1 УДК 539.3 Ю.В. Немировский, А.П. Янковский ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНО-НАСЛЕДСТВЕННОГО ПОВЕДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННО-АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД Разработана численно-аналитическая методика моделирования нелинейнонаследственного поведения позволяющая дискретные в пространственно-армированных моменты времени композитов, рассматривать такую композицию как нелинейно-упругую с начальным напряженным состоянием. Ключевые слова: армирование пространственное, структурная теория, наследственность нелинейная, ползучесть UDC 539.3 Yu.V. Nemirovskii, A.P. Yankovskii NUMERICAL DIMENSIONAL SIMULATION OF BEHAVIOUR REINFORCEMENT COMPOSIT OF THE MATERIALS THREEWITH NONLINEAR MEMORY The numerically-analytical technique of modeling of the behavior of the threedimensional reinforcement composites with nonlinear memory is developed, during the discrete moments allowing to consider such composition as nonlinear-elastic with an initial stress. Keywords: three-dimensional reinforcement, structural theory, material with nonlinear memory, creep В самолето- и ракетостроении в настоящее время особое внимание к себе привлекают композиционные материалы с пространственным расположением арматуры [1 и др.]. Так как полимерные материалы, как правило, используемые при создании таких композитов, обладают ярко выраженными 2 наследственными свойствами, то актуальной является проблема моделирования механического поведения пространственно-армированных композитных сред из нелинейно-наследственных материалов. В глобальной декартовой системе координат x1, x2 , x3 рассмотрим гибридный композит, армированный в произвольных направлениях N семействами волокон с интенсивностями k ( k 1, 2, ..., N ). Направление армирования k-м семейством волокон задается направляющими косинусами li(k ) ( i 1, 2, 3 ); если направление армирования задано с помощью двух углов сферической системы координат (см. рисунок) – полярного расстояния k и долготы k , то l1( k ) sin k cos k , l2( k ) sin k sin k , l3( k ) cos k , 1 k N . Обобщая на пространственный случай армирования модель Ю.В. Немировского с одномерным напряженным состоянием в волокнах, впервые предложенную в [2] для случая плоского армирования, получим следующие выражения для средних напряжений в композиции: ij 1 ijm N k 1 km k li(k )l (jk ) , i, j 1, 2, 3, k 1 K k , (1) k 1 где – функция переключения, позволяющая выбрать вариант модели [3, с. 242] (жесткий при 0 и мягкий при 1); ijm – напряжения в связующей матрице; k – продольное напряжение в арматуре k-го семейства; m k – одномерное напряженное состояние в фиктивных волокнах из материала связующей матрицы, направленных по траекториям армирования k-го семейства [3]. Так как в волокнах k-го семейства реализуется одномерное напряженное состояние, то при нелинейно-наследственном поведении фазовых материалов можем записать определяющие соотношения в виде [4; 5] 3 t Lk g k k k k t Al( k ) exp t l( k ) k d , 0 l 1 t L m m g m k k m k t M l exp t l k d 0 l 1 t Ls (1 k N ), (2) g , 0 ij ij 0 sijm t Kls exp t ls sijm d (i, j 1, 2, 3), 0 l 1 t L0 g 0 , 0 0 0m t Kl0 exp t l0 0m d , 0 l 1 где 0 3 3 1 1 m m m 22 33 , k ij li( k )l (jk ) , 11 22 33 , 0m 11 3 3 i 1 j 1 2m , 0 g , 0 , sijm ijm ij 0m (i, j 1, 2, 3, 1 k N ), 3 2 3 (3) 2 2 2 23 31 11 22 2 22 33 2 33 11 2 6 12 ; t – время; ij – компоненты тензора деформаций; – интенсивность деформаций; k – продольная деформация в арматуре k-го семейства; m – интенсивность напряжений в материале матрицы, связанная известным соотношением с , 0 ; g0 , 0 – известная зависимость объемного модуля от , 0 (функции g0 , 0 , g , 0 или m , 0 известны из диаграмм мгновенного деформирования материала связующего; зависимость этих функций от обоих аргументов позволяет учитывать свойство разносопротивляемости материала связующей матрицы); gk , gm – заданные функции, характеризующие диаграмму мгновенного деформирования материалов арматуры k-го семейства ( g k ) и связующей матрицы ( gm ) и известные из опытов на растяжение – сжатие; ij – символ Кронекера; Al( k ) , M l , Kl0 , Kls – известные из экспериментов постоянные, характеризующие ядра