Раздел: Физические основы механики

Раздел: Физические основы механики
1. Кинематика. Введение.
1.1. Радиус-вектор материальной точки
1.2.Кинематические уравнения движения материальной точки
1.3. Траектория материальной точки
1.4.Вектор перемещения
1.5. Скорость
1.6. Ускорение
1.7. Криволинейное движение. Тангенциальное и нормальное ускорения
1.8. Методические указания к решению задач по кинематике
2. Кинематика вращательного движения. Введение
2.1. Угол поворота твердого тела
2.2. Угловая скорость
2.3. Период и частота обращения
2.4. Угловое ускорение
2.5. Связь угловых и линейных величин
3. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела
3.1. Первый закон Ньютона
3.2. Понятие о силе
3.3. Масса. Второй закон Ньютона
3.4. Принцип независимости действия сил
3.5.Основное уравнение динамики поступательного движения материальной точки.
Импульс материальной точки
3.6. Центр инерции системы
3.7. Универсальная форма второго закона Ньютона, выраженная через импульс
системы
3.8. Основное уравнение динамики поступательного движения твердого тела
3.9.Третий закон Ньютона
3.10 Преобразование координат Галилея и механический принцип относительности
3.10.Изолированная (замкнутая) система. Закон сохранения импульса
3.11. Методические указания к решению задач по динамике
4. Энергия и работа
4.1. Основные понятия об энергии механической системы
4.2. Работа
4.3. Консервативные силы. Условие потенциальности силового поля
4.4. Мощность
4.5 Кинетическая энергия
4.6.Потенциальная энергия
4.7. Закон сохранения и превращения энергии
4.8. Связь между потенциальной энергией и силой
5. Динамика вращательного движения твердого тела. Введение
5.1. Особенности вращательного движения
5.2. Вращающий момент (или момент силы)
5.3. Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения
5.4. Момент инерции твердого тела
5.5. Второй закон Ньютона для вращательного движения и его анализ
5.6. Момент импульса материальной точки и твердого тела
5.7. Основное уравнение динамики вращательного движения
5.8. Закон сохранения момента количества движения
5.9. Гироскоп. Гироскопический эффект
5.10. Кинетическая энергия вращающегося тела
5.11. Работа внешних сил при вращении твердого тела
6. Специальная теория относительности. Введение
6.1. Преобразования Лоренца
6.2. Одновременность событий в разных системах отсчета
6.3. Длина тел в разных системах
6.4. Длительность событий в разных системах отсчета
6.5. Релятивистский закон сложения скоростей
6.6. Релятивистский импульс
Раздел:
Кинематика
поступательного
материальной точки и твердого тела
движения
1. Кинематика. Введение.
1.1. Радиус-вектор материальной точки
1.2.Кинематические уравнения движения материальной точки
1.3. Траектория материальной точки
1.4.Вектор перемещения
1.5. Скорость
1.6. Ускорение
1.7. Криволинейное движение. Тангенциальное и нормальное ускорения
1.8. Методические указания к решению задач по кинематике
1. Кинематика. Введение.
Предмет механики. Механикой называют раздел физики, посвященный изучению
закономерностей простейшей формы движения материи - механического движения.
Механика
состоит из трех подразделов: кинематики, динамики и статики.
Кинематика
изучает движение тел без учета причин, его вызывающих. Она оперирует такими
величинами как перемещение, пройденный путь, время, скорость движения и ускорение.
Динамика
исследует законы и причины, вызывающие движение тел, т.е. изучает движение
материальных тел под действием приложенных к ним сил. К кинематическим
величинам добавляются величины - сила и масса.
В статике
исследуют условия равновесия системы тел. Статика излагается в специальных разделах
механики и здесь отдельно рассматриваться не будет.
Система отсчета.
Под системой отсчета понимается совокупность системы координат и часов. Понятие
системы отсчета, включает в себя пространственно-временную характеристику положения
тела, при этом пространственная характеристика дается с помощью координат, а
временная – с помощью часов.
Механическим движением называется изменение взаимного расположения тел
относительно друг друга в пространстве с течением времени. Любое механическое
движение относительно.
Материальной точкой называется такое тело, размерами и формой которого можно
пренебречь в сравнении с размерами других тел или расстояниями до них в условиях
данной задачи.
1.1. Радиус-вектор материальной точки
Рассмотрим движение материальной точки М в прямоугольной системе координат,
поместив начало координат в точку О на Земле.
Положение точки М относительно системы отсчета можно задать не только с
помощью трех декартовых координат
, но также с помощью одной векторной
величины - радиус-вектора точки М, проведенного в эту точку из начала системы
координат (рис. 1.1). Если
декартовой системы координат, то
- единичные вектора (орты) осей прямоугольной
(1.1)
Векторы
называются проекциями вектора вдоль соответствующих осей
координат. Радиус-вектор r представляет собой направленный отрезок прямой
проведенный из начала системы координат т.О в данную точку пространства.
1.2.Кинематические уравнения движения материальной точки
При движении материальной точки М ее координаты
и радиус-вектор
изменяются с течением времени t. Поэтому для задания закона движения м.т.
необходимо указать либо вид функциональной зависимости всех трех ее координат от
времени:
(1.2)
либо зависимость от времени радиус-вектора этой точки
(1.3)
Три скалярных уравнения (1.2) или эквивалентное им одно векторное уравнение
(1.3) называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.
1.3. Траектория материальной точки
Траекторией материальной точки называется линия, описываемая в пространстве
этой точкой при ее движении. В зависимости от формы траектории различают
прямолинейное и криволинейное движения точки. Если все участки траектории точки
лежат в одной плоскости, то движение точки называют плоским. Уравнения (1.2) и (1.3)
задают траекторию точки в так называемой параметрической форме. Роль параметра
играет время t. Решая эти уравнения совместно и исключая из них время t, найдем
уравнение траектории.
Длина пути. Длиной пути
материальной точки называют сумму длин всех
участков траектории, пройденных точкой за рассматриваемый промежуток времени.
1.4.Вектор перемещения
Вектором перемещения материальной точки за время от
вектора точки за рассматриваемый промежуток времени
, т.е. приращение радиус-
(1.4)
При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим
участком траектории. Из того, что перемещение является вектором, следует
подтверждающийся на опыте закон независимости движений: если материальная точка
участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещение точки равно
векторной сумме ее перемещений, совершаемых ею за тоже время в каждом из движений
порознь.
1.5. Скорость
Для характеристики движения материальной точки вводят векторную физическую
величину - скорость, определяющую как быстроту движения, так и направление движения
в данный момент времени.
Пусть материальная точка движется по криволинейной траектории МN так, что в
момент времени t она находится в т.М, а в момент времени
в т. N. Радиус-векторы
точек М и N соответственно равны , а длина дуги МN равна
(рис. 1.3).
Вектором средней скорости
точки в интервале времени от t до t+Δt называют
отношение приращения
радиуса-вектора точки за этот промежуток времени к его
величине :
(1.5)
Вектор средней скорости направлен также, как вектор перемещения
хорды МN.
т.е. вдоль
Мгновенная скорость или скорость в данный момент времени.
Если в выражении (1.5) перейти к пределу, устремляя
к нулю, то мы получим
выражение для вектора скорости м.т. в момент времени t прохождения ее через т.М
траектории.
(1.6)
В процессе уменьшения величины
точка N приближается к т.М, и хорда МN,
поворачиваясь вокруг т.М, в пределе совпадает по направлению с касательной к
траектории в точке М. Поэтому вектор
и скорость v движущейся точки направлены по
касательной траектории в сторону движения. Вектор скорости v материальной точки
можно разложить на три составляющие, направленные вдоль осей прямоугольной
декартовой системы координат.
(1.7)
где
- проекции вектора скорости на оси координат х, у, z.
Подставляя в (1.6) значения для радиус-вектора материальной точки (1.1) и
выполнив почленное дифференцирование, получим:
(1.8)
Из сопоставления выражений (1.7) и (1.8) следует, что проекции скорости
материальной точки на оси прямоугольной декартовой системы координат равны первым
производным по времени от соответствующих координат точки:
(1.9)
Поэтому численное значение скорости:
(1.10)
 м
В системе «СИ» единица измерения скорости называется метр в секунду   .
с
Движение, при котором направление скорости материальной точки не изменяется,
называется прямолинейным.
Если численное значение мгновенной скорости точки остается во время движения
неизменным, то такое движение называется равномерным.
Если же за произвольные равные промежутки времени точка проходит пути разной
длины, то численное значение ее мгновенной скорости с течением времени изменяется.
Такое движение называют неравномерным.
В этом случае часто пользуются скалярной величиной
, называемой средней
путевой скоростью неравномерного движения на данном участке
траектории. Она
равна численному значению скорости такого равномерного движения, при котором на
прохождение пути
затрачивается то же время
, что и при заданном неравномерном
движении:
(1.11)
т.к.
только в случае прямолинейного движения с неизменной по направлению
скоростью, то в общем случае:
.
Закон сложения скоростей.
Если материальная точка одновременно участвует в нескольких движениях, то
результирующее перемещения
в соответствии с законом независимости движения,
равно векторной (геометрической) сумме элементарных перемещений, обусловленных
каждым из этих движений в отдельности:
В соответствии с определением (1.6):
(1.12)
Таким образом, скорость результирующего движения равна геометрической
сумме скоростей
всех движений, в которых участвует материальная точка, (это
положение носит название закона сложения скоростей).
1.6. Ускорение
Ускорение характеризует быстроту изменения скорости, т.е. изменение величины
скорости за единицу времени.
Вектор среднего ускорения.
Отношение приращения скорости
к промежутку времени
которого произошло это приращение, выражает среднее ускорение:
Вектор, среднего ускорения совпадает по направлению с вектором
, в течение
.
Ускорение, или мгновенное ускорение равно пределу среднего ускорения при
стремлении промежутка времени
к нулю:
(1.13)
В проекциях на соответствующие координаты оси:
или
(1.14)
В системе «СИ» единица измерения ускорения называется метр в секунду за
 м
секунду  2  .
с 
1.7. Криволинейное движение. Тангенциальное и нормальное ускорения
При прямолинейном движении векторы скорости и ускорения совпадают с
направлением траектории. Рассмотрим движение материальной точки по криволинейной
плоской траектории. Вектор скорости в любой точке траектории направлен по
касательной к ней. Допустим, что в т.М траектории скорость была , а в т.М1 стала .
При этом считаем, что промежуток времени при переходе точки на пути
из М в М1
настолько мал, что изменением ускорения по величине и направлению можно пренебречь.
Для того, чтобы найти вектор изменения скорости
векторную разность:
, необходимо определить
Для этого перенесем параллельно самому себе, совмещая его начало с точкой М.
Разность двух векторов равна вектору, соединяющему их концы
равна стороне АС
МАС, построенного на векторах скоростей, как на сторонах. Разложим вектор
на две
составляющих АВ и АД, и обе соответственно через
и
.
Таким образом, вектор изменения скорости
векторов:
равен векторной сумме двух
По определению:
(1.15)
Тангенциальное ускорение
характеризует быстроту изменения
движения по численному значению и направлено по касательной к траектории.
скорости
Следовательно
(1.16)
Нормальное ускорение
направлению.
характеризует быстроту изменения скорости по
Вычислим вектор:
Для этого проведем перпендикуляр через точки М и М1 к касательным к
траектории (рис. 1.4) Точку пересечения обозначим через О. При достаточно малом
участок криволинейной траектории можно считать частью окружности радиуса R,
называемого радиусом кривизны траектории в окрестностях данной точки. Треугольники
МОМ1 и МВС подобны, потому, что являются равнобедренными треугольниками с
одинаковыми углами при вершинах.
Поэтому:
или
Но
,
тогда:
Переходя к пределу при
и учитывая, что при этом
, находим:
,
(1.17)
Так как при
угол
, направление этого ускорения совпадает с
направлением нормали к скорости
В случае движения
центростремительным.
, т.е. вектор ускорения
тела
по
окружности
перпендикулярен
ускорение
.
называют
Полное ускорение определяется векторной суммой тангенциального нормального
ускорений (1.15). Так как векторы этих ускорений взаимно перпендикулярны, то модуль
полного ускорения равен:
(1.18)
Направление полного ускорения определяется углом между векторам
и
:
1.8. Методические указания к решению задач по кинематике
Анализируя полученные формулы, в кинематике можно выделить четыре основных
типа задач:
1. Общая прямая задача кинематики:
По
известной
зависимости
определить, векторы скорости
тангенциальную
радиуса-вектора
и ускорения
от
времени
необходимо
и их модули v и а, нормальную
составляющую ускорения, радиус кривизны траектории R.
и
2. Общая обратная задача кинематики:
По известным векторам скорости или ускорения необходимо восстановить вид
траектории, т.е. найти радиус-вектор , а затем все остальные параметры траектории,
указанные в пункте 1.
3. Частная прямая задача кинематики:
По известной зависимости пути от времени
ускорение
и
тела. В этом случае можно определить лишь модуль скорости и ускорения:
и
Векторы
необходимо найти скорость
,
,
, а также
и
.
в этих задачах не могут быть определены.
4. Частная обратная задача кинематики:
По известным зависимостям скорости
восстановить зависимость пути от времени
:
или ускорения
необходимо
Раздел: Кинематика вращательного движения
2. Кинематика вращательного движения. Введение
2.1. Угол поворота твердого тела
2.2. Угловая скорость
2.3. Период и частота обращения
2.4. Угловое ускорение
2.5. Связь угловых и линейных величин
2. Кинематика вращательного движения. Введение
Абсолютно твердым телом называется тело, представляющее собой совокупность
материальных точек, взаимное расположение которых остается неизменным, т. е., тело,
которое ни при каких условиях не может деформироваться или деформациями которого
можно в данных условиях пренебречь. Если в процессе движения абсолютно твердого
тела (рис.2.1) его точки А и В остаются неподвижными, то и любая точка С тела,
находящаяся на прямой АВ, также должна оставаться неподвижной. В противном случае
расстояния АС и ВС должны были бы изменяться, что противоречило бы предположению
об абсолютной твердости тела.
Поэтому движение твердого тела, при котором две его точки А и В остаются
неподвижными, называют вращением тела вокруг неподвижной оси, а неподвижную
прямую АВ называют осью вращения.
Рассмотрим произвольную точку М тела, не лежащую на оси вращения АВ. При
вращении твердого тела расстояния М А и МВ и расстояние ρ точки М до оси вращения
должны оставаться неизменными.
Таким образом, все точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси,
описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения, а плоскости
перпендикулярны этой оси.
Движение абсолютно твердого тела, закрепленного в одной неподвижной точке,
называют вращением тела вокруг неподвижной точки - центра вращения.
Такое движение абсолютно твердого тела в каждый момент времени можно
рассматривать как вращение вокруг некоторой оси, проходящей через центр вращения и
называемой мгновенной осью вращения тела. Положение мгновенной оси относительно
неподвижной системы отсчета и самого тела с течением времени может изменяться.
2.1. Угол поворота твердого тела
При вращательном движении, в отличие от поступательного, скорости разных
точек тела неодинаковы. Поэтому скорость какой-либо точки вращающегося тела не
может служить характеристикой движения всего тела.
Пусть т. О - центр вращения тела, а
вращения (рис.2.2).
- неподвижная (или мгновенная) ось
Положение произвольной т. М тела будем задавать с помощью радиус-вектора
проведенного из центра О. Из рисунка видно, что:
,
,
где
т. М.
- радиус-вектор, проведенный в точку дуги окружности, по которой движется
За малое время вектор
поворачивается в плоскости перпендикулярной
, на
малый угол
. На такой же угол поворачивается за время
радиус-вектор любой
другой точки тела, т.к в противном случае расстояние между этими точками должны были
измениться.
Таким образом, угол поворота характеризует перемещение всего вращающегося
тела за малый промежуток времени.
Удобно ввести вектор
элементарного (малого) поворота тела, численно равный
и направленный вдоль мгновенной оси так, чтобы из его конца поворот тела был виден
происходящим против часовой стрелки.
В системе «СИ» единицей измерения угла поворота тела называется радиан (рад).
2.2. Угловая скорость
Векторная величина
(2.1)
называется угловой скоростью тела.
Вектор
направлен вдоль мгновенной оси вращения в сторону, определяемую
правилом винта, т.е. также как вектор элементарного поворота
Модуль вектора угловой скорости равен
.
.
Вращение с постоянной угловой скоростью называется равномерным, при этом:
т.е. при равномерном вращении
единицу времени.
показывает, на какой угол поворачивается тело за
В системе «СИ» единица измерения угловой скорости называется радиан в секунду
 рад 

