Производная в математике и физике

Тема: Производная в математике и физике.
Тип урока: закрепление и обобщение изученного материала (по классификации Ю.А.
Конаржевского).
Цели урока: 1. Общеобразовательная.
Закрепление и осмысление изученного материала в виде более соответствующих навыков
и умений, как моторных, так и интеллектуальных, перенос знаний и умений в
нестандартные ситуации.
2. Воспитательная.
Продолжение формирования научного мировоззрения учащихся, показать, что
физические явления описываются математическим аппаратом и хотя они протекают поразному (механическое движение, электрический ток, электрический резонанс)
описываются одинаково, то есть закономерности одни и те же.
3. Развивающая.
Целенаправленное формирование приемом умственной деятельности (анализ, синтез,
сравнение, выделение главного), одновременное развитие активности мышления, его
гибкости, критичности, совершенствования внимания, памяти, воображения, видение
единственности математического описания явлений, протекающих в природе.
Оборудование: магнитофон (запись тихой, спокойной музыки); Земля из космоса
(фотографии Земли); регулятор напряжения школьный; катушка универсального
трансформатора; батарея конденсаторов; амперметр; вольтметр.
Работа на уроке.
І. Вступительное слово учителя о чувствительном восприятии окружающего нас мира и о
научном познании. На доске высказывание Леонардо да Винчи «Ни одно человеческое
исследование не может назваться истинной наукой, если оно не прошло через
математическое доказательство».
ІІ. Работу начинает математик. Определение производной, физический смысл
производной.
Определение: Производной функции у=f(х) называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (если
этот предел существует и конечен) и обозначается
y
lim
 y'
x  0 x
Нахождение производной функции называется ее дифференцированием.
Физический смысл производной.
Производная от пути по времени есть скорость неравномерного прямолинейного
движения в данный момент времени (мгновенная скорость) V=S'(t).
Задание 1. Используя теорему о производной элементарных функций, найдите
производную
1.
2.
3.
4.
f ( x)  5 x  5
1
f ( x)  x 2  4 x  1
3
f ( x)  3 cos 2 x
f ( x)  3 sin x
5. f ( x)  4 cos(5 x  1)
1
6. f ( x)  5  3x
x
7. f ( x)  sin 3x
1
8. f ( x)  (  x 2  x 7 )5
4
Задание 2. Вычислите производную функции
1
1
f ( x)   cos 6x в точке x 0 
3
9
1
f ' ( x)   6 sin 6x  2 sin 6x
3

1
f '    2 sin  3
3
9
ІІІ. Самостоятельная работа на 2 варианта.
1.
2.
3.
4.
5.
Найдите производную функции.
Вариант 1
3
y  x7
5
1
y  x4  x2  7
3
y  3 sin x
y   cos 5 x  2 sin 3 x
1
1
y  4 sin 2 x  4 cos 2 x
3
3
Вариант 2
2
1. f ( x)   x 14
7
1
2. f ( x)  x 9  x 3  1
6
3. f ( x)  sin 8 x  3 cos 2 x
4. f ( x)  15 cos x
5
5
5. f ( x)  7 sin x cos x
8
8
Физические задачи.
1) Зависимость координации тела от времени дается уравнением
at 2
2
x  10  12t  t
x  x0  V0 t 
2
Найти: а) зависимость скорости и ускорения от времени; б) минимальную координату; в)
время, когда х минимальное.
2)Тело совершает гармонические колебания по закону х=0,2cos200πt. Определите
проекцию скорости частицы и ее ускорения на ось х в момент времени t = 5мс.
Самостоятельная работа в двух вариантах
.
1.
Колебательное
движение
точки
описывается уравнением х=0,5cos40πt.
Найти проекцию скорости и проекцию
ускорения в момент времени t=0,05c.
Построить графики x(t) и v(t)
2. x(t)=20+5 t2 ̶ 2t3
v  x' (t )
a  x' ' (t )
1.
Колебательное
движение
точки
описывается уравнением х=0,02cos50πt.
Найти проекцию скорости и проекцию
ускорения в момент времени t=0,04c.
Построить графики x(t) и v(t)
2. x(t)=20+2 t2 ̶ 4t3
v  x' (t )
a  x' ' (t )
IV. Графики функций.
Исследование графиков с помощью производной.
f ( x)  cos 2 x
1) D(f)=R
2) E(f)=[0;1]
3) Функция четная, график симметричен относительно оси ОУ.
4) Наименьший положительный период T=.
f ' ( x)  2 cos x( sin x)  2 sin x cos x
V. В контуре создаются вынужденные колебания. Представить графики
зависимости от времени напряжения, тока и энергии электрического поля в конденсаторе
емкости С.
U  U 0 cos t
q
U
q  CU  CU м cos t
С
U=Uм cost
q
 q ' (t )  CU м sin t   I м sin t
t
CU 2
W 
 CU м2 cos 2 t
2
i
U
40
20
t
-0.01
-0.005
0
-20
-40
0.005
0.01
i
0.002
0.001
t
-0.01
0
-0.005
0.005
0.01
-1*10^(-3)
-0.002
0.04
W
0.03
0.02
0.01
-10
-8
-6
-4
0
-2
-0.01
t
2
4
6
8
10
-0.02
-0.03
-0.04
VI. Исследование на максимум.
Z  R 2  ( xc  x L ) 2
1
 L
C
Заключение: мы повторили применений производной в математике и физике, но ее
можно применять при изучении многих вопросов по динамике, при изучении
электромагнитных явлений, в оптических явлениях. Те вопросы, которые мы сегодня
рассмотрели, помогут вам при решении задач по математике и физике на экзаменах.
Домашнее задание.
Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев, В. М. Чаругин 2014г, § 24 стр 100 ЕГЭ С1, С2.
Литература:
1. Межпредметные связи курса физики в средней школе под редакцией Ю.И. Дина.
Москва, 1989.
2. Методика решения задач по физике в средней школе. С.Е. Каменецкий. Москва,
1967.
3. Математика на уроках физики.
4. Физика. Самостоятельные и контрольные работы. Кирик О.А. Харьков, 2001.
Максимум, если xc  x L