Открытый урок – семинар по теме «Задачи на оптимизацию» (10

Открытый урок – семинар по теме «Задачи на оптимизацию» (10 -11 класс)
Цель: Показать связь математики с реальной действительностью; формировать умение
наблюдать, обобщать, проводить рассуждения по аналогии; развивать мышление и речь
учащихся.
Сформировать умение применять алгебраический аппарат к изучению реальной
действительности.
За неделю до проведения урока – семинара класс делиться на 5 – 6 групп, каждая из
которых получает индивидуальное задание. Все учащиеся группы решают 2 – 3 задачи, а один
из них готовит сообщение или решение одной данной задачи для остальных учащихся класса.
Ход урока.
I. Исторический экскурс.
Урок начинается вступительными словами учителя.
Учитель: Человеку часто приходиться решать задачи оптимизации своей деятельности, в
которых нужно с помощью наименьших затрат, сил, средств, материалов получить наилучший
результат. Как из круглого бревна выпилить прямоугольную балку с наименьшим количеством
отходов?
Каких размеров должен быть ящик при заданном расходе материала и чтобы его объем
был наибольшим?
В каком месте следует построить мост через речку, чтобы дорога проходящая через него и
соединяющая два города была кратчайшей?
А самая простая и самая древняя задача была такой: какой из всех прямоугольников
заданного периметра имеет наибольшую площадь? Решена она была древнегреческим
математиком Евклидом. Все задачи такого содержания в древней Греции были объединены
одним названием – «задачи Дидоны». Они названы по имени легендарной основательницы
одного из старейших городов Греции и его первой царицы Дидоны.
Согласно легенде, вынужденная бежать из своего родного города, Дидона вместе со
своими спутниками прибыла на северный берег Африки и хотела приобрести у местных
жителей землю для нового поселения. Ей согласились уступить участок земли, однако не
больше, чем объемлет воловья шкура. Хитроумная Дидона разрезала воловью шкуру на узкие
ремешки, и разложив их, сумела ограничить гораздо большую площадь по сравнению с той,
которую можно было покрыть одной шкурой. Если учесть, что царица выбирала участок
примыкающий к берегу моря, то математическую задачу, с которой она столкнулась, можно
сформулировать так: какой формы должна быть кривая L, чтобы площадь фигуры,
ограниченной этой кривой и заданной линией Г, была наибольшей?
Задача Дидоны очень сложная и относиться к специальному разделу высшей математики,
так называемому вариационному исчислению. Ну, а мы с вами постараемся разобрать такие
задачи, с которыми каждый из нас может встретиться. Сначала, мне бы хотелось, чтобы вы
познакомились с одним законом, диктующим размеры и формы всех промышленных продуктов.
Прослушаем о нем сообщение (сообщение Метелкиной Е.).
II. Что такое ГОСТы.
I группа: В технике все держится на стандартизации. Много в мире делается механизмов,
и все они состоят из различных деталей. Со всех участков завода поступают готовые детали в
сборочный цех, некоторые из них привозят из других городов, а также из разных стран. И все
детали подходят друг к другу. Если бы это было не так, невозможно было бы собрать ни один
прибор.
Соответствие деталей друг другу обеспечивает стандартизация – установление единых
норм и требований, предъявляемых к сырью, полуфабрикатам, готовым изделиям и материалам.
Службы стандартизации разрабатывают систему государственных (а часто и
межгосударственных) стандартов – ГОСТов.
1
ГОСТ – это закон, диктующий размеры и формы всех промышленных продуктов.
Стандартизуется все – детали машин, профили проката (балки, уголки, швеллеры, трубы),
формы и размеры досок, кирпичей, бутылок и пакетов и многое, многое другое. [4]
Методы математики являются основой стандартизации, а значит и фундаментом всей
промышленности.
Вспомним один старый анекдот.
Портной сказал заказчику, что на его костюм пойдет 4 метра, но потребовал принести 7
метров материи, объяснив необходимость в лишних метрах очень просто: «Остальное я
искромсаю». Портной, очевидно, не собирался экономить материал заказчика, а в технике
экономия материалов занимает важнейшее место. И следя за экономией, прежде всего ГОСТы.
Они не допускают, чтобы заготовка, из которой делается деталь, намного превосходила размеры
самой детали. Иначе ценные материалы – металл или дерево будут уходить в стружку в
процессе вытачивания маленькой детали из слишком большой заготовки.
III. Решение задач по группам (методами дифференциального исчисления и
графически).
Учитель: Решение многих задач практически приводит к отысканию наибольшего или
наименьшего значений некоторой функции на некотором промежутке. Сейчас, каждая группа,
имея свою задачу, над которой должны были подумать дома, попытается решить ее графически
с помощью компьютера, а потом продемонстрирует всем остальным ее решение как графически,
так и методом дифференциального исчисления (с помощью производной)
Итак, вам дается 7 минут, для того, чтобы решить и подготовиться к защите своих задач.
IV. Защита решений задач.
I группа:
Задача: Какова наибольшая площадь прямоугольного участка земли, который можно
огородить куском проволоки длиной 2p?
Решение: Обозначим длину одной из сторон прямоугольника x, тогда длина другой
стороны будет (p – x), а потому площадь участка S ( x)  x( p  x) . При этом х  [0; p ] . Найдем
критические точки функции S(x). Производная S(x) равна: S ( x)  ( x( p  x)  ( xp  x 2 )  p  2 x .
р
Она обращается в 0 при х  . Итак, надо найти наибольшее значение функции S ( x)  x( p  x)
2
р
1
1
1
при х  , p-x=p - р  р  прямоугольник – квадрат со стороной р и его площадь равна
2
2
2
2
p  p2
 p p
S    p   
. Т.е. наибольшим значением площади прямоугольника будет площадь
2
4
2 2
квадрата.
II группа:
Задача: из круглого бревна, толщина которого d см., следует вырезать балку
прямоугольного сечения. Прочность балки пропорциональна ab2 (a, b – измерения сечения
балки в см.). При каких значениях а и b прочность балки будет наибольшей?
Решение: Под толщиной круглого бревна понимается диаметр его более тонкого конца.
Факторами на прочность балки являются диаметр бревна, форма и размеры сечения, вид
древесины, из которой балка изготовлена (но этим условием мы пренебрегаем при решении
задачи).
Обозначим прочность балки через Р, а коэффициент пропорциональности через k (k>0). По
условию задачи Р=kab2. Тогда математическая задача может быть
сформулирована следующим образом: «При каких значениях
переменных а и b функция Р принимает наибольшее значение?
d
b2=d2 – a2 (AB=b, AD=a, BD=d) (рис.1).
2
P (a )  k (d 2  3a 2 ) . Найдем критические
d
d
функции: Р (а )  0 , k (d 2  3a 2 ) = 0  a 
. или a  
 (0;d) (рис.2).
3
3
Отсюда
Р(а)=ka(d2–a2) a  (0;d).
–
+
а
0
точки
d
d
3
Рис.2.
d
d
При а  (0;
) Р’(a)>0 и, следовательно, функция Р(а) возрастает на (0;
).
3
3
d
d
При а  (
;d) Р’(a)<0 и, следовательно, функция Р(а) убывает на (
;d).
3
3
d
Таким образом, точка
- точка максимума и функция Р(а) принимает в ней наибольшее
3
значение. (Если функция, непрерывная на промежутке, имеет на нем один экстремум, то он
совпадает с ее наибольшим (наименьшем) значением на этом промежутке). Из равенства
d 6
b2=d2– a2 имеем b 
. Таким образом функция Р принимает наибольшее значение при
3
d 3
d 6
2kd 3
и b
. Тогда прочность балки составляет P 
.
3
3
3 3
Вывод: Уменьшение прочности балки при размерах прямоугольного сечения, отличных от
оптимальных, означает, что балка либо не выдержит нагрузки, либо срок е службы будет
меньше, а это экономически невыгодно.
Учитель
Отыскание наибольших и наименьших значений функции применяется при решении многих
задач физики. Например, в положении равновесия потенциальная энергия системы достигает
экстремального значения, причем в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия
максимальна. Рассмотрим еще следующий пример.
III группа. Задача: Найдем на АВ такую точку С, чтобы сумма длин отрезков МС и NC была
минимальна.
М
N
a

