otcet_2009_IP_No.2

ОТЧЕТ
по междисциплинарному интеграционному проекту
фундаментальных исследований
Сибирского отделения РАН №2
за 2009 год
Тепломассоперенос в континентальной коре
в условиях гравитационной неустойчивости:
геологический анализ и многопроцессорное моделирование
Организации – исполнители:
Институт геологии и минералогии им. В.С. Соболева СО РАН
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН
Институт вычислительных технологий СО РАН
Научный координатор проекта:
Академик РАН В.В. Ревердатто, советник РАН
Новосибирск
2009 г.
Цели проекта.
Проект направлен на изучение процессов перераспределения вещества и тепла в
земной коре за счет сил всплывания, обусловленных гравитационной неустойчивостью.
Маломасштабная гравитационная неустойчивость проявляется в верхней части земной
коры в виде соляного и грязевого диапиризма (в осадочных бассейнах), а в нижней и
средней части коры – в форме гранитного диапиризма, обусловленного плавлением
кислых пород. В отчетный период выполнения проекта работа проводилась по трем
направлениям: 1) выбор прототипов геологических структур, образовавшихся в условиях
гравитационной неустойчивости; 2) построение математических моделей в рамках разных
приближений к описанию геологической среды; 3) адаптация программного обеспечения
к расчетам на многопроцессорном суперкомпьютере.
Результаты исследований. I. Геологические примеры гравитационнонеустойчивых систем в земной коре.
Среди многообразия проявлений гранитоидного магматизма в континетальной коре
мы сосредоточились в рамках проекта на диапиризме и пока не рассматриваем
альтернативный механизм – гранитные интрузии. Диапиризм гранитной магмы широко
развит в архее и нижнем протерозое. Кислый расплав в нижней коре может
сформироваться в следующих случаях: 1) в процессе термической релаксации
утолщенной коры в орогенических областях; 2) за счет регионального увеличения
теплового потока из мантии над поднятиями астеносферы; 3) при глубинных интрузиях
базитов под основание коры (андерплейтинга); 4) ввиду внутрикорового разогрева
вследствие аномального распределения радиоактивных элементов в существенно
гранитной коре. Дальнейшее движение расплава определяется перераспределением
вещества по плотности в гравитационном поле, происходит путем интрузий или
диапиризма и контролируется рядом факторов, главными из которых являются
температура и реология вмещающей среды.
Геологическим примером диапировой структуры может являться Тейский гранитогнейсовый купол, расположенный в заангарской части Енисейского кряжа [Ножкин и др.,
1983; 1999]. Купольная структура площадью 1500 км2 является самым верхним элементом
структурно и орографически приподнятого сиалического блока в пределах центральной
зоны Енисейского кряжа. Ядерная часть купола образована гнейсами, гранито-гнейсами,
порфиробластическими гнейсо-гранитами, а также интрузивными магматическими
гранитами, средняя плотность которых составляет 2600 кг/м3 [13]. Вмещающие породы –
метаморфические толщи тейской и сухопитской серии протерозойского возраста,
состоящие из высокоглиноземистых гранат-ставролит-биотитовых кристаллических
2
сланцев
(плотностью
2960
кг/м3)
и
ортоамфиболитов
(2920
кг/м3).
Контакты
гранитоидного массива с вмещающими породами преимущественно согласные, но на
отдельных участках в плане и на глубине (по геофизическим данным) они становятся
секущими. Тейский массив выделяется как крупное поднятие первого порядка,
осложненное куполами второго порядка (Итуйский, Индольский, Тырыдинский купола
площадью 6-10 км2). Последние характеризуются кольцевыми и полукольцевыми
разломами,
залегающими
с
крутым
падением
в
сторону
периферии
купола.
Геохронологические исследования U-Pb методом по цирконам, отобранным во внешней
периферийной зоне Итуйского купола, показали возраст одного из этапов формирования
Тейского гранито-гнейсового купола – 866±16 млн. лет. Этот возрастной рубеж
подтвержден позднее SHRIMP-анализом цирконов [Верниковский, Верниковская 2006],
отобранных из гранитоидов северной части Тейского массива (864±9–868±10 млн. лет).
Достаточно близкие оценки возраста говорят о том, что структурные элементы разного
порядка Тейского гранитогнейсового купола формировались практически одновременно.
Наши модельные расчеты (см. раздел II) указывают на более быструю скорость
всплывания диапира относительно скорости кондуктивного нагрева, а затем - охлаждения
гранитоидного массива. Так как температура закрытия U-Th-Pb системы составляет около
940ºС, а всплывание возможно только при высоких температурах, возраст, определенный
по цирконам соответствует тому моменту времени, когда диапир полностью поднялся.
Другими примерами гранито-гнейсовых диапиров являются купол Фангшан (СевероКитайский кратон) (He et al., 2009) и купол г.Тор-О’дин (Канадские Кордильеры)
(Norlander et al., 2002).
