Тема Статистические показатели

Тема
Статистические показатели.
План.
1. Понятие,
формы,
выражения
и
виды
статистических
показателей.
2. Абсолютные показатели.
3. Относительные показатели.
4. Сущность и значение средних показателей.
5. Другие виды средних.
6. Вычисление средних из вариационного ряда способом моментов.
1. Понятие,
формы,
выражения
и
виды
статистических
показателей.
Любое статистическое исследование в конечном итоге заканчивается
расчетом
и
анализом
статистических
показателей.
Статистический
показатель представляет собой количественную характеристику явлений и
процессов.
Как правило, изучаемые процессы и явления сложны, их сущность
нельзя отразить одним показателем. Поэтому возникает необходимость в
применении системы статистических показателей.
Система
статистических
показателей
–
это
совокупность
взаимосвязанных показателей, предназначенных для решения конкретной
задачи. В отличие от признака статистический показатель получается
расчетным путем. Это или простой подсчет единиц совокупности.
Суммирование значений, сравнение величин и т. д.
Различают
конкретный
статистический
показатель
и
показатель-
категорию. Конкретный статистический показатель характеризует размер,
величину изучаемого явления в определенном месте и времени. (Пример.
Производство столов в году предприятием.)
1
В
теоретических
работах,
при
проектировании
статистического
наблюдения могут использоваться абстрактные показатели (показателикатегории). (Пример. Розничный товарооборот Новгородской области
составил…)
Все
статистические
показатели
по
охвату
единиц
совокупности
разделяются на индивидуальные и сводные, а по форме выражения – на
абсолютные, относительные и средние.
Индивидуальные показатели
характеризуют отдельный объект или
единицу совокупности (домохозяйство, фирму, предприятие).
Сводные показатели в отличие от индивидуальных характеризуют
группу единиц, представляют часть или всю совокупность. Эти показатели,
в свою очередь, подразделяются на объемные и расчетные.
Объемные показатели получают путем сложения значений единиц
совокупности.
Полученная
абсолютного
показателя
величина
может
(стоимость
выступать
основных
в
качестве
фондов)
или
относительного (при сравнении).
Расчетные показатели, вычисляемые по формулам. Служат для
решения задач анализа (измерение вариации, оценка взаимосвязей).
Они делятся на абсолютные, относительные, средние (это индексы,
коэффициенты).
Статистические
показатели
характеризуют
явления
либо
на
определенный момент времени, либо за какой-то период (день, год). В
первом
случае
показатели
являются
моментными,
во
втором
–
интервальными.
В зависимости от принадлежности к одному или двум объектам
различают
одно-объектные
и
межобъектные
показатели.
Первые
характеризуют только один объект, а вторые получают в результате
сопоставления двух величин (число посадочных мест в столовой и число
студентов).
2
С точки зрения пространственной определенности статистические
показатели подразделяются на общетерриториальные (в целом по
стране), региональные и местные (локальные), относящиеся к какой-либо
части территории.
2. Абсолютные показатели.
Абсолютные показатели всегда именованные числа, т. е. имеют единицу
измерения.
Натуральные единицы измерения применяют в тех случаях, когда
единицы измерения соответствуют потребительским свойствам продукта
(т, м 2 ,шт., мили, унции, галлоны). Натуральные единицы могут быть и
составными (сложными). Пример. Отработанное время учитывают в чел.час, грузооборот – в т/км, т. е. отражаются две стороны различного
явления.
Для того чтобы полнее охарактеризовать потребительское назначение
продукции, иногда применяют различные единицы измерения для одного
вида продукции. (Электродвигатели учитывают в шт. и кВт, линолеум – т,
м, м 2 ).
Если
некоторые
разновидности
продукции
обладают
общими
потребительскими свойствами, обобщенные итоги выражают в условно
натуральных
единицах
(базовая
жирность
молока,
содержание
питательного вещества, сопоставимые цены (инфляция)).
Наиболее широко используются стоимостные (денежные) единицы
измерения. Для получения общего объема продукции в денежном
выражении количество единиц в натуральном выражении умножается на
цену, а затем полученную величину суммируют. При определении
стоимостных показателей объема продукции абсолютные величины
получают расчетным путем. Применяют также и балансовый метод.
Таким образом, абсолютные величины получают непосредственным
подсчетом данных статистического наблюдения или расчетным путем.
3
Абсолютные
статистические
показатели
могут
быть
измерены
с
