Задачи олимпиады по математике Районный тур 2006-2007 уч. г.

Задачи олимпиады по математике
Районный тур 2006-2007 уч. г.
8 класс
Продолжительность олимпиады – 4 часа
Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов
8.1.
Пусть a – количество шестизначных натуральных чисел, делящихся на
13, но не делящихся на 17, и b –количество шестизначных натуральных чисел,
делящихся на 17, но не делящихся на 13. Найдите a – b.
8.2.
Имеется 11кг крупы. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных
весах отмерить 1 кг крупы, если есть одна трехкилограммовая гиря?
8.3.
a) Докажите, что в любом выпуклом четырехугольнике найдутся две
стороны, которые меньше по длине, чем наибольшая диагональ. б) Может ли
быть ровно две таких стороны?
8.4.
Существует ли шестизначное число, которое после умножения на 9 записывается теми же цифрами, что исходное число, но в обратном порядке?
8.5. ABC - прямоугольный, его гипотенуза AB и катет AC удовлетворяют неравенствам 100<AB<101 и 99<AC<100. Докажите, что ABC можно разбить
менее, чем на 22 треугольника, так, что в каждом из них есть сторона длины 1.
Задачи олимпиады по математике
Районный тур 2006-2007 уч. г.
9 класс
Продолжительность олимпиады – 4 часа
Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов
9.1. Пусть a – количество шестизначных натуральных чисел, делящихся на
13, но не делящихся на 17, и b –количество шестизначных натуральных чисел,
делящихся на 17, но не делящихся на 13. Найдите a – b.
9.2. Существуют ли такие целые числа x,y, что x2=y2+2006 ?
9.3. В выпуклом четырехугольнике ABCD точки M и N – середины сторон
AB и CD соответственно. Оказалось, что ANB  DMC  90 0. Докажите, что
AB=CD.
9.4. Найти все квадратные трехчлены P(x)=x2+bx+c такие, что P(x) имеет целые корни, а сумма его коэффициентов (т.е. 1+b+c) равна 10.
9.5. ABC - прямоугольный, его гипотенуза AB и катет AC удовлетворяют неравенствам 100<AB<101 и 99<AC<100. Докажите, что ABC можно разбить
менее, чем на 22 треугольника, так, что в каждом из них есть сторона длины 1.
Задачи олимпиады по математике
Районный тур 2006-2007 уч. г.
10 класс
Продолжительность олимпиады – 4 часа
Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов
10.1. Найти наименьший положительный корень уравнения
sin

2
(2 x 2  1)  cos  ( x 2  2 x)  0 .
10.2. Найти все квадратные трехчлены P(x)=x2+bx+c такие, что P(x) имеет
целые корни, а сумма его коэффициентов (т.е. 1+b+c) равна 10.
10.3. a)Докажите, что единичный квадрат можно разбить на 2006 квадратов
(укажите способ и размеры квадратов разбиения). б) Аналогичная задача для
единичного куба: докажите, что его можно разбить на 2006 кубов.
10.4. В трапеции ABCD точка N – середина боковой стороны CD. Оказалось,
что ANB  900. Докажите, что AN и BN – биссектрисы углов A, и B соответственно.
10.5. Решить уравнение в натуральных числах: 5 x  7 y  z 2
Задачи олимпиады по математике
Районный тур 2006-2007 уч. г.
11 класс
Продолжительность олимпиады – 4 часа
Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов
11.1. Найти множество значений функции y  2 sin x  3 cos x  4
11.2. Решить неравенство f ( f ( x))  ( f ( x)) 2 , где f ( x)  2 x 2  1 .
11.3. a)Докажите, что единичный квадрат можно разбить на 2006 квадратов
(укажите способ и размеры квадратов разбиения). б) Аналогичная задача для
единичного куба: докажите, что его можно разбить на 2006 кубов.
11.4. У многочлена Pn(x) степени n  1 все коэффициенты – неотрицательные
числа. Может ли Pn(x) делиться на многочлен, у которого старший коэффициент положительный, а свободный член отрицательный?
11.5. Решить уравнение в натуральных числах: 5 x  7 y  z 2