КУРС «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

КУРС «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
для потоков ЯПП,ГЗТС
Студенты заочного факультет для сдачи тестирования по курсу «Высшая математика»
должны знать и уметь:
Тема 1. Аналитическая геометрия на плоскости, векторы и матрицы
1. Определять местоположение точки в декартовой прямоугольной системе координат на
плоскости.
2. Определять координаты середины отрезка, если известны координаты его концов.
3. Для прямой, заданной уравнением: устанавливать, является ли данная точка точкой
прямой; находить точки пересечения прямой с координатными осями; определять нормальный
вектор прямой; определять угловой коэффициент прямой.
3. Находить угловой коэффициент прямой параллельной (перпендикулярной) данной
прямой.
4. Находить точки пересечения двух прямых, заданных уравнениями.
5. Находить расстояние от данной точки до данной прямой, заданной уравнением.
6. Находить тангенс угла между двумя прямыми, заданными уравнениями.
7. Составлять уравнение прямой: по заданному угловому коэффициенту и проходящей через
данную точку; проходящей через две заданные точки; в отрезках по осям Ox и Oy.
8. Приводить уравнение прямой: к общему виду, к уравнению с угловым коэффициентом.
9. По каноническому уравнению окружности находить ее центр и радиус.
10. По каноническому уравнению эллипса находить его большую и малую полуоси.
11. По каноническому уравнению параболы находить значение параметра p.
12. Для двух векторов одинаковой размерности, заданных координатами, находить: длины
каждого из них; координаты их суммы; координаты их разности; скалярное произведение.
13. Для вектора, заданного координатами, находить его произведение на данное число.
14. Находить координаты вектора, если известны координаты его начала и конца.
15. Определять значение элемента данной матрицы по известным индексам этого элемента
(номеру строки и номеру столбца).
16. Определять элементы главной диагонали, побочной диагонали данной квадратной
матрицы.
17. Для данных матриц находить: их сумму, если она существует; их разность, если она
существует; их произведение, если оно существует.
18. Для данной матрицы находить: произведение ее на данное число; транспонированную
матрицу.
19. Вычислять определители квадратных матриц первого, второго, третьего порядков.
20. Знать и использовать при вычислении определителей свойства определителей
квадратных матриц.
21. Находить минор заданного элемента определителя данной матрицы.
22. Находить алгебраическое дополнение заданного элемента определителя данной матрицы.
23. Находить матрицу обратную к данной матрице.
Тема 2. Линейные операторы и квадратичные формы, элементы аналитической
геометрии в пространстве, системы линейных уравнений и неравенств
1. Определять, какая из данных функций является квадратичной формой.
2. Применять необходимое и достаточное условие для проверки, что данная система nмерных векторов образует базис пространства Rn.
3. Находить разложение вектора по данной системе векторов.
4. Для данной плоскости, заданной уравнением, определять: проходит ли плоскость через
данную точку; нормальный вектор плоскости.
5. Составлять уравнение плоскости: проходящей через данную точку перпендикулярно
данному вектору; проходящей через три данные точки.
6. Находить косинус угла между двумя плоскостями, заданными уравнениями.
7. Находить направляющий вектор прямой, заданной каноническими уравнениями.
8. Находить косинус угла между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями.
9. Определять, какая из предложенных упорядоченных совокупностей действительных чисел
является решением данной системы линейных уравнений.
10. Составлять матрицу и расширенную матрицу системы линейных уравнений.
11. Решать систему линейных уравнений по правилу Крамера.
12. Находить решение ступенчатой системы линейных уравнений.
13. Находить область решения системы линейных неравенств с двумя переменными.
Тема 3. Числа и числовые последовательности, числовые ряды
1. Находить члены данной последовательности.
2. Определять формулу общего члена данной последовательности.
3. Определять, какая последовательность является монотонной, ограниченной,
неограниченной, сходящейся, убывающей, бесконечно большой.