различной степенью точности. Пример: шт., млн. шт.; т, тыс. т, млн. т.
Соблюдение одинаковых единиц измерения – непременное условие при
сравнениях.
3. Относительные показатели.
Относительные показатели – результат соотношения двух абсолютных
показателей.
Поэтому,
по
отношению
к
абсолютным
показателям,
относительные показатели являются вторичными.
При расчете относительного показателя,
абсолютный показатель
(числитель) называется текущим или сравниваемым. Показатель, с
которым сравнивают (знаменатель) – основание или база сравнения.
Таким образом, рассчитанный относительный показатель показывает во
сколько раз сравниваемый показатель больше базисного, или какую он
составляет долю, или сколько единиц приходится на 1, 100, 1000 и т. д.
единиц второго.
Относительные
величины
могут
выражаться
в
коэффициентах,
процентах, промилле, продецемилле.
В процентах указывают, когда показатель превосходит базисный не
более чем в 2-3 раза, иначе в разах.
Если относительный показатель получен в результате соотношения
разноименных показателей, то он должен быть именованный (кг на душу
населения).
Все
относительные
статистические
следующим образом:
 Динамики
 Плана
 Реализации плана
 Структуры
 Координации
4
показатели
классифицируются
 Интенсивности и уровня экономического развития
 Сравнения
Относительные показатели динамики (ОПД) – отношение уровня
исследуемого процесса за период времени к уровню того же процесса в
прошлом.
ОПД =
Текущий показатель
--------------------------------------------------------------------Предшествующий или базисный показатель
Показывает,
во
сколько
раз
текущий
уровень
превышает
предшествующий (базисный) или какую долю от последнего составляет.
Если показатель кратный, он называется коэффициент роста, при
умножении на 100 дает темп роста.
Относительный
показатель
плана
(ОПП)
–
применяется
при
перспективном планировании.
ОПП =
Показатель, планируемый на (i+1) период
------------------------------------------------------------------------Показатель, достигнутый в этом периоде
При сравнении реально достигнутого результата с ранее намеченным,
определяют относительный показатель реализации плана (ОПРП).
Показатель, достигнутый в (i+1) периоде
ОПРП = ------------------------------------------------------------------------Показатель, планируемый на (i+1) период
Между относительным показателем плана (ОПП), реализации плана
(ОПРП) и динамики (ОПД) существует следующая взаимосвязь:
ОПП х ОПРП = ОПД
Используя эту взаимосвязь, по любым двум известным величинам
можно определить неизвестную третью величину.
Относительный показатель структуры (ОПС) – соотношение структурных
частей изучаемого объекта и их целого.
ОПС =
Показатель, характеризующий часть совокупности
-----------------------------------------------------------------------------Показатель по всей совокупности в целом
5
Выражается в долях единицы или процентах. Сумма всех удельных
весов должна равняться 100%.
Относительный
показатель
координации
(ОПК)
–
характеризует
соотношение отдельных частей целого между собой.
Показатель, характеризующий i часть совокупности
ОПК = -------------------------------------------------------------------------------Показатель, характеризующий часть совокупности,
выбранной в качестве базы
В качестве базы сравнения выбирается та часть, который имеет
больший удельный вес или является приоритетной. Получается, сколько
единиц каждой структурной части приходится на 1, 100, 1000 и т.д. единиц
базисной структурной части.
Относительный показатель интенсивности (ОПИ) – характеризует
степень распространения изучаемого процесса в присущей ему среде.
ОПИ =
Показатель, характеризующий явление А
-------------------------------------------------------------------------------Показатель, характеризующий среду распространения
явления А
Этот показатель исчисляется, когда абсолютная величина оказывается
недостаточной для обоснования выводов о масштабах явления, размерах,
плотности распространения. Выражается в процентах, промилле, может
быть именованной величиной. Пример. Плотность населения – число
людей на 1 км 2 , уровень рождаемости – число родившихся на 1000
человек населения, число безработных на 1000 человек занятых в
экономике.
Возникает проблема выбора наиболее обоснованной базы сравнения.
Разновидностью относительного показателя интенсивности является
относительные
показатели
уровня
экономического
развития,
характеризующие производство продукции в расчете на душу населения и
играющие важную роль в оценке развития экономики государства. Пример:
валовой внутренний продукт России сопоставляется с численностью
