Сумма углов треугольника - Образовательный портал г. Липецка

МОУ гимназия №1 г. Липецка
Предмет – геометрия
Класс – 7А
Учитель Попова Ольга Николаевна
Программно-методическое обеспечение:

планирование составлено на основе авторского планирования
Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, Ю. А. Глазкова по учебнику «Геометрия 7 –
9» 7 класс;

Учебник «Геометрия 7 – 9 » 7 класс Л.С. Атанасян и др., М.:
Просвещение, 2007.
Тема урока: «Сумма углов треугольника».
Тип урока: урок изучения нового материала
Цели урока:
Образовательные: изучить и доказать теорему о сумме углов треугольника
и рассмотреть применение теоремы при решении простейших задач,
совершенствовать вычислительные навыки.
Развивающие: развивать умения наблюдать, сравнивать, анализировать,
переходить к обобщению наблюдаемых фактов, доводить частные случаи до
общего положения, строить гипотезы и делать выводы, проводить
доказательство геометрических предложений, использовать установленные
ранее факты для обоснования новых фактов и для решения конкретных
задач, расширять математический и общий кругозор, совершенствовать
графическую культуру и устную математическую речь.
Воспитательные: формировать такие качества личности как познавательная
активность,
любознательность,
внимательность,
критичность,
организованность, самостоятельность, умение слушать мнение других.
Оборудование: модели треугольников для практической работы, карта
звездного неба, задания для работы по готовым чертежам, раздаточный
материал для самостоятельной работы на 2 варианта.
Ход урока
1. Организационный этап:
-приветствие;
-проверка готовности учащихся к уроку: наличие чертежных инструментов,
тетрадей, учебников.
Учитель. На сегодняшнем уроке по теме: «Сумма углов треугольника» мы
рассмотрим и докажем одну из важнейших теорем геометрии, известную еще
в глубокой древности и используемую и по сей день.
Девизом урока будем считать слова: « В споре рождается истина».
О происхождении этих слов вы узнаете сегодня на уроке.
Дату и тему урока запишите в тетради.
2. Актуализация знаний
Повторение и проверка знаний по теме: «Параллельные прямые».
Работа выполняется на листочках под копирку и по окончании один листочек сдается
учителю. Отметки за работу выставляются в журнал.
Самостоятельная работа
ВАРИАНТ 1
1. Укажите:
а)пару внутренних накрест лежащих углов;
б)пару внутренних, односторонних углов.
2. Определите, какие стороны у четырехугольника
параллельны. Ответ обоснуйте.
3. Найдите все углы, если, а || с и 1 = 78°.
4. Найдите углы α и β при параллельных а и b и секущей
с, если α больше β в 5 раз.
5. Найдите углы треугольника ABC, если т || АС.
ВАРИАНТ 2
1. Укажите:
а) пару внутренних накрест лежащих углов;
б) пару внутренних односторонних углов.
2. Определите, какие стороны у четырехугольника
параллельны. Ответ обоснуйте.
3. Найдите все углы, если, а || с и  6 = 115°.
4. Найдите углы α и β при параллельных а и b и секущей
с, если α больше β на 44°.
5. Найдите углы 3 и 4 треугольника MNK, если NC ||
МК.
Ответы.
ВАРИАНТ 1
№1. а) САВ и МВА или АСВ и КВС,
б)САВ и КВА или
МВС и АСВ.
№2. ВЕ || СD, т.к. равны накрест лежащие углы при секущей СЕ.
№3. 1=  3= 5= 7=78º ,
№4.  α =150º, β=30º.
№5.3=70º, 4=60º, 5=50º.
2= 4= 6= 8=102º.
ВАРИАНТ 2
№1. а) КМО и NОМ или КОМ и  NМО,
б)К и М или
О и N.
№2. DF || AH, т.к. сумма внутренних односторонних углов А и D=180 º.
№3. 1=  3= 5= 7=65º ,
2= 4= 6= 8=115º.
№4.  α =112º, β=68º.
№5.3=70º, 4=50º.
Устный опрос
Опрос проводится фронтально.
• Проверить устно решение заданий самостоятельной работы.
• Особо обратить внимание на решение задачи 5.Сказать о существовании
иного способа решения, применение которого возможно после изучения
новой темы (использовать этот способ для решения №5 в домашней
работе).
• Сформулируйте определение параллельных прямых.
• Как звучат признаки параллельности прямых. Сформулируйте свойства
углов при параллельных прямых и секущей (накрест лежащих углов,
соответственных углов и внутренних односторонних углов).
Учащиеся отвечают на поставленные вопросы.
3. Из истории математики
Сообщение подготовлено учеником. Портреты ученых предъявляются с
экрана или в бумажном варианте.
Определение параллельных прямых, приводимое в современных
учебниках: «Две прямые на плоскости называются параллельными, если
они не пересекаются», не всегда звучало именно так. Определение
использовали в своих трудах математики, жившие еще до нашей эры.
ЕВКЛИД (Ш в. до н. э.) в труде «Начала» приводит такое определение:
«Параллельные суть прямые, которые находятся в одной плоскости и,
будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой
стороны между собой не встречаются».
Посилоний (I в. до н. э.): «Две прямые, лежащие в одной плоскости,
равноотстоящие друг от друга».
Древнегреческий ученый Папп (вторая половина Ш в. до н. э.) ввел символ
параллельности – знак =.
Впоследствии английский экономист Рикардо (1720-1823) этот символ
использовал как знак равенства.
