рациональное число,
которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше 100. Найдите
наименьшее возможное значение .
Решение.
Очевидно,
, причем
, только если
и
, то есть если десятичная дробь
начинается:
(четвертая цифра не 0).
Заметим, что таким образом начинается, например, число
Найдем число m и проверим, удовлетворяет ли оно условиям задачи. Для этого запишем
сумму подробнее.
В каждой строчке — сумма геометрической прогрессии со знаменателем
.
Получаем:
.
Получается, что m — рациональное число, и оно представляется дробью со знаменателем 81,
что меньше ста. Число m удовлетворяет условию задачи и для этого числа
.
Ответ: 3.
C6 № 484660. Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной
запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны все целые неотрицательные степени
некоторого однозначного натурального числа p. В результате получается рациональное число.
Найдите это число.
Решение.
Покажем, что p = 0,111...
Действительно, пусть
. Предположим, что наименьший период полученного рационального
числа равен T. Тогда Tk — тоже период при любом натуральном k. Пусть первый период
начинается с некоторой по счету цифры, принадлежащей десятичной записи степени
. Возьмем
период такой длины Tk, чтобы эта длина была больше, чем длина записи
.
В записи числа
цифр столько же, сколько в или на одну больше. Аналогично, число
длиннее, чем
не более, чем на две цифры и так далее. Значит, можно найти такую степень
, что
.
Цифры числа занимают весь период — группу длиной Tk. Тогда в записи следующего числа
первые с Tk цифры тоже образуют период и должны повторять цифры числа .
Получается, что либо
, либо
Последнее равенство невозможно, так как
, где
— какое-то однозначное число.
.
Следовательно, верно
, откуда
. Десятичная дробь имеет вид
.
Ответ:
.
Ти
Условие
п
C6 C6 № 484661. Перед каждым из чисел 3, 4, 5, . . . 11 и 14, 15, . . . 18 произвольным
образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел
первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем
все 45 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю сумму и
какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
Решение.
1. Если все числа обоих наборов взяты с плюсами, то сумма максимальна и равна
.
2. Так как сумма нечетная, число нечетных слагаемых в ней нечетно, причем это
свойство суммы не меняется при изменении знака любого ее слагаемого. Поэтому
любая из получены сумм будет не четной, а значит, не будет равна 0.
3. Значение 1 сумма принимает, например, при следующей расстановке знаков у
чисел:
.
Ответ: 1 и 1035.
Тип
Условие
C6 C6 № 484662. Каждое из чисел 5, 6, . . ., 9 умножают на каждое из чисел 12, 13, . .
., 17 и перед каждым произвольным образом ставят знак плюс или минус, после
чего все 30 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю
сумму и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
Решение.
1. Если все произведения взяты со знаком плюс, то их сумма наибольшая и она
равна
.
2. Так как сумма нечетная, число нечетных слагаемых в ней — нечетно, причем
это свойство суммы не меняется при изменении знака любого ее слагаемого.
Поэтому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0.
3. Значение 1 сумма принимает, например, при такой расстановке знаков у
произведения, которая получится при раскрытии следующих скобок
.
Ответ: 1 и 3045.
Тип
Условие
C6 C6 № 484663. Найдите все простые числа p, для каждого из которых существует
такое целое число k, что число p является общим делителем чисел
и
.
Решение.
Если число p является делителем числа
, то оно является также и
делителем числа
. Но если число p является общим
делителем чисел
и
, то оно является также и делителем
разности этих чисел, то есть числа
.
Аналогично получаем:
1) число p является общим делителем чисел
делителем числа
и
, значит, p является
;
2) число p является общим делителем чисел
делителем числа
и
, значит, p является
;
Число 60 имеет ровно три различных простых делителя — 2, 3 и 5. Остается
проверить найдутся ли такие целые числа k для каждого из которых одно из чисел
2, 3 и 5 является общим делителем чисел
и
.
Если число k — четное, то число 2 является общим делителем данных чисел. Если
число k кратно 3, то число 3 является общим делителем данных чисел. Если число
, то число 5 является общим делителем данных чисел.
Ответ: 2, 3, 5.
Тип
C6
Условие
C6 № 484665. Найдите несократимую дробь
.
Решение.
Пусть
,
наибольший общий делитель чисел
Тогда
такую, что
,а
—
.