населения.
6
Относительный
показатель
сравнения
(ОПСр)
–
соотношение
одноименных абсолютных показателей, характеризующих разные объекты
(фирмы, районы, страны).
Показатель, характеризующий объект А
ОПСр = -----------------------------------------------------------------------Показатель, характеризующий объект Б
Или
относительные
величины
наглядности
(ОВН)
–
отражают
результаты сопоставления одноименных показателей, относящихся к
одному и тому же периоду (моменту) времени, но к разным объектам или
территориям.
Этот
вид
относительных
величин
применяется
для
сравнительной оценки уровня развития стран и регионов, а также при
оценке результатов деятельности отдельных предприятий.
Пример.
Соотношение
производства
некоторых
основных
видов
промышленной продукции в России и США (к уровню производства США).
Вид продукции, % к США
Год
Электроэнергия
Нефть
Сталь
90
33,81
139,08
99,89
93
28,31
97,46
67,01
4. Сущность и значение средних показателей.
При
обработке
статистических
данных
возникает
необходимость
определения средних величин.
Средняя
величина
–
обобщающая
характеристика
признака
в
статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.
Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и
дает обобщенную характеристику однотипных явлений по одному из
варьирующих признаков.
Широкое применение средних объясняется тем, что они имеют ряд
положительных свойств, делающих их незаменимыми в анализе.
Пример.
При
анализе
уровня
жизни
населения
сравнение
индивидуальных доходов каждой семьи рабочего, студента и т. д.
7
невозможно. Суммарные доходы отдельных социальных групп также не
интересны
(численность
различна).
Следовательно,
мы
можем
использовать лишь средние показатели, т. е. среднюю величину доходов в
расчете на одного человека и одну семью по каждой социальной группе.
Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она
отражает то общее, что присуще всем единицам совокупности.
Значения признака отдельных единиц совокупности могут колебаться
под влиянием различных факторов (отдельный студент). Сущность
средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения
значений признака отдельных единиц совокупности. Это позволяет
средней отражать типичный уровень признака. Возможно, что никто из
изучаемой совокупности не имеет с точностью до рубля такого дохода как
полученная средняя. Однако эта средняя отражает тот типичный уровень
доходов, который характеризует эту социальную группу.
Средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень
признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности.
Если совокупность неоднородна, то в таких случаях метод средних
используется в сочетании с методом группировок.
Теория средних разработана достаточно подробно в отечественных и
зарубежных исследованиях. Среди ученых необходимо отметить А.Кетле,
И.Зюсьмильха, А.Боярского, Т.Рябушкина.
Сущность средней можно раскрыть через понятие ее определяющего
свойства, сформулированное А.Я.Боярским и О. :средняя, являясь
обобщающей
характеристикой
всей
ориентироваться на определенную
совокупности,
величину,
связанную
должна
со всеми
единицами этой совокупности. Эту величину представляют в виде
функции:
f(x 1 ,x 2 ,…,x n )
Если все величины x 1 ,x 2 ,… заменить их средней величиной Х , то
значение функции должно остаться прежним.
8
f(x 1 ,x 2 ,…,x n ) = f( Х 1 , Х 2 ,…, Х n )
Исходя из данного равенства определяется средняя. Определить
среднюю во многих случаях можно через исходное соотношение (ИСС).
Суммарное значение или объем осредняемого признака
ИСС = --------------------------------------------------------------------------------------Число единиц или объем совокупности
Пример.
Фонд заработной платы, тыс. руб.
ИСС = ------------------------------------------------------Число работников, чел.
Для каждого показателя, используемого в анализе, можно составить
только одно исходное соотношение для расчета средней.
От того, в каком виде представлены исходные данные для расчета
средней, зависит, каким образом будет реализовано ее исходное
соотношение. В каждом конкретном случае для реализации исходного
соотношения средней (ИСС) применяется одна из следующих форм
средней величины:
1. средняя арифметическая
2. средняя гармоническая
3. средняя геометрическая
4. средняя квадратическая, кубическая и т.д.
Все эти виды средних могут быть представлены формулой средней
степенной
Х=
k
xik  f i
f i
Х - средняя величина
Х i - i-ый вариант осредняемого признака
f i - вес i-го варианта
С изменением показателя степени k выражение функции меняется.
9
Значение k
-1
1
простых
Взвешенная
n
1