Параметры формирования купольной структуры Фангшан следующие. Возраст
кристаллизации – 130 млн.л. (данные по датированию цирконов методом SHRIMP (Davis,
2001)), возраст охлаждения 128.7 млн. л. (данные по Ar/Ar-датированию (Ma, 1989)),
глубина внедрения – 6-7 км (данные по минеральному геобарометру 2 кб). Ширина
метаморфической зональности варьирует в диапазоне 300 - 2000 м при размере
гранодиоритового ядра купола 8-10 км. Наблюдается обрамляющая синклинальная
структура по периферии ядра купола, что является признаком совместной деформации
гранитоидов и вмещающих пород при подъеме диапира. Эрозия вмещающих метаосадков
над головной частью диапира составляет более 4 км,
рассчитанная по сравнению с
мощностью неэродированных осадочных отложений на удалении от купольной
структуры. Это означает, что минимальная
высота подъема диапира была не менее
толщины эродированных пород. Гранодиоритовое ядро окружено высокотемпературным
концентрическим ореолом сдвигово-деформированных пород.
3
Мигматитовый купол г. Тор-Один представляет собой один из совокупности куполов
плутонического пояса Роки Маунтин (Западные Кордильеры, Канада) (Norlander et al.,
2002). Он представляет собой овал размером 5-7 на 20 км. Ядро составляют мигматитогнейсы,
лейкограниты; обрамление купола сложено грубообломочными метабазитами
зеленосланцевой
фации.
По
реконструкции
термохронологической
истории
формирования купола выделяются следующие этапы формирования купола: I этап –
погружение пород при коллизии орогена и анатексис, II этап – изотермическая
декомпрессия от 10 до 4-5 кбар (17-21 км) в процессе всплывания дипира, III этап –
растяжение и эксгумация ядер диапиров и метаморфических пород обрамления.
Длительность всплывания диапира оценивается приблизительно в ~4 млн. лет на основе
датирования зерен цирконов методом SHRIMP в диапазоне 60 - 56 млн. лет (Vanderhaege,
1999). Полученные из геологического анализа параметры процесса диапирового подъема
гранитной магмы применялись для построения теплофизической и компьютерной
моделей, описанных в разделе II и III.
II,а. Моделирование диапиризма гранито-гнейсов в земной коре с учетом
плавления.
В разделах II,а-в приводятся результаты двух подходов в моделировании
диапиризма: 1) на основе механики деформируемого твердого тела (МДТТ); 2) с
применением гидродинамики вязкой ньютоновой жидкости. По каждому направлению
разработаны самосогласованные модели, выполнена их численная реализация в виде
программных приложений, решены тестовые задачи. Произведена закупка коммерческого
пакета программ MSC.Marc2008, реализующего метод конечных элементов.
В результате выполнения этапа проекта разработан новый подход, описывающий
процессы частичного плавления и развития гравитационной неустойчивости в рамках
механики деформируемого твердого тела. Постановка задачи состоит в следующем.
Рассматривается двумерная прямоугольная область земной коры размером 38х60 км
(глубина/ширина) (рис.1). Решаются уравнения механического равновесия в «слабой»
форме (уравнение принципа возможных скоростей перемещений или уравнение баланса
виртуальных мощностей) и уравнение теплопроводности с переменными коэффициентами
и учетом фазового перехода при плавлении. Классическая постановка задачи Стефана
заменяется учетом повышенной теплоемкости при фазовом переходе. Уравнения,
лежащие в основе математического моделирования квазистатического деформирования,
решались численно в рамках приближения задачи о плоской деформации.
4
Рис.1. Схема постановки задачи о плавлении и диапиризме в гранитной коре.
Приведены геометрия области моделирования, параметры, граничные и начальные
условия, начальная сетка конечных элементов. Темно-серым показана область внедрения
базитовой магмы в неподвижную среду нижней коры (светло-серое). Сплошная линия
обозначает границу плавления, разделяющую области расплава и исходных пород.
Для дискретизации уравнений МДТТ использовался метод конечных элементов. Для
численного моделирования использовался пакет программ MSC.Marc 2005, в котором
предусмотрен
учет
квазистатического
всех
типов
движения
и
нелинейности
теплопроводности
уравнений
решались
МДТТ.
в
Уравнения
верхней
области
моделирования (верхних 30 км), а в нижней области (8 км) решалось только уравнение
теплопроводности. Результаты расчетов приводятся только для верхней части модели.
Ввиду больших деформаций сетка в верхней области перестраивалась по условию
достижения критической деформации элементов: при изменении угла между ребрами
элемента более 20° при средней длине ребра 300 м.
Граничные условия выбирались следующими: верхняя граница – свободная
поверхность с постоянной температурой Т=0°С; боковые границы изолированы для
передачи тепла и неподвижны в отношении механического движения в горизонтальном
направлении; нижняя граница фиксирована в вертикальном направлении и допускает
