УДК 556.324.001.57(06) РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИ

УДК 556.324.001.57(06)
РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ В ОСУШАЕМОМ
МАССИВЕ ПОЛЬДЕРНЫХ СИСТЕМ
В.Ю. Ефремов
Разработана и реализована математическая модель температурного поля в осушаемом
массиве польдерных систем (ПС). Особое внимание уделяется постановке граничных условий и
вычислению коэффициента теплопроводности. В работе приведены результаты численных
расчетов и их интерпретация.
математическая модель температурного поля в осушаемом массиве польдерных систем,
коэффициент теплопроводности, граничные условия
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
В работах [1; 2] рассмотрена созданная инвариантная нестационарная
трехмерная математическая модель совершенных польдерных систем, в которой
каждый проводящий открытый канал с прилегающим к нему осушаемым
массивом описывается следующей системой дифференциальных нелинейных
уравнений в частных производных: уравнениями Сен-Венана, уравнением
Буссинеска, капиллярного переноса влаги, а также при наличии дренажных
систем – уравнениями напорного или безнапорного движения воды в дренажных
трубах. Однако следует отметить, что указанная математическая модель не
учитывает температурный режим почвы в осушаемом массиве, влияющий на
процессы переноса влаги в нём через коэффициент фильтрации,
влагопроводности и др.
Задача определения температурного поля в осушаемом массиве
польдерных систем сводится к нахождению температуры почвы T(z,t) с помощью
модели эффективной теплопроводности почвы. Модель позволяет рассматривать
почвенный массив как сплошную среду, тепловые свойства которой можно
учесть, используя некоторые эффективные коэффициенты теплопроводности  и
объемной теплоемкости с [3].
Зависимости  ( z , t ) и c(z,t) определяются пространственным и временным
ходом физических свойств почвы и, прежде всего, влажностью W и плотностью
 . В настоящее время для многих видов почв установлены эмпирические
зависимости  (W ,  ) и c(W ,  ) .
Температурный режим почвы описывается уравнением эффективной
теплопроводности в частных производных параболического типа:
T  
T 
c( z , t )
  ( z , t )   f ист , z  [0,H],
(1)
t z 
z 
где T – температура почвы в осушаемом массиве польдерных систем в
точке z в момент времени t; f ист - внутрипочвенный источник тепла. Нижняя
граница z=0 совпадает с уровнем грунтовых вод, а верхняя — с поверхностью
почвы z=H.
Коэффициент теплопроводности  торфяной почвы вычисляется
следующим образом:
  1.17(n0  n1 w  n11w 2  n12 w  n2   n2  2 ) ,
(2)
где
n0  4.37 10 4 ;
n1  0.263 ;
n11  0.192 ;
n12  2.276 10 3 ;
n2  0.336 10 3 ; n22  1.895 10 6 ; w – объемная влажность доли единицы
( 0  w  1);  - плотность почвы.
Поскольку теплопроводность почвы представляет собой эффективную
величину, промежуточную между теплопроводностью почвенных частиц и
теплопроводностью воды и воздуха, то с увеличением пористости она должна
убывать, так как теплопроводность твердых частиц почвы во много раз больше
таковой почвенного воздуха.
НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
Начальное условие задается следующим образом:
T ( z,0)   ( z ),
(3)
где  (z ) - распределение температуры в начальный момент времени по
профилю почвы.
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Верхнее граничное условие задается на поверхности почвы при z=Н и
вытекает из анализа метода теплового баланса. Уравнение баланса тепла имеет
вид:
R  Q  LE  P  0 ,
(4)
где R – радиационный баланс; Q – поток тепла в почву; L – скрытая
теплота испарения; E – испарение; P – турбулентный отток тепла в атмосферу.
При этом радиационный баланс поверхности почвы определяется
следующим соотношением:
R  Rc  Rот  eэф ,
(5)
где Rc - солнечная суммарная радиация; Rот - отраженная солнечная
радиация; e эф - эффективное длинноволновое излучение (разница между
длинноволновым излучением почвы вверх и длинноволновым излучением
атмосферы и облаков вниз у поверхности почвы).
Радиационный баланс считается известной величиной, так как его
составляющие можно измерить актинометрическими приборами.
Турбулентный отток тепла в атмосферу P может быть рассчитан
следующим образом:
u  u1 T3  T4
P   в  2С p 2
,
(6)
z2
z4
ln
ln
z1
z3
где  в - плотность воздуха;  - постоянная Кармана; C p - удельная
теплоемкость воздуха; u2 , u1 - скорость ветра на высоте z 2 , z1 соответственно;
T3 , T4 - температура воздуха на высоте z3 , z 4 соответственно.
Затраты тепла на испарение LE могут быть определены соотношением [4]:
u u e e
(7)
LE  L в  2 2 1 3 4 ,
z2
z4
ln
ln
z1
z3
где L – удельная теплота парообразования;  в - плотность воздуха;
 - постоянная Кармана;  - вспомогательный коэффициент; u2 , u1 - скорость
ветра на высоте z 2 , z1 соответственно; e3 , e4 - влажность воздуха на высоте z3 , z 4
соответственно.