4. Находить члены числовых рядов.
5. Определять, какой ряд является знакопеременным, знакочередующимся, гармоническим,
обобщенно гармоническим.
6. Знать простейшие свойства рядов.
7. Знать определение сходящегося ряда.
8. Знать и уметь применять достаточные признаки сходимости положительных рядов:
признак сравнения, признак Даламбера, признак Коши, интегральный признак сходимости.
9. Знать и уметь применять признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.
Тема 4. Функции одной переменной, непрерывные функции одной переменной
1. Определять, является ли функцией соответствие, заданное уравнением (или графиком).
2. Находить область определения функции, заданной уравнением.
3. Определять область значений функции, заданной уравнением.
4. Строить график функции y  f ( x  a)  b с помощью преобразования графика функции
y  f (x) .
5. Знать сложные функции, определение, примеры, элементарные функции. Различать
сложную функцию от элементарной.
6. Раскрывать неопределенность вида  00  . Знать основные теоремы о пределах функций.
Вычислять пределы с применением основных теорем о пределах функций.
7. Знать и применять формулы первого и второго замечательных пределов.
8. Знать теорему о связи существования предела функции и односторонних пределов.
9. Находить бесконечные пределы и пределы на бесконечности. Знать определения
бесконечно малой и бесконечно большой функции, связь между ними.
10. Знать определение функции непрерывной в точке.
11. Находить область непрерывности функции.
12. Определять точки разрыва функции. Примеры.
13. Знать теорему о непрерывности сложной функции.
Тема 5. Дифференцирование функции одной переменной
1. Знать определение производной функции в точке.
2. Знать и применять формулы для нахождения производной суммы, разности, произведения,
частного двух функций.
3. Находить угловой коэффициент касательной к графику функции y  f (x) в точке
x0 ; f ( x0 ) .
4. Находить производную сложной функции.
5. Находить дифференциал функции y  f (x) в точке x .
Тема 6. Основные теоремы о функции одной переменной, исследование функции с помощью
производной, экстремумы
1. Знать теорему о необходимом условии экстремума функции.
2. Знать правило Лопиталя нахождения пределов.
3. Знать теорему о необходимом и достаточном условии постоянства функции.
4. Уметь находить точки экстремума функции.
5. Знать необходимое и достаточное условия возрастания функции.
6. Знать необходимое и достаточное условия убывания функции.
7. Определять интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз графика функции.
8. Знать необходимое и достаточное условия выпуклости вверх (вниз) графика функции.
9. Определять точки перегиба графика функции.
10. Знать необходимое и достаточное условия перегиба графика функции в точке.
11. Находить вертикальные асимптоты графика.
Тема 7. Функциональные ряды
1. Определять коэффициенты степенного ряда.
2. Находить область сходимости степенного ряда.
3. Находить интервал сходимости степенного ряда.
4. Находить радиус сходимости степенного ряда.
5. Знать определение ряда Тейлора, ряда Маклорена.
Тема 8. Первообразная и неопределенный интеграл, определенный интеграл
1. Знать и применять основные свойства неопределенного интеграла.
2. Определять первообразную, проходящую через заданную точку ( x0 , y0 ) .
3. Применять таблицу неопределенных интегралов.
4. Проверять результаты интегрирования дифференцированием.
5. Применять формулу замены переменной в неопределенном интеграле.
6. Подносить выражения под знак дифференциала.
7. Применять формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
8. Уметь интегрировать простейшие рациональные дроби.
9. Разлагать правильную рациональную дробь в сумму простейших.
10. Представлять неправильную рациональную дробь в виде суммы целой ее части и
правильной рациональной дроби.
11. Интегрировать простейшие иррациональные функции, содержащие корни различной
степени от независимой переменной.
12. Интегрировать иррациональные выражения, содержащие корень квадратный от
квадратного трехчлена.
13. Применять подстановки для интегрирования рациональных выражений, содержащих
тригонометрические функции, в том числе универсальную тригонометрическую подстановку.