ползучести; l( k ) , lm , l0 , sl – известные из 4 экспериментов константы фазовых материалов, имеющие смысл характерного времени ползучести. Представление в (2) разностных ядер ползучести в виде линейных комбинаций экспоненциальных функций (с числом слагаемых Lk , L, L0 , Ls ) позволяет аппроксимировать ядра более сложной структуры, в том числе и некоторые виды слабосингулярных ядер [6, c. 192]. Определяющими соотношениями (2), (3) описывается механическое поведение не только полимеров, но и некоторых металлов на стадии их активного нагружения [4, c. 217]. Так как даже простейшие задачи неустановившейся ползучести для изотропных элементов конструкций требуют привлечения численных методов интегрирования по времени [7], то тем более это касается сложно армированных композитных сред. Поэтому в настоящем исследовании разработаем поведения численно-аналитическую модель пространственно-армированного нелинейно-наследственного композита. С этой целью дискретизируем задачу по времени t, т.е. будем рассматривать ее решения в моменты времени tn ( n 0, 1, 2, ... , t0 0 ). Предполагаем, что в момент времени tn (и во все предыдущие моменты) решение задачи уже известно. Построим определяющие соотношения (2) для момента времени tn 1 tn n , n 0, 1, 2, ..., (4) где n – шаг по времени (возможно, переменный). Введем в рассмотрение дискретные по времени функции: n n km n n (k ) Sl k k tn , k k tn , km tn , tn sijm tn , n 0m 0m tn , tn m m k exp l d (1 l L), tn sijm exp ls d (i, j 1, 2, 3, 1 l Ls ), 0 ij ij tn , 0 n Sij(l ) n k exp l( k ) d (1 l Lk ), 0 n m( k ) Sl n sijm (5) 5 n Sl0 tn 0m exp l0 d (1 l L0 ), 0 которые по предположению в момент времени tn уже известны. Записывая соотношения (2) для момента времени (4) с учетом обозначений типа (5) и вычисляя интегралы, входящие в (2), на интервале tn t tn 1 по формуле трапеций, а также используя вырожденность экспоненциальных разностных ядер [6, c. 192], окончательно получим tn 1 (nk ) n n n n 1 n 1 n Lk ( k ) n 1 Lk ( k ) g k k k 1 Al k Al exp ( k ) Sl exp ( k ) k , 2 l 1 2 l 1 l l n n 1 tn 1 m( n nm m L n 1 n 1 n L k ) n g m k k 1 M l k M l exp m Sl exp m k , 2 l 1 2 l 1 l l n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n Ls s m g , 0 ij ij 0 1 Kl sij 2 l 1 tn 1 n(l ) n s Kl exp s Sij 2 l 1 l Ls n nm exp s sij , l n 1 tn 1 n0 n n nm n 1 n 1 n 1 n L0 0 m L0 0 g0 , 0 0 1 Kl 0 Kl exp 0 Sl exp 0 0 . 2 l 1 2 l 1 l l Эти соотношения можно записать так n n 1 n 1 n 1 g k k k k 0k , n n n 1 n 1 n 1 n 1 n n 1 n 1 g m k k km km0 n n 1 g , 0 ij ij 0 n 1 n m m0 sij sij (i, j 1, 2, 3), (1 k K ), n n 1 n m m0 0 0 0 0 , n 1 n 1 n 1 g 0 , (6) где 1 n 1 n Lk ( k ) n 1 g k k 1 Al g k k , 2 l 1 n 1 g , 0 1 n Kls g , 0 , 2 l 1 n n 1 n 1 Ls n 1 n 1 1 n 1 n L n 1 g m k 1 M l g m k , 2 l 1 n (7) 6 1 n 1 n 1 n L0 0 n 1 n 1 g 0 , 0 1 Kl g 0 , 0 ; 2 l 1 n n 0k n Lk ( k ) 1 Al 2 l 1 n m0 k 1 L k n L 1 M l 2 l 1 t Al( k ) exp n(k1) l 1 l (nk ) n n Sl exp (nk ) k , 2 l 1 L n tn 1 m( n nm k ) n M l exp m Sl exp m k , 2 l 1 l l 1 Ls n m0 sij Ls 1 n Kls 2 l 1 n m0 0 n L0 0 1 Kl 2 l 1 tn 1 n(l ) n s Kl exp s Sij 2 l 1 l 1 L 0 tn 1 n0 n 0 Kl exp 0 Sl 2 l 1 l n nm exp s sij , l (8) n nm exp 0 0 . l Умножим последнее равенство (6) на ij и результат сложим с третьим равенством, тогда с учетом (3) получим n 1 ijm n n 1 n 1 n 1 n 1 n n 1 n 1 n 1 g , 0 ij ij 0 ij g0 , 0 0 ijm0 (i, j 1, 2, 3), n (9) где n 1 ijm n 1 n 1 m sij ij 0m , n m0 ij Функции пространственных переменных n n m0 m0 sij ij 0 . n 0k , n m0 k , n m0 ij (10) , определенные по формулам (8), (10), можно трактовать как начальные напряжения в соответствующих фазовых материалах в момент времени tn 1 , которые согласно (5), (8) в этот момент времени известны в каждой точке xi композитного тела. Таким образом, соотношения (9) и два первых равенства (6) в момент времени tn 1 можно трактовать как определяющие соотношения для фазовых материалов, поведение которых характеризуется зависимостями нелинейноупругого тела с начальным напряженным состоянием. 