маятник Максвелла

Лабораторная работа
Изучение плоского движения твердого тела (маятник Максвелла)
Цэль работы. Экспериментальное изучение плоского движения твердого тела на
примере маятника Максвелла, определение момента инерции диска.
Приборы и принадлежности: установка, сменное кольцо, штангенциркуль, секундомер, весы.
1. Теоретическая часть
Механическое движение - это перемещение тела или его частей относительно других тел, принимаемых за неподвижные. Взаимодействие тел приводит к появлению
ускорений и деформаций, мера взаимодействия тел между собой (или с полем) называют силой. Поступательным называется движение тела, при котором прямая, проведенная в теле, остается параллельной самой себе. Вращательным называется движение тела, при котором одна прямая (ось вращения), связанная с телом остается неподвижной. Траектории всех остальных точек тела - концентрические окружности,
центры которых лежат на оси вращения. Движение тела по окружности описывают
угловыми кинематическими характеристиками: углом вращения φ (угол вращения угол, на который поворачивается радиус, проведенный от оси вращения к какой-либо
d
точке тела, за время t после начала движения), угловой скоростью  
, угловым
dt
ускорением
d d 2

 2 .
dt
dt
Маятник Максвелла состоит из тонкого металлического стержня с установленным
на нем диском. К концам стержня прикреплены две нити, верхний конец нижней закреплен на стойке. Движение диска происходит под действием силы тяжести
(P = mg ) и силы натяжения нитей (TH). Движение любой точки диска можно представить как поступательное движение со скоростью υ, равной скорости движения центра
масс, и, одновременно, вращение вокруг оси, проходящей через центр масс, с угловой
скоростью ω. Цикл движения маятника может быть разделен на три стадии: (спуск
(1),удар (2), поднятие вверх (3).Уравнения движения маятника можно записать в виде:
а) второго уравнения Ньютона для поступательного движения
ma = mg – 2TH
(1)
б) уравнения моментов
M  J   2rTH .
(2)
Между линейным (a) и угловым (β) ускорением существует связь.
a = rβ
(3)
В этих выражениях: m - масса маятника, J - его момент инерции относительно оси
вращения, r - радиус стержня, ТH - сила натяжения нити, g - ускорение силы тяжести.
Из уравнений (1),(2),(3) для первой стадии движения, на которой начальная скорость равна нулю, получаем формулу для определения линейного ускорения:
g
a1 
.
(4)
J
1 2
mr
В то же время, из кинематических соотношений можно записать
2h
a1  21 ,
(5)
t1
где t1 - время движения маятника вниз, h1 - расстояние, которое он проходит за это
время.
Подставляя (5) в выражение (4), получаем формулу для определения момента
инерции маятника
 gt 2 
(6)
J  mr 2  1  1 .
 2h1 
Формула (б) может быть проверена экспериментально. С другой стороны, момент
инерции диска можно рассчитать по формуле
mR 2
(7)
J
,
2
где R - радиус диска.
В том случае, если на диск помещено дополнительно кольцо массы mk , момент
инерции
 m  mk  R02 ,
J
(8)
2
где R0 - внешний радиус кольца.
Более точные формулы для расчета момента инерции маятника можно получить,
выделив соответствующие элементы: стержень, диск, кольцо. Для кольца
mk  R02  R12 
Jk 
.
(9)
2
Для диска и стержня
r12  r 2 
r 2  R02 


J0 
m1 
m2 ,
(10)
2
2
где m1, m2, mk - соответственно, массы стержня, диска и кольца, r1 - внутренний радиус трубки стержня, r2 - внешний радиус трубки стержня, R0 - внешний радиус диска.
В том случае, если на диск помещают дополнительное кольцо массы mk, то в расчетной формуле (б) массу m необходимо заменить на (m + mk). Поступательную скорость движения центра масс маятника на 1-ой стадии движения рассчитывают по
формуле
2h
1  a1t1  1 .
(11)
t1
Если время подъема маятника до его остановки равно t2, то поступательную скорость движения на этой стадии рассчитывают по формуле
2h
2  2 .
(12)
t2
Соответственно, ускорение на этом отрезке пути (при подъеме)
2h
a2  2 2 .
(13)
t2
Величины ускорений при спуске и подъеме диска должны быть одинаковы. В работе это проверяется экспериментально.
Рассмотрим 2 стадию (удар). Удар начинается в тот момент, когда нити полностью
размотались и отверстия, в которых они закреплены, занимают горизонтальное положение. Удар заканчивается через пол оборота маятника (в момент начала наматывания нитей на стержень). Если предположить, что при ударе угловая скорость маятника
изменяется мало (так как потери анергии при добавочной деформации нитей малы), то
можно считать, что во время удара происходит вращение диска со средней скоростью
  2 1  2
c  1