14. Интегрировать произведение синусов и косинусов различных аргументов, произведение
степеней синуса и косинуса одного аргумента.
15. Применять формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенных интегралов.
16. Знать и применять основные свойства определенного интеграла.
17. Вычислять площадь простейших геометрических фигур с помощью определенного
интеграла.
18. Применять формулу замены переменной в определенном интеграле.
19. Применять формулу интегрирования по частям для определенного интеграла.
20. Применять понятие определенного интеграла для вычисления объема работы.
21. Применять понятие определенного интеграла для вычисления дуг плоских кривых,
заданных уравнением в явном виде в декартовой системе координат.
22. Применять формулы вычисления объемов тел вращения, фигур, ограниченных линиями с
уравнениями в явном виде в декартовой системе координат.
23. Применять методы прямоугольников, трапеций, Симпсона приближенного вычисления
определенных интегралов.
24. Вычислять и устанавливать расходимость несобственных интегралов первого и второго
рода.
Тема 9. Функции нескольких переменных, дифференцирование функции нескольких переменных
1. Находить значение функции двух переменных в точке.
2. Уметь определять функцию двух, трех и т.д. переменных.
3. Определять предел функции двух переменных в точке.
4. Определять непрерывность функции двух переменных в точке.
5. Находить частные производные функции двух переменных.
6. Знать формулу полного дифференциала функции двух переменных.
7. Определять локальные экстремумы функции двух переменных.
8. Находить область определения функции двух переменных.
9. Знать графики основных элементарных функций.
Тема 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1. Уметь определять порядок дифференциального уравнения.
2. Знать определение общего решения дифференциального уравнения.
3. Знать определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
4. Определять модуль комплексного числа.
5. Указывать комплексное число, сопряженное к данному.
6. Находить модуль комплексного числа.
7. Знать определение общего решения линейного однородного дифференциального
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
8. Определять вид решения линейного дифференциального уравнения первого порядка.
9. Знать формулу числа сочетаний Сmk .
Тема 11. Основные понятия теории вероятностей
Основные понятия по теме:
1. Испытание, элементарный исход, исход испытания, событие.
2. Достоверное событие, невозможное событие, случайное событие.
3. Совместные события, несовместные события, равносильные события, равновозможные
события, единственно возможные события.
4. Полная группа событий, противоположные события.
5. Элементарное событие, составное событие.
6. Сумма нескольких событий, произведение нескольких событий. Их геометрическая
интерпретация
Применение всех этих понятий на практических примерах.
Примерные тестовые задания, предлагаемые в этой теме:
1. В задаче: « Производится два выстрела по мишени. Найти вероятность того, что мишень
будет поражена один раз» cформулируйте испытание, событие, элементарные исходы, составной
исход.
2. Бросают монету. Событие: А – выпадет герб. Сформулировать событие, противоположное
данному.
3. Подбрасывается игральный кубик. Обозначим события: А — «выпадение 6 очков», В —
«выпадение 4 очков», D — «выпадение 2 очков», С — «выпадение четного числа очков». Тогда
событие С равно …
4. Студент должен сдать два экзамена. Событие А — « студент сдал первый экзамен»,
событие В — «студент сдал второй экзамен», событие С — «студент сдал оба экзамена». Тогда
событие С равно …
5. Из букв слова «ЗАДАЧА» наугад выбирается одна буква. Событие — «выбрана буква К»
является...
6. Из букв слова «МИР» наугад выбирается одна буква. Событие — «выбрана буква М»
является …
7. Событие — «из урны, содержащей только белые шары, извлекают белый шар» является …
8. Два студента сдают экзамен. События: А — «экзамен сдаст первый студент», В —
«экзамен сдаст второй студент» являются …
Тема12. Классическое определение вероятности
Основные понятия по теме:
1. Вероятность события, классическое определение вероятности случайного события.