xi
x
x
x  n Пx
x
средняя
квадратическая
2
формулы
Простая
средняя
геометрическая
средняя
арифметическая
0
Эти
Наименование
средней
средняя
гармоническая
x
средних
f
1
 f
x
x
f
Пx f
x  f
x
f
x
n
x 2
n
x
x 2  f
f
применяются
в
случае,
если
индивидуальные значения усредняемого признака не повторяются.
Если отдельные значения встречаются несколько раз в совокупности,
тогда вводят частоту (вес).
Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей
средней, средние, исчисляемые для каждой группы – групповыми
средними.
Существуют две категории средних величин: степенные средние
(средние
арифметические,
средние
гармонические,
средние
геометрические и др.), и структурные средние (мода и медиана).
Степенные средние разных видов, вычисляемые по одной и той же
совокупности, имеют различные количественные значения. Чем больше
показатель степени k, тем больше величина соответствующей средней.
Х
гарм
<Х
геом
<Х
арифм
<Х
кв
Это свойство степенных средних возрастать с повышением показателя
степени называется мажорантностью средних.
К средним величинам относят также моду и медиану. Моду и медиану
часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где
расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.
Пример. 12 коммерческих пунктов обмена валюты, 1995г., Москва.
Номер обменного
пункта
Цена за 1 долл.,
руб.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2900 2960 2940 2935 2950 2900 2960 2970 2960 2960 2970 2900
10
Так как нет данных об объеме продаж в каждом обменном пункте,
расчет средней арифметической цены за $ нецелесообразен. Но можно
определить значение признака, которое делит ранжированный ряд на две
части. Это значение называется медиана (Ме). Медиана лежит в середине
ранжированного ряда и делит его пополам.
Расчет следующий:
1. Расположим данные в возрастающем порядке.
Х1
Х2
Х3
Х4
Х5
Х6
Х7
Х8
Х9
Х 10
Х 11
Х 12
2900 2900 2935 2940 2950 2960 2960 2960 2960 2970 2970
2. Определим порядковый номер.
N Me =
n 1
;
2
N Me =
12  1
= 6.5
2
Следовательно, медиана расположена между 6 и 7 значениями, т.к.
имеем четное число значений.
Ме ( ср .ариф.) =
2950  2960
= 2955 руб.
2
3. Если нечетное число значений (уберем одно значение).
N Me =
11  1
=6
2
Следовательно, Х 6 = 2950 это медиана.
Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц
данной совокупности. В приведенном примере модальной ценой за $
является 2960, т.к. повторяется чаще.
На практике моду находят по сгруппированным данным. Определить
величину моды в первичном ряду возможно при достаточно большом
количестве наблюдений и при условии, что одно из значений повторяется
значительно чаще, чем другие.
В интервальном ряду распределения сразу можно указать только
интервал, в котором будут находится мода и медиана.
11
Используют следующие формулы:
n 1
 S( 1)
2
Me  X me  h 
f me
Х м е - нижняя граница медианного интервала;
h - величина интервала;
S (1) - накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
f me - частота медианного интервала.
Пример.
Средняя годовая
стоимость
основных фондов,
млн. руб.
3,7 - 4,6
4,6 - 5,5
5,5 - 6,4
6,4 - 7,3
7,3 - 8,2
Число
Накопленные
предприятий
частоты
2
4
6
5
3
2
6
12
17
20
Медиана находится в интервале 5,5 – 6,4, т.е 11 величина, тогда
20  1
6
Ме  5,5  0,9  2
 6,175 млн. руб.
6
Мода должна находится в интервале 5,5 – 6,4, т.к. f=6
Мо  Х м о  h 
f mo  f mo 1
( f mo  f 1 )  ( f mo  f 1 )
*
(* - с равными интервалами)
Х м о - начало модального интервала;
f mo - частота, соответствующего модального интервала;
f 1 - предмодальная частота;
f 1 - послемодальная частота.
Мо  5,5  0,9 
64
 6,10 млн. руб.
(6  4)  (6  5)
Медиану и моду можно определить графически. Медиана определяется
по кумуляте.
12
S
20
16
12
8
4
Ме
3,7
4,6
5,5
6,4
7,3
х
8,2
Высоту наибольшей ординаты делят пополам. Через эту точку проводят
параллель оси абсцисс до пересечения с кумулятой. Точка пересечения
является медианой.
Мода определяется по гистограмме. Для этого правую вершину
модального
прямоугольника
соединяют
с
правым
верхним
углом
предыдущего прямоугольника. Левую вершину с левым верхним углом
последующего прямоугольника. Абсцисса точки пресечения это мода.
f
6
5
4
3
Ме
2
1
3,7
4,6
5,5
6,4
7,3
8,2
х
При статистическом контроле качества продукции удобнее пользоваться
медианой, а не средней арифметической, т. к. для ее определения не
требуется
определенных
расчетов
(ранжированный
ряд).
Она
не
чувствительна к крайним значениям.
В рядах с открытыми интервалами также целесообразнее пользоваться
модой и медианой.
13
Мода применяется при изучении спроса населения на товары народного
потребления (наибольший спрос).
5. Другие виды средних.
При
расчете
статистических
показателей
помимо
средней
арифметической могут использоваться и другие виды средних. Однако в
каждом конкретном случае в зависимости от характера имеющихся данных
существует только одно истинное среднее значение показателя.
Рассмотрим вариант, когда известен числитель ИСС, но не известен его
знаменатель.
Валовой сбор и урожайность подсолнечника.
Область
Белгородская
Воронежская
Курская
Липецкая
Тамбовская
Валовой сбор, тыс.
тонн, 
97,0
204,0
0,5
16,0
69,0
Урожайность, ц/га,
х
16,1
01 0
4,8
10,9
7,0
Средняя урожайность может быть определена следующим образом:
Общий валовой сбор, тыс. ц.
ИСС = ------------------------------------------------------Общая посевная площадь, тыс. га
Общий валовой сбор получим суммированием. Посевную площадь
определим
делением
валового
сбора
на
урожайность.
Расчет
производится по формуле средней гармонической взвешенной:
X =