.
 с 
2.3. Период и частота обращения
Время, за которое тело совершает один оборот, т.е. поворачивается на угол
называется периодом обращения.
Так как промежутку времени
соответствует угол поворота
,
, то
откуда
(2.2)
Число оборотов в единицу времени, очевидно, равно:
(2.3)
отсюда следует, что угловая скорость
(2.4)
2.4. Угловое ускорение
В случае неравномерного движения
не остается постоянной.
Величина, характеризующая скорость изменения угловой скорости называется
угловым ускорением и равна:
(2.5)
В случае вращения тела вокруг неподвижной оси изменение вектора
обусловлено только изменением его численного значения. При этом вектор углового
ускорения направлен вдоль оси вращения в ту же сторону, что и
при ускоренном
вращении
и при замедленном
в обратном направлении. ( рис 2.3 а),б) )
В системе «СИ» единица измерения углового ускорения
 рад 
секунду за секунду  2  .
 с 
называется радиан в
2.5. Связь угловых и линейных величин
Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости .
Скорость каждой точки, будучи направлена по касательной к соответствующей
окружности, непрерывно изменяет свое направление. Величина скорости определяется
скоростью вращения тела и расстоянием R рассматриваемой точки от оси вращения.
Пусть за малый промежуток времени
тело повернулось на угол
находящаяся на расстоянии R от оси проходит при этом путь, равный
(рис 2.4). Точка,
Линейная скорость точки по определению.
(2.6)
Найдем линейные ускорения точек вращающегося тела. Нормальное ускорение:
подставляя значение скорости из (2.6), находим:
(2.7)
Тангенциальное ускорение
Воспользовавшись тем же отношением (2.6) получаем
(2.8)
Таким образом, как нормальное, так и, тангенциальное ускорения растут линейно
с расстоянием точки от оси вращения.
Раздел:
Динамика
материальной
поступательного движения твердого тела
точки
и
3. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела
3.1. Первый закон Ньютона
3.2. Понятие о силе
3.3. Масса. Второй закон Ньютона
3.4. Принцип независимости действия сил
3.5.Основное уравнение динамики поступательного движения материальной точки.
Импульс материальной точки
3.6. Центр инерции системы
3.7. Универсальная форма второго закона Ньютона, выраженная через импульс
системы
3.8. Основное уравнение динамики поступательного движения твердого тела
3.9.Третий закон Ньютона
3.10 Преобразование координат Галилея и механический принцип относительности
3.11.Изолированная (замкнутая) система. Закон сохранения импульса
3.12. Методические указания к решению задач по динамике
3. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела
3.1. Первый закон Ньютона
Свободным телом называется физическое тело, не взаимодействующее с другими
телами или действия других тел на которое полностью скомпенсированы.
Первый закон Ньютона гласит: всякое свободное тело сохраняет состояние покоя
или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока какое-либо внешнее
воздействие не заставит его изменить это состояние.
Первый закон Ньютона показывает, что состояние покоя или равномерного
прямолинейного движения не требует для своего поддержания внешних воздействий: В
этом проявляется особое динамическое свойство тел, называемое инертностью.
Соответственно первый закон Ньютона обычно называют законом инерции, а
движение тела, свободного от внешних воздействий - движением по инерции.
Опыт показывает, что первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе
отсчета.
Системы отсчета, по отношению к которым выполняется закон инерции,
называются инерциальными системами отсчета.
То есть, это такие системы отсчета, относительно которых материальная точка, на
которую не действуют другие тела, либо покоится, либо движется равномерно и
прямолинейно.
3.2. Понятие о силе
С точки зрения наших личных наблюдений, с чем мы связываем «причину
движения»? Можно ответить, с мускульной тягой или с толчком. Чтобы передвинуть стол,
мы должны его очень сильно толкать, тогда как для перемещения листа бумаги по
письменному столу вам достаточно лишь незначительного усилия. Эти тяговые и
толкающие усилия мы называем силами.
Таким образом, под силой мы понимаем физическую величину, которая является
мерой механического воздействия на тело со стороны других тел.
Силой F называют векторную физическую величину являющаяся мерой действия
одного физического тела на другое, в результате которого тело изменяет состояние своего
движения или деформируется. Сила, приложенная к телу, полностью определена, если
указаны ее численное значение, направление действия и точка; приложения М (рис.3.1).
Прямую, проведенную через точку приложения силы в направлении действия
силы, называют линией действия силы.
Две силы называются численно равными и противоположными по направлению,
если одновременное приложение этих сил в одной и той же точке тела не вызывает
изменения его механического движения. В частности, если до приложения таких двух сил
тело покоилось, то оно продолжает оставаться в покое и после их приложения. Поэтому
говорят, что две численно равные и противоположно направленные силы, приложенные в
одной и той же точке тела, взаимно уравновешиваются.
Если на тело одновременно действует n сил, приложенных в одной точке А тела, то
их можно заменить одной эквивалентной силой
, равно их геометрической сумме
(3.1)
и приложенной в той же точке.
Эта сила
называется результирующей или равнодействующей силой.
Действие силы на абсолютно твердое тело не изменяется при переносе точки ее
приложения вдоль линии действия.
3.3. Масса. Второй закон Ньютона
Опыт показывает, что под действием силы
свободное тело изменяет скорость
своего поступательного движения, приобретая ускорение . При этом ускорение тела
прямо пропорционально вызывающей его силе и совпадает с ней по направлению:
где
- положительный коэффициент пропорциональности, постоянный для каждого
конкретного тела.
Величина ускорения, приобретенного под действием силы , зависит от тела, на
которое действует сила. Так как большим телам труднее придать ускорение, чем малым,
принято пропорциональность между силой и ускорением выражать в следующем виде:
(3.2)
Коэффициент пропорциональности m зависит от предмета. Его величина растет с
увеличением размеров тел, если они однородны. Постоянная m называется массой тела.
Массой тела m называют скалярную физическую величину, являющуюся мерой
инертности физического тела и определяемую отношением модуля ускорения эталона
массы а э к модулю ускорения тела а , приобретаемых ими, при их взаимодействии.
m  mэ
аэ
а
В системе «СИ» единица измерения массы является основной единицей измерения
и называется «килограмм» (кг).
Кроме второго закона динамики масса фигурирует также и в законе всемирного
тяготения (гравитации).
FГ  G
m1  m2
,
r2
где она характеризует уже не инертные свойства физического тела, а его гравитационные
свойства, т. е. способность тел притягивать друг друга.
В связи с этим возникает вопрос, не следует ли различать инертную массу mИ и
массу гравитационную m Г . Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Проведенные
m
многочисленные эксперименты по определению отношения Г позволяют в настоящее
mИ
время считать доказанным , что инертная и гравитационная массы равны друг другу с
точностью, не меньшей 10 12 из значения. По этой причине в дальнейшем мы не будем
делать различия между инертной и гравитационной массами, а будем говорить просто о
массе тела m/
Масса является мерой инертности тела в поступательном движении. Чем меньше
инертность тела, тем большее ускорение оно должно приобретать под действием какойлибо определенной силы.
Таким образом, второй закон Ньютона можно сформулировать в следующем
виде: ускорение тела прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по
направлению и обратно пропорционально массе тела.
3.4. Принцип независимости действия сил
Если на материальную точку действуют несколько сил, то
(3.3)
где
- ускорение материальной точки, вызываемое действием на нее одной силы
.
Таким образом, если на материальную точку одновременно действуют несколько
сил, то каждая из них сообщает м.т. такое же ускорение, как если бы других сил не было.
Это утверждение называется принципом независимости действия сил.
3.5.Основное уравнение динамики поступательного движения материальной точки. Импульс
материальной точки
Второй закон Ньютона можно записать в другой форме.
Согласно определению:
,
тогда
F m
dv
dt
или
F
 
d
dp
mv 
dt
dt
Вектор mv  p называется импульсом или количеством движения тела и совпадает
по направлению с вектором скорости
,а
выражает изменение вектора импульса.
Преобразуем последнее выражение к следующему виду:

Fdt  d (mv)  dр
В системе «СИ» единица измерения импульса называется
м
секунду (кг  ) .
с
Вектор
называется импульсом силы
(3.6)
килограмм-метр в
.
Это уравнение является выражением основного закона динамики материальной
точки: изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силы.
3.6. Центр инерции системы
В рассматриваемом выше уравнении Ньютона предполагалось, что тело имеет
настолько малые размеры, что его можно считать материальной точкой. Движение любого
недеформируемого тела конечных размеров может быть описано уравнениями,
аналогичными (3.6), если ввести понятие «центра масс» («центра инерции») тела.
Если тело состоит из n материальных точек с массами и радиус-векторами , то
центром масс системы материальных точек называют такую т. С, радиус-вектор которой
определяется следующим образом:
(3.7)
где
и
- масса и радиус-вектор i-ой точки системы, m - общая масса всей системы.
Соответственно соотношения между декартовыми координатами центра инерции и
всех точек системы имеют вид:
Скорость центра инерции:
(3.8)
Импульс системы.
Геометрическую сумму импульсов всех материальных точек системы называют
импульсом системы и обозначают буквой ( p ) :
n
p   mi v i ,
i 1
тогда скорость центра масс
vc 
p
m
(3.9)
Таким образом, из (3.9) следует, что импульс системы равен произведению массы
всей системы на скорость ее центра инерции:
p  mv c
3.7. Универсальная форма второго закона Ньютона, выраженная через импульс системы
(3.10)
Используя выражение для импульса
p  mv c
и второй закон Ньютона можем записать
dp
F
dt
где
(3.11)
- главный вектор всех внешних сил, действующих на систему.
Последнее уравнение является обобщением уравнения импульса на произвольную
механическую систему, т.к. ее всегда можно представить, в виде системы материальных
точек, взаимодействующих друг с другом и с внешними телами.
Внешними телами называются тела, не входящие в состав рассматриваемой
системы, а силы, действующие на систему со стороны этих тел - внешними силами.
Соответственно силы взаимодействия между материальными точками,
принадлежащими рассматриваемой системе называются внутренними силами, и их
равнодействующая равна нулю.
Уравнение (3.11) показывает, что скорость изменения импульса механической системы
равна главному вектору всех внешних сил, действующих на эту систему.
3.8. Основное уравнение динамики поступательного движения твердого тела
Используя уравнения:
p  mv c и
dp
F
dt
можем записать
или
(3.12)
Таким образом, центр инерции механической системы движется как материальная
точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная
главному вектору внешних сил, приложенных к системе.
В общем случае движение твердого тела можно рассматривать как сумму двух
движений: поступательного со скоростью , равной скорости
центра инерции тела, и
вращения вокруг центра инерции. Поэтому последнее уравнение часто называют
основным уравнением динамики поступательного движения твердого тела.
3.9.Третий закон Ньютона
Третий закон Ньютона формулируется следующим образом:
При взаимодействии физические тела действуют друг на друга с силами, одна из
которых называется силой действия, а другая – противодействия, одной и то же
природы, направленными вдоль прямой, соединяющей центры масс взаимодействующих
тел, равными по модулю и противоположными по направлению.
F 12

m1

m2
F 21
a2
a1
(3.4)
Силы
и
появляющиеся при взаимодействии тел, приложены к разным
телам и поэтому по отношению к конкретному физическому телу силы действия и
противодействия не могут уравновешивать друг друга.
Для системы тел или материальных точек взаимодействие сводится к силам
парного взаимодействия между ними, которое по третьему закону Ньютона всегда равны
по модулю и противоположны по направлению, вследствие чего геометрическая сумма
всех внутренних сил исходной системы будет равна нулю.
n
F
i вн
0
i 1
В частности F 12  F 21  0 .
3.10. Преобразование координат Галилея и механический принцип относительности
Рассмотрим две системы отсчета: неподвижную (К) и движущуюся относительно
первой вдоль оси Х с постоянной Х с постоянной скоростью (K’). Координаты тела М в
системе К x:y:z , а в системе К’ - x’:y’:z’. Эти координаты связаны между собой
соотношениями, которые называются преобразованием Галилея
Дифференцируя эти уравнения по времени и учитывая, что
соотношения между скоростями и ускорениями:
, найдем
Таким образом, если в системе К тело имеет ускорение а, то такое же ускорение
оно имеет и в системе К’.
Согласно второму закону Ньютона:
т.е. второй закон Ньютона одинаков в обоих случаях.
При
движение по инерции, т.о., справедлив и первый закон Ньютона, т.е.
рассматриваемая нами подвижная система является инерциальной.
Следовательно, уравнения Ньютона для материальной точки, а также для
произвольной системы материальных точек одинаковы во всех инерциальных системах
отсчета - инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея.
Этот результат называется механическим принципом относительности (принцип
относительности Галилея), и формулируется следующим образом:
равномерное и прямолинейное движение (относительно какой-либо инерциальной
системы отсчета) замкнутой системы не влияет на закономерности протекания в ней
механических процессов.
Следовательно, в механике все инерциальные системы отсчета совершенно
равноправны. Поэтому никакими механическими опытами внутри системы нельзя
обнаружить движется ли система равномерно и прямолинейно или покоится.
3.11.Изолированная (замкнутая) система. Закон сохранения импульса
Закон сохранения импульса является следствием второго и третьего законов
Ньютона. Он имеет место в изолированной (замкнутой) системе тел. Закон
сохранения
импульса можно получить из второго закона Ньютона.
Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, каждое из которых
характеризуется некоторой массой mi и скоростью v i . Пусть F iВН - равнодействующая
всех внутренних сил, действующих на i - тое тело системы, F i - равнодействующая всех
внешних сил, действующих на i - тое тело системы.
Внутренними называются силы взаимодействия между телами, входящими в состав
системы.
Внешними называются силы, действующие на тело системы со стороны тел, не
входящих в эту систему.
Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел системы:
d pi
d
mi v i 
 F iВН  F i
dt
dt
Складывая почленно все уравнения, получаем для всей системы:
n

i 1
n
d pi n
 F iВН   F i
dt
i 1
i 1
Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по
третьему закону Ньютона равна нулю, то
n

i 1
n
d pi
 Fi
dt
i 1
или
n
dp
 Fi ,
dt
i 1
n
где p   p i - суммарный импульс системы n тел.
i 1
Производная по времени от импульса механической системы тел равна векторной
сумме внешних сил, действующих на тела системы.
В случае замкнутой системы, т. е. в отсутствии внешних сил
dp
0
dt
откуда следует, что,
n
p   p i  const ,
i 1
т.е. полный вектор импульса p замкнутой системы тел не изменяется с течением
времени.
В замкнутой системе физических тел векторная сумма импульсов всех тел, остается
постоянной величиной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой. Это
значит, что если у одного из тел в изолированной системе изменился импульс, то это
могло произойти только за счет изменения импульсов других тел этой системы.
Такой системой называется механическая система, на каждое из тел которой не
действуют внешние силы. В изолированной системе проявляются внутренние силы, т.е.
силы взаимодействия между телами, входящими в систему.
Так как в замкнутой системе внешние силы отсутствуют, то
dp
 0;
dt
dp
 Fв н.  Fi
dt
или
n
p   mi v i  const
(3.13)
i 1
Это равенство выражает закон сохранения импульса, согласно которому полный
вектор импульса замкнутой системы тел с течением времени не изменяется.
Т.к., p  mv c  const то при любых процессах, происходящих в замкнутой системе,
скорость ее центра инерции сохраняется неизменной.
3.12. Методические указания к решению задач по динамике
В классической физике, как было уже показано, состояние материальной точки
полностью определяется ее координатами х, у, z. и компонентами скорости
заданный момент времени, т.е. радиусом вектором частицы и ее скоростью.
в
С учетом указанных функциональных зависимостей второй закон Ньютона и
имеет следующий вид:
(3.14)
Если считать, что результирующая сила
как функция координат и времени
известна, то уравнение (3.14) в математической классификации представляет собой
векторное дифференциальное уравнение второго порядка по отношению к радиус-вектору
материальной точки. Решая уравнение (3.14) с заданной правой частью, можно
определить радиус-вектор тела в любой момент времени и, тем самым, установить вид
траектории движения тела. При этом, исходя из принципа независимости движения,
сложное векторное уравнение (3.14), определяющее в общем случае криволинейное
движение тела, заменяют эквивалентной системой трех уравнений, каждое из которых
одновременно описывает прямолинейное движение вдоль соответствующих осей х, у и z.
(3.15)
где
,
и
- проекции вектора
на координатные оси.
Координаты х, у и z определяют путем двух интегрирований уравнения (3.15). При
каждом интегрировании возникает неопределенная постоянная. Поэтому для
однозначного выделения закона движения следует уравнения движения дополнить двумя
условиями, определяющими эти постоянные. Эти условия фиксируют, задавая состояние
материальной точки в какой-то (обычно в начальный) момент времени, т.е. указывая
значения радиус-вектора
или координат
и скорости
при t=0.
Таким образом, в результат интегрирования уравнений (3.15) получаем координаты
х, у, z как функции времени и двух констант интегрирования:
Раздел: Динамика вращательного движения твердого
тела
4. Динамика вращательного движения твердого тела. Введение
4.1. Особенности вращательного движения
4.2. Вращающий момент (или момент силы)
4.3. Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения
4.4. Момент инерции твердого тела
4.5. Второй закон Ньютона для вращательного движения и его анализ
4.6. Момент импульса материальной точки и твердого тела
4.7. Основное уравнение динамики вращательного движения
4.8. Закон сохранения момента количества движения
4.9. Гироскоп. Гироскопический эффект
4.10. Кинетическая энергия вращающегося тела
4.11. Работа внешних сил при вращении твердого тела
4. Динамика вращательного движения твердого тела. Введение
В динамике поступательного движения материальной точки были введены в
дополнение к кинематическим величинам, понятия силы и массы.
Аналогично,
для
изучения динамики вращательного движения тела, помимо рассмотренных
кинематических характеристик, вводятся новые величины - момент силы, момент инерции
и момент импульса.
4.1. Особенности вращательного движения
Рассмотрим движение твердого тела, имеющею ось вращения
под действием
произвольно направленной силы , приложенной к телу в некоторой точке А, которую
можно разложить на две составляющие: вертикальную и горизонтальную (рис.5.1).
Вертикальная составляющая может вызывать перемещение тела в направлении оси
вращения, поэтому при рассмотрении вращательного движения ее можно исключить.
Горизонтальная составляющая
, если она не пересекается с осью
вызывает
вращение тела. Действие этой силы зависит от ее числового значения и расстояния линии
действия от оси вращения.
4.2. Вращающий момент (или момент силы)
Пусть на тело, в плоскости перпендикулярной оси вращения
(рис.5.2). Разложим эту силу на две составляющие:
Сила
и
пересекает ось вращения и, следовательно, не влияет на вращение
тела. Под действием составляющей
вокруг оси
действует сила
тело будет совершать вращательное движение
.
Расстояние
от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила,
называется плечом силы
.
Моментом силы относительно точки О называется произведение модуля силы
на плечо
С учетом, что
момент силы
.
С точки зрения векторной алгебры это выражение представляет векторное
произведение радиус-вектора , проведенного в точку приложения силы на эту силу.
Таким образом, момент силы относительно точки О является векторной величиной
и равен
(5.1)
Вектор момента силы направлен перпендикулярно к плоскости, проведенной через
векторы
и
, и образует с ними правую тройку векторов (при наблюдении из вершины
вектора М видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от
часовой стрелки).
к
происходит против
В системе «СИ» единицей измерения момента силы называется Ньютон на метр
( Н  м ).
4.3. Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения
Согласно второму закону Ньютона, для тангенциальной составляющей силы
действующей на материальную точку массой m, и ускорения
,
можем записать
С учетом, что
и
имеем
Домножим левую и правую части на
и получим
(5.2)
или
Произведение массы материальной точки
тела на квадрат ее расстояния до
оси вращения называется моментом инерции материальной точки относительно оси
вращения:
(5.3)
4.4. Момент инерции твердого тела
Чтобы найти момент инерции тела, надо просуммировать момент инерции всех
материальных точек, составляющих данное тело
(5.4)
В общем случае, если тело сплошное, оно представляет собой совокупность
множества точек с бесконечно малыми массами
, и момент инерции тела
определяется интегралом
(5.5)
где - расстояние от элемента
до оси вращения.
В системе «СИ» единица измерения момента инерции называется килограмм –метр
в квадрате( кг  м 2 ).
Распределение массы в пределах тела можно охарактеризовать с помощью
плотности
(5.5)
где m - масса однородного тела, V - его объем.
Для тела с неравномерно распределенной массой это выражение дает среднюю
плотность.
Плотность в данной точке в этом случае определяется следующим образом
и тогда
(5.6)
Пределы интегрирования зависят от формы и размеров тела Интегрирование
уравнения (5.5) наиболее просто осуществить для тех случаев, когда ось вращения
проходит через центр тяжести тела.
Рассмотрим результаты интегрирования для простейших (геометрически
правильных) форм твердого тела, масса которого равномерно распределена по объему.
Момент инерции полого цилиндра с тонкими стенками, радиуса R.
Для полого цилиндра с тонкими стенками
Сплошной однородный диск.
Ось вращения является осью диска радиуса . и массы m с плотностью Высота
диска h. Внутри диска на расстоянии вырежем пустотелый цилиндр с толщиной стенки
и массой
.
Для него
Весь диск можно разбить на бесконечное множество цилиндров, а затем
просуммировать:
Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр тяжести.
Момент инерции стержня длиной L и массой m относительно оси, проходящей:
а) через центр стержня -
б) через начало стержня -
Теорема Штейнера.
Имеем тело, момент инерции которого относительно оси, проходящей через его
центр масс
произвольно оси
известен. Необходимо определить момент инерции относительно
параллельной оси
Согласно теореме Штейнера,
.
момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента
инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной
оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:
(5.7)
4.5. Второй закон Ньютона для вращательного движения и его анализ
С учетом (5.2) и (5.3) вращающий момент тела
(5.8)
или
Это выражение представляет собой аналог второго закона Ньютона для
вращательного движения, из которого следует:
Угловое ускорение твердого тела при вращении вокруг неподвижной оси прямо
пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции.
Относительно этой оси. Из этого выражения следует, что момент инерции
J является мерой его инертности во вращательном движении вокруг неподвижной оси. В
случае поступательного движения мерой инертности, как известно, является масса тела.
4.6. Момент импульса материальной точки и твердого тела
Векторное произведение радиуса-вектора
называют моментом импульса
материальной точки на ее импульс:
, этой точки относительно точки О (рис.5.4)
В системе «СИ» единицей измерения момента импульса называется килограммметр в квадрате на секунду ( кг 
м2
).
с
.
Вектор
иногда называют также моментом количества движения материальной
точки.
Он направлен вдоль оси вращения перпендикулярно плоскости, проведенной через
векторы
и
и образует с ними правую тройку векторов (при наблюдении из вершины
вектора видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от
часовой стрелки).
к
происходит против
Векторную сумму моментов импульсов
всех материальных точек, из которых
состоит абсолютно твердое тело, называют моментом импульса (количества движения)
тела относительно точки О:
Векторы
и
взаимно
перпендикулярной оси вращения тела.
перпендикулярны
и
лежат
Поэтому
.
С учетом связи линейных и угловых величин
и направлен вдоль оси вращения тела в ту же сторону, что и вектор
.
в
плоскости
Таким образом.
Момент импульса тела относительно оси вращения
т.е.
(5.9)
Следовательно,
момент импульса тела относительно оси вращения равен произведению момента
инерции тела относительно той же оси на угловую скорость вращения тела вокруг этой
оси.
4.7. Основное уравнение динамики вращательного движения
Согласно уравнению (5.8) второй закон Ньютона для вращательного движения
По определению угловое ускорение
и тогда это уравнение можно переписать следующим образом
с учетом (5.9)
или
(5.10)
Это выражение носит название основного уравнения динамики вращательного
движения и формулируется следующим образом:
Изменение момента количества движения твердого тела
момента
, равно импульсу
всех внешних сил, действующих на это тело.
4.8. Закон сохранения момента импульса (количества движения).
Из основного уравнения динамики вращательного движения следует, что
Для замкнутой (изолированной) системы результирующий вектор момента
внешних сил, действующих на тело, равен нулю и
всех
или
Это утверждение представляет собой содержание закона сохранения момента
количества движения: и формулируется следующим образом:
Если результирующий момент всех внешних сил относительно неподвижной оси
вращения тела равен нулю, то момент импульса относительно этой оси не изменяется в
процессе движения.
Этот закон может быть обобщен на любую незамкнутую систему тел, если
результирующий момент всех внешних сил, приложенных к системе, относительно какойлибо неподвижной оси тождественно равен нулю, то момент импульса системы
относительно той же оси не изменяется с течением времени.
4.9. Гироскоп. Гироскопический эффект
Гироскопом (или волчком) называют массивное симметричное тело, вращающееся с
большой скоростью вокруг оси симметрии (рис.5.5).
Момент количества движения гироскопа совпадает с его осью вращения.
Для того, чтобы изменить направление в пространстве оси гироскопа, т.е.
направление вектора
необходимо в соответствие основным уравнением динамики
вращательного движения
Пусть это пара сил
подействовать на него моментом внешних сил
создающая вращающий момент относительно оси
лежащей в плоскости чертежа перпендикулярно оси ОО (вращение вокруг
.
,
).
При этом наблюдается следующее явление, получившее название гироскопического
эффекта:
под действием пары сил, которые, казалось бы, должны были вызвать поворот оси
гироскопа ОО вокруг оси
, ось гироскопа поворачивается вокруг прямой
перпендикулярно к этим осям (т.е. к ОО и
).
«Противоестественное» на первый взгляд поведение гироскопа оказывается, как
легко видеть, полностью соответствует законам динамики вращательного движения, т.е. в
конечном счете, законам Ньютона.
Рассмотрим поведение гироскопа под действием момента силы
вдоль оси
. За время
действующего
момент количества движения гироскопа
получит
приращение
, которое имеет такое же направление, как и
. Момент
количества движения гироскопа спустя время
будет равен результирующей
, лежащей в плоскости чертежа. Направление вектора
направлением оси вращения гироскопа.
совпадает с новым
Таким образом, ось гироскопа повернется вокруг оси
плоскости чертежа), причем так, что угол между векторами
и
(перпендикулярной
уменьшится:
Если действовать на гироскоп длительное время постоянным по направлению
моментом внешних сил, то ось гироскопа устанавливается, в конце концов, так, что ось и
направление собственного вращения совпадают с осью и направлением вращения под
действием внешних сил (вектор
, совпадает по направлению с вектором
).
Раздел: Механическая энергия и работа.
5. Энергия. Введение
5.1.Механическая энергия.
5.2.Механическая работа и ее связь с изменением кинетической энергии.
5.3. Мощность.
5.4. Кинетическая энергия поступательного движения тела.
5.5. Потенциальная энергия механической системы .Потенциальная энергия тела в
поле силы тяжести.
5.6. Связь потенциальной энергии и консервативной силы . Потенциальные кривые.
5.7. Потенциальная энергия упруго деформированного тела .
5.8. Кинетическая энергия вращающегося тела.
5.9. Работа внешних сил при вращении твердого тела.
5.10. Закон сохранения механической энергии .
5. Энергия. Введение.
В природе существуют весьма разнообразные формы движения материи:
механическое, хаотическое тепловое, электромагнитное и т. д. Опыт показывает, что эти
различные формы движения материи способны к взаимным превращениям. При этом
экспериментальным путем установлено, что все взаимные превращения качественно
различных форм движения происходят в строго определенных количественных
соотношениях. Причем движение бесследно не исчезает, т. е. в процессе взаимодействия
материальных объектов одна форма движения может превращаться (переходить) в другую
форму, но при этом «исчезновение» одной формы движения всегда сопровождается
«возникновением» эквивалентного количества движения другой формы, что составляет
путь всеобщего природного закона о неуничтожимости движения во Вселенной.
Изучение закономерностей превращения одних форм движения материи в другие с
количественной точки зрения убеждает нас в том, что объективно должна существовать
какая-то единая мера различных форм движения материи, одинаковая для всех форм
движения и типов взаимодействия, и которая годилась бы и для описания процесса
превращения одной формы движения в другую. Долгие поиски такой универсальной
(всеобщей) меры, посредством которой можно было бы измерять различные формы
движения и их взаимные превращения привели к введению одной из фундаментальных
физических величин – энергии.
Термин «энергия» от гр. vi -. « v » - эн – «внутри + « v » - «работа», т. е.
«скрытая работа, «деятельность», «действие», ввел в 1807г. английский ученый Томас
Юнг.
Энергией W называют скалярную физическую величину представляющую собой
единую (универсальную) меру различных форм движения и все возможных типов
взаимодействия материальных объектов, и являющуюся однозначной, непрерывной,
конечной, дифференцируемой функцией параметров состояния системы физических тел.а
W  f ( x, y, z , v x , v y , v z , p, V , T , q,...)
5.1. Механическая энергия.
В связи с тем, что обычно различные формы движения рассматриваются раздельно,
представляется весьма разумным и энергию разделить на части, иначе говоря, поставить
каждой отдельной форме движения материи в соответствие свой определенный вид
энергии. Тем более, что функция энергии обладает свойством аддитивности (от лат. «
additives»- прибавленный).
f ( x, y, z )  f1 ( x)  f 2 ( y)  f 3 ( z ).
В дальнейшем при рассмотрении определенной формы движения материи будем
говорить о соответствующем виде энергии – механической, внутренней,
электромагнитной и т.п.
Энергию, зависящую от параметров механического состояния системы физических
тел, принято называть механической энергией.
Необходимо заметить, что механическая энергия определяется двумя векторными
параметрами:
 
