Параметр в заданиях ГИА по математике

Министерство образования Саратовской области
Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
«Лицей №62»
Параметр
в заданиях ГИА
по математике
Выполнили
Деменкова Юлия и
Жаворонкова Анастасия
ученицы 9 «В» класса
Проверил
Болдырева Татьяна Викторовна
учитель высшей категории
Саратов 2012
1
Содержание.
1
2
3
4
5
Содержание.
Введение.
Цели и задачи работы. Практическая значимость.
Социологическое исследование
Решение задач с параметром аналитически.
2
3
3
4-5
5-11
Задачи с 1- по 10.
6
Решение задач с параметром графически.
12-14
Задачи с 11- по 14.
7
Заключение.
15
10
Список литературы
16
2
Введение
Математика - удивительная наука. Ее история насчитывает не одно
тысячелетие, но каждая встреча с ней способна одарить и обогатить
каждого
волнующей
новизной
маленького
открытия,
изумляющей
радостью творчества. Действительно, любая задача, уравнение
и их
решение - скромная математическая победа. Поэтому для нас очень важно,
чтобы чувствовалась красота математики, не терялся к ней интерес, ведь
любознательность - одна из главных движущих сил того, что называют
развитием, или прогрессом.
Задачи с параметром - одна из самых интересных и многогранных тем в
математике. В школьной программе они рассматриваются как задания
повышенной сложности. Но на письменном экзамене за курс средней
школы ГИА и на экзаменах в формате ЕГЭ без них не обойтись. Поэтому
необходимо научиться решать уравнения, неравенства, а потом в старшей
школе и системы уравнений и неравенств, содержащих параметр. Умение
быстро, рационально и правильно решать нестандартные уравнения
облегчает прохождение многих тем курса математики.
Объект исследования: уравнения и неравенства с параметром.
Предмет исследования: методы решения (аналитический и графический)
уравнений и неравенств, содержащих параметр.
Цель проекта: узнать самим и научить других различным способам
решения.
Задачи исследования:
1. Провести анализ литературы по данной проблеме.
2. Систематизировать различные методы решения.
Методы исследования:
- теоретический (анализ, обобщение)
- эмпирический (анкетирование)
Практическая
значимость:
создание
презентации
для
широкого
3
пользования учащимися и учителями.
Социологическое исследование.
Осенью 2011 года мы провели социологический опрос. Решили выяснить,
будут ли выпускники 2012 года решать на ГИА и ЕГЭ по математике
задания с параметром. Нашими респондентами были учащиеся 9-х и 11-х
классов нашего лицея, которых мы опрашивали на больших переменах,
после уроков и в свободное время. Результаты этого исследования таковы:
из 180 респондентов 135 (т.е. 75%) сообщили, что не будут решать задания
такого типа, а постараются лучше решить часть В. 21 человек (или 12%)
твердо заявили, что будут решать задания с параметром. А остальные 24
человека (13%) попытаются хотя бы попробовать решить такое задание.
140
120
100
80
Да, буду решать
60
Нет, не буду
40
Попытаюсь
20
0
все
9 класс 11 класс
На наш вопрос: «Почему вы не будете решать задачи с параметром?». респонденты отвечали следующим образом: 62 человека (46%) заявили,
что они очень сложные и им не по силам, 44 учащихся (33%) не будут
выполнять это задание потому, что нужно затратить много усилий и
времени, а 29 человек (21%) честно сказали, что ничего не понимают в
«этих параметрах».
4
70
60
50
40
30
20
10
0
очень сложно
много усилий
не понимаю
9
11
все 9
класс класс и 11
Результаты
нашего
исследования
неутешительные.
К
сожалению,
учащиеся выпускных классов не до конца понимают, что каждое
невыполненное задание на экзамене лишает их возможности получить
высокие баллы и быть конкурентными на вступительных экзаменах в
ВУЗы. Осознание приходит слишком поздно. В связи с этим мы и решили
изучить задания последних лет с параметрами на ГИА по математике.
Переменные а, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются
постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется
уравнением, содержащим параметры.
Решить уравнение – значит указать, при каких значениях параметров
существуют решения и каковы они.
Квадратичная функция
лежит в основе большого спектра задач
ГИА. Среди предложенных нами есть задания, решение которых связано с
исследованием знаков дискриминанта D и старшего
коэффициента
в
квадратном трехчлене.
Решение задач с параметром аналитически.
Задача 1. Найдите значение p при которых парабола
у  2 х 2  рх  50
касается оси х. Для каждого значения p определите координаты точки
касания.
Решение.
Парабола касается оси х, если квадратный трехчлен
 2 х 2  рх  50
5
имеет единственный корень. Следовательно, его дискриминант должен
обратиться в нуль.
p 2  400  0, p  20.
Подставляя значения букв p, находим координаты точек касания с осью оХ.
При p=20 точка касания (5;0); при p=-20 – точка касания (-5;0)
Задача 2. Найдите все значения а, при которых неравенство
х 2  2а  6х  12а  4  0 не имеет решений.
Решение.
График функции
у  х 2  2а  6х  12а  4
-
парабола, ветви которой
направлены вверх. Значит, данное неравенство не имеет решений в том и
только том случае, когда эта парабола целиком расположена в верхней
полуплоскости. Отсюда следует, что дискриминант квадратного трехчлена
х 2  2а  6х  12а  4
должен быть отрицательным.
D
2
 a  3  12a  4  a 2  6a  5,
4
a 2  6a  5  0 1  a  5.
Задача 3. Прямая
у  3х  b
касается окружности
х 2  у 2  10
в
точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки касания.
Решение.
1) Найдем значения b, при которых система
 у  3х  b,
 2
2
 х  у  10
6
имеет единственное решение. Выполнив подстановку, получим уравнение
х 2   3х  b   10,
2
10 x 2  6 xb  b 2  10  0.
2) Полученное уравнение имеет единственное решение, когда его
дискриминант равен нулю. Имеем:


D
 9b 2  10 b 2  10  100  b 2 .
4
2
b  10.
Решив уравнение 100  b  0 , получим
3) Таким образом, получили уравнения двух прямых, касающихся
у  3х  10
окружности
и у  3х  10
Найдем абсциссы точек касания, подставив найденные значения b в
10 x 2  6 xb  b 2  10  0.
уравнение
При b=10 получим
значение у:
х 2  6х  9  0, х  3.
Найдем соответствующее
у  3х  10  3  3  10  1
Координаты точки касания (3;1).
Задача 4. Парабола
y  ax 2  bx  c
проходит через точки А(0;-4), В(-1; -11), С(4;4). Найдите координаты ее
вершины.
Решение.
1) Найдем коэффициенты a, b и c в уравнении параболы
y  ax 2  bx  c
Парабола проходит через точку А(0;-4), значит, с=-4.
Подставим координаты точек В и С в уравнение
Получим систему уравнений
y  ax 2  bx  4
a  b  7

16a  4b  8.
7
Решаем систему
a  b  7

16a  4b  8.
Отсюда: а=-1, b=6.Уравнение параболы имеет вид
y  x2  6x  4
2) Найдем координаты вершины:
b
 3,
2a
y0  32  6  3  4  5.
x0  
х 3  10 х 2  mx  0.
Задача 5. При каких значениях m уравнение
имеет два различных корня?
Решение.
1) Представим уравнение в виде


х х 2  10 х  m  0.
х  0 или х 2  10 х  m  0.
Отсюда
Таким образом, при любом значении m данное уравнение имеет корень,
равный 0.
2) Рассмотрим уравнение
m  0 и m  0.
Возможны два случая
m0
При
х 2  10 х  m  .0
получаем полное квадратное уравнение. Если его
дискриминант равен нулю, то оно имеет единственный корень, а уравнение
х 3  10 х 2  mx  0
Имеем
два корня.
D1  25  m, 25  m  0, m  25.
Таким образом, при
m  25
исходное уравнение имеет два
различных корня.
m  0получаем неполное квадратное уравнение
m0
корни которого 0 и -10. Таким образом, при
При
x 2  10 x  0
уравнение
х 3  10 х 2  mx  0 также имеет два различных корня.
8
Ответ: при
m0
и m  25 .
Задача 6. При каких значениях m и n, связанных соотношением m+n=2,
выражение
2m 2  2mn  3n 2
принимает наименьшее значение?
Решение.
1) Выразим из равенства m+n=2 одну переменную через другую, например,
переменную m через n: m=2-n. Подставим полученное выражение в данное:
22  n   2n2  n   3n 2  n 2  12n  8.
2
2) Функция
y  aх 2  bх  c, a  0
принимает наименьшее значение при x  
b
2a
воспользовавшись этой формулой, получим
n
Ответ: при m  4, n  6.
12
 6 , m  2-6  -4.
2
Задача 7. Найдите все отрицательные значения m, при которых система
x 2  y 2  m2 ,

x  y  1
уравнений
не имеет решений.
Решение.
1. Подставим
у  1 х
в уравнение
квадратное уравнение относительно х:

х 2  у 2  m2
,
получим

2 x 2  2 x  1  m 2  0.
2. Найдем значения m, при которых это уравнение не имеет решений:


D1  1  2 1  m 2  2m 2  1; 2m 2  1  0; m 
Таким образом, система не имеет решений при