Х 

x
970  2040  5  160  690
 9,9ц / га
9070 2040 5 160 690




16,1
9,5
4,8 10,9 7,0
Общее правило таково, когда статистическая информация не содержит
частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их
14
произведение, применяется формула средней гармонической взвешенной
(есть цена реализации и сумма реализации, но нет количества).
Пример. Две автомашины прошли один и тот же путь. Скорость
V 1 = 60 км/ч, V 2 = 80 км/ч. Найти среднюю скорость.
Х 
Х 
n
1

x
11
 68,6км / ч
1
1

60 80
Общее правило: в том случае, если объемы явлений, т.е. произведения
по
каждому
признаку
равны,
применяется
средняя
гармоническая
(простая).
Пример. Одна и та же товарная масса имела на разных предприятиях
разное время обращения: 20, 5, 2 дня. Определить среднее время
обращения.
Х
арифм

Х гарм 
20  5  2
 9дней
3
111
 4дня
1 1 1
 
20 5 2
Т.к. время обращения это товарные массы, деленные на однодневный
оборот товарные массы одинаковы.
Средняя геометрическая является еще одной формулой, по которой
рассчитывается средний показатель.
Невзвешенная Х  n x1  x2  ...  xn  n Пхi
Взвешенная X  f ( x1 ) f  ( x2 ) f  ...  ( xn ) f  f П ( xi ) f
1
n
2
i
Наиболее широко применяется в анализе динамики, для определения
среднего темпа роста.
Средняя
квадратическая.
В
основе
показателей лежит средняя квадратическая:
15
вычислений
ряда
сводных
Невзвешенная X 
Взвешенная X 
Наиболее
x 2
n
x 2 f
f
широко
этот
вид
средней
используется
при
расчете
показателей вариации.
6.
Вычисление
средней
из
вариационного
ряда
способом
моментов.
Вычисление
средней арифметической, используя ее свойства (мат.
статистика), а именно 1) вычесть из всех вариантов постоянное число
(лучше значение серединной варианты или варианты с наибольшей
частотой), и 2) разделить варианты на постоянное число (на величину
интервала) называется способом отсчета от условного начала, или
сокращенно “способом моментов”. Этот способ применяется в рядах с
равными интервалами.
Вычисление средней способом моментов.
x
x  165
 x1
10
f (в % к итогу)
x1  f
135
145
155
165
175
185
Итого:
-3
-2
-1
0
1
2
2
10
20
23
26
9
100
-6
-20
-20
0
36
18
8
При вычитании из всех вариант одной какой-либо варианты эту варианту
приравниваем к 0. Это условное начало ряда.
Лучше всего к 0 приравнивать варианту, расположенную в середине
ряда и обладающую наибольшей частотой. Если одновременно с
вычитанием
все
варианты
поделить
на
величину
интервала,
то
полученные новые варианты (х 1 ) образуют в равноинтервальном ряду
ряды натуральных чисел (1, 2, 3 и т.д.) положительные вниз и
отрицательные вверх от нуля.
16
Среднее арифметическое из новых вариант (m 1 ) называют моментом
первого порядка
m1 
m1 
x  f
f
8
 0.08
100
Чтобы определить величину средней арифметической, нужно величину
момента первого порядка умножить на величину интервала, на который
делили все варианты, и прибавить к полученному произведению величину
варианты, которую вычитали.
X  i  m1  A
Х  10  0,08  165  165,8
Если
ряд
равноинтервальный
арифметическую легче вычислять.
17
способом
моментов
среднюю