1

1
1. Предварительные замечания
Уравнением с одной переменной называется равенство, содержащее эту переменную, называемую
неизвестной.
Решение уравнения ( корень уравнения) — значение переменной, при подстановке которого в уравнение
получается верное равенство.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
При решении уравнений часто используется метод разложения на множители и метод замены переменной. В
соответствии с методом разложения на множители вместо исходного уравнения f (x )  0 рассматривается
совокупность уравнений f1 (x)  0, f 2 (x)  0,K , f r (x)  0 , где f (x)  f1 (x) f 2 (x)L f r (x).
1.1. Равносильные уравнения
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными.
В процессе решения заданное уравнение заменяется более простым, но сохраняющим все корни исходного
уравнения. Оно называется уравнением-следствием исходного уравнения. Если уравнение, полученное в
результате преобразований, имеет корни, не удовлетворяющие исходному уравнению, то они называются
посторонними для исходного .
Правила преобразования уравнения в равносильное:
1). Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком;
2). Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же не равное нулю число;
 f ( x )  0,
f (x )
 0 можно заменить равносильной системой 
3). Уравнение
или решить уравнение
g (x )
 g (x )  0
f (x)  0, а затем отбросить те из корней, которые обращают в нуль знаменатель g (x ).
Замечание. К появлению посторонних корней могут привести, например, возведение в четную степень обеих
частей уравнения или умножение обеих частей уравнения на алгебраическое выражение, содержащее
неизвестную.
Для выявления посторонних корней уравнения-следствия необходимо проверить каждый из найденных
корней подстановкой его в исходное уравнение.
1.2. Потеря корней
2
Если уравнение имеет вид f (x )h(x )  g (x )h(x ) , деление обеих частей его на h(x) , вообще говоря,
недопустимо, так как может привести к потере корней. В этом случае могут быть потеряны корни уравнения
h(x)  0 , если они есть.
Замечание. Уравнение не считается решенным как в случае , когда ответ содержит посторонние корни,
так и в случае, когда в процессе решения был потерян хотя бы один корень.
1.3. Уравнения , содержащие неизвестную под знаком модуля
Для того, чтобы решить уравнение, содержащее неизвестную под знаком модуля, можно поступить
следующим образом:
1). Числовая ось разбивается на интервалы нулями всех подмодульных выражений;
2). После этого уравнение в каждом из полученных интервалов записывается без знака модуля и
решается;
3). Из найденных решений выбираются лишь те, которые лежат в рассматриваемом интервале.
1.4. Иррациональные уравнения
Уравнения, в которых неизвестные входят в какие-нибудь рациональные функции (многочлен, отношение
многочленов), стоящие под знаком радикала, называются иррациональными. При этом радикалы четных
степеней предполагают арифметическими.
Уравнения вида
f (x)  g (x),
f (x)   (x)  g (x),
f (x)  3  (x)  g (x),
ax  b  cx  d  ex  f
обычно решают способом исключения радикалов. Для этого обе части уравнения возводят в некоторую степень с
таким расчетом, чтобы уравнение стало рациональным. В конце решения следует сделать проверку, так как при
таком способе решения возможно появление посторонних корней.
Другим способом решения иррациональных уравнений является введение вспомогательных неизвестных,
позволяющее рассматривать вместо исходного уравнения систему более простых уравнений.
3
1.5. Системы уравнений
Система равенств, содержащих неизвестные, называется системой уравнений.
3
Совокупность значений неизвестных, обращающих каждое уравнение в числовое тождество, называется
решением системы.
При решении систем применяются преобразования, заменяющие данную систему некоторой новой. Эта
новая система должна быть либо эквивалентной данной системе, либо представлять собой следствие ее. В
последнем случае множество решений новой системы содержит в себе все решения исходной. Поскольку
система-следствие может иметь посторонние решения, то необходима проверка.
Замечание. Если новая система не является следствием исходной, то возможна потеря решений. Такие
преобразования недопустимы.
2. Примеры решения уравнений и систем
1. Решить уравнение 2x 3  3x 2  3x  2  0.
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители. Группируя члены уравнения, а затем используя
формулу суммы кубов, можно получить
2(x3  1)  3x(x  1)  0;
2(x  1)(x2  x  1)  3x(x  1)  0,
(x  1)(2x2  x  2)  0.
Последнее равенство верно при условии, что, по крайней мере, один из сомножителей равен нулю: либо
x  1  0, откуда x  1 , либо 2x 2  x  2  0. Дискриминант последнего уравнения меньше нуля и,
следовательно, оно не имеет корней.
Ответ: x  1.
1
1