W  f (r , v ),
где - радиус-вектором r , определяющим положение тела относительно других тел, с
которыми это тело взаимодействует.
- скоростью тела v , определяющей интенсивность движения тела в пространстве.
В связи с этим представляется возможным разделить механическую энергию на две
составляющие, каждая из которых зависит только от одного параметра:
 
W ( r , v )  W( r )  W( v )
Часть механической энергии, зависящую от взаимного расположения
взаимодействующих тел или их частей относительно друг друга, называют потенциальной
энергией.
W( r )  W П
от лат. «potentia» -«сила», «мощь», «возможность».
Часть механической энергии, зависящую от скорости движения тела, называют
кинетической энергией.
W( v )  WК
от гр. «kineta» - «движение».
Сумму кинетической WК и потенциальной WП энергий принято называть полной
механической энергией тела или системы тел W .
W( r ,v )  W П  WК
5.2. Механическая работа и ее связь с изменением кинетической энергии.
Изменение любого вида энергии, передача ее от одних материальных объектов к
другим происходит в процессе их взаимодействия и обусловлено действием сил.
Изменение энергии системы означает изменение ее движения, изменение параметров ее
состояния.
С количественной стороны преобразование движения характеризуется импульсом
силы
К  F  t ,
т.е. произведением силы F на время действия силы t .
С чем же связано изменение энергии тела? Какой физической величиной можно
охарактеризовать это изменение? Проще всего рассматривать эту связь на примере

кинетической энергии, определяемой скоростью тела v .Пусть на тело с массой m ,

свободно двигавшееся с некоторой скоростью v1 , и вследствие с этим обстоятельством,
обладавшее некоторой кинетической энергией W K! (v1 ) ,подействовала в течение
некоторого времени t переменная сила F , которая в результате изменила скорость тела


от v1 до v2 , а следовательно, изменила своим действием и кинетическую энергию тела до
значения WK 2 (v 2 ) .
По основному закону динамики для бесконечно малого промежутка времени dt


K  F  dt  mdv  dp
Выразим время действия силы dt через параметр кинетической энергии - скорость
тела

 ds
v
,
dt
откуда

ds
dt   ,
v

где, ds -элементарное перемещение, на котором действующую силу F можно считать
постоянной.
F
 FS

ds

v1

s
В

v2
А
Тогда


ds
F  dt  F    mdv
v
или

 
F  ds  mv dv
Чтобы оценить изменение энергии тела при изменении его скорости от начального


состояния, соответствующего значению v1 до конечного, характеризуемого скоростью v2 ,
необходимо проинтегрировать обе части полученного соотношения, т. е. другими
словами, просуммировать воздействие силы на всем участке траектории, на котором
действовала сила F (или происходило изменение скорости), т.е.

В
A

B
A
v2  

F ds  m  v dv
v1

v2
F  ds  m 
2
v2
v1

mv22 mv12

 WK .
2
2
WK
Очевидно, что справа получилось изменение кинетической энергии тела,
выраженное разностью между конечной и начальной энергиями, т.е.
mv12
WK1 (v1 ) 
2
mv22
W K 2 (v 2 ) 
2
Изменение кинетической энергии
WK  WK 2  WK1
Для тела с массой m движущегося с любой скоростью v
mv 2
WK 
,
2
где WK - функция скорости тела v ; логично, что для v  0 WK  0 .
Новая физическая величина, выраженная в общем случае интегралом

B
A

F  ds и
являющаяся искомой мерой изменения механической энергии тела, получила название
работа силы F на участке траектории.
B

A   F  ds
A
В том случае, когда сила F , действующая на тело, есть величина постоянная
( F  const ) , ее можно вынести за знак интеграла, т.е. тогда
B 

A  F   ds  F  s
A
т.е. работа, совершенная постоянной силой F

на перемещения тела s .
F
равна скалярному произведению силы F
F

F //

s
Если сила F , совершающая перемещение тела, действует под некоторым углом 

к перемещению тела s , то только часть ее F // совершает работу.
A  F//  s  F cos   s
Таким образом, работу силы F можно представить как скалярное произведение

векторов силы F и перемещения s .

A  F s
В общем случае переменной силы

dA  F  ds ,

где dA - элементарная работа, совершенная силой F на элементе перемещения ds .
B

A   F  ds
A
Работа A – это физическая величина, которая характеризует свойство
(способность) материальных тел передавать друг другу при их взаимодействии некоторое
количество энергии.
Работой A называют скалярную физическую величину, являющуюся мерой
изменения энергии тела в процессе взаимодействия его с другими телами и равную

скалярному произведению векторов силы F и перемещения s , совершаемого телом под
действием этой силы.
В системе «СИ» единица измерения работы – джоуль (Дж).
2
м
м2
 м
Н  м  кг  2  м  кг 2  кг    Дж.
с
с
с
В этих же единицах – джоулях, измеряется и энергия.
Необходимо обратить внимание на то обстоятельство, что работа характеризует не
само движение или положение в пространстве какого либо тела, т.е. его энергию, а только
изменение энергии. Если в процессе взаимодействия тел, энергия этих тел не изменяется,
то и работа равна нулю, или как принято говорить, работа при этом не производится (не
совершается).
Механическая работа не совершается (т.е. механическая энергия тела не
изменяется):

А. Если в направлении перемещения тела s не действует сила, т.е. F = 0
Пример: движение тела по инерции.