2 
m   
;0 .
2



1
.
2
2
2
m
.
2
2
9
Учитывая условие m<0, получим

2 
m   
;0 .
2


Ответ:
Задача 8. При каких значениях p система неравенств
5 х  2  17  2 х,

 p  2x  3  x
имеет решения?
Решение.
1.Преобразовав каждое неравенство, получим систему
 x  5,

 x  3  p.
2. Система имеет решения, если
5  3 р
К этому выводу легко придти с помощью координатной прямой. Отсюда
p  2.
Рисунок 1.
Х
5
Ответ: при
3-р
p  2.
Задача 9. При каких значениях n решением неравенства
x 2  2nx  n  2  0
является любое число?
Решение.
1.Так как ветви параболы
у  x 2  2nx  n  2
направлены вверх. То
она должна быть расположена выше оси Ох или касаться ее.
10
2. Поэтому
D1  n 2  n  2, n  2n  1  0.
Отсюда
 2  n  1.
Ответ: при
 2  n  1.
Задача 10.
рисунок 2.
При каких отрицательных значениях k прямая y=kx-4
пересекает параболу
у  x2  2x
в двух точках?
Решение.
у  x2  2x
1.Прямая у=кх-4 пересекает параболу
в двух точках, если уравнение
kx  4  x 2  2 x
имеет два решения, то есть дискриминант уравнения
x 2  2  k x  4  0
больше нуля.
2. Имеем:
отсюда
Ответ: при
2  k 2  16  0
k  2 или k  6.Так как k-
отрицательно, то
k  6.
k  6.
11
Решение задач с параметром графически
Задача 11. Найдите все значения k, при которых прямая y=kx пересекает в
трех различных точках график функции
3х  7, если х  3

 2, если  3  х  3
3х  11, если х  3.

Решение.
Построим график заданной функции
Рисунок 3.
Прямая y=kx пересекает в трех различных точках этот график, если ее
угловой
коэффициент
больше
углового
коэффициента
прямой,
проходящей через точку (-3, -2) и меньше углового коэффициента прямой,
параллельной прямым y=3x+7 и y=3x-11
Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точку (-3,-2):
-2=-3k;
k=2/3.
Угловой коэффициент k прямой, параллельной прямой y=3x+7, равен 3.
Прямая y=kx имеет с графиком заданной функции три общие точки при
2
 k  3.
3
12
Задача 12. Постройте график функции

 x 2  4 x  3, если х  1

у   х  1, если  1  х  1
2
 , если х  1.
x
При каких значениях m прямая y=m имеет с графиком этой функции две
общие точки?
Решение.
Рисунок 4.
Построим график данной функции.
Прямая y=m имеет с графиком этой функции две общие точки при
m  0 и 1 m  2
Задача 13. Постройте график функции
y
x 1
x2  x
И определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно
одну общую точку.
Решение.
Построим график заданной функции
13
Рисунок 5.
Преобразуем дробь
Ответ: k=1.
х 1
х 1
1


,
х 2  х хх  1 х
1
у  , х  0, х  1.
х
Задача 14. При каких значениях а отрезок с концами в точках А(-5;-6) и
B(-5;а) пересекает прямую 2х-у=-3?
Решение.
Построим график функции
у  2х  3
Точки А и В лежат на вертикальной прямой
х  5
Отрезок АВ пересекает эту прямую в том случае, когда точка В(-5;а) лежит
ниже этой прямой, то есть когда выполняется неравенство
а  7.
14
Заключение.
Работая над проектом, мы поняли, что, действительно, задания,
содержащие параметр, требуют не только больших умственных усилий, но
и терпения и трудолюбия.
При решении задач с параметрами достигаются следующие цели:

глубокое усвоение программных вопросов

расширение
математического
кругозора,
выработка
новых
подходов к решению задач
 тренировка интеллекта, развитие математического, логического
мышления, умения анализировать, сравнивать, обобщать

выработка навыков исследовательской работы

помощь при подготовке к экзаменам
Сейчас нам хочется вспомнить слова Бориса Пастернака: «Во всем
мне хочется дойти до самой сути». Что-то удается, а что-то и нет. Но ведь
мы еще только учимся, поэтому чудесная радость творчества и стимул к
дальнейшим поискам и открытиям у нас еще впереди.
15
Список используемой литературы
1. Ф.Ф.Лысенко. Алгебра 9 класс. Тесты для промежуточной аттестации.
Издательство «Легион-М». Ростов - на – Дону. 2011.
2. Математика в школе. Научно-методический журнал МП СССР.
Издательство «Педагогика» Москва, 1996год №1.
3. П.И.Алтынов. Алгебра. Тесты. 7-9 классы. «Дрофа», 1997
4. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики.
Издательство «Просвещение» 1989 год.
5.А.Г.Мордкович. Алгебра. 9 класс. Часть 1. Учебник. «Мнемозина», 2011.
6. А.Г.Мордкович. Алгебра. 9 класс. Часть 2. Задачник. «Мнемозина», 2011
7. Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября»,
2007год №24.
8. Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября»,
2007год №25.
9. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков. Алгебра. Учебник для 9
класса с углубленным изучением математики. «Мнемозина», 2005
10. И.В.Ященко. ГИА. Математика 2012.Типовые экзаменационные
варианты. Москва «Национальное образование», 2011
11. Тексты МИОО тренировочных и диагностических работ 2010-2011.
12. http://alexlarin.net/ege.html
13. http://mathgia.ru:8080/or/gia12/
16