Задачи с параметрами

Методы решения задач с параметрами
при подготовке к итоговой аттестации
(из опыта работы)
На сегодняшний день задачи с параметрами – неотъемлемая часть ЕГЭ и
ОГЭ по математике. Поэтому учителю, прежде всего, необходимо
познакомить учеников с приемами решения этих задач, и делать это нужно
не от случая к случаю, а регулярно.
Задачи с параметрами представляют для школьников наибольшую сложность
как в логическом, так и в техническом плане и поэтому умение их решать во
многом предопределяет успешную сдачу экзамена.
Что же такое параметр и почему подобные задачи вызывают такие
трудности? Нужно ли научиться их решать?
Параметр – это переменная, значение которой считается фиксированным, и
каждое значение параметра определяет относительно заданного неизвестного
соответствующее уравнение (неравенство, систему). В основу решения задач
с параметрами
может быть положен следующий принцип: значение
параметра считается произвольно фиксированным и затем ищется решение
задачи так, как мы это делаем, решая уравнение или неравенство с одним
неизвестным. Ответом должно быть перечисление решений для каждого
допустимого значения параметра, что требует проведения исследования.
В процессе решения задач с параметрами необходимо отрабатывать у
учащихся умение четко представлять ситуацию, о которой идет речь,
анализировать, сопоставлять, устанавливать зависимость между величинами.
На ЕГЭ и ОГЭ по математике встречаются, в основном, два типа задач с
параметрами. Первый: «Для каждого значения параметра найти все решения
некоторого уравнения или неравенства». Второй: «Найти все значения
параметра, при каждом из которых для данного уравнения или неравенства
выполняются некоторые условия». Соответственно и ответы в задачах этих
двух типов различаются. В ответе к задаче первого типа перечисляются все
возможные значения параметра и для каждого из этих значений
записываются решения уравнения. В ответе к задаче второго типа
указываются все значения параметра, при которых выполняются условия,
указанные в задаче.
В ходе подготовки учащихся к экзаменам я разделила задачи с параметрами
на четыре группы: задачи, решаемые алгебраическим способом, графическим
способом, с помощью производной и с помощью свойств функции.
1. Рассмотрим пример, решаемый алгебраическим способом.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых множество
𝟓а+𝟏𝟓𝟎х−𝟏𝟎ах
значений функции у=
содержит отрезок [𝟎; 𝟏].
𝟐
𝟐
𝟏𝟎𝟎𝒙 +𝟐𝟎ах+а +𝟐𝟓
Решение. Решение данной задачи сводится к тому, что мы должны выяснить,
какие значения принимает переменная у.
Рассмотрим случай у=0.
а
Получаем х=
. Таким образом мы видим, что а≠15.
а−15
Рассмотрим случай у≠0.
После преобразований приходим к уравнению
100у𝑥 2 +(20ау+10а-150)х+а2 у+25у-5а=0.
Чтобы это уравнение имело корни необходимо условие:Д≥0.
Д= -100у2 +(4а2 -40а)у+а2 -30а+225.
-100у2 +(4а2 -40а)у+а2 -30а+225≥0,
100у2 -(4а2 -40а)у-а2 +30а-225≤0.
Решение уравнения должно лежать между корнями 0 и 1, это возможно
Д(0) ≤ 0
только в случае {
. Решением системы является объединение двух
Д(1) ≤ 0
промежутков (-∞; 7-2√6] и[7+2√6; +∞). В этот ответ входит исключенное
значение а=15. Таким образом, решением примера являются
(-∞; 7-2√6] и[7+2√6;15) и (15;+ ∞).
Ответ: (-∞; 7-2√6] и[7+2√6;15) и (15;+ ∞).
При решении задач этого типа необходимо повторить весь материал
«Квадратные уравнения», количество корней, знаки корней квадратного
уравнения.
2. Рассмотрим пример на графическое решение.
Найти сумму целых значений параметра а при которых уравнение
 a  2 x  x 2  19   a  3  x  4   0 имеет три корня.
 a  x 2  2 x  19
Решение. Запишем уравнение в виде совокупности 
. Построим
 a  x  4  3
в одной системе координат параболу a  x 2  2 x  19 (ветви вверх, вершина (1;-
20)), и «прямой угол» (ветви направлены вверх, вершина (4:3)). Будем
пересекать полученный образ прямыми параллельными оси абсцисс. Три
решения возможны в трех случаях. Рассмотрим их отдельно: а = 3, в
вершине прямого угла. Раскроем знак модуля.
1) При x  4 , имеем x2  2x  19    x  4  3 , или x 2  x  26  0 , решая это
уравнение находим, что корни не удовлетворяют условию задачи (  Z ).
2) При x  4 , имеем x2  2 x  19   x  4  3 , или x 2  3x  18  0 , решая это
уравнение находим, корни х = -3 (не удовлетворяет условию x  4 ) и х = 6.
Вычисляем a(6)  6  4  3  5 .
Искомые значения а = 3 и а = 5, их сумма равна 8.
Этот метод позволяет учащимся не только исследовать свойства функций,
входящих в уравнение, но и наглядно увидеть решение уравнения.
Для обучения решению сложных задач графическим образом желательно
провести хотя бы один урок на подготовку к выполнению необходимых
построений. Нужно разобрать темы «построение графика функции»,
«построение множества точек, заданных уравнением с двумя переменными».
3. Рассмотрим пример на применение свойств функции.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
𝒙𝟐 + (а + 𝟓)𝟐 = |х + а + 𝟓|+|х − а − 𝟓|
имеет ровно три корня.
Решение. Рассмотрим функцию f(х)= 𝑥 2 + (а + 5)2 −|х + а + 5| − |х − а − 5|
, она является четной, так как при замене х на –х функция не меняется.
Значит уравнение 𝑥 2 + (а + 5)2 −|х + а + 5| − |х − а − 5|=0 имеет четное
число ненулевых корней. Три корня имеет только тогда, когда один корень
равен 0.
При х=0 получим а=-5, а=-7, а=-3.
Далее проверяем количество корней уравнения при полученных значениях а.
Только при а=-5 уравнение имеет ровно три корня.
Ответ: а=-5.
Я показала лишь несколько примеров из базы заданий с параметрами. Чтобы
научиться их решать нужна большая подготовка.
Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало
внимания. Поэтому решение задач с параметрами всегда вызывает большие
трудности у учащихся.
Данные задачи играют большую роль в формировании логического
мышления и математической культуры у школьников. Поэтому учащиеся,
владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются
с другими задачами.
При решении задач с параметрами одновременно реализуются
основные методические принципы:
принцип параллельности – следует постоянно держать в поле зрения
несколько тем;
принцип вариативности – рассматриваются различные приемы и методы
решения с различных точек зрения;
принцип самоконтроля – невозможность подстроиться под ответ вынуждает
делать регулярный и систематический анализ своих ошибок;
принцип регулярности – увлеченные математикой дети с удовольствием
дома индивидуально исследуют задачи, т. е. занятия математикой становятся
регулярными, а не от случая к случаю на уроках.
Учитель математики высшей категории
МБОУ «Лицей №2 г. Мамадыш»
Валеева Миляуша Хузеевна