В. Если нет перемещения тела s в направлении действия силы F , т.е. s  0
Пример:
1) тело лежит на подставке
FТ
2) рука удерживает груз
3) Тело равномерно без трения движется вдоль горизонтальной поверхности.

v  const
FТ
С.Если
угол  
сила F

2
действует
перпендикулярно
перемещению

тела s ,
рад , следовательно cos  0
Пример: сила удерживающая тело при его равномерном движении по окружности.
т.е.

v
О
m
F
Работа - величина алгебраическая, т.е. она может быть и положительной и
отрицательной:
- если  

2
рад , то работа силы положительна, в этом случае параллельная
составляющая силы F // совпадает по направлению с вектором скорости движущегося

тела v .
Такую силу, совершающую положительную работу называют движущей силой.
-если  

2
рад , то работа силы отрицательна.
Такую силу, совершающую отрицательную работу принято называть силой
сопротивления движению.
Пример: сила трения.
5.3.Мощность.
Для того чтобы охарактеризовать быстроту (скорость) совершения работы, вводят
dA
новую скалярную физическую величину, называемую мощностью P 
.
dt
Если учесть, что за время dt сила F совершает работу dA  F  ds , то мощность,
развиваемая этой силой
PF
ds
 F v
dt
или в векторном виде

P  F v
Мощностью P называют скалярную физическую величину, представляющую
собой работу совершаемую силой F
за единицу времени и равную скалярному

произведению векторов силы F и скорости v , с которой движется тело под действие этой
силы.
В системе «СИ» единица измерения мощности – ватт (Вт).
Вт 
Дж Н  м
м м
м2

 кг  2   кг  3 .
с
с
с с
с
5.4.Кинетическая энергия.
Таким образом, понятию кинетической энергии поступательного движения тела
можно дать определение.
Кинетической энергией тела WK называют скалярную физическую величину,

характеризующую движущееся со скоростью v физическое тело, и равную работе,
которую должна совершить сила F , действующая на покоящееся тело, чтобы сообщить

ему эту скорость v .
5.5.Потенциальная энергия механической системы.
Найдем выражение для потенциальной энергии, которая как мы установили,
представляет собой часть энергии механической системы тел, зависящую от ее
конфигурации, т.е. от взаимного расположения частиц системы (их положения во
внешнем силовом поле) и характера сил взаимодействия между ними. Определим работу,
которую совершает сила тяжести F T , действующая на некоторое тело массой m при его
перемещении по произвольному пути из точки A , находящейся на высоте h1 над
поверхностью Земли, в некоторую точку B , находящуюся ниже на высоте h2 .
Элементарная работа dA , совершаемая силой тяжести при бесконечно малом

перемещении ds , равна
dA  FT  ds cos
Полная работа
B
AAB   FT  ds cos
A
h( y )
А
h1
h2
O
С
dh 

ds
FT
В
В
Поверхность Земли
cos  
dh
ds
X
Т.к. величина и направление силы тяжести F T в любой точке траектории движения
тела остаются неизменными, то ее можно вынести из под знака интеграла
B
A  FT  cos   ds
A

Величина cos  ds представляет собой проекцию вектора перемещения ds на
вертикальную ось, т.е. высоту опускания тела dh
Тогда
h2
A  FT  dh  FT  h h2  FT (h2  h1 )   FT (h1  h2 )  (mgh1  mgh2 )  (W П1  W П2 )  W П ,
h
h1
1
где
WП  mgh – потенциальная энергия тела массой m в поле силы тяжести
W П  W П1  W П 2 - изменение потенциальной энергии при падении тела.
Знак минус говорит о том, что работа совершается за счет убыли потенциальной
энергии тела т.е. А  WП
Потенциальной энергией тела в поле силы тяжести (поднятого над Землей) WП
называют скалярную физическую величину характеризующую положение физического
тела относительно поверхности Земли, и равную работе, совершаемой против силы
тяжести FT при подъеме тела на высоту h над поверхностью Земли
Из полученного соотношения следует, что работа совершаемая силой тяжести
FT при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того по какой
траектории это перемещение произошло, а определяется только начальным и конечным
положениями тела относительно поверхности Земли.
Силы, работа, которых не зависит от формы траектории перемещения тела принято
называть консервативными от лат. «conservatio»-«сохранение».
Силы, не обладающие таким свойством, принято называть неконсервативными или
диссипативными от лат. «dissipatio» - «рассеяние».
Поля, действие которых на физические тела характеризуется консервативной силой
принято называть потенциальными.
5.6.Связь потенциальной энергии и консервативной силы. Потенциальные кривые.
WП ( х, у, z)
консервативную силу действующую на тело в каждой точке поля
Зная
вид
функции
потенциальной
энергии
можно
найти
Для случая элементарной работы:
dA  dWП
т.е. она совершается за счет убыли потенциальной энергии тела на некоторую величину
dWП
Если учесть, что

dA  F  dr ,
то

 dWП  F  dr
Откуда

 WП  WП  WП  
d
F    WП  
i
j
k    gradW П  WП
dr
у
z 
 x
      
где   i 
j  k - линейный дифференциальный оператор 1-го порядка, оператор
x
y
z
Гамильтона.
Это означает дифференцирование по всем координатам. Производная берется по

направлению радиуса вектора r .
Векторная физическая величина, определяемая выражением
W П  W П  W П 
i
j
k,
x
y
z
называется градиентом потенциальной энергии тела grad WП .
Консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным
знаком.
Потенциальную энергию тела относительно других тел можно изобразить с помощью
потенциальной кривой WП r  .
WП
1  острый
 2  тупой
r

F2
F1
1
3
а) в точке 1 :   острый; tg1 >0
dWп
 tg
dr
(  - угол наклона касательной)
4
2
F 
r
F1  tg1 <0 – это сила притяжения
б) в точке 2 :  2  тупой, tg 2 <0
F2  tg 2 >0 – это сила отталкивания
Сила направлена в сторону спада потенциальной кривой.
в) в точках 3 и 4:   0, tg 0  0
F3, 4  0 - это точки равновесия:
Точка 3 соответствует максимальному значению потенциальной энергии и является
положением неустойчивого равновесия (max WП ); точка 4 соответствует минимальному
значению потенциальной энергии и является положением устойчивого равновесия
( min WП ).
Примеры потенциальных кривых.
1) WПтяж  mgh ,
Fm  
dWП
 mg ,
dh
WП
O
2)

h
Fтяж
W Пупр 
kx 2
,
2
Fупр  
dWП
 kx
dx
WП
0
x
3) Межмолекулярное взаимодействие
F  tg  const
WП

r0
r
4)
WП
r
Потенциальная яма для  - частицы в ядре.
5.7. Потенциальная энергия упруго деформированного тела.
Найдем потенциальную энергию упруго деформированного тела.
F упр. F
х

х

о
х
х
При деформировании (растяжении) пружины некоторой внешней силой F , в
пружине возникает сила упругости

F УПР  kx ,
где к- коэффициент упругости (жесткости), x -абсолютная деформация (растяжение)
пружины, которая пропорциональна абсолютной деформации тела x и направлена в
сторону противоположную деформации x .
По третьему закону Ньютона деформирующая внешняя сила F равна по модулю и
противоположна по направлению этой возникающей силе упругости, т.е.
F   F УПР .
Элементарная работа dA , совершаемая внешней силой F против силы упругости
при бесконечно малой деформации dx равна
F  k  x  const ,
тогда
dA  F  dx  kxdx ,
а полная работа
x
A   dA  k  xdx  k
0
x2
2
Эта работа внешней силы пошла на увеличение потенциальной энергии пружины
WП 
kx2
2
Потенциальной энергией упруго деформированного тела называют скалярную
физическую величину равную работе, которую необходимо совершить против силы
упругости, чтобы сообщить телу эту деформацию.
5.8. Кинетическая энергия вращающегося тела.
Найдем кинетическую энергию абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси. Мысленно разобьём это тело на малые объемы dV с элементарными
массами mi , движущиеся с линейными скоростями
vi    ri ,
где ri – расстояние i  той массы от оси вращения.
Тогда кинетическая энергия i  той элементарной массы
WK i 
mi vi2 1
 mi 2 ri 2
2
2
Кинетическая энергия всего тела представляет собой сумму кинетических энергий
составляющих его частей (элементарных объемов).
n
n
1
1
WK  Wki   2  mi ri 2  J 2
2 
i 1
i 1

 2
J
n
где J   mi ri 2 – момент инерции тела относительно данной оси вращения.
i 1
В случае плоского движения, т.е. такого движения, при котором все точки тела
перемещаются в параллельных плоскостях.
Пример: качание цилиндра по плоскости

vC
О
О

s`
.
Плоское движение твердого тела можно представить как сумму двух движений:
- поступательного движения с одинаковой для всех точек тела скоростью v C , называемой
скоростью центра масс тела.
- вращательного движения с одинаковой для всех точек тела угловой скоростью  вокруг
оси, проходящей через центр масс.
Таким образом, кинетическая энергия тела при плоском движении слагается из
кинетической энергии поступательного и вращательного движений.
WK 
mvc2 J 2

2
2
5.9. Работа внешних сил при вращении твердого тела.
Найдем работу внешних сил при вращении тела.
При вращении твердого тела его потенциальная энергия не изменяется, поэтому
элементарная работа dA внешних сил равна приращению кинетической энергии тела, т.е.
 J 2  J
J
  d ( 2 )   2 d
dA  dWK  d 
  Jd
2
 2  2
Если учесть, что
d

dt
откуда,
d    dt
то
dA  
J  
dt

d
M
С учетом, что
d
 ,
dt
откуда следует
d    dt ,
а
J   M
Окончательно получаем
dA  M  d
Таким образом, работа внешних сил при повороте тела на некоторый конечный
угол равна:

A   dA   Md
0
т.е. при вращении твердого тела вокруг оси работа внешних сил определяется моментом
этих сил относительно данной оси.
Если момент сил относительно оси равен нулю M  0 , то эти силы не производят
никакой работы, т.е. A  0
В случае постоянной силы:
A  M  .
Выражение для элементарной работы dA можно получить по другому :
dA  F  ds ;
где, ds  r  d ,
тогда
dA  F  rd  M  d
Мощность
P
dA
d
M
 M
dt
dt
5.10. Закон сохранения механической энергии.
Рассмотрим как изменяются
кинетическая и потенциальная энергии
изолированной замкнутой системы физических тел, т.е. такой системы, на которую не
действуют внешние силы.
Уравнение движения для каждого тела такой изолированной системы имеет вид
mi ai  mi
dvi
 FВНi
dt
где FВН i – суммарная внутренняя сила, действующая на i  тое тело системы со стороны
всех других тел этой системы.
Если какое-то тело системы за промежуток времени dt совершит перемещение ds ,
то, умножая каждое уравнение движения на соответствующее перемещение
mi
dvi
 dsi  Fi ds
dt
и учитывая, что
dsi
 vi
dt
получаем
mi vi dvi  Fi ds
или
 m v2 
d  i i   dAi
 2 
В целом для системы складывая все уравнения, получаем
 mi vi2  n