2. Исход, благоприятствующий событию.
3. Геометрическое определение вероятности.
4. Относительная частота события.
5. Статистическое определение вероятности.
6. Свойства вероятности.
7. Способы подсчета числа элементарных исходов: перестановки, сочетания, размещения.
Применение всех этих понятий на практических примерах.
Примерные тестовые задания, предлагаемые в этой теме:
1. Равновозможные события — это события …
2. Испытание — бросают две монеты. Событие — «на одной из монет выпадет герб».
Сколько элементарных исходов благоприятствуют событию?
3. В урне 12 шаров, ничем, кроме цвета, не отличающихся. Среди этих шаров 5 черных и 7
белых. Событие — «случайным образом извлекают белый шар». Для этого события число
благоприятствующих исходов равно …, число всех исходов равно …
4. Вероятность события принимает любое значение из промежутка …
5. Вероятностью события A в данном испытании, называется …
6. Классическое определение вероятности применяется в случае, когда элементарные исходы
…
7. Абонент забыл две последних цифры телефонного номера и, зная, лишь, что они
различны, набрал их наудачу. Сколькими способами он это может сделать?
8. Сколькими способами можно пересадить 5 человек?
9. В студенческой группе, состоящей из 10 человек, нужно выбрать двух человек на
конференцию. Сколькими способами это можно сделать?
10. Дана задача: «В круг вписан треугольник. В круг наудачу брошена точка. Какова
вероятность того, что эта точка попадет в треугольник?» Для решения этой задачи необходимо
использовать …
Тема 13. Основные теоремы теории вероятностей
Основные понятия по теме:
1. Теоремы сложения вероятностей совместных и несовместных событий.
2. Теоремы умножения вероятностей зависимых и независимых событий.
3. Формула полной вероятности.
4. Формула Бейеса.
Применение этих понятий на практических примерах.
Примерные тестовые задания, предлагаемые в этой теме:
1. Вероятность для студента сдать первый экзамен равна 0,6, второй — 0,4. Какова
вероятность сдать либо первый, либо второй экзамен?
2. Вероятность для студента сдать первый экзамен равна 0,6, второй — 0,4. Какова
вероятность сдать оба экзамена?
3. В урне 2 белых, 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Какова вероятность,
что оба шара белые?
4. Заготовка может поступить для обработки на один из двух станков с вероятностями 0,7 и
0,3 соответственно. Вероятность брака для первого станка равна 0,3, для второго равна 0,1. Найти
вероятность того, что наугад взятая деталь бракованная. Задача решается с использованием
теоремы …
5. Формула полной вероятности используется в том случае, если событие А может произойти
лишь при условии, что произойдет одно из …
6. Задача «Заготовка может поступить для обработки на один из двух станков с
вероятностями 0,7 и 0,3 соответственно. Вероятность брака для первого станка равна 0,3, для
второго равна 0,1. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь бракованная» решается с
использованием формулы полной вероятности. Сколько гипотез можно сформулировать в данной
задаче?
7. Задача «Заготовка может поступить для обработки на один из двух станков с
вероятностями 0,7 и 0,3 соответственно. Вероятность брака для первого станка равна 0,3, для
второго равна 0,1. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь бракованная» решается с
использованием формулы полной вероятности. Гипотеза B1 — заготовка обработана на первом
станке. Чему равна вероятность P ( B1 ) ?
8. Задача «Заготовка может поступить для обработки на один из двух станков с
вероятностями 0,7 и 0,3 соответственно. Вероятность брака для первого станка равна 0,3, для
второго равна 0,1. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь бракованная» решается с
использованием формулы полной вероятности. Событие А — наугад взятая деталь бракованная.
Гипотеза B 1 — заготовка обработана на первом станке. Чему равна вероятность PA ( B1 ) ?
Тема 14. Повторные независимые испытания
Основные понятия по теме:
1. Формула Бернулли.
2. Теоремы Лапласа (локальная и интегральная).
