решение уравнений с одной переменной

Уравнения с одной переменной
Определение. Равенство вида f(x)=g(x), где f(x) и g(x)— некоторые
функции от х, называется уравнением с одной переменной х.
Решить уравнение— значит найти все его корни или доказать, что оно
не имеет корней. Если корнями уравнения являются числа а1,а2, …,аn, то
ответ записывают либо в виде множества {а1,а2, …,аn}, либо в виде
х1=а1,х2=а2, …, хn=аn. Множество всех корней данного уравнения
называют его решением. В случае отсутствия корней пишут «уравнение
корней не имеет» или «решение уравнения— пустое множество Ø».
Теорема Безу. Корни многочлена. Схема Горнера
Решение уравнений тесно связано с разложением многочленов на
множители. Именно разложение квадратного трежчлена на линейные
множители позволило нам найти формулы для корней квадратного
уравнения. Поэтому при решенииуравнений важно все, что связано с
выделением в многочлене линейных множителей,т.е. с делением
многочленаА(х) на двучлен х-а. Основой многих знаний о делении
многочлена А(х) на двучлен х-а является теорема, принадлежащая
французкому математику Этьену Безу (1730-1783) и носящая его имя.
Теорема 1. Остаток от деления многочлена А(х) на двучлен х-а равен
А(а) (т.е. значению многочлена А(х) при х=а).
Доказательство.
Так как степень двучлена равна 1, а степень остатка меньше степени
делителя, то степень остатка при делении на х-а должна равняться нулю,
т.е. остаток должен быть числом r (если r=0?, то деление выполняется
без остатка). Поэтому имеет место тождество
А(х)=(х-а)Q(х)+r
(1)
Полагая в тождестве (1) х=а, получаем
А(а)=(а-а)Q(а)+r=r,
что и доказывает теорему.
Пример 1.
Найдем остаток от деления многочлена А(х)=х4-6х3+8 на х+2.
Решение.
По теореме Безу остаток от деления на х+2 равен А(-2)= (-2)4-6(2)3+8=72.
Удобный способ нахождения значений многочлена при заданном
значении переменной х ввел английский математик Вильямс Джордж
Горнер (1786-1837). Этот способ впоследствии получил название схемы
Горнера. Он состоит в заполнении некоторой таблицы из двух строк.
Например, чтобы вычислить А(-2) в предыдущем примере, в верхней
строке таблицы перечисляем коэффициенты данного многочлена,
записанного в стандартной форме
х4-6(-2)3+8=х4+(-6)х3+0х2+0х+8.
Коэффициент при старшей степени дублируем в нижней строке, а перед
ним записываем значение многчлена. Получается следущая таблица:
1
-6
0
0
8
-2
1
Пустые клетки таблицы заполняем по следующему правилу: крайнее
справа число нижней строки умножается на -2 и складывается с числом,
стоящим над пустой клеткой. По этому правилу в первой пустой клетке
стоит число (-2)1+(-6)=-8, во второй клетке ставится число (-2)(-8)+0=16,
в третьей клетке— число (-2)16+0=-32, в последней клетке— число
(-2)(-32)+8=72.Полностью заполненная таблица по схеме Горнера
выглядит так:
1
-6
0
0
8
-2
1
-8
16
-32
72
Число в последней клетке и есть остаток от деления многочлена на х+2,
А(-2)=72.
На самом деле из полученной таблицы, заполненной по схеме Горнера,
можно записать не только остаток, но и неполное частное
Q(x)=х3-8х2+16х-32,
так как числа, стоящие во второй строке (не считая последнего),— это
коэффициенты многочлена Q(x)— неполного частного от деления на
х-2.
Пример2.
Докажем, что многочлен А(х)=х4-6х3+7х-392 делится на х-7, и найдем
частное от деления.
Решение.
Используя схему Горнера, найдем А(7):
1
-6
0
7
-392
7
1
1
7
56
0
Отсюда получаем А(7)=0, т.е. остаток при делении многочлена на х-7
равен нулю и, значит, многочлен А(х) кратен (х-7).При этом числа во
второй строке таблицы являются коэффициентами частного от деления
А(х) на (х-7), поэтому
А(х)=(х-7)(х3+х2+7х+56).
Определение. Число а называют корнем многочлена А(х), если А(а)=0
(т.е. а является корнем уравнения А(х)=0.
Теорема 2.Число а является корнем многочлена А(х) в том и только в
том случае, когда А(х) делится на х-а.
Теорема 3. Если числа а1,а2, …,ак различны, то многочлен А(х) делится
на (х-а1)(х-а2)…(х-ак) в том и только в том случае, когда все эти числа
являются корнями многочлена А(х).
Целые рациональные уравнения
Определение 1. Уравнение
f(x)=g(x),
где функции f и g заданы целыми рациональными выражениями,
называют целым рациональным уравнением.
Определение 2. Целым рациональным
стандартного вида называют уравнение
уравнением
а0хn+а1хn-1+…+аn-1х+аn=0,
где а0≠0.
степени
n
Основные методы решения целых рациональных уравнений
Нам известны формулы нахождения корней линейных и квадратных
уравнений. Процесс решения других уравнений заключается в сведении
данного уравнения к вышеназванным уравнениям. Для этого применяют
два основных метода: 1)разложение на множители и 2) введение новой
переменной.
1)Метод разложения на множители.
Рассмотрим уравнение
(х3-3х+2)(х-6)=0. (1)
Известно, что произведение двух чисел равняется нулю, если хотя бы
одно из них равно нулю. Поэтому сначала надо решить уравнения
х2-3х+2=0 и х-6=0,
а затем объединить их решения. Решением первого уравнения является
множество {1;2}, решением второго – множество {6}. Объединив эти
множества, получим решение уравнения (1):
{1;2;6}.
Теорема 1. Уравнение
f (x)g(x)=0,
определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности
уравнений
f(x)=0 и g(x)=0.
Теорема 2. Если целое рациональное уравнение с целыми
коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями
свободного члена этого уравнения.
Доказательство.
Пусть х0— целый корень уравнения
а0хn+а1хn-1+…+аn-1х+аn=0,
где а0, а1, …, аn-1, аn— целые числа. Тогда выполняется числовое
равенство
а0х0 n+а1х0n-1+…+аn-1х0+аn=0.
Из этого равенства находим:
аn= -а0х0 n-а1х0n-1-…-аn-1х0,
или аn=х0(-а0х0 n-1-а1х0n-2-…-аn-1).
Из последнего равенства следует, что целое число аn представимо в виде
произведения двух целых чисел х0 и (-а0х0 n-1-а1х0n-2-…-аn-1). Значит, х0
является делителем свободного члена аn.