2. Решить уравнение 7  x    2  x 2  2   9.


x
x 
2
1
1

Решение. Введем переменную t , полагая x   t . Тогда  x    t 2 , откуда после возведения в

x
x
1
квадрат получим x 2  2  2  t 2 . Выполняя замену, можно перейти к уравнению 7t  2(t 2  2)  9 ; иначе
x
2
2t  7t  5  0; t1  5 / 2 ; t2  1 .
Для определения x следует решить два квадратных уравнения:
1 5
1
a). x   , 2x 2  5x  2  0 ; x1  2 ; x2  ;
x 2
2
4
b). x 
1
 1 , x 2  x  1  0 ; D  0 — корней нет.
x
x1  2 ; x2  1 2 .
2
1
6
 
.
3. Решить уравнение
3  x 2 x (3  x )
Ответ:
Решение. Перенесем все члены уравнения в левую часть и преобразуем полученное выражение к виду
x  7 x  12
 0 . Из уравнения x 2  7 x  12  0 следует
2 x (3  x )
x1  3, x2  4 . При x  3 знаменатель обращается в нуль — значит, 3 не является корнем.
2
Ответ:
x4.
3. Решить уравнение
x 1  x  2  2 .
Решение. Выражения
x  1 и x  2 “раскрываются” по-разному в зависимости от того, какой знак
имеют выражения, стоящие под знаком модуля. Поэтому можно разбить все множество значений x на три
интервала (границы интервалов представляют собой точки, в которых одно из “подмодульных” выражений
обращается в нуль и меняет знак): x  2 ;  2  x  1 ; x  1 , и рассмотреть каждый из интервалов отдельно.
1). Пусть x  2 . Тогда x  1  0 , x  2  0 ; следовательно, x  1   x  1 , x  2   x  2 и исходное
5
 2 есть решение.
2
2). Пусть 2  x  1. В этом случае x  1  0 , x  2  0 ; x  1  x  1 , x  2  x  2 и уравнение
приобретает вид 1=2, то есть превращается в неверное числовое равенство. Это означает, что никакое число,
заключенное между 2 и 1 , не удовлетворяет данному уравнению.
3). Пусть x  1. Для этих значений x имеем: x  1  0 ,
x  2  0 . Следовательно, x  1  x  1 , x  2  x  2 и уравнение принимает вид 2x  3  2 ; его корень
уравнение имеет вид 2x  3  2 , откуда x  
x
1
удовлетворяет условию x  1 и, значит, является корнем исходного уравнения.
2
5
Ответ:
x1  
5
1
; x2   .
2
2
4. Решить уравнение
Решение.
x  1  4x  13  3x  12 .
Возведя обе части уравнения в квадрат , получим x  1  4 x  13  2 ( x  1)( 4 x  13)  3x  12 ;
( x  1)( 4 x  13)   ( x  1)
Еще одно возведение в квадрат привело бы к уничтожению иррациональности, однако здесь в этом нет
необходимости, так как можно заметить, что полученное уравнение-следствие может иметь решение только
при x  1  0 . С другой стороны, одним из условий существования решения исходного уравнения является
требование x  1  0 . Оба условия совместны в единственном случае , когда x  1  0 , откуда следует
x  1 . Это значение x удовлетворяет исходному уравнению , которое других корней не имеет, так как их
не имеет уравнение-следствие.
Ответ: x  1 .
5. Решить уравнение
2 x 2  6  2 2 x 2  3x  2  3x  3.
Решение: Можно переписать уравнение в виде :
(2x2  3x  2)  2 2x 2  3x  2  1  0 .
Введем новую переменную t 
2 x 2  3x  2 . Очевидно, что t  0 . Проведя замену, получим уравнение
t 2  2t  1  0 , откуда t  1 . Корни исходного уравнения найдем из уравнения
которое дает x1  1 2 , x2  1 .
2x 2  3x  1  0 ,
Ответ: x1  1 2 , x2  1 .
6. Решить систему уравнений
x y  y x  6,
 2
2
 x y  y x  20.
2 x 2  3x  2  1 или
6
Решение: Возведем в квадрат обе части первого уравнения: x 2 y  y 2 x  2xy xy  36 . Вычитая из этого
уравнения второе уравнение системы, получим xy xy  8 , откуда  xy  64 , то есть xy  4. Это
уравнение и второе уравнение заданной системы образуют систему
 xy  4 ,
xy  4 ,
или