Для расчета турбулентного оттока тепла в атмосферу и затраты тепла на
испарение необходимо знать скорость ветра, температуру и влажность воздуха на
двух высотах. Для повышения точности метода расчета величин за нижнюю
высоту измерений принимают уровень, наиболее близко расположенный к
поверхности, с тем чтобы разность температур и влажности воздуха на нижнем
уровне и на верхнем была максимальной. На практике нижний уровень совпадает с
верхней границей слоя шероховатости, а верхний уровень принимается равным 2 м.
На верхнем слое шероховатости скорость ветра равна нулю, значит, для
расчета турбулентного оттока тепла в атмосферу и затраты тепла на испарение
необходимы данные на двух высотах только для температуры и влажности
воздуха.
В утренние и дневные часы суток обычно наблюдается сверхравновесная
стратификация атмосферы, при которой температура воздуха на нижнем уровне
превосходит температуру на высоте 2 м. В вечерние и ночные часы преобладают
инверсионные условия, при которых температура слоев воздуха, примыкающих к
поверхности, вследствие выхолаживания опускается ниже температуры воздуха
на высоте 2 м. Подобная ситуация наблюдается и с ходом влажности воздуха.
Вследствие подобия процессов тепло- и влагообмена в приземном слое
атмосферы предполагается, что механизм связи влажности воздуха у поверхности
земли с влажностью воздуха на высоте 2 м остается таким же, что и механизм
связи температуры подстилающей поверхности с температурой воздуха.
Поток тепла в почву определяется по формуле Фурье
T
Q  
,
(8)
z
T
где  - коэффициент теплопроводности почвы;
- градиент температуры
z
почвы по высоте.
Таким образом, верхнее граничное условие имеет вид:
T 1
 ( LE  P  R) при z=H,
(9)
z 
где LE, P и R вычисляются по формулам (5) – (7).
Нижнее граничное условие задается на уровне грунтовых вод при z=0 и
имеет вид:
(10)
T (0, t )  T0 .
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
Система дифференциальных уравнений (1) с начальными и граничными
условиями интегрировалась с шагом 1200 с в течение 24 ч. Глубина почвы,
температуру которой исследовали, составляла 50 см.
Начальное значение температуры почвы на нижней границе задавалось как
T0  70 C ,
(11)
начальное распределение температуры почвы ― следующей зависимостью:
0.3
Ti , 0 
 i  h  T0 .
(12)
H
На рис.1 показан ход радиационного баланса, испарения и оттока тепла в
атмосферу с почвы.
Рис. 1. Ход радиационного баланса, испарения и оттока тепла
в атмосферу с почвы
Fig. 1. Course of radiating balance, evaporation and heat outflow
in atmosphere from soil
Из рис. 2 видно, что температура почвы на поверхности значительно
зависит от граничных условий, в особенности от радиационного баланса почвы.
С увеличением глубины почвы внешние факторы практически не оказывают
влияния на состояние системы, а на нижней границе и вовсе температура остается
неизменной.
Рис. 2. Результаты численных расчетов температуры почвы
Fig. 2. Results of numerical calculations of temperature of soil
На рис. 3 показано изменение температуры на нескольких слоях почвы в
течение суток. На нём хорошо видна зависимость изменения температуры почвы
от влияния граничных условий. В утренние часы с ростом радиационного баланса
и уменьшением влияния испарения и оттока тепла в атмосферу с поверхности
температура почвы начинает возрастать. Она достигает своего максимума в
13,30, что соответствует максимуму радиационного баланса. После достижения
максимума с уменьшением радиационного баланса и увеличением влияния
испарения и оттока тепла в атмосферу почва начинает охлаждаться.
Рис. 3. Результаты численных расчетов изменения температуры на нескольких
слоях почвы в течение суток
Fig.3. Results of numerical calculations of change temperature
for several layers of soil in a current of days
Предложенный метод нахождения температурного поля в осушаемом
массиве польдерных систем является надежным и удобным, что дает возможность
использования полученных с его помощью результатов в математических
моделях польдерных систем.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Бобарыкин, Н.Д. Постановка задачи моделирования температурного
поля в осушаемом массиве польдерных систем / Н.Д. Бобарыкин, В.Ю. Ефремов
//Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике:
X Междунар. науч.-тех. конф: сб. статей. – Пенза: Приволжский Дом знаний,
2010. – 232 с.
2. Графова, Е.Н. Математическое моделирование совершенных
польдерных систем: монография /Е.Н. Графова, Н.Д. Бобарыкин. – Калининград:
Изд-во КГТУ, 2009. – 299 с.
3. Нерпин, С.В. Физика почв /С.В. Нерпин, А.Ф. Чудновский. – М.: Наука,
1976. - 650с.
4. Константинов, А.Р. Обоснование методики расчета испарения по
данным метеорологических станций /А.Р. Константинов //Исследование
испарения с почвы и просачивания воды в почвогрунты: труды /ГГИ.- 1956.Вып. 54 (108).- С. 35-42.
REALIZATION OF MODEL TEMPERATURE FIELD IN THE DRAINING ARRAY
OF POLDER SYSTEMS
V.J. Efremov
The mathematical model temperature field in the draining array of polder system (PS) is
developed and realised. The special attention is given to statement of boundary conditions and calculation
of factor of heat conductivity. In work results of numerical calculations and their interpretation are
resulted.
the mathematical model temperature field in the draining array of polder system, factor of heat
conductivity, boundary conditions