свободное скольжение вдоль нее. Начальные условия принимались такими: отсутствие
начальных перемещений, литостатическое распределение напряжений, температура
соответствовала
геотермическому
градиенту
18°С/км
при
экспоненциальном
распределении по глубине коры радиоактивных элементов. В середине нижней коры
задается блок размером 8х20 км, состоящий из базитового расплава при начальной
температуре 1200°С. На остальной части нижней границы принималась постоянная
температура 545°С или постоянный мантийный тепловой поток 0.03 Вт/м2 (рис. 1).
5
Предполагается, что 8-километровый слой базитовых интрузий внедряется в основании
нижней коры в течение 2 млн. лет, что обусловило прогрев и частичное плавление
вышележащей гранитной коры. Используется диаграмма плавления водосодержащего
гранита, для которого температура солидуса выражается аналитически в виде:
Tsol  889  17900 /  P  54   20200 /  P  54  при P  1200 МПа,
2
Tsol  831  0.06 P при P  1200 МПа,
где Tsol - температура в K, P - давление в МПа. Принималось, что при плавлении в
гранитной коре в интервале температур 650-700°С происходит уменьшение плотности
частично расплавленных пород до 2600 кг/м3, при плотности исходных пород 2800 кг/м3.
Коэффициенты теплопроводности и теплоемкости расплавленной и вмещающей породы
задавались одинаковыми и составляли 2 Вт/(м∙К) и 1250 Дж/(кг∙К), соответственно,
скрытая теплота плавления гранита принималась равной 300 кДж/кг. Земная кора
принимается однородной и изотропной с упругими характеристиками: модуль Юнга
E  1.6 1011 Па , коэффициент Пуассона   0.25 . Минимальная температура перехода от
хрупкого к пластическому поведению для разных типов пород зависит от скорости
деформации, всестороннего давления, водонасыщенности и составляет 250°С для
влажного кварцита, 280-300°С для сухого кварцита, 500-550°С для водонасыщенного
дунита. Экспериментальные данные говорят о том, что, начиная с некоторых глубин и
температур, материал коры подчиняется законам пластической деформации. Поэтому
была выбрана упруго-пластическая модель материала среды, в которой пластичность
f y ( sij )  3J 2 ( skl )   y , где  y
описывалась уравнением Хубера-Мизеса
текучести
J2 
(МПа);
J2
–
второй
инвариант
тензора–девиатора
– предел
напряжений
1
1
sij sij , sij   ij   ij kk , где  ij - компоненты тензора напряжений Коши.
2
3
Реология
предполагалась
частично-расплавленного
материала,
температурно-зависимой,
как
и
подчиняющейся
вмещающей
закону
породы,
идеальной
пластичности с пределом текучести, увеличивающимся от 1 МПа в расплаве до 10 МПа в
окружающей среде. Температурная зависимость предела текучести по аналогии с
вязкостью принималась в форме закона Аррениуса σy = 106 (Па)+A exp(-E/RT), где A и E –
эмпирические константы. Модель строилась для описания процесса плавления и
вызванного им всплывания легкого вещества в результате андерплейтинга базитовой
магмы в основании континентальной коры. Цель моделирования состояла в определении
структуры течения всплывающей гранитной магмы и предсказании возможной формы
гранито-гнейсовых диапировых тел. Были проведены 2D численные эксперименты с
6
разными пределами текучести материала коры. Важным параметром является степень
плавления и, следовательно, разность плотностей расплавленной и твердой породы (50200 кг/м3). Для упрощения анализа принято постоянное значение 200 кг/м3; таким
образом, считалось, что степень затвердевания охлаждающегося расплава не учитывается.
Решения получены в виде двумерных картин распределения полей напряжений,
деформаций, температуры в разные моменты времени. Первая серия тестов проводилась
при постоянной величине предела текучести σy =1 МПа, не зависящего от температуры.
Результаты моделирования представлены на рис. 2 в виде картин температурного поля
промежуточных состояний всплывающего расплава. В начальный этап (~ 2 млн. лет)
происходит распространение фронта частичного плавления над тепловым источником.
Кондуктивный прогрев и формирование области частичного плавления, которое
происходит без заметного движения материала коры, при заданных параметрах длится
около 2 млн. лет. За это время формируется область с поверхностью в форме купола
высотой 6.7 км и шириной, определяемой заданным размером базитовой интрузии (около
20 км), поставляющей тепло. Далее начинается всплывание расплава. Конвективное
движение преобразует форму поверхности в грибовидную (рис. 2, а-в), затем снизу
формируется канал, который сужается в процессе всплывания (рис. 2в-г). Ширина канала
составляет около 3.5 км, а ширина головной части диапира – около 13 км. Верхняя
свободная поверхность испытывает перемещения порядка сотни метров с максимальным
воздыманием над «головой» диапира. На поздних временах (более 2 млн. лет) подъем
диапира прекращается и следует стадия охлаждения (затвердевания) на месте. Этот
момент фиксируется, когда происходит «пережатие» канала и отрыв головной части