3. Теорема Пуассона.
4. Наивероятнейшее число наступления события.
5. Свойства функции Лапласа, интегральной функции Лапласа.
Применение этих понятий на практических примерах.
Примерные тестовые задания, предлагаемые в этой теме:
1. Задача «В магазин вошло 5 покупателей. Найти вероятность того, что 4 из них совершат
покупки, если вероятность совершить покупку для каждого из них равна 0,7» решается с
использованием формулы…
2. Задача «В магазин вошло 5 покупателей. Найти вероятность того, что 4 из них совершат
покупки, если вероятность совершить покупку для каждого из них равна 0,7» решается с
использованием формулы Бернулли, где n  ... , k  ... , p  ... , q  ...
3. Задача «В магазин вошло 500 покупателей. Найти вероятность того, что 44 из них
совершат покупки, если вероятность совершить покупку для каждого из них равна 0,7» решается с
использованием …
4. Задача «В магазин вошло 500 покупателей. Найти вероятность того, что 44 из них
совершат покупки, если вероятность совершить покупку для каждого из них равна 0,7» решается с
использованием локальной теоремы Лапласа, где n  ... , k  ... , p  ... , q  ...
5. Задача «В магазин вошло 500 покупателей. Найти вероятность того, что 44 из них
совершат покупки, если вероятность совершить покупку для каждого из них равна 0,7» решается с
использованием локальной теоремы Лапласа, где x  ...
6. Для нахождения вероятности того, что при 200 бросаниях игральной кости три очка
появятся от 100 до 150 раз, используется …
7. Наивероятнейшее число m наступлений события в n повторных независимых испытаниях
удовлетворяет неравенствам: n  p  q  m  np  p , где p — вероятность появления события в
одном испытании. При n  8 , p  0,5 , q  0,5 число m равно …
x2
8. Значение функции  ( x) 

1
 e 2 при x  5 равно …
2
9. Значение функции Лапласа  ( x) 
1
2
x
e

z2
2 dz
при x  10 равно …
0
Тема 15. Случайные величины
Основные понятия по теме:
1. Случайная величина.
2. Дискретная и непрерывная случайная величина.
3. Закон распределения случайной величины.
4. Функция распределения случайной величины и ее свойства.
5. Плотность распределения вероятностей (дифференциальная функция распределения).
6. Числовые характеристики дискретной и непрерывной случайных величин.
7. Двумерные случайные величины.
8. Вероятность попадания в интервал.
Применение этих понятий на практических примерах.
Примерные тестовые задания, предлагаемые в этой теме:
1. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения:
0,2
0,4
0,6
0,8
X
p
0,1
0,2
0,5
p3
Чему равна вероятность p 3 ?
2. Закон распределения дискретной случайной величины задан следующей таблицей:
0
1
2
X
p
0,3
0,4
0,3
Определить значение функции распределения этой случайной величины на интервале 2  x.
3. Игральный кубик бросают 4 раза. Случайная величина X — число выпадений 5 очков.
Указать возможные значения данной случайной величины.
4. Закон распределения дискретной случайной величины задан следующей таблицей:
–1
0
2
X
p
0,1
0,6
0,3
Определить математическое ожидание.
5. Определить математическое ожидание случайной величины Y  5 X  3 , если известно, что
M (X )  2 .
6. Определить дисперсию случайной величины Z  X  Y , если известно, что D( X )  6 ,
D(Y )  5 .
7. Определить дисперсию случайной величины Z  3 X  2 , если известно, что D( X )  4 .
8. Двумерная дискретная величина  X , Y  задана законом распределения:
Y
1
2
0,1
0,4
0,3
X
0
1
p( x 2 , y 2 )
Чему равна вероятность p ( x 2 , y 2 ) ?
9. Двумерная дискретная величина  X , Y  задана законом распределения:
1
3
Y
X
2
0,2
0,15
3
0,35
0,3
Определить одномерный закон распределения компоненты X .
