ТРЕНАЖЕР К УРОКУ по теме «Методы решения рациональных уравнений» Решить уравнения: 1 1 1 1 0. 1. x 8 x 6 x 6 x 8 Идея: метод группировки – сложим по отдельности первую с последней и вторую с третьей дроби, приведение всех дробей к общему знаменателю сопровождается довольно громоздкими вычислениями x3 x3 x6 x6 . x 1 x 1 x 2 x 2 Идея: выделение в дроби целой и рациональной частей, например, x 3 ( x 1) 2 2 1 . x 1 x 1 x 1 Так необходимо поступить с каждой дробью. 2. x 2 2 x 2 x 2 8 x 20 x 2 4 x 6 x 2 6 x 12 . x 1 x4 x2 x3 Идея: выделение в дроби целой и рациональной частей, в частности, для первой дроби имеем 2 x 2 2 x 2 x 1 1 1 x 1 , x 1 x 1 x 1 и так далее. 4 9 12 3. 4. x 4 x 9 x 12 Идея: Перепишем уравнение в виде 4 9 12 1 1 1 0 . x 4 x 9 x 12 В каждой скобке приведем к общему знаменателю. Дальнейшее очевидно. 3. 5. 3x 39 x 18 x 10 2 x 38 x2 4 x 16 40 x 163 2 2 2 2 2 2 0. x 4 x 21 x x 12 x 11x 28 x 2 x 24 x 6 x 8 x 4 x 12 x 5 x 14 Идея: в этом примере используется прием, суть которого в следующем. Пусть имеется рациональная дробь Ax B ,a b. x a x b Попробуем найти такие числа C и D , что выполняется тождество Ax B C D , x a x b x a x b т.е. осуществим операцию, в некотором смысле, обратную приведению к общему знаменателю (эта операции называется разложением рациональных дробей на простейшие дроби). Приведем правую часть в последнем равенстве к общему знаменателю и приравняем числители левой и правой частей, получим Ax B C x b D x a . 2 В полученное равенство подставим сначала x a , а затем x b , в результате получим Aa B Ab B C , D . ab ba Запоминать эти формулы нет никакой необходимости, так как они выводятся достаточно просто. Далее разложим в нашем уравнении на множители и воспользуемся приведенным выше методом. После приведения подобных уравнение значительно упрощается. Теорема 1 (о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами). Если все коэффициенты уравнения a0 x n a1 x n1 an1 x an 0, a0 0 , (1) p целые, и x0 (несократимая дробь, p Z , q N ) – корень уравнения, то a0 делится нацело на q , q a an делится на p . Следствие. Если a0 1 , то все рациональные корни уравнения (1) целые. Теорема 2 (Безу). Остаток от деления многочлена Pn x a0 xn a1xn1 an1x an на x равен R Pn , т.е. Pn x можно представить в виде Pn x x Qn1 x Pn x Qn1 x R , Qn1 x b0 xn1 b1xn2 bn2 x bn1 . Схема Горнера a0 a1 a2 ... an2 an1 an b1 ... a0 b0 a1 b0 a2 b1 ... bn 3 an2 bn3 bn 2 an1 bn2 bn 1 an bn1 b0 b1 b2 ... bn2 bn1 R b0 a0 , b1 a1 b0 , b2 a2 b1 , , bn2 an2 bn3 , bn1 an1 bn2 , R an bn1 Пример. Разделить многочлен P x 3x4 5x3 3x 2 на x 2 с остатком. Решение. По схеме Горнера 3 5 3 2 0 6 2 4 14 3 7 16 2 1 2 Тогда P x x 2 3x 3 x 2 2 x 7 16 . Следствие из теоремы Безу. Для того, чтобы многочлен Pn x делился на x без остатка необходимо и достаточно, чтобы Pn 0 . Pn x x Qn1 x Pn 0 . 6. x3 2 x 2 5 x 6 0 . Идея: подбор корней, в данном случае, так как коэффициент при старшем коэффициенте равен единице, поэтому согласно теореме 1 корни будем искать среди чисел, являющихся делителями числа 6 , т.е. 1, 2, 3, 6 (в принципе, в любом уравнении полезно проверять значения 0 и 1 ). Если нам повезет, и мы найдем корень, далее, используя следствие из теоремы Безу и схему Горнера, разложим многочлен третьей степени на множители. 7. 9 x3 13x 6 0 . Идея: подбор рациональных корней, здесь p может быть равным 1, 3, 9 , a q – 1, 2,3, 6 . Поэтому p в этом примере возможными кандидатами на решение являются числа вида : q 1 1 2 2 1, 2, 3, 6, , , , . 9 3 9 3 8. 25 x 4 10 x 2 25 x 6 0 . Идея: попытаемся разложить на множители методом неопределенных коэффициентов. Предположив, что многочлен в левой части раскладывается на произведение двух квадратных трехчленов с целыми коэффициентами, т.е. 25 x 4 10 x 2 25 x 6 ax 2 bx c px 2 qx r . Раскроем скобки, приведем подобные и приравняем коэффициенты в левой и правой частях при одинаковых степенях x . Получим систему, которую решаем перебором, поскольку в силу нашего предположения все коэффициенты в правой части целые. Замечание. Данный способ может оказаться довольно трудоемким или невозможным при реализации, поэтому он «работает» не всегда! Следующие примеры – яркая тому иллюстрация. 9. x 4 4 x 1 0 . Идея: разложение на множители с помощью представления в виде разности квадратов. x 4 2 x 2 1 2 x 2 2 x 1 0; x x 2 1 2 x 1 0; 2 1 2 2 2 2 x 1 2 0. .......................................... 10. 5 x3 6 x 2 6 x 2 0 . Идея: выделяем полный куб, представляем в виде разности кубов, затем разлагаем на множители. 11. x 6 6 x5 15 x 4 20 x 4 15 x 2 6 x 1 0 . Идея: попробуйте выделить шестую степень суммы, используя формулу 6 a b a 6 6a5b 15a 4b 2 20a 3b3 15a 2b 4 6ab5 b 6 . 12. x 1 x 7 x 4 x 2 40 . Идея: Перемножаем скобки так, чтобы сумма свободных членов была одинакова, в данном случае первую с третьей, вторую с четвертой. Далее – замена. 13. x 2 3x 1 x 2 3x 2 x 2 9 x 20 30 . Идея: разложим скобки на множители и перемножим полученные скобки так, чтобы можно было произвести замену. 14. 6 x 5 3x 2 x 1 28 . Идея: в качестве новой переменной возьмем одну из скобок, например, t 6 x 5 x t 5 . 6 15. x 3 x 4 x 6 x 2 10 x2 . Идея: сгруппировать скобки и перемножить их так, чтобы можно было сделать замену. Подумайте какую!!! Задания для самостоятельного решения 2 2 2 2 2 1 11 9 10 4. x 4 x 4 2 x 6 x x 1 2 x 9 7. x 6 x 2 x 3 81 1. x4 x2 x 1 x3 x 1 x 11 x 9 x 10 5 4 3 2 2 x 1 3x 1 x 7 5. x 5 x 6 x 44 x 8 x 96 0 8. 8 x3 36 x 27 0 4 2. x 1 x 2 x 1 4 3 2 30 30 8 8 9. x 4 2 x3 x 12 0 56 6. x 2 x 3x 2 x 1 0 3. x 1 x 1 x 4 x 4