диапира (рис. 2д). По результатам расчетов сделаны оценки скорости проплавления
нижней коры при кондуктивном (начальном) этапе теплопереноса и скорости диапирового
всплывания при конвективном (последующем) этапе. По модельным оценкам фронт
плавления перемещается со скоростью 4.7 мм/год, а совместное движение фронта
плавления с учетом всплывания происходит со скоростью 10 мм/год. Из-за большой
скорости всплывания плавление новых порций вещества на верхних уровнях коры не
происходит, и всплывает лишь объем расплава, сформированного на начальной стадии.
Рис. 2. Результаты моделирования всплывания диапира с постоянным пределом
текучести материала коры. Приведены картины поля температуры в теле всплывающего
диапира (в цвете) и вне его (в изолиниях), от начала всплывания (а) до конечного момента
времени 2.162 млн. лет (д). Шкала в диапазоне 650-1200°С показана слева, изотермы в °С.
Рис. 3. Результаты моделирования всплывания диапира при температурнозависимом пределе текучести. Показано поле температуры в теле всплывающего диапира
(в цвете) и вне его (в изолиниях), а также форма диапирового тела в модели при
переменном пределе текучести материала коры для этапа от начала всплывания (7.36 млн.
лет) (а) и до финальной формы остывшего диапира (7.95 млн. лет) (д).
7
а)
б)
в)
а)
b)
с)
г)
d)
д)
e)
Рис. 2
Рис. 3
8
Вторая серия тестов проводилась с целью исследования влияния температурнозависимого предела пластичности на динамику всплывания диапира. Для этого в
выражении температурной зависимости предела текучести σy = 106 (Па)+A exp(-E/RT)
варьировались параметры А и Е и определялась высота подъема и форма диапира. В этой
серии экспериментов расчет велся только в верхней 30-км области моделирования, а
жесткое основание (слой 8 км) заменялось соответствующими граничными условиями.
Граничные условия на нижней границе области моделирования переносятся на границу
y=0 без жесткого основания. Расчеты показывают, что это упрощение не сильно
сказывается на динамике всплывания и форме диапира. Варьируя параметры А и Е, предел
текучести изменяется от 1 МПа в частично расплавленной породе до максимального
значения (10 МПа), соответствующего приповерхностной температуре. В этих расчетах
оказалось, что высота всплывания ограничена некоторым уровнем глубины, выше
которого деформации становятся малыми ввиду низкой температуры.
На рис. 3 показаны результаты расчетов по модели температурно-зависимой
пластичности, когда предел текучести изменяется в диапазоне от 1 до 10 МПа для
интервала от температуры плавления (650ºС) до поверхностной. В сравнении с
предыдущим вариантом подъем диапира ограничен уровнем средней коры 14-16 км. Его
двухмерная форма при всплывании меняется от арочной до грибовидной. Частичного
расплавленный материал растекается в горизонтальном направлении, формируя тело
шириной до 31 км; канал диапира (“ножка”) существенно короче, чем в модели с
постоянной пластичностью, его высота – 3.5 км, ширина – 2.3 км (рис. 3 г-д). Форма
диапира похожа на вертикальное сечение лополита, что может вызвать сложности в
идентификации природы магматического тела.
Численные эксперименты позволяют сделать следующие основные выводы. 1) Для
того чтобы в гравитационном поле началось всплывание, должен сформироваться
критический объем частично-расплавленного вещества. По модельным оценкам высота
области плавления в гранитной коре должна быть не менее 6-7 км. 2) Независимо от
размера теплового источника (фиксированной или переменной ширины) во всех моделях
наблюдалась
грибовидная
форма
всплывающего
тела:
формируется
канал
высокотемпературной магмы (магмопроводник) и головное тело диапира. 3) Высота
всплывания диапира зависит от реологических свойств окружающей коры: увеличение
предела текучести на порядок (от 1 до 10 МПа) при снижении температуры ограничивает
возможный уровень подъема до глубины 15-16 км. 4) Над осевой частью диапира в
рельефе дневной поверхности формируется поднятие высотой около 750 м.
9
IIб. Результаты моделирования гравитационной неустойчивости
в предположении о вязкой реологии вещества. Рассмотрена задача о тепловой
конвекции
в
земной
коре.
Расчеты
выполнены
с
использованием
двумерной
математической модели тепловой конвекции, в которой движение породы описывалось
уравнениями Стокса. Распределение температуры находилось из уравнения переноса
тепла. Ввиду малости изменений плотности от температуры в уравнениях Стокса
использовалось приближение Буссинеска. Было выполнено преобразование исходной
задачи в естественных переменных «скорость – давление» в переменные «функция тока вихрь».
Рис.3. Геометрия области и краевые условия.
Схематическое изображение и основные геометрические размеры расчетной
области представлены на рис.3. Уравнения движения записывались в следующем
безразмерном виде:
  2 V
V
 2 V
 2  Vz
( )  2   A 2 2  x  A 2  z  A