10. Функция распределения случайной величины X имеет вид:
0, при x  5;
x

F ( x)    1, при 5  x  10;
5
1, при x  10.
Определить плотность распределения f (x) случайной величины X .
0, при x  5;
x

11. Дана функция распределения случайной величины F ( x)    1, при 5  x  10;
5
1, при x  10.
Определить вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение из
интервала 6; 7  .
0, при x  5;
x

12. График функции распределения случайной величины F ( x)    1, при 5  x  10; имеет
5
1, при x  10.
вид …
13. Плотность распределения вероятностей случайной величины X имеет вид:
0, при x  5;
1

f ( x)   , при 5  x  10;
5
0, при x  10.
Математическое ожидание случайной величины X определяется по формуле …
14. Плотность распределения вероятностей случайной величины X имеет вид:
0, при x  5;
1

f ( x)   , при 5  x  10;
5
0, при x  10.
Дисперсия случайной величины X определяется по формуле …
15. Степень разброса значений случайной величины вокруг ее математического ожидания
определяет…
16. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал (a; b) через F (x)
вычисляется по формуле …
17. Характеристикой среднего значения случайной величины служит …
Тема 16. Некоторые законы распределения случайной величины
Основные понятия по теме:
1. Биномиальное распределение.
2. Распределение Пуассона.
3. Равномерное распределение.
4. Показательное распределение.
5. Параметры распределений (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое
отклонение).
6. Функция и плотность распределения вероятностей.
Применение этих понятий на практических примерах.
Примерные тестовые задания, предлагаемые в этой теме:
1. Случайная величина
2. Случайная величина
3. Случайная величина
4. Математическое
X называется распределенной по биномиальному закону, если …
X называется распределенной по закону Пуассона, если …
X называется равномерно распределенной на интервале (a; b) , если …
ожидание, дисперсия непрерывной случайной величины X ,
10e 10 x , при x  0;
распределенной по показательному закону f ( x)  
равны …
при x  0
0,
5. Случайная величина X имеет показательное распределение, если …
6. Случайная величина X имеет нормальное распределение, если …
7. Случайная величина подчинена закону равномерного распределения на интервале 0;4  .
Тогда ее математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение равны …
8. Случайная величина подчинена закону равномерного распределения на интервале 0;4  .
Тогда ее плотность распределения равна …
9. Случайная величина X распределена равномерно на интервале 0;4  . Дифференциальной
функции f (x) распределения случайной величины X соответствует график …
10. Математическое ожидание, дисперсия непрерывной случайной величины X , биномиально
распределенной случайной величины равны …
Тема 17. Нормальное распределение
Основные понятия по теме:
1. Нормальный закон. Его параметры.
2. Функция распределения вероятностей.
3. Плотность распределения вероятностей.
4. Кривая Гаусса (нормальная кривая).
5. Правило трех сигм.
6. Вероятность попадания в интервал.
Применение этих понятий на практических примерах.
Примерные тестовые задания, предлагаемые в этой теме:
1. Случайная величина X распределена по нормальному закону с a  20 ,   5 . Тогда
P(16  X  25) равна ...
2. Случайная величина X распределена по нормальному закону с a  2 ,   1 . Тогда
P X  10  3 равна …
3. Дифференциальная функция нормально распределенной случайной величины X равна

1
f ( x) 
e
2 2
( x 1) 2
8
, тогда математическое ожидание и дисперсия случайной величины X равны …
4. На графике изображена кривая нормального распределения вероятностей:
f (x)
0
1
2
3 4 x
Математическое ожидание равно …
5. На рисунке изображены три нормальные кривые. Какой из нормальных кривых
соответствует большее значение  ?
f (x)
1
2
3
x
6. На рисунке изображены три нормальные кривые. Большему значению a соответствует
нормальная кривая …
f (x)
1
2
3
x
Тема 18. Непараметрические методы математической статистики
Основные понятия по теме:
1. Неравенство Чебышева, теорема Чебышева.