   dAi
d

2  i 1
i 1 
n
т.е. суммарное изменение кинетической энергии тел замкнутой системы равно работе
внутренних сил
dWk  dA
что составляет сущность теоремы о кинетической энергии.
Если внутренние силы консервативные, то их работа равна убыли потенциальной
энергии этой системы тел, т. е.
dA  dWП
следовательно,
dWK  dWП
или
dWK  dWП  d (WK  WП )  dW  0
где W  WK  WП - полная механическая энергия системы тел
Это означает, что W  WK  WП  const
Закон сохранения механической энергии:
Полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми
действуют только консервативные силы, остается постоянной, т.е. не изменяется с
течением времени.
Согласно этому закону в консервативных замкнутых системах кинетическая
энергия может превращаться в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах
так, что полная механическая энергия системы остается неизменной. В системах, в
которых действуют также и неконсервативные силы, например, силы трения, полная
механическая энергия системы не сохраняется. Однако, при « исчезновении» (утечке)
механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида
(например, тепловой).
Таким образом: энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь
превращается из одного вида в другой. В этом и заключается физическая сущность
всеобщего закона превращения и сохранения энергии в природе.
Раздел: Специальная теория относительности
6. Специальная теория относительности. Введение
6.1. Преобразования Лоренца
6.2. Одновременность событий в разных системах отсчета
6.3. Длина тел в разных системах
6.4. Длительность событий в разных системах отсчета
6.5. Релятивистский закон сложения скоростей
6.6. Релятивистский импульс
6. Специальная теория относительности. Введение
Уже в динамике Ньютона четко сформулировано выделение движения по инерции
среди всех остальных движений. Прямым логическим следствием из первого закона
Ньютона является утверждение, что все инерциальные наблюдатели равноправны - в той
степени, в какой справедлив первый закон Ньютона.
Согласно вполне правдоподобному умозаключению, равноправие наблюдателей
распространяется на все другие законы движения и, следовательно, на все другие
механические явления.
Эйнштейн же распространил это равноправие на все явления вообще,
сформулировав знаменитые постулаты:
1. Все физические законы инвариантны по отношению к переходу от одной
инерциальной системы отсчета к другой.
2. Скорость света в вакууме равна одной и той же величине во всех системах
отсчета и не зависит ни от скорости движения источника, ни от скорости движения
приемника.
6.1. Преобразования Лоренца
Исходя из сформулированных выше постулатов теории относительности
Эйнштейна, можно найти законы преобразований, связывающие межу собой
пространственные координаты и время в двух системах отсчета, движущихся
прямолинейно и равномерно относительно друг друга.
Пусть х, у, z, и х’, у’, z’ и t’,- координаты и время в инерциальных систем отсчета K
и K’, а v - скорость их относительного движения (рис. 6.1).При этом нет никаких
оснований полагать, что время в системе
совпадает со временем в системе K, как это
безоговорочно принималось в классической физике. Для простоты выкладок выберем
направление скорости за направление осей х и .
Предположим, что в некоторый момент времени t’ в точке с координатами
происходит некоторый физический процесс, который назовем событием. Нашей
задачей является нахождение «координат» события в системе отсчета K’, т.е. нахождение
величин х, y, z, t, характеризующих тот же физический процесс в системе K.
Выберем за начало отсчета времени t=0 тот момент, в который начало координат
системы K’ совпадало с началом координат системы K. Пусть в момент времени t=0 из
начала координат начала распространяться сферическая электромагнитная волна (рис.6.2).
В системе K уравнение волновой поверхности имеет вид.
или
(6.1)
Поскольку, согласно принципу относительности Эйнштейна, закон и величина
скорости распространения волны должны быть одинаковыми во всех инерциальных
системах отсчета, наряду с этим уравнением с равным правом можно написать уравнение
сферической волны в системе K’.
Так как в начальный момент времени начало координат систем совпадали, то
(6.2)
Формулы преобразования координат и времени должны, во-первых, не нарушать
соотношений (6.1) и (6.2), а, во-вторых, быть линейными. Требования линейности связано
с однородностью пространства. Т.к. движение системы K’ происходит только вдоль оси х
преобразование координат у и z должно иметь вид
Закон преобразования х’ через х можно написать, исходя из следующего
соображения: если в момент времени t=0 начала систем координат K и K’ совпадали, то
координата плоскости х’ в системе K запишется х=νt.
Следовательно, в самом общем случае можно написать
(6.3)
где коэффициент
может зависеть лишь от скорости относительного движения.
Не делая никаких произвольных допущений о совпадении времени в двух
системах отсчета, мы можем представить t’ в виде линейной однородной функции х и t
(6.4)
Коэффициенты
оказалось, что
и
могут, вообще говоря, зависеть от скорости v. Если бы
, а
, то мы вернулись бы к преобразованиям Галилея. Для
определения коэффициентов
,
и
, отвечающих требованиям
относительности Эйнштейна, мы должны подставить (6.3) и (6.5) в (6.2).
принципа
Это дает
Для выполнения тождества необходимо приравнять коэффициенты при х2,t2и хt.
Раскрыв скобки и проведя соответствующие преобразования получим:
Из этих трех уравнений находим неизвестные величины
,
и
,:
При этом всюду мы выбрали положительный знак корня.
Подставляя значения
,
и
в преобразования координат (6.3) и (6.4) находим:
(6.5)
Эти формулы носят название преобразований Лоренца.
Формулы обратного преобразования от штрихованных к не штрихованным
величинам:
(6.6)
Преобразования Лоренца приводят к выводам, коренным образом противоречащим
привычным представлениям о свойствах времени и пространства, сложившимся на основе
повседневного опыта.
Рассмотрим несколько примеров применения преобразований Лоренца.
6.2. Одновременность событий в разных системах отсчета
Пусть в системе K в точках с координатами
события в момент времени
и
происходят одновременно два
.
Согласно преобразованиям Лоренца в системе K’ этим событиям будут
соответствовать координаты
и моменты времени
где
Из написанных формул видно, что в случае, если события в системе K происходят
в одном и том же месте пространства
и во времени
также в системе K’.Если же события в системе K
пространственно разобщены
разобщенными
Знак разности
, то они будут совпадать в пространстве
, то системе
они также окажутся пространственно
, но будут одновременными.
определяется знаком выражения
.
Из этого следует, что в разных системах
, (при разных v) разность
различна по величине и может отличаться по знаку.
будет
Это означает, что в одних системах событие 1 будет предшествовать событию 2, в
других системах, наоборот, событие 2 будет предшествовать событию 1. Сказанное
относится только к событиям, между которыми отсутствует причинная связь. Причинно
связанные события (например, выстрел и попадание пули в мишень) ни в одной системе
отсчета не будут одновременными и во всех системах событие, являющееся причиной,
будет предшествовать следствию.
6.3. Длина тел в разных системах
Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси х и покоящийся относительно
системы K’ . Длина его в этой системе равна:
, где
и
- не изменяющиеся
со временем координаты концов стержня. Относительно системы K стержень движется
со скоростью v.
Для определения его длины в этой системе нужно отметить
координаты концов стержня
разность
в один и тот же момент времени
. Их
даст длину стержня, измеренную в системе K. Чтобы найти
соотношение между
содержит
и
и , следует взять ту из формул преобразования Лоренца, которая
, т.е.
Откуда
или, окончательно
Таким образом, длина стержня , измеренная в системе относительно которой он
движется, оказывается меньше длины
покоится.
, измеренной в системе, относительно которой он
Это явление называется лоренцевым сокращением.
Скорости, при которых сокращение размеров движущихся материальных тел
становится заметным, носят название релятивистских скоростей, и в настоящее время
они достигнуты в крупных масштабах в лабораторной практике и в новых промышленных
аппаратах.
В ядерных реакторах атомных электростанций быстрые нейтроны движутся со
скоростями, для которых
Релятивистские частицы,
приходящих
, т.е. сокращение длины порядка 0,3%.
на Землю космических лучей имеют
и продольные размеры сокращаются в 10 миллионов раз. Для быстро
летящих заряженных частиц подобной продольной деформации подвергается
сопровождающее их электромагнитное поле.
На
рис.6.За
изображены
линии
поля
и
постоянного
потенциала
электрического поля точечного заряда, когда он неподвижен.
На рис. 6.36 тот же заряд, движущийся с не слишком большой скоростью, на
рис.6.3в - со скоростью, очень близкой скорости света.
Если в первом случае поле сферически симметрично, то в последнем оно
практически сжимается в «лепешку», перпендикулярную к направлению движения. Эту
деформацию электромагнитного поля можно обнаружить на опыте. Релятивистская
частица будет взаимодействовать с неподвижным пробным зарядом , помещенным на ее
пути, лишь в течении очень краткого времени, когда «лепешка» силовых линий проходит
через заряд . Любопытно, что визуально (или на фотографии) изменение формы тела
даже при сравнимых со скоростью света скоростях, не может быть обнаружено. Причина
этого весьма проста. Наблюдая визуально или фотографируя какое-либо тело, мы
регистрируем импульсы света от разных участков тела достигшие одновременно сетчатки
глаза или фотопластинки. Испускаются же эти импульсы не одновременно. Импульсы от
более удаленных участков тела были испущены раньше, чем от более близких участков.
Таким образом, если тело движется, на сетчатке глаза получается искаженное
изображение тела.
Соответствующий расчет показывает, что следствием искажения будет
уничтожение лоренцевого сокращения, так что тела кажутся не искаженными, а лишь
повернутыми. Если бы лоренцевого сокращения не было, тела казались бы вытянутыми в
направлении движения.
6.4. Длительность событий в разных системах отсчета
Пусть в точке х’, неподвижной относительно системы K’, происходит событие
длящееся время
. Началу события соответствует в этой системе координата
и момент времени , концу события - координата
и момент времени
.
Относительно системы K точка, в которой происходит событие, перемещается. Согласно
преобразованиям Лоренца началу и концу события соответствуют в системе K’.
Откуда
или
Время
, отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом, называют
собственным временем этого тела.
Kак видно из уравнения, собственное время всегда меньше, чем время, отсчитанное
по часам, движущимся относительно тела. Релятивистский эффект замедления хода
времени позволяет в принципе осуществить «путешествие в будущее» (но не в прошлое).
В самом деле, пусть космический корабль, движущийся со скоростью
(где
)
относительно Земли, совершает перелет от Земли до некоторой звезды и обратно. Если
свет проходит путь
от звезды до Земли за время
наблюдателя продолжительность перелета равна:
, то
и для земного
Именно настолько постареют люди на Земле к моменту возвращения космонавтов.
С другой стороны, по часам, установленным на космическом корабле, полет займет
меньшее время
, которое:
В соответствии с принципом относительности все процессы на космическом
корабле (в том числе и процесс старения космонавтов) идут так же, как и на Земле, но не
по земным часам, а по часам, установленным на корабле.
Пусть, например,
= 500 лет и
= 0,9999.
Тогда
лет, а
лет.
Пусть в системе отсчета K’ материальная точка движется вдоль оси х’ с
постоянной скоростью
Система K’ движется относительно системы K в том же
направлении со скоростью v ,
Определим, чему равна скорость материальной точки vo, относительно системы K,
т.е. чему равно
.
.
Пусть при
м.т. находится в начале координат, причем
Для системы K:
Подставляя
и t в формулу для vo
Делим числитель и знаменатель на t
Это равенство выражает собой релятивистский закон сложения скоростей. При
малых значениях скоростей
и
имеем
т.е. релятивистский закон сложения скоростей переходит в классический
6.5. Релятивистский закон сложения скоростей
Пусть в системе отсчета K’ материальная точка движется вдоль оси х’ с
постоянной скоростью
Система K’ движется относительно системы K в том же
направлении со скоростью v . Определим, чему равна скорость материальной точки vo,
относительно системы K, т.е. чему равно
Пусть при
.
м.т. находится в начале координат, причем
.
Для системы K:
Подставляя
и t в формулу для vo
Делим числитель и знаменатель на t
Это равенство выражает собой релятивистский закон сложения скоростей.
При малых значениях скоростей
и
имеем
т.е. релятивистский закон сложения скоростей переходит в классический
6.6. Релятивистский импульс
Уравнения классической механики инвариантны по отношению к преобразованиям
Галилея, по отношению же к преобразованиям Лоренца они оказываются
неинвариантными. Из теории относительности следует, что уравнение динамики,
инвариантное по отношению к преобразованиям Лоренца, имеет вид:
где
- инвариантная, т.е. одинаковая во всех системах отсчета величина называемая
массой покоя частицы, v- скорость частицы,
Сопоставим с классическим уравнением
- сила действующая на частицу.
Мы приходим к выводу, что релятивистский импульс частицы равен
(6.7)
Релятивистская масса.
Определив массу частицы m как коэффициент пропорциональности между скоростью и
импульсом, получим, что масса частицы зависит от ее скорости.
(6.8)
Энергия в релятивистской динамике.
Для энергии частицы в теории относительности получается выражение:
(6.9)
Из (2.3) следует, что покоящаяся частица обладает энергией
(6.10)
Эта величина носит название энергии покоя частицы. Кинетическая энергия,
очевидно, равна
(6.11)
Приняв во внимание, что
можно написать в виде
, выражение для полной энергии частицы
(6.12)
Из последнего выражения вытекает, что энергия и масса тела всегда
пропорциональны друг другу.
Всякое изменение энергии тела
сопровождается
изменением массы тела
и, наоборот, всякое изменение массы
.Это утверждение носит
пропорциональности массы и энергии.
сопровождается изменением
название
закона
взаимосвязи
или
энергии
закона
Раздел: Механические колебания и волны