a
A

x
С
l -x
b
B
Рис.3.
Решение: Примем точку А за начало координат на прямой и обозначим координату точки
С
через
х.
(рис.3)
МС= а 2  х 2
и
NC= b 2  (l  x) 2 ,
а
потому
f(x)=MC+NC= а 2  х 2 + b 2  (l  x) 2 .
Чтобы найти наименьшее значение функции f(x), вычислим ее производную и приравняем
к нулю:
3
f ( x) 
x
2
a x
2
lx

2
b  (l  x)
2
 0.
(1)
Не решая полученного уравнения, заметим, что
x
2
2
lx
= sin  ,
= sin  .
a x
b  (l  x)
Поэтому равенство (1) означает, что sin  = sin  , откуда  =  (острые углы равны, если равны
их синусы). Итак, сумма длин отрезков МС и NC будет наименьшей, если угол падения равен
углу отражения. Из курса физики известно, что это равенство выполняется при отражении луча
света. Значит, луч свет «выбирает» при отражении путь экстремальной длины.
Учитель: Ребята, в наше время всем нам приходиться много работать с компьютером. Я
думаю, что всем нам будет интересна следующая задача
2
2
IV группа.:
Задача: На странице текст должен занимать 384 см2. Верхнее и нижнее поля должны быть
по 3 см, левое и правое – по 2 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то
каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
Решение: Пусть длина печатного текста будет хсм., причем х  (0;384) , тогда ширина его 384
см.
х
384
Размеры страницы соответственно будут (х+4)см и (
+6)см (рис.4).
х
384
Площадь
страницы
S=(х+4)(
+6)=
3 см
х
В
С
1536
1536
384  6 x 
 24  6 x 
 408 .
x
x
Найдем производную S(x):