.
.
Заметим, что
Поэтому
, значит а:
.
.
Кроме того
,
Ответ:
.
.
Тип
Условие
C6 C6 № 484666. Каждое из чисел 2, 3, ... , 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, ... ,
21 и перед каждым из полученных произведении произвольным образом ставят
знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают.
Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в
итоге?
Решение.
1. Если все произведения взяты со знаком плюс, то их сумма максимальна и равна
.
2. Так как сумма оказалась нечетной, то чисто нечетных слагаемых в ней нечетно,
причем это свойство всей суммы не меняется при смене знака любого ее
слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не
будет равна 0.
3. Значение 1 сумма принимает, например, при такой расстановке знаков у
произведений, которая получится при раскрытии следующих скобок:
.
Ответ: 1 и 4131.
Тип
Условие
C6 C6 № 484667. Найдите все тройки натуральных чисел k, m и n, удовлетворяющие
уравнению
.
Решение.
1. Так как
, то
и
.
2. Пусть
, тогда
, откуда
и
, тогда
, откуда
и
.
3. Пусть
.
4. Далее конечным перебором значений
n k
m
3 3
4
3 2
нет решений
3 1
нет решений
2 3
нет решений
2 2
нет решений
2 1
3
1 3
нет решений
,
находим все решения.
1 2
3
1 1
нет решений
Ответ:
.
Тип
Условие
C6 C6 № 484668. Найдите все простые числа b, для каждого из которых существует
такое целое число а, что дробь
Решение.
Если целые числа
и
можно сократить на b.
делятся на b, то целое число
также делится на b. Тогда число
тоже делится на b.
Тогда число
также делится на b.
Таким образом, искомое b — простой делитель числа 56, то есть 2 или 7. Осталось
проверить, для каких из найденных чисел можно подобрать а. Если а нечетное, то
числитель и знаменатель данной дроби — четные числа, поэтому дробь можно
сократить на 2. Если а кратно 7, то числитель и знаменатель данной дроби также
кратны 7, поэтому дробь можно сократить на 7.
Ответ: 2, 7.
C6 № 484671. На доске написано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее
арифметическое этих чисел равно 4, среднее арифметическое всех положительных из них
равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно
.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?
Решение.
Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора
чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое,
поэтому
.
а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 7, поэтому
количество целых чисел — делится на 7. По условию
. Таким образом, написано 49 чисел.
—
, поэтому
б) Приведём равенство
получаем, что
, откуда
отрицательных.
к виду
. Так как
,
. Следовательно, положительных чисел больше, чем
в) (оценка). Подставим
в правую часть равенства
, откуда
. Так как
, получаем:
; то есть отрицательных чисел не более 22.
,
,
,
в) (пример). Приведём пример, когда отрицательных чисел ровно 22. Пусть на доске 25 раз
написано число 14, 22 раза написано число
и два раза написан 0. Тогда
, удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: а) 49; б) положительных; в) 22.
Тип
Условие
C6 C6 № 484673. Сумма двух натуральных чисел равна 43, а их наименьшее общее
кратное в 120 раз больше их наибольшего общего делителя. Найдите эти числа.
Решение.
Сумма чисел кратна их наибольшему общему делителю, поэтому их наибольший
общий делитель является делителем числа 43, откуда следует, что он равен 1. Тогда
наименьшее общее кратное этих чисел равно их произведению. Обозначив искомые
числа х и у, получаем систему
решая которую, получаем числа 40 и 3.
Ответ: 40 и 3.
C6 № 485939. Все члены геометрической прогрессии — различные натуральные числа,
заключенные между числами 210 и 350.
а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов?
б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?
Решение.
а) Приведём пример геометрической прогрессии из четырёх членов: взяв
и
получим
б) Докажем, что прогрессии из пяти членов, удовлетворяющей условию задачи, не
существует.
Предположим, такая последовательность есть. Без ограничения общности она возрастает;
пусть её знаменатель есть
где
и — взаимно простые натуральные числа. Тогда:
.
Так как
,
и взаимно просты, делится на
Но – целое, поэтому
а значит,
. Отсюда
откуда
Так как
.
Поэтому
что противоречит требованию задачи.
Ответ: а) да. б) нет.
Тип
Условие
C6 C6 № 485959. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел,
произведение которых равно 1008 и
а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?
Решение.