7. Механические колебания. Введение
7.1 Основные понятия и определения
7.2. Колебания под действием упругой силы (пружинный маятник)
7.3. Энергия колеблющегося тела
7.4. Основное уравнение гармонических свободных колебаний. (Дифференциальное
уравнение гармонических колебаний)
7.5. Математический и физический маятники
7.6. Сложение механических колебаний
7.7.Затухающие колебания
7.8. Вынужденные колебания
8. Механические волны
8.1. Распространение волн в упругой среде
8.2. Уравнение плоской одномерной волны
8.3. Фазовая скорость
8.4.Волновая поверхность, фронт волны
8.5. Уравнение плоской волны распространяющейся в произвольном направлении
8.6. Волновое уравнение
8.7. Энергия волны
8.8. Объемная плотность энергии волны
8.9. Плотность потока энергии. Вектор Умова
8.10. Стоячие волны
Раздел:
Механические колебания
7. Механические колебания. Введение
7.1 Основные понятия и определения
7.2. Колебания под действием упругой силы (пружинный маятник)
7.3. Энергия колеблющегося тела
7.4. Основное уравнение гармонических свободных колебаний. (Дифференциальное
уравнение гармонических колебаний)
7.5. Математический и физический маятники
7.6. Сложение механических колебаний
7.7.Затухающие колебания
7.8. Вынужденные колебания
7. Механические колебания. Введение
Акустика, радиотехника, оптика и другие разделы науки и техники базируются на учении о
колебаниях и волнах. Большую роль играет теория колебаний в механике, в особенности в
расчетах на прочность летательных аппаратов, мостов, отдельных видов машин и узлов.
7.1 Основные понятия и определения
Периодическим колебанием называется процесс, при котором система (например,
механическая) возвращается в одно и то же состояние через определенный промежуток
времени. Этот промежуток времени называется периодом колебаний.
Возвращающая сила - сила, под действием которой происходит колебательный процесс.
Эта сила стремится тело или материальную точку, отклоненную от положения покоя,
вернуть в исходное положение.
В зависимости от характера воздействия на колеблющееся тело различают свободные (или
собственные) колебания и вынужденные колебания.
Свободные колебания имеют место тогда, когда на колеблющееся тело действует только
возвращающая сила. В том случае, если не происходит рассеивания энергии, свободные
колебания являются незатухающими. Однако, реальные колебательные процессы
являются затухающими, т.к. на колеблющееся тело действуют силы сопротивления
движению (в основном силы трения).
Вынужденные колебания совершаются под действием
изменяющейся силы, которую называют вынуждающей.
внешней
периодически
Во многих случаях системы совершают колебания, которые можно считать
гармоническими.
Гармоническими колебаниями называют такие колебательные движения, при которых
смещение тела от положения равновесия совершается по закону синуса или косинуса:
(7.1)
Для иллюстрации физического смысла
рассмотрим окружность, и будем
вращать радиус ОК с угловой скоростью ω против часовой (7.1) стрелки. Если в
начальный момент времени ОК лежал в горизонтальной плоскости, то через время t он
сместится на угол
. Если начальный угол отличен от нуля и равен φ0, тогда угол
поворота будет равен
Проекция
на ось ХО1 равна
.
По мере вращения радиуса ОК изменяется величина проекции, и точка
будет
совершать колебания относительно точки
- вверх, вниз и т.д. При этом максимальное
значение х равно А и называется амплитудой колебаний; ω - круговая или циклическая
частота;
- фаза колебаний;
– начальная фаза. За один оборот точки К по
окружности ее проекция совершит одно полное колебание и вернется в исходную точку.
Периодом Т называется время одного полного колебания.
По истечению времени Т повторяются значения всех физических величин,
характеризующих колебания. За один период колеблющаяся точка проходит путь,
численно равный четырем амплитудам.
Угловая скорость определяется из условия, что за период Т радиус ОК сделает
один оборот, т.е. повернется на угол 2π радиан:
или
Частота колебаний - число колебаний точки в одну секунду, т.е. частота
колебаний определяется как величина, обратная периоду колебаний:
7.2. Колебания под действием упругой силы (пружинный маятник)
Пружинный маятник состоит из пружины и массивного шара, насаженного на
горизонтальный стержень, вдоль которого он может скользить. Пусть на пружине
укреплен шарик с отверстием, который скользит вдоль направляющей оси (стержня).
На рис. 7.2,а показано положение шара в состоянии покоя; на рис. 7.2,б максимальное сжатие и на рис. 7.2,в -произвольное положение шарика.
Под действием возвращающей силы, равной силе сжатия, шарик будет совершать
колебания.
Сила сжатия F = -kx ,
где k - коэффициент жесткости пружины.
Знак минус показывает, что направление силы F и смещение х противоположны.
Потенциальная энергия сжатой пружины
кинетическая
.
Для вывода уравнения движения шарика необходимо связать х и t. Вывод основывается на
законе сохранения энергии.
Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии
системы.
В данном случае :
.
В положении б)
:
.
Так как в рассматриваемом движении выполняется закон сохранения механической
энергии, можно записать:
.
Определим отсюда скорость:
Но в свою очередь
и, следовательно,
.
Разделим переменные
.
Интегрируя это выражение, получим:
,
где
- постоянная интегрирования.
Из последнего следует, что
(7.2)
Сравнивая (7.1) с (7.2), получаем
(7.3)
Таким образом, под действием упругой силы тело совершает гармонические
колебания.
Силы иной природы, чем упругие, но в которых выполняется условие F = -kx,
называются квазиупругими.
Под действием этих сил тела тоже совершают гармонические колебания.
При этом:
смещение:
скорость:
ускорение:
7.3. Энергия колеблющегося тела
Кинетическая энергия
(7.4)
Потенциальная энергия учитывая то, что
т.е.
,
последнее выражение можно записать в виде:
(7.5)
Полная энергия колеблющегося тела равна сумме кинетической и потенциальной энергий
7.4. Основное уравнение гармонических свободных колебаний. (Дифференциальное уравнение
гармонических колебаний)
В случае упругих колебаний возвращающая сила F = -kx. Если нет других сил,
кроме упругой силы, то колебания называют свободными.
Согласно второму закону Ньютона
,
Или
.
Разделим оба слагаемых на m:
(7.7)
Последнее соотношение носит название основного уравнения гармонических
свободных колебаний.
Общее решение этого уравнения имеет вид
,
в чем легко убедиться подстановкой х в исходное дифференциальное уравнение.
7.5. Математический и физический маятники
Математический маятник.
Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на
нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение в одной
вертикальной плоскости под действием силы тяжести.
Таким маятником можно считать тяжелый шар массой m, подвешенный на тонкой
нити, длина l которой намного больше размеров шара. Если его отклонить на угол α
(рис.7.3.) от вертикальной линии, то под влиянием силы F – одной из составляющих веса
Р он будет совершать колебания. Другая составляющая
, направленная вдоль нити, не
учитывается, т.к. уравновешивается силой натяжения нити. При малых углах смещения
и, тогда координату х можно отсчитывать по горизонтальному направлению. Из
рис.7.3 видно, что составляющая веса, перпендикулярная нити, равна
Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону
уменьшения угла α.
С учетом малости угла α
Для вывода закона движения математического и физического маятников
используем основное уравнение динамики вращательного движения
Момент силы относительно точки О:
,
и момент инерции:
M = FL .
Момент инерции J в данном случае
Угловое ускорение:
С учетом этих величин имеем:
или
(7.8)
Его решение
,
где
(7.9)
и
Как видим, период колебаний математического маятника зависит от его длины и
ускорения силы тяжести и не зависит от амплитуды колебаний.
Физический маятник.
Физическим маятником называется твердое тело, закрепленное на неподвижной
горизонтальной ocи (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести, и совершающее
колебания относительно этой оси под действием силы тяжести.
В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать
точечной.
При небольших углах отклонения α (рис. 7.4) физический маятник так же
совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника
приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая возвращает маятник в
положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести – сила F.
Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону
уменьшения угла α.
С учетом малости угла α
Для вывода закона движения математического и физического маятников
используем основное уравнение динамики вращательного движения
.
Момент силы: определить в явном виде нельзя.
С учетом всех величин, входящих в исходное дифференциальное уравнение
колебаний физического маятника имеет вид:
(7.10)
(7.11)
Решение этого уравнения
Определим длину l математического маятника, при которой период его колебаний
равен периоду колебаний физического маятника, т.е.
или
.
Из этого соотношения определяем
Данная формула определяет приведенную длину физического маятника, т.е. длину
такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний
данного физического маятника.
7.6. Сложение механических колебаний
Сложение гармонических колебаний, направленных вдоль одной прямой.
Рассмотрим сложение одинаково направленных колебаний одного периода, но
отличающихся начальной фазой и амплитудой. Уравнения складываемых колебаний
заданы в следующем виде:
где
и
- смещения;
колебаний.
и
- амплитуды;
и
- начальные фазы складываемых
Амплитуду результирующего колебания удобно определить с помощью векторной
диаграммы (рис. 7.5), на которой отложены векторы амплитуд
колебаний под углами
и
и
складываемых
к оси х и по правилу параллелограмма получен вектор
амплитуды суммарного колебания
. Если равномерно вращать систему векторов
(параллелограмм) и проектировать векторы на ось OY, то их проекции будут совершать
гармонические колебания в соответствии с заданными уравнениями. Взаимное
расположение векторов
,и
при этом остается неизменным, поэтому колебательное
движение проекции результирующего вектора
тоже будет гармоническим.
Отсюда следует вывод, что суммарное движение - гармоническое колебание,
имеющее заданную циклическую частоту.
Определим модуль амплитуды А результирующего колебания В
угол
(из равенства противоположных углов параллелограмма).
Следовательно
отсюда
.
Согласно теореме косинусов
или
(7.12)
Начальная фаза
результирующего колебания определяется из
:
Соотношения для фазы и амплитуды позволяют найти амплитуду и начальную
фазу результирующего движения и составить его уравнение
Биения
Рассмотрим случай, когда частоты двух складываемых колебаний мало отличаются
друг от друга
, и пусть амплитуды одинаковы и начальные фазы
, т.е.
Сложим эти уравнения аналитически
Преобразуем
Тогда
Так как
все же медленно изменяется, величину
нельзя назвать
амплитудой в полном смысле этого слова (амплитуда величина постоянная). Условно эту
величину можно назвать переменной амплитудой.
График таких колебаний показан на рис. 1.6 Складываемые колебания имеют
одинаковые амплитуды, но различны периоды, при этом периоды
отличаются
незначительно друг от друга. При сложении таких колебаний наблюдаются биения. Число
n биений в секунду определяется разностью частот складываемых колебаний, т.е.
Биения можно наблюдать при звучании двух камертонов, если частоты и
колебаний близки друг к другу.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
Пусть материальная точка одновременно участвует в двух гармонических
колебаниях, совершающихся с одинаковыми периодами Т в двух взаимно
перпендикулярных направлениях. С этими направлениями можно связать прямоугольную
систему координат XOY, расположив начало координат в положении равновесия точки.
Обозначим смещение точки С вдоль осей ОХ и OY, соответственно, через х и у. (рис 7.7)
Рассмотрим несколько частных случаев.
A. Начальные фазы колебаний одинаковы. Выберем момент начала отсчета
времени таким образом, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю. Тогда
смещения вдоль осей ОХ и OY можно выразить уравнениями:
Поделив почленно эти равенства, получим уравнения траектории точки С:
или
Следовательно, в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний
точка С колеблется вдоль отрезка
7.7).
прямой, проходящей через начало координат (рис.
Б. Начальная разность фаз равна π
Уравнения колебания в этом случае имеют вид:
Уравнение траектории точки
(7.15)
Следовательно, точка С колеблется вдоль отрезка
прямой, проходящей через
начало координат, но лежащие в других квадрантах, чем в первом случае. Амплитуда А
результирующих колебаний в обоих рассмотренных случаях равна
В. Начальная разность фаз равна
.
Уравнения колебаний имеют вид:
Разделим первое уравнение на
, второе - на
:
Возведем оба равенства в квадрат и сложим. Получим следующее уравнение
траектории результирующего движения колеблющейся точки
(7.16)
Колеблющаяся точка С движется по эллипсу с полуосями
амплитудах
траекторией
суммарного
движения
и
будет
. При равных
окружность
В общем случае при
, но кратным, т.е.
, при сложении,
взаимно перпендикулярных колебаний колеблющаяся точка движется по кривым,
называемым фигурами Лиссажу. Конфигурация этих кривых зависит от соотношения
амплитуд, начальных фаз и периодов составляющих колебаний.
7.7.Затухающие колебания
Все реальные колебательные системы являются диссипативными. Энергия
механических колебаний такой системы постепенно расходуется на работу против сил
трения, поэтому свободные колебания всегда затухают - их амплитуда постепенно
уменьшается. Во многих случаях, когда отсутствует сухое трение, в первом приближении
можно считать, что при небольших скоростях движения силы, вызывающие затухание
механических колебаниях, пропорциональны скорости.
Эти силы, независимо от их происхождения, называют силами сопротивления.
(7.17)
где r - коэффициент сопротивления, v - скорость движения.
Запишем второй закон Ньютона для затухающих колебаний тела вдоль оси ОХ
или
(7.18)
Перепишем это уравнение в следующем виде:
и обозначим:
где
представляет ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы
при отсутствии сопротивления среды, т.е. при r = 0.
Эту частоту называют собственной частотой колебания системы; β - коэффициент
затухания.
Тогда
(7.19)
Будем искать решение уравнения (7.19) в виде
где U - некоторая функция от t.