A x
z
x
xz  z
x
z
 x
A2


 2  2
, Vz   A
,
 2  , где V x 
2
z
x
x
z
A
T 

 0, (1)
  ARa 1 
 x

H
.
L
(2)
Подстановка (2) в (1) дает уравнение четвертого порядка для функции тока:
2
2
2
   2

 2
  2 
T 
2  
2   
2 
  4 A

  ARa 1 
 2  A
 2 A
2  
2 
xz  xz 
 x
x    z
x 
 z
(3)
Уравнение переноса тепла имеет вид:



 Vx
 Vz
 .
t
x
z
(4)
10
Здесь x, z – оси координат, Vx, Vz – компоненты вектора скорости,  - функция тока,  вихрь,  - коэффициент кинематической вязкости, t – время,  – температура. Координаты
масштабированы на ширину L и глубину H области соответственно. Скоростные
переменные обезразмерены на характерную скорость /H, где  - коэффициент
температуропроводности. Остальные величины нормировались следующим образом:
время - на H2/, температура - на максимальное значение T1, коэффициент
кинематической вязкости - на значение вязкости 0 при минимальной температуре T0.
Число Рэлея, характеризующее взаимодействие подъемных сил и сил вязкости,
вычислялось как:
Ra 
 0 gH 3
,
0 
где 0, 0 - коэффициент динамической вязкости и плотность при T0,  = T1-T0 характерная разность температур, g – ускорение свободного падения,  - температурный
коэффициент объемного расширения. Использовалось линейное уравнение состояния:
   0 1   T  T0     p  p0  , где p, p0 - давление на глубине и на поверхности
соответственно,