Пусть – количество последовательных членов геометрической прогрессии,
произведение которых делит 1008.
. Следовательно,
О т в е т : а) нет; б) нет; в) да.
Тип
Условие
C6 C6 № 485960. В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые
три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо
геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а
последний 2076.
а) может ли в последовательности быть три члена?
б) может ли в последовательности быть четыре члена?
в) может ли в последовательности быть меньше 2076 членов?
Решение.
а) Нет, поскольку
натурального числа.
не делится на 2, а
не является квадратом
б) Последовательность не может быть арифметической прогрессией, поскольку
не делится на 3.
Последовательность не может быть геометрической прогрессией, поскольку
не является кубом натурального числа.
Если первые три члена образуют геометрическую прогрессию, а последние три –
арифметическую, то эти числа:
но уравнение
не
имеет целых корней.
Если первые три члена образуют арифметическую прогрессию, а последние три –
геометрическую, то эти числа:
и
где — натуральное число. Тогда
последнее число должно равняться
но это не натуральное число.
в) Да, например,
Тип
Условие
C6 C6 № 500068. Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 99 см,
но не больше 102 см (назовем такие куски стандартными).
а) Некоторый моток веревки разрезали на 33 стандартных куска, среди которых
есть куски разной длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых
кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?
б) Найдите такое наименьшее число , что любой моток веревки, длина которого
больше см, можно разрезать на стандартные куски.
Решение.
Решение каждого пункта состоит из двух частей: оценка и пример.
Рассмотрим моток веревки длиной см. Условие того, что его можно разрезать на
стандартных кусков, записывается в виде
а) В данном случае имеем
или
(неравенства строгие, поскольку
среди кусков есть неравные). Пусть эту веревку можно разрезать на
стандартных кусков, тогда При
получаем
т.е. этот моток веревки нельзя разрезать больше, чем на 33 стандартных куска.
При
получаем
Значит, эту веревку можно разрезать на 33
одинаковых стандартных куска, но нельзя разрезать на большее количество
стандартных кусков.
б) Отрезки
неравенств
всех при которых
длиной
и
являющиеся решениями
и
имеют общие точки для
то есть при
Значит, любую веревку
см или более можно разрезать на стандартные куски.
Докажем, что веревку, длина которой больше
см, но меньше
см, нельзя разрезать на стандартных кусков ни для какого При
получаем
что противоречит условию
При
получаем
что противоречит условию
Таким
образом, искомое число равно 3267.
Ответ: а) 33; б) 3267.
Тип
Условие
C6 C6 № 500136. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом
возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре
было не более
от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино
мальчиков было не более
от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в
группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если
дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся
в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
Решение.
а) Если группа состоит из 2 мальчиков, посетивших только театр, 7 мальчиков,
посетивших только кино, и 11 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие
задачи выполнено. Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 9 мальчиков.
б) Предположим, что мальчиков было 10 или больше. Тогда девочек было 10 или
меньше. Театр посетило не более 2 мальчиков, поскольку если бы их было 3 или
больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше
, что больше
. Аналогично, кино посетило не более 7 мальчиков, поскольку
но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино,
что противоречит условию.
В предыдущем пункте было показано, что в группе из 20 учащихся могло быть 9
мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — 9.
в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы
вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил
только театр, а другой — только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино
осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки
наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил
или только в театр, или только в кино.
Пусть в группе
мальчиков, посетивших театр,
мальчиков, посетивших кино,
и девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Нулем считать, что все девочки
ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а
доля в театре и в кино не уменьшится.
По условию
значит,
Тогда
, поэтому доля девочек в группе:
Если группа состоит из 2 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков,
посетивших только кино, и 9 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие
задачи выполнено, а доля девочек в группе равна
Ответ: а) да: б) 9; в)
.
.
Тип
Условие
C6 C6 № 500116. Рассматриваются конечные непостоянные арифметические
прогрессии, состоящие из натуральных чисел, которые не имеют простых
делителей, отличных от 2 и 3.
а) Может ли в этой прогрессии быть три числа?
б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
Решение.
а) В такой прогрессии может быть три члена: например, 2, 4, 6.
б) В такой прогрессии может быть четыре члена: например, 1, 2, 3, 4.