 xy ( x  y )  20;
 x  y  5.
Отсюда находим две пары решений: x1  4 , y1  1 и x2  1 , y2  4. Проверка показывает, что обе пары
удовлетворяют исходной системе уравнений.
3
Ответ: x1  4 , y1  1; x2  1 , y2  4.
3. Задачи для самостоятельного решения
Решить уравнения и системы уравнений:
1).
3x  1  x  1  2 .
1  x x 2  24  x  1 .
2).
3).
4).
5).
6).
3
x 1  3 7  x  2 .
3
x 1 1  x  x  8 .
x  2  x 1  3 .
4
77  x  4 20  x  5 .
x  4 x  12 .
x 1
x 1 3

 .
x 1
x 1 2
7).
8).
9).
10).
Ответ:
Ответ:
Ответ:
33  x  5 x  3.
Ответ:
 x  y  2x  y  0,
 2
2
2x  2 y  x  3y  5  0.
x1  1 , x2  7 .
Ответ: x  8.
Ответ:
x  3.
Ответ: x1  4 , x2  61 .
Ответ:
5
x1  1 , x2  5.
Ответ: x1  0 , x2  5 .
x 2  x 2  11  31.
2
11).
Ответ:
2
Ответ:
x  81.
5
x .
3
x   5.
0;  1
x1  1 , x2  32.
 3 1
;  ; .
 2 2
7
 20 y
 x  y  x  y,

 x

 16 x  x  y  x  y .
 5 y
x  xy  y  11,
Ответ:
 2
2
 x y  xy  30.
12).
13).


 x 2  y 2 xy  180,
 2
2
x  xy  y  11.
14).
5 ; 1 ; 1 ; 5 ; 2 ; 3 ; 3 ; 2.
x1,2   10  181 ;
Ответ:
y1,2  m


Ответ: x  5 ; y  4 .


2
2

 x  y x  y  5,
15). 
2
2

 x  y x  y  9.
9
10  181
Ответ:
x3,4  5 ; y3,4  4 .
;
2 ; 1 ; 1 ;  2.
4. Контрольная работа
Решить уравнения и системы уравнений:
1).
2x  1  x  3  2 x.
2).
3).
x  1  x2  1 
4).
x3 .
5).
3
24  x  12  x  6.
7).
3
9  x  1  3 7  x  1  4.
9).
18  7 x  x 2
8  6x  x 2
13


2
2
8  6x  x
18  7 x  x
6.
3
3
13  x  3 22  x  5.
x  1  3 x  2  3 2x  3 .
1
1
6).  x  1 2  6 x  1 4  16.
8).
3
3
x  x  1  9.
8
10).
11).
13).
15).
2 x  1  5 x  1 x  a   2 x  a   0.
2
x 2  y 4  20,
 4
2
 x  y  20.
 xa
y


 2,

y
xa

x  y  xy  a.

 x  y 2  3,

 

2
  x  y  1.
2
 x  y  0,5 xy ,
12). 
x  y  5.

4 u  4 v  1,
14). 
 u  v  5.