,
(14)
2
2
где 1 и 2 , соответственно, угловые скорости вращения диска до и после удара.
Следовательно, из вышеприведенных качественных рассуждений следует, что во
время удара диск поворачивается на угол π, а длительность удара должна быть равной

2 r

.
(15)
с 1   2
Соотношение (15) можно проверить экспериментально, измерив величины
1 ,2 и r , рассчитать t и, сравнив полученное значение с величиной t , измеренной
секундомером (величина t  T  t1  t2 , где T - период колебаний маятника).
В теории удара используют выражение для суммарного импульса силы (5)
.
t 
t
S   F (t )dt  m2  m1 ,
(16)
0
где m - масса ударяющегося тела, 1 и 2 - его скорости до и после удара, F(t) - сила,
действующая на тело во время удара, Δt - длительность удара.
Так как скорость маятника после удара меняет свое направление, то изменение импульса S  m2  m1. Из выражений (15) и (16) можно записать среднее значение силы в момент удара
m(1  2 ) m(1  2 ) 2
(17)
Fc 

.
t
2 r
Согласно (17), во время удара должно происходить увеличение силы натяжения
нитей. Расчеты показывают (здесь не приводятся), что увеличение силы натяжения

нитей во время удара в
раз превышает значение средней силы Fc , действующей на
2
маятник в этот момент.
Потери на трение при движении маятника, а также неупругие процессы в нитях в
момент удара, приводят к уменьшению механической энергии ΔW в системе за цикл
колебания:
W  mg (h1  h2 ).
(18)
Как известно [2] , кинетическая анергия маятника Максвелла равна
m 2 J  2 m 2 J 2 m 2
J
Wk 


 2 
(1  2 ).
(19)
2
2
2
2r
2
mr
Если предположить, что, в основном, энергия в системе теряется в момент удара,
то уменьшение механической энергии за один цикл должно быть равно убыли кинетической анергии
W  Wk 1  Wk 2,
(20)
где Wk1 - кинетическая энергия диска при движении его вниз, Wk 2 - кинетическая
энергия диска при подъеме его вверх.
Соотношение (20) в работе проверяется экспериментально.
Если построить зависимость величины h от времени для достаточного количества
циклов, то можно экспериментально изучить закон по которому уменьшается запасенная анергия в системе.
2 Методика измерений
Для подготовки прибора к измерениям необходимо: нажать клавишу "сброс" и отжать клавишу "пуск", намотать равномерно нити на стержень и установить диск в
наивысшем положении (поддерживая рукой, так как диск изготовлен из немагнитного
материала), затем диск отпустить и одновременно нажать клавишу пуск. При этом
включается электронный секундомер установки, в момент удара секундомер останавливается. Для опытов по измерению времени удара и движения маятника вверх используют дополнительный секундомер, представленный преподавателем. В том случае, если на диск помешено сменное кольцо из магнитного материала, маятник фик-
сируется в верхнем положении при помощи электромагнита. Движение маятника запускают путем нажатия клавиши "пуск". Расстояние h, которое проходит маятник до
удара определяется как разность верхнего и нижнего отсчетов по шкале укрепленной
на штативе. Время удара измеряет внешним секундомером | как время, за которое при
вращении диск совершает половину оборота (для этого на диске нанесена метка).
3. Задание по работе
Внимание! Все измерения проводить не менее 5 раз.
1. При помощи штангенциркуля определяет: радиус r трубки (стержня) на который
наматываются нити, радиус диска R, внешний и внутренний (R0 и R) радиусы сменного кольца. Записывает в таблицу массы диска (m1) и кольца (mk), которые указаны на
установке. Отсчитывают по шкале расстояние h1, которое проходит диск при падении
вниз (как разность верхнего и нижнего положений центра стержня), и расстояние h2,
которое он проходит при подъеме вверх.
2. Измеряют время движения маятника вниз (t1) и вверх (t2), измеряют период колебаний T внешним секундомером. Измеряют время удара Δt, как время, за которое диск
совершает 0,5 оборота при размотанных нитях.
3. Одевают на диск сменное кольцо и повторяют измерения п.2.
 gt 2 
4. По формуле J1  mr 2  1  1 рассчитывают момент инерции диска (динамиче 2h