Предположим, что существует такая арифметическая прогрессия, состоящая не
менее чем из пяти членов. Рассмотрим любые пять её последовательных членов.
Разделим каждый член на наибольший общий делитель всех пяти членов.
Поскольку разности соседних членов уменьшатся в одинаковое число раз,
полученные числа , , , , также образуют арифметическую прогрессию,
удовлетворяющую условию задачи. Заметим, что числа , , , , не могут
все быть четными или все делиться на 3.
Если разность этой прогрессии делится на 3, то в ней не может быть члена,
делящегося на 3 (иначе все члены прогрессии делятся на 3), поэтому все члены
прогрессии являются степенями двойки. Поскольку все члены не могут быть
четными, получаем, что среди них присутствует 1. Но в этом случае разность
прогрессии нечётна, поэтому чётные и нечётные члены прогрессии чередуются, а
нечётных степеней двойки, отличных от 1, не существует.
Пусть теперь разность прогрессии не делится на 3. Тогда если делится на 3, то
члены
,
и
не делятся на 3, а
делится на 3. Аналогично, если делится на 3, то из чисел , , , на 3 будет
делиться только . Наконец, если делится на 3, то ни одно из чисел , , ,
не делится на 3. Значит, найдутся два последовательных члена прогрессии,
являющиеся степенями двойки.
Если оба эти члена четны, то и все члены прогрессии чётны, чего не может быть.
Поэтому одно из этих чисел - единица. Единица может стоять в прогрессии только
на первом или пятом месте, в этом случае на 3 делится только , поскольку
единица — один из двух последовательных членов прогрессии, являющихся
степенями двойки. Тогда , , , являются степенями двойки. Разность
прогрессии
, значит, она чётна и все члены прогрессии
чётны, чего не может быть.
Ответ: а) да; б) 4.
Ти
Условие
п
C6 C6 № 500197. Натуральные числа от 1 до 12 разбивают па четыре группы, в каждой
из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел
этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и
полученные 6 чисел складывают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?
Решение.
Обозначим суммы чисел в группах , , , а указанную в условии сумму
модулей их попарных разностей через . Можно считать, что
.
а) Чтобы число равнялось 0, необходимо, чтобы каждая из разностей
равнялась 0, то есть
. Сумма всех двенадцати чисел
. С другой стороны, она равна
, но 78 не делится на 4. Значит,
.
б) Чтобы число равнялось 1, необходимо, чтобы все, кроме одной, разности
равнялись 0. Значит,
, но в этом случае каждая из сумм , не равна хотя
бы одной из сумм , поэтому хотя бы три разности
не равны 0 и число не
меньше 3. Значит,
.
в) Выразим число
явно через
,
,
,
:
В предыдущих пунктах было показано, что
. Если
, то
или
. В этом случае сумма всех
двенадцати чисел равна
или
, то есть нечётна, что неверно.
Для следующего разбиения чисел на группы:
равно 4.
;
;
;
— число
Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.
Тип
Условие
C6 C6 № 500217. Число таково, что для любого представления в виде суммы
положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые
можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну
группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 19.
а) Может ли число быть равным 38?
б) Может ли число быть больше ?
в) Найдите максимально возможное значение
Решение.
.
a) Рассмотрим разбиение числа 38 на 39 слагаемых, равных
. При разделении
этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 20 чисел, сумма
которых равна
. Значит,
не может быть равным 38.
б) Поскольку является суммой двух чисел, не больших 19, получаем
.
Пусть
. Рассмотрим разбиение числа на 39 слагаемых, равных
. При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них
окажется не менее 20 чисел, сумма которых равна
Значит, не может быть больше
.
.
в) Докажем, что число
удовлетворяет условию задачи. Рассмотрим
произвольное представление
в виде суммы положительных слагаемых,
не превосходящих 1:
. Можно считать, что слагаемые
упорядочены по убыванию:
. Первую группу составим
из небольших слагаемых так, чтобы
. Вторую группу составим
из оставшихся слагаемых.
Пусть
. В этом случае
и
.
Поэтому
,
и
. Тогда
.
Полученное противоречие доказывает, что
во второй группе
. Поэтому сумма слагаемых
.
Таким образом, число
удовлетворяет условию задачи. В предыдущем
пункте было показано, что ни одно из чисел
не удовлетворяет условию
задачи, значит, максимально возможное значение — это 37,05.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 37,05.