7 n 1 Подставим напряжения k , n 1 n 1 m m k , ij , определенные в (6), (9), в равенства (1) при t tn 1 , тогда с учетом обозначений типа (5) получим n 1 n n 1 n 1 n 1 n n 1 n 1 n 1 ij 1 g , 0 ij ij 0 ij g0 , 0 0 n 1 n n n 1 n 1 n n 1 n 1 (k ) (k ) k li l j g k k k 1 g m k k ij0 , i, j 1, 2, 3, k 1 (11) N где n ij0 1 n K n0 (k ) (k ) m0 ij k li l j k k 1 1 n m0 k . (12) n1 n1 n 1 n 1 Деформации 0 , , k , ij в (11) связаны зависимостями типа (3). Равенства (11) с учетом (3) можно рассматривать как определяющие соотношения для исследуемого композита в момент времени tn 1 . Напряжения n ij0 при этом можно трактовать как начальные напряжения в композиции, известные в момент времени tn 1 (см. (12), (10), (8)). В общем случае соотношения (11) с учетом (3) являются нелинейными относительно n 1 деформаций ij . Линеаризуем g0 , 0 , соотношения g k k , gm k (11), предполагая, что функции g , 0 , (см. (2), (3)) удовлетворяют достаточным условиям сходимости метода итераций [5, c. 199], аналогичного методу переменных параметров упругости. Если на некоторой m-й итерации известны m-ые приближения n 1 [ijm ] деформаций в момент времени tn 1 , то согласно (3) будут известны m-ые приближения функций n 1 n 1 n 1 [m] [m] 0 , , [km ] . Для следующего 8 же ( m 1 )-го приближения деформаций n 1 [ m 1] ij и напряжений n 1 [ m 1] ij будут справедливы линейные соотношения (см. (11), (3)): n 1 [ m 1] ij n n 1 n 1 n 1 ij 1 g [m] , [0m] [ijm 1] 3 n[m1] n[m1] 3 [nm11] N g0 , 0 ll k l 1 3 k 1 ij 3 n 3 l 1 p 1 n 1 [ m 1] ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) lp ll l p li l j где «начальные» напряжения n ij0 n ij0 , 3 l 1 n 1 [ m 1] ll n n 1 n n 1 [ m] g k k 1 g m [km] (13) i, j 1, 2, 3, изменяются в зависимости от номера n (от момента времени tn ) и не зависят от номера итерации m. При решении соответствующей нелинейно-вязкоупругой краевой задачи для пространственно армированного композита в квазистатической постановке n 1 осредненные напряжения в композиции ij или их приближения n 1 [ m 1] ij (см. (11), (13)) в момент времени tn 1 должны удовлетворять общеизвестным n 1 уравнениям равновесия и статическим граничным условиям, а деформации ij (или их приближения n 1 [ m 1] ij n 1 ) должны быть связаны с перемещениями ui ( i, j 1, 2, 3 ) дифференциальными соотношениями Коши [4]. В случае же решения задачи динамического деформирования рассматриваемого композита из полимерных материалов необходимо соответствующим образом дискретизировать по времени уравнения движения. По мнению авторов, наиболее целесообразный метод такой дискретизации изложен в [8], поэтому не будем останавливаться на обсуждении этого вопроса более подробно. Отметим лишь, что все неизвестные функции при этом, как обычно и предполагается в наследственных задачах механики, принадлежат классу Хевисайда [4, с. 33]. 9 Работа выполнена фундаментальных при финансовой исследований (код поддержке проекта Российского фонда 10-01-90402-Укр_а) и Президиума СО РАН (Постановление № 10 от 15.01.09, номер проекта 72). БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Полимерные композиционные материалы: структура, свойства, технология: учеб. пособие / под ред. А. А. Берлина. – СПб.: Профессия, 2009. – 560 с. 2. Немировский Ю. В. Об упруго-пластическом поведении армированного слоя // ПМТФ. – 1969. – № 6. – С. 81 – 89. 3. Матвеев К. А., Пустовой Н. В. Вариационные методы исследования устойчивости анизотропных пластин при температурно-силовом нагружении: Монография. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2005. – 368 с. 4. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. – М.: Наука, 1977. – 384 с. 5. Ильюшин А. А. Труды. Т. 3. Теория термовязкоупругости / Составители: Е.А. Ильюшина, В.Г. Тунгускова. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 288 с. 6. Абросимов Н. А., Баженов В. Г. Нелинейные задачи динамики композитных конструкций. – Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2002. – 400 с. 7. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. – М.: Физматгиз, 1966. – 752 с. 8. Немировский Ю. В., Янковский А. П. Интегрирование динамических задач механики деформируемого твердого тела обобщенными методами Рунге – Кутты // Вычислительная механика сплошных сред. – 2008. – Т. 1, № 1. – С. 68–79. 10 x3( k ) x3 k x1( k ) k k x2( k ) x2 x1 Локальная система координат xi(k ) , связанная с волокном k-го семейства