Продифференцируем два раза это выражение по времени t и, подставив значения
первой и второй производных в уравнение (7.19), получим
Решение этого, уравнения существенным образом зависит от знака коэффициента,
стоящего при U.
Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положительный.
Введем обозначение
тогда С вещественным ω решением этого уравнения,
как мы знаем, является функция
Таким образом, в случае малого сопротивления среды
уравнения (7.19) будет функция
, решением
(7.20)
График этой функции показан на рис. 7.8.
Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение
колеблющейся точки.
Величину
диссипативной системы.
называют собственной циклической частотой колебаний
Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, т.к, в них
никогда не повторяются, например, максимальные значения смещения, скорости и
ускорения.
Величину
обычно называют периодом затухающих колебаний, правильнее условным периодом затухающих колебаний,
Натуральный логарифм отношения амплитуд смещений, следующих друг за
другом через промежуток времени, равный периоду Т, называют логарифмическим
декрементом затухания.
Обозначим через τ промежуток времени, за который амплитуда колебаний
уменьшается в е раз.
Тогда
Откуда
Следовательно, коэффициент затухания есть физическая величина, обратная
промежутку времени τ, в течение которого амплитуда убывает в е раз.
Величина τ называется временем релаксации.
Пусть N - число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в е раз,
Тогда
Следовательно, логарифмический декремент затухания δ есть физическая
величина, обратная числу колебаний N, по истечению которого амплитуда убывает в е раз
7.8. Вынужденные колебания
В случае вынужденных колебаний система колеблется под действием внешней
(вынуждающей) силы, и за счет работы этой силы периодически компенсируются потери
энергии системы. Частота вынужденных колебаний (вынуждающая частота) зависит от
частоты изменения внешней силы
Определим амплитуду вынужденных колебаний тела массой m, считая колебания
незатухающими вследствие постоянно действующей силы
.
Пусть эта сила изменяется со временем по закону
,
где
амплитуда вынуждающей силы
.
Возвращающая сила
и сила сопротивления
Тогда второй закон Ньютона можно записать в следующем виде:
или
(7.21)
Предположим, что возникающее под действием силы
вынужденные колебания системы также являются гармоническими:
установившиеся
(7.22)
причем их циклическая частота равна циклической частоте ω вынуждающей силы.
Дифференцируя два раза (7.22) и подставляя в (7.21), получим
Обозначим
:
Тогда последнее равенство можно записать в следующем виде:
Правую часть этого выражения можно рассматривать как уравнение некоторого
гармонического колебания, получившегося при сложении трех гармонических колебаний,
определяемых слагаемыми левой части этого равенства. Для сложения этих колебаний
воспользуемся методом векторных диаграмм. Проведем опорную линию ОХ (рис. 1.9) и
отложим под углами, соответствующими начальным фазам всех четырех колебаний
векторы
,
,
,
их амплитуды таким образом, чтобы
Из рис. 7.9 видно, что
Подставляя в последнее значения соответствующих амплитуд (1.22), получим:
отсюда
(7.23)
Амплитуда установившихся вынужденных колебаний прямо пропорциональна
амплитуде вынуждающей силы F0, обратно пропорциональна массе m системы и
уменьшается с увеличением коэффициента затухания β. При постоянных F 0, m и β
амплитуда зависит только от соотношения циклических частот вынуждающей силы β и
свободных незатухающих колебаний системы
.
При циклической частоте вынуждающей силы ω=0 амплитуда колебаний
.
В этом случае колебания не совершаются и смещение при вынужденных
колебаниях равно статической деформации под действием постоянной силы F0:
Поэтому отклонение A0 иногда называют статической амплитудой. Если
диссипации т. е β=0, то амплитуда колебаний
нет
растет с увеличением циклической частоты ω вынуждающей силы Fвн и при
становится бесконечно большой (рис. 7.10). При дальнейшем росте циклической
частоты ω амплитуда А вынужденных колебаний уменьшается, причем
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при
приближении вынуждающей частоты ω к частоте собственных колебаний системы
называется резонансом.
Если затухание существует
то амплитуда вынужденных колебаний
достигает максимального значения, когда знаменатель правой части для уравнения (7.23)
достигает минимума.
Приравнивая нулю первую производную по ω от подкоренного выражения,
получим условие его минимума, для которого
,
где
- называют резонансной частотой.
обозначает то значение циклической частоты ω вынуждающей силы, при котором
.
Из
последней
формулы
следует,
что
для
консервативной
системы
, а для диссипативной системы
несколько меньше собственной
циклический частоты. С увеличением коэффициента затухания ω явление резонанса
проявляется все слабее, и, наконец при
исчезает совсем.
Явление резонанса используется для усиления колебаний, например,
электромагнитных. Однако при конструировании различных машин и сооружений
необходимо учитывать даже самую небольшую периодическую силу с тем, чтобы
предотвратить нежелательные последствия резонанса.
Раздел: Механические волны
8. Механические волны
8.1. Распространение волн в упругой среде
8.2. Уравнение плоской одномерной волны
8.3. Фазовая скорость
8.4.Волновая поверхность, фронт волны
8.5. Уравнение плоской волны распространяющейся в произвольном направлении
8.6. Волновое уравнение
8.7. Энергия волны
8.8. Объемная плотность энергии волны
8.9. Плотность потока энергии. Вектор Умова
8.10. Стоячие волны
8. Механические волны
8.1. Распространение волн в упругой среде
Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды
возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это
колебание начнет распространяться в среде с некоторой скоростью v.
Процесс распространения колебаний называется волной.
Частицы среды, в которой распространяется волна, не переносятся волной, они
лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от
направления колебания частиц по отношению к направлению, в котором
распространяется волна, различают продольные и поперечные волны.
В продольной волне
распространения волны.
частицы
среды
колеблются
В поперечной волне частицы среды колеблются
перпендикулярных к направлению распространения волны.
вдоль
в
направления
направлениях,
Механические поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей
сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно
возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как
продольных, так и поперечных волн. В продольных волнах вследствие совпадения
направлений колебаний частиц и волны появляются сгущения и разрежения.
Распространение волн в упругой среде.
На рис.8.1 показано движение частиц при распространении в среде поперечной
волны. Номерами 1,2,3 и т.д. обозначены частицы, отстоящие друг от друга на
расстоянии, равном
, т.е. на расстоянии, проходимом волной за четверть периода
колебаний, совершаемых частицами.
В начальный момент времени (t = 0) все точки расположены на прямой и ни одна
из них не выходит из положения равновесия. Приведем точку 1 в гармоническое
колебание с периодом Т, направленное перпендикулярно линии 1-5. Гак как частицы
среды связаны между собой силами упругости, они тоже приходят в колебания, но с
некоторым запаздыванием.
Через четверть периода
точка 1 отклонится от линии равновесия на
максимальное смещение. Колебание начали все точки, лежащие слева от точки 2.
По истечении времени
начнет подниматься вверх и точка 2.
При
, первая точка вернется в положение равновесия, вторая точка
достигнет максимального отклонения, и колебания дойдут до точки 3.
При
точка 1 достигнет максимального отрицательного смещения, точка 2
вернется в положение равновесия и колебания достигнут точки 4.
Наконец, за время, равное периоду t = Т, точка 1 вернется в положение равновесия,
совершив полностью одно колебание. Колебания распространились до точки 5, все
колеблющиеся точки образуют волну. При дальнейших колебаниях точек волновой
процесс распространится вправо от точки 5.
В рассмотренном случае образования поперечной волны каждая частица движется
только вверх и вниз. У наблюдателя же создается впечатление, что «волна бежит», хотя в
действительности происходит только передача движения от одной точки среды к другой.
В момент времени равный периоду (t = Т), точки 1 и 5, находящиеся в положении
равновесия, имеют одинаковое смещение и одинаковое направление движения (вверх).
Поэтому говорят, что точки I и 5 имеют одинаковые фазы. В отличие от этого точки 1 и 3,
хотя смещения у них одинаковы, движутся в противоположные стороны, поэтому говорят,
что точки 1 и 3 находятся в противоположных фазах. Расстояния между точками 1 и 5
определяет длину волны λ т.е. длиной волны λ называется, расстояние между ближайшими
точками волны, колеблющимися в одинаковых фазах.
Периодом волны Т называют время одного полного колебания ее точек.
Величина, обратная периоду, называется частотой волны.
Скорость волны определяется скоростью распространения колебаний от одной
точки среды к другой:
Так как
то,
(8.1)
Скорость распространения волн тем меньше, чем инертнее среда, т.е. чем больше
ее плотность. С другой стороны, она имеет большее значение в более упругой среде, чем в
менее упругой.
Скорость продольных волн определяется по формуле:
,
а поперечной:
где ρ- плотность среды, E - модуль Юнга, G - модуль сдвига.
Так как для большинства твердых тел E>G то скорость продольных волн больше
скорости поперечных.
8.2. Уравнение плоской одномерной волны
Составим уравнение, которое позволит находить смещение всякой точки волны в
любой момент времени. Пусть в точке В рис.8.2 находится источник колебаний. Волны со
скоростью v распространяются от источника колебаний вдоль прямой.
Уравнение колебаний точки В задано в виде:
Все точки вправо от В, например точка С, повторяют колебания точки В с
некоторым запозданием. Напишем уравнение колебаний точки С. Если точка В
колеблется в течении времени t, то колебания дойдут до точки С по истечении времени
поэтому время колебаний точки С будет меньше t и составит
,
.
Тогда уравнение колебаний точки С запишется:
Расстояние от точки В до точки С, равное х, волна проходит со скоростью
,
откуда
.
С учетом
уравнение волны будет иметь вид:
(8.2)
где λ - длина волны
Обозначим
эта величина называется волновым числом.
Тогда получим следующее уравнение
(8.3)
которое называется уравнением плоской одномерной волны и определяет смещение любой
точки среды, находящейся на расстоянии х от излучателя в данный момент.
Величина
называется фазой волны.
8.3. Фазовая скорость
Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении (2.2), положив ее
постоянной для данной точки
Это выражение дает связь между временем t и координатой х, в которой
зафиксированное значение фазы осуществляется в данный момент. Определив
, мы
найдем скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Дифференцируя это
соотношение, получим
Откуда
Таким образом, скорость распространения волны V в уравнении (2.2) есть скорость
перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью.
8.4.Волновая поверхность, фронт волны
Геометрическое место точек, колеблющихся в одной фазе, называется волновой
поверхностью.
Волновая поверхность, отделяющая часть пространства, в которой колебания
происходят, от той части, где еще нет колебаний, называется фронтом волны.
Именно фронт волны перемещается со скоростью равной фазовой скорости волны.
В случае одномерной синусоидальной волны уравнение волновой поверхности имеет
следующий вид:
Этому условию в каждый момент времени удовлетворяет только одна точка оси
ОХ, координата х которой равна:
Различным значениям фазы волны φ соответствуют различные волновые
поверхности, каждая из которых в одномерных волнах вырождается в точку. Из
последней формулы видно, что волновые поверхности с течением времени перемещаются
в среде со скоростью, равной
,
т.е. фазовой скоростью, которая равна
Таким образом, для синусоидальной волны скорость распространения поверхности
постоянной фазы совпадает со скоростью распространения волны.
8.5. Уравнение плоской волны распространяющейся в произвольном направлении
Получим уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении,
образующем с осями координат х, у, z углы α,β, γ Пусть колебания в плоскости,
проходящей через начало координат, имеют вид
.
Возьмем волновую поверхность (плоскость), отстоящую от начала координат на
расстоянии l. Колебания в этой плоскости будут отставать от колебаний в точке О
(рис.8.3) на время
тогда уравнение волны
(8.4)
Выразим расстояние l через радиус-вектор точек рассматриваемой поверхности.
Для этого введем единичный вектор нормали к волновой поверхности.
Скалярное произведение
Подставим значение l в уравнение (8.4) и внесем в скобки
Отношение
равно волновому числу k.
Вектор
равный по модулю волновому числу
и имеющий направление
вдоль нормали к волновой поверхности называется волновым вектором.
Введя вектор
, получим
(8.5)
Чтобы перейти от радиуса - вектора точки к ее координатам х, у, z , выразим
скалярное произведение
через проекции векторов на координатные оси :
Тогда уравнение плоской волны принимает вид:
(8.6)
где
8.6. Волновое уравнение
Продифференцируем дважды по каждой переменной уравнение (8.6):
(8.7)
Сложим последние три уравнения и получим
Из (8.7) следует
тогда
(8.8)
Это уравнение носит название волнового уравнения.
удовлетворяющая этому уравнению описывает некоторую волну.
Всякая
функция,
8.7. Энергия волны
Найдем изменение энергии малого объема dV упругой среды, связанное с
распространением в среде плоской волны, которая задана уравнением
(8.9)
Ввиду малости объема dV можно считать, что все находящиеся в нем частицы
среда колеблются в одной фазе, так что их скорости одинаковы и равны
Поэтому кинетическая энергия объема среды dV, связанная с колебательным
движением, равна
где ρ - плотность среды.
Из (8.9) следует
Поэтому
(8.10)
Подсчитывая работу деформации объема dV среды при волновом движении
(деформация сдвига в случае поперечной волны и деформации объемного сжатия в случае
продольной волны), можно показать, что потенциальная энергия dWп объема dV среды
равна его кинетической энергии.
Полная механическая энергия dW колебательного движения элементарного
объема dV упругой среды равна сумме его кинетической и потенциальной энергии.
(8.11)