Только в XVIII в. стали использовать современный символ параллельности
– знак ||.
Ни на миг не прерывается живая связь между поколениями, ежедневно мы
усваиваем опыт, накопленный нашими предками. Древние греки на основе
наблюдений и из практического опыта делали выводы, высказывали
предположения – гипотезы, а затем на встречах ученых – симпозиумах
(буквально «пиршество») — эти гипотезы пытались обосновать и доказать. В
то время и сложилось утверждение: «В споре рождается истина».
5. Практическая работа
Работа выполняется в тетрадях. Два ученика работают доски.
ВАРИАНТ 1
Опытным путем определите, чему равна сумма углов треугольника. Можно
использовать транспортир, модели остроугольного, тупоугольного и
прямоугольного треугольников.
ВАРИАНТ 2
Какой угол получится, если его составить из углов треугольника? Чему
равна его градусная мера? Можно использовать три модели треугольников.
Углы треугольника можно «отрывать».
Учитель. Выскажите вашу гипотезу о сумме углов треугольника.
Ученики.
1) сумма углов треугольника равна 180°;
2) углы треугольника образуют развернутый угол.
Учитель.
1. Можно ли быть уверенным в том, что в каждом треугольнике сумма углов
равна 180°?
(Нет, чтобы померить углы во всех
существующих
треугольниках – жизни не хватит.)
2. Можно ли измерить углы любого треугольника?
(Нет, например, в
треугольнике на местности.)
3. Рассмотрим еще один пример. Посмотрите на карту звездного неба.
Найдите созвездия Большой Медведицы и Малой Медведицы. Найдите
Полярную звезду – ориентир для путешественников и мореплавателей, –
она указывает направление на север. Как ее отыскать на небе? (На уроках
природоведения и физики учащиеся знакомились с картой звездного неба и
учились определять положение Полярной звезды – α–звезда в созвездии
Малой Медведицы.)
Найдем еще две яркие звезды: α–звезда Капелла в созвездии Возничий и α–
звезда Вега в созвездии Лира. Мысленно соединив их отрезками, получим
треугольник. Можно ли измерить углы этого треугольника?
6. Доказательство теоремы
Гипотеза сформулирована. Чтобы она стала истиной, ее нужно доказать,
убедиться, что она справедлива для любого треугольника.
Итак, дан треугольник ABC, нужно доказать, что сумма его углов: А, В и С
равна 180°. Как это сделать? (Если учащиеся затрудняются, то предложить
вспомнить решение задачи 5 из самостоятельной работы.)
Для доказательства гипотезы необходимо сделать дополнительное
построение. Рассматриваются два способа доказательства.
Учащиеся доказывают теорему двумя способами, используя оба рисунка.
Первое доказательство опирается на равенство накрест лежащих углов и
величину развернутого угла. Второе доказательство опирается на равенство
накрест лежащих углов и величину суммы внутренних односторонних углов.
Итак, теорема доказана, а вместе с ней доказана и выдвинутая гипотеза.
Оформление конспекта
ТЕОРЕМА о сумме углов треугольника.
Сумма углов треугольника равна 180°.
Дано: ∆ ABC.
Доказать:  l +  2 + 3 = 180°.
Доказательство: (записать дома).
Учитель
Доказательств теоремы несколько и для каждого выполняются различные
дополнительные построения.
Дополнительное построение:
Способ I. m || АВ, где В  m.
Способ II. Луч BD || АС.
Первое доказательство было сделано еще Пифагором
(V в. до н. э.). В первой книге «Начал» Евклид
излагает другое доказательство теоремы о сумме углов
треугольника.
Попробуйте доказать дома эту теорему, используя
чертеж учеников Пифагора.
7. Первичное закрепление изученного материала
1. Устная работа по готовым чертежам.
Чертежи заготовлены заранее на доске и есть на каждой парте.
Найти неизвестные углы.
Ответы: А= 50 º ;  N= 130 º; М=  N =  К =60º ; А= В=45º;
P= С=70º; С= 40 º и  В= 100 º; ответ дать нельзя.
2. Письменная обучающая работа.
Дано: ∆ ABС,
 А :  В :  С = 1 : 2 : 3.
Найти:  A, B,  C.
Решение.
Способ 1
1) Сумма углов треугольника АВС равна 180°, то есть
A+В+С= 180°. (1)
2) Пусть одна часть составляет х, тогда  А = х,  В = 2х,  С = 3х,
а их сумма равна
 А +  В +  С = х + 2х + З х .
(2)
Составим и решим уравнение
6 х = 180, х = 30.
Таким образом,  А = 30°,  В = 60°,  С = 90°.
Способ 2
1) A+B + C= 180° (по теореме о сумме углов треугольника);
2) 1 + 2 + 3 = 6 (частей) составляют углы треугольника;
3) 180° : 6 = 30° – составляет одна часть, или  А = 30°;
4) 30° • 2 = 60°,  В = 60°;
5) 30° • 3 = 90°, C = 90°.
Ответ: A = 30°,  В = 60°, С = 90°.
8. Подведение итогов урока
Ребята рассказывают о том, что выдвинули гипотезу о сумме углов треугольника,
провели ее обоснование и в результате доказали различными способами теорему о
сумме углов треугольника; применили эту теорему к решению задач.
Учитель объявляет отметки за самостоятельную работу и за работу на уроке наиболее
активным учащимся.
9.Задание на дом
Решить задачу №5, используя теорему о сумме углов треугольника.
Записать доказательство теоремы в конспект и выучить доказательство теоремы.
Попробовать доказать эту теорему, используя чертеж учеников Пифагора.