1536


S
, S ( x )  0 при
S ( x)   6 x 
 408   6  1536
x
x2


2 см
2 см
6  1536 =0  6х2=1536  х = 16 или х = - 16
x2
1
2
 (0;384).
Итак, размер листа должен быть 16+4=20 см,
384
 30 см.
16
Ответ: 20 см. и 30 см.
А
D
3 см
x
Рис.4.
V группа:
Задача: Три пункта А, В, С не лежат на одной прямой, причем  АВС=600. Одновременно
из точки А выходит автомобиль, а из точки В – поезд. Автомобиль
движется по направлению к точке В со скоростью 80 км/ч, поезд - к
точке С со скоростью 50 км/ч. В какой момент времени (от начала
движения) расстояние между поездом и автомобилем будет
наименьшим, если АВ=200 км?
200
Решение: Пусть в момент времени t, t  [0;
], т.е t  [0;2,5],
80
автомобиль находится в точке Е, а поезд в точке К. Тогда ВЕ=200-80t,
4
ВК=50t. По теореме косинусов: ЕК2 = ВК2+ ВЕ2 - 2 ВЕ ВКcos В.
1
ЕК2 =(200 – 80t)2+(50t)2 – 2* *50(200 – 80t)t =12900 t2-42000 t+40000. Пусть ЕК2= S(t)= 12900
2
t2-42000 t+40000.
70
S’ (t)=25800t-42000 S’ (t)=0  25800 t=42000  t=  [0;2,5], поэтому наименьшее значение
43
70
27
ЕК2 достигается при t= = 1
(часа)
43
43
Учитель: Подводя итог решению всех рассмотренных задач с помощью
дифференциального исчисления, заметим, что все задачи решаются по следующему плану:
1) Выбирают одну из переменных (независимую переменную) и выражают через нее ту
переменную, для которой ищется наибольшее или наименьшее значение.
2) Находят промежуток изменения независимой переменной.
3) Находят производную полученной в пункте 1 функции.
4) Находят критические точки функции ( в том числе и те, в которых производная не
существует).
5) Определяют какие из них принадлежат промежутку из пункта 2.
6) Находят наибольшее или наименьшее значение функции.
При этом для простоты вычислений полезно иметь в виду следующие замечания:
1) Точка, в которой функция принимает наибольшее или наименьшее значение, не
изменяется при следующих преобразованиях выражения задающего функцию:
а) прибавление постоянного слагаемого;
б) умножение на отличное от нуля число (только при умножении на отрицательное
число наибольшее значение переходит в наименьшее и обратно);
в) возведение в степень с натуральным показателем, если функция неотрицательна.
1
Например, функция х 49  х 2  8 имеет на отрезке [0;7] наибольшее значение в той же
3
точке, что и функция х 2 (49  х 2 ) .
2) Если положительная функция f принимает в точке а наибольшее (наименьшее)
1
значение, то функции –f и
принимают в той же точке наименьшее (соответственно
f
наибольшее) значение.
Например, функция (х-2)2+5 принимает наименьшее значение при х=2, а потому функция
1
имеет при х=2 наибольшее значение.
( х  2) 2  5
На этом уроке мы ограничились рассмотрением алгебраических задач, но и
геометрические задачи тоже сводятся к алгебраическим.
Одним из сильных методов решения геометрических задач на экстремумы функции
является использование неравенств, в частности, неравенства о среднем арифметическом и
среднем геометрическом (неравенства Коши):
ab
2
( а  b ) 2  0  ( а ) 2  2 ab  ( в )  0  a  b  2 ab 
 ab ,
т.е.
2
a  a2  a3    an
ab
ab 
или, в общем виде: n a1a2 a3 an  1
.
2
n
Решим задачу:
Каких размеров должен быть ящик, чтобы при заданной площади поверхности S, его объем
был наибольшим?
Решение:
5
S пов =2(ab+bc+ac), V=abc, ab+bc+ac=
ab  bc  ac
3
3 2 2 2 ab  bc  ac
a b c 
3
S
2
ab  bc  ac 
3
3
 S 2
V2 
S
V
6
2
3

3
2
S
S
V   
6
6
3
 2  3a 2  2
  a3
Vmax     


6
 6 
ab=bc=ac  a=b=c
Итак, среди всех ящиков с заданной площадью полной поверхности наибольший объем
имеет ящик кубической формы.
V. Итог урока.
Мы сегодня показали, как важны знания математики человеку, сидящему за компьютером,
строителю, инженеру, экономисту, а так же простому плотнику; показали связь математики с
другими предметами, в частности, с физикой и информатикой. Надеюсь, что эти знания
пригодятся в жизни.
6
Список используемой литературы.
1.
2.
3.
4.
Виленкин Н.Я. «Алгебра и математический анализ».Учебное пособие для учащихся школ и
классов с углубленным изучением математики.
Колмагоров А.Н. «Алгебра и начала анализа». Учебник для 10 – 11 классов
общеобразовательных учреждений.
Журнал «Математика в школе» №7, 2003 г.
Детская энциклопедия», т.5, АПН РСФСР, 1960 г.
7