2. Объединение, пересечение нечетких множеств, дополнение нечетких множеств.
3. Статистическая, нулевая, простая, сложная гипотезы.
4. Ошибки первого и второго рода.
5. Статистический критерий.
6. Уровень значимости.
7. Проверка гипотез.
8. Основные понятия дисперсионного анализа.
9. Общая, факторная, остаточная, исправленная факторная дисперсии.
Применение этих понятий на практических примерах.
Примерные тестовые задания, предлагаемые в этой теме:
1. Найти объединение нечетких множеств A  x1 0,7, x2 0,3, x3 0, x4 0,4 и
B  x1 0,4, x2 0,2, x3 0,6, x4 0,5.
2. Найти пересечение нечетких множеств A  x1 0,7, x2 0,3, x3 0, x4 0,4 и
B  x1 0,4, x2 0,2, x3 0,6, x4 0,5.
3. Найти дополнение нечеткого множества A  x1 0,2, x2 0,3, x3 0, x4 0,4.
4. Согласно неравенству Чебышева, вероятность того, что отклонение случайной величины
X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа  , не
меньше, чем …
5. Критическая область для проверки гипотезы H 0 имеет вид: K кр ;  . Гипотеза будет
отвергнута, если …
6. Критическая область для проверки гипотезы H 0 имеет вид:  ; K кр . Гипотеза будет
отвергнута, если …
7. Критическая область для проверки гипотезы H 0 имеет вид:  K кр ; K кр  . Гипотеза H 0
будет отвергнута, если …
8. Для того, чтобы к последовательности случайных величин была применима теорема
Чебышева, достаточно чтобы они …
9. Даны значения признака X : 10, 5, 7, 4, 15. Чему равен ранг «10»?
10. Даны значения признака X : 13, 20, 15, 14, 21. Чему равна разность рангов «20» и «21»?
11. Даны значения признаков:
2
13
20
X
7
9
8
Y
Чему равно произведение рангов X  20 и Y  8 ?
12. Если X и Y качественные признаки, то взаимосвязь между ними можно оценить с
помощью …
13. Найти внутригрупповую дисперсию по данным:
Первая группа
Вторая группа
xi
ni
2
1
4
7
5
2
n1  10 ; X 1  4 ; D1 гр  0,6
xi
ni
3
8
2
3
n 2  5 ; X 2  6 ; D2 гр  6
14. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми
дисперсиями. Проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних, если Fнабл.  5,1 ,
Fкр.  (0,05;3;12)  3,49 .
15. Результаты испытаний представлены в таблице:
номер
уровни факторов
испытания
F1
F2
F3
1
51
52
42
2
52
54
44
3
56
56
50
4
57
58
56
Общая дисперсия равна 266, факторная дисперсия 152. Найти остаточную, исправленную
факторную, остаточную исправленную дисперсии.
16. Дисперсия признака вычисляется по формуле …
Тема 19. Основы математической статистики
Основные понятия по теме:
1. Генеральная и выборочная совокупности.
2. Вариационный ряд и его характеристики.
3. Точечные оценки, их свойства. Интервальные оценки.
4. Метод произведений.
Применение этих понятий на практических примерах.
Примерные тестовые задания, предлагаемые в этой теме:
1. Вся совокупность объектов, характеризующая изучаемый признак, называется …
2. Часть генеральной совокупности называется …
3. Если элементы после выбора возвращаются обратно, то выборка …
4. Если выбранные элементы не возвращаются, то выборка …
5. Число n отобранных значений выборки называется …
6. Наибольшей вариантой, наибольшей частотой вариационного ряда являются …
0
1
6
1
X
15
22
13
27
ni
7. Статистическая оценка, которая определяется одним числом, называется …
8. Точечная оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру,
называется…
9. Объем выборки, представленной вариационным рядом равен …
0
2
1
X
10
20
15
ni
10. Вариационный ряд:
X
ni
10;15 
15;20 
20;25
10
20
30
Является вариационным рядом …
11. Ломаная, отрезки которой соединяют точки  x1 , n1  , x2 , n2  , …, xk , nk  , где x i —
варианты выборки, n i — соответствующие им частоты, называется …
12. Точечная оценка, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру,
называется …
13. Выборочная средняя X в является …
14. Выборочная дисперсия Dв является …
15. Выборочное среднее квадратическое отклонение является …
16. Для вариационного ряда выборочное среднее X в , выборочная дисперсия Dв равны …
0
1
1
X
5
2
3
ni
17. Доверительный интервал для оценки математического ожидания при выборочной
средней X в  14 и точности оценки   1,5 имеет вид …
18. Метод произведений для расчета числовых характеристик вариационного ряда
применяется, если варианты …
19. Точечной оценкой не является …
20. Интервальной оценкой математического ожидания является …
Тема 20. Корреляция
Основные понятия по теме теории корреляции
Применение этих понятий на практических примерах.
Примерные тестовые задания, предлагаемые в этой теме:
1. В формуле для вычисления коэффициента линейной корреляции r 
xy  ? y
? S y
вместо «?»
надо поставить …
2. Результаты измерений признаков X и Y изображены в виде точек xi , y j  на
корреляционном поле в виде рисунка.
y








 





x
Тогда связь между признаками является …, зависимость между признаками определяется
уравнением …
3. Если признаки X , Y независимы, то коэффициент корреляции rxy равен …
4. Коэффициент корреляции rxy  1 , тогда связь между признаками …
5. Если признаки X и Y линейно зависимы, причем наблюдается обратная зависимость, то …
6. Пусть в результате измерения величины M получено значение X , и пусть на процесс
измерения влияют случайные независимые факторы A и B . Тогда для оценки значимости
факторов A и B применяют …
7. Пусть в результате измерения величины M получено значение X , и пусть на процесс
измерения влияют случайные независимые факторы A и B . Пусть D(A) — дисперсия A , D(B) —
дисперсия B , D(C ) — остаточная дисперсия. Тогда для оценки значимости факторов A и B
сравнивают …
Тема 21. Ряды Фурье и преобразования Фурье
Основные понятия по теме:
1. Тригонометрический ряд Фурье.
2. Теорема Дирихле.
3. Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций. Разложение функций в ряд по
синусам и косинусам.
4. Ряды Фурье функций с произвольным периодом.
Тема 22. Метод Фурье для уравнений математической физики.
Основные понятия по теме:
1. Свободные колебания струны с закреплёнными концами. Метод Фурье.
2. Метод Фурье для уравнения теплопроводности.
3. Решение внутренней задачи Дирихле для круга методом Фурье.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ТЕСТИРОВАНИЮ И
ЭКЗАМЕНУ
Основная
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. В 2-х
томах - М.: Наука, 1985.
2. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1984.
3. Демидович
Б.П.
Сборник
задач
и
упражнений
по
математическому
анализу.
М..Наука.2003.
4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1985.
5. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для
вузов / В. Е. Гмурман. — М.: Высш. шк., 2003.
6. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике: учеб. пособие для вузов / В. Е. Гмурман. — М.: Высш. шк., 2003.
Дополнительная
1. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики. В 2-х томах.
- М.: Высш. шк., 1978.
7. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.
8. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1988.
9. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.:
Наука, 1988.
10.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды.
ФКП. - М.: Наука, 1985.
11.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.
В 2-х частях.: Учеб. пособие для втузов. - М.: Высш. шк., 1999.
12.Колемаев, В. А. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для
вузов / В. А. Колемаев, О. В. Староверов, В. Б. Турундаевский; под ред. В. А. Колемаева. — М.:
Высш. шк., 1991.
Методические издания кафедры