 gt 2 
ским методом) по формуле J 2   m1  mk  r02  1  1 рассчитывают момент инерции
 2h1 
диска с кольцам.
m R2
5. По формуле J1  1
рассчитывают момент инерции диска статическим мето2
m  mk 2
R0 рассчитывают момент инерции диска с кольцом.
дом. По формуле J 2  1
2
Сравнивают моменты инерции маятника, определенные статическим и динамическим
методом.
6. (Выполняется по указанию преподавателя).
Рассчитывают момент инерции маятника статическим методом по формулам, применимым к отдельным элементам. Уточняют величину r , входящую в соотношение
a = rβ, Нити, на которые подвешен маятник, достаточно толстые (≈ 0,5 мм), поэтому
при определении r надо ввести поправку на толщину нитей.
Величину r можно найти как отношение линейного и углового перемещений:
h
r
. Для этого определяем линейное перемещение стержня при сматывании цело
го числа витков нити ( n = 10 или 20). Угловое перемещение   2 n измеряют,
наблюдая за угловым перемещением метки, нанесенной на край диска. Уточненное
значение r подставляют в расчетные формулы.
2h
7. По формуле a  2 рассчитывают ускорение поступательного движения ценt
тра
масс
маятника
при
движении
вверх
и
вниз, по
формулам
2h
2h
1  at1  1 и 2  at2  2 находят величины скоростей маятника до и после удара,
t1
t2
2 r
по формуле t 
рассчитывают время удара, сравнивая это значение с време1  2
m(1  2 ) 2
рассчитывают
2 r
среднее значение силы Fc во время удара, сравнивают это значение с силой натяжения нити (Tн определяют из уравнения (1)).
8. Измеряют расстояния, которые проходит центр масс маятника при подъеме за
10 колебаний (h1 , h2 ,....., h10 ) . Строят график изменения энергии колебаний во времени,
откладывая по X период колебаний, а по оси У - величины h . Определяют по какому
закону зависит W(t) .Из графика определяют время релаксации энергии (т.е. время, за
которое амплитуда h уменьшается в 2,7 раза), определяют декремент затухания энер1 h
1   h 
гии как   ln 1 , логарифмический декремент затухания     ln  1   . Рассчи h
n   hn  
нем, измеренным экспериментально. По формуле FC 
тывают уменьшение энергии за один период колебаний
W  mg (h1  h2 ).
Используя экспериментальные данные, рассчитывают кинетическую энергию маятника для двух значений скоростей, разделенных по времени на период колебаний
m 2 
J 
Wk1  1 1  2 
2  mr 
Wk2  ...
Проверяют соотношение W  Wk1  Wk2 .
9. Рассчитывают ошибки прямых и косвенных измерений, момента инерции маятника Максвелла.
Контрольные вопросы
1. Запишите второй закон Ньютона для маятника Максвелла, выведите формулу
для экспериментального определения момента инерции диска маятника.
2. Дайте определение момента силы, момента инерции, линейного и углового ускорения, выведите связъ между линейным и угловым ускорением.
3. Укажите причины, по которым уменьшается полная энергия маятника за период
колебаний.
Литература
1. И.И.Петровский. Механика, Минск 1973 г.362 с.
2. С.Э.Хайкин. Физические основы механики. Наука. M. I97I, 752 с.