-
коэффициент
изотермической
сжимаемости.
Давление,
соответствующее механическому равновесию при постоянных температуре T и плотности
, меняется с глубиной по гидростатическому закону: p = p0-gz.
На границах расчетной области для вектора скорости и температуры ставились
следующие краевые условия:
1 :
Vx
L
L
 qH
 0, Vz  0, 

 Nu1 -  , i  x  o , z  1;
z
z T1
L
L
1 :
Vx
L
L

 0, Vz  0, 
 Nu1 -  , 0  x  i  o  x  1, z  1;
z
z
L
L
 2 : Vx  0,
T
Vz
V


 0,
 0;  3 : Vx  0, Vz  0,   0 ;  4 : Vx  0, z  0,
 0;
T1
x
x
x
x
где  - коэффициент теплопроводности, q – тепловой поток на нижней грани земной коры.
Краевое условие на температуру на границе 1 записывалось в виде баланса тепловых
потоков, в котором конвективная составляющая моделировалась
горизонтальной
плиты
при
естественной
конвекции.
Для
как теплоотдача
числа
Нуссельта,
характеризующего интенсивность теплообмена, использовалась зависимость следующего
вида: Nu  0.54  Ra 1 / 4 .
В задачах геофизики вязкость претерпевает существенные изменения в полосе
малой толщины земной коры. Большие градиенты вязкости и большие числа Рэлея
11
являются характерными особенностями данной задачи.
Для твердых пород вязкость
описывается экспоненциальной зависимостью от температуры вида:   А0 expЕ / RT  ,
что требует специальных методов решения при рассмотрении задачи тепловой конвекции.
В расчетах применялась аппроксимационная формула Франк-Каменецкого в виде
степенной зависимости вязкости от температуры

  0  T  T0 
 

 1  T1  T0 
   0  ln 

Последняя сохраняет высокий градиент вязкости, но несколько снижает требования
к численной схеме. Наличие вторых производных от вязкости в уравнении переноса вихря
(1) обычно приводит к расходимости итерационных конечно-разностных алгоритмов. В
настоящей работе при больших числах Рэлея (Ra > 106) и больших градиентах вязкости
(1/0 < 10-3) вместо уравнений (1), (2), решалось уравнение четвертого порядка с
переменными коэффициентами (3). Решение сформулированной задачи осуществлялось
численным методом с использованием неявной итерационной конечно-разностной схемы
со стабилизирующей поправкой. Недостатком такого подхода является сравнительно
большое время расчета (особенно на неравномерных сетках), поскольку требует больших
объемов вычислений. При рассмотрении задачи на неравномерной сетке, и в частности, в
двух компонентной постановке «гранит – расплавленный базальт» представляется
эффективным использование численных методов «частиц- в- ячейках».
Рассматривалось влияние числа Рэлея и начальных условий на эволюцию движения
в земной коре. На рис. 4-6 представлен пример результатов численного моделирования
конвективной неустойчивости с высоким градиентом вязкости 1/0 = 10-3 и числом Ra =
5105 при t = 0.2 M лет. В расчетах использовались следующие значения параметров: L =
60 км, H = 30 км, Li = 25 км, Lo = 35 км, T0 = 293 K, T1 = 823 K, 0 = 2800 кг/м3, p0 = 105 Па,
 = 3.5 Вт/(мK),  = 10-6 м2/сек,  = 310-5 1/K,  = 10-11 1/Па, q = 0.03 Вт/м2. Вычисления
проводились на прямоугольной сетке с числом узлов 101x51. В качестве начальных
данных бралось линейное распределение температуры по глубине z. Структура течения
имеет характерный вид восходящего конвективного потока, по обеим сторонам которого
образуются интенсивные вихревые течения, закрученные в направлении потока. С
удалением от центра потока расположены вихри меньшей интенсивности, которые с
увеличением
числа
Рэлея
вытесняют
основные
вихри
вверх
и
способствуют
формированию системы более мелких вихрей. Распределение температуры имеет вид,
характерный для эффекта диапиризма, при котором горячий температурный фронт
проникает в более холодные слои земной коры.
12
Рис. 4. Распределение температуры.
Рис. 5. Структура течения: изолинии функции тока и поле скоростей.
Рис. 6. Распределение плотности.
13
Интенсивность проникновения и форма диапира определяются числом Рэлея, и в
меньшей степени отношением вязкостей 1/0. Распределение плотности повторяет форму
диапира и показывает ее понижение на фронте тепловой волны. Решение
задачи
о
конвективной неустойчивости в земной коре показало, что при больших числах Рэлея и
градиентах вязкости возникает восходящий конвективный поток, формирующий
тепловую волну к поверхности Земли, характерную для эффекта диапиризма. Для
детального решения данной задачи, в частности, в двух компонентой постановке
«гранит – расплавленный базальт» представляется перспективным использование
метода «частиц- в - ячейках» на многопроцессорных вычислительных системах.
IIв. Создана новая 2D нестационарная модель геологических течений в
приближении слабосжимаемой жидкости.
Рассмотрим систему уравнений, описывающую динамику слабосжимаемой
жидкости, замкнутую уравнением состояния:

    v   0,
t
vx
v
v
1 p 1
 vx x  v y x 
 v  0,
t
x
y  x 
vy
t
 vx
vy
x
 vy
v y
y

1 p
1
 g  v  0,
 y

T
  v  T  k T ,
t
p  p0 

1 
   T  1 ,
  0

где  – плотность, v  vx , v y  – скорость, T – температура, p – давление,  – вязкость, g
– ускорение свободного падения, k – температуропроводность.
Для масштабирования элементов решения системы уравнений введена операция
приведения уравнений к безразмерному виду, что позволило избежать большого
накопления погрешности вычислений. Все параметры течения представлены в виде
f  f 0 f  , где f – физическая характеристика, f 0 , f  – ее характерное и безразмерное
значения. В качестве характерных величин взяты:
L0  103 м ,
t0  1012 c ,
 0  103 кг / м3 ,
14
v0  L0 t0 ,
T0  550o C ,
p0  105 Па  105 кг / м  сек ,
0  108 Па×с  108 кг / м ,
k  106 м 2 / сек ,
  3 1051/ C o ,
  10111/ Па  1011 м  сек / кг ,
Для улучшения счетных характеристик численной модели введена замена переменных:
p  p1  p t 0 , где p1 - исходная переменная, а p t 0 выбрано таким образом, чтобы
выполнялось соотношение
1

C1
p
 C2 g  0 .
y
В итоге для безразмерных величин получена следующая система уравнений:
 v v 



 vx
 vy
   x  y   0,
t
x
y
 x y 
vx
v
v
1 p 1   v
 v
 vx x  v y x  C1  C3   x   x
t
x
y  x   x x y y

  0,

vy

  0,

t
 vx
vy
x
 vy
v y
y

1

C1
p 1   v y  v y
 C3  
 
y   x x y y
T
T
T  T  T
 vx
 vy
 k
 k
,
t
x
y x x y y
p  1     p1T  1 p2 ,
где C1  1 , C2  102 , C3  109 , p1  1.65 102 , p2  103 .
В расчетной области 30км x 60км заданы следующие начальные и граничные
значения параметров течения:
vx t 0  0, v y
t 0
 0, T
t 0
 T* y,
 t 0  1  AT
1  A2 2.8 gymin C1 C2  1  A2 gy C1 C2  ,
p t 0  g  2.8 ymin   y  C1 C2  1,
где T*  3.27 102 , A1  1.65 102 , A2  106 .
На границах x  0, x  xmax :
v
v

p
T
0,
 0,
 0, x  y  0.
x
x
x
x
x
На границе y  0 :
  2.8 , p  1 , T  0 , vx  v y  0 .
15
На границе y  ymin :
p  103 , T  1 , vx  v y  0 .
T
y
Задан модельный поток:
 2(T1  T0 )r 3 R3  3(T1  T0 )r 2 R 2  T1 ,
ymin
где T1  2 - температура нагрева, r - расстояние от центра границы, R  40 - расстояние
от центра границы, определяющее заданную область нагрева. Скорости в области нагрева
задаются согласованно в соответствии с исходными уравнениями:
vx
y
 vx  
ymin
p 1
,
x 
v y
y
 vy  
ymin
p 1
.
y 
Система уравнений реализована конечно-разностными методами на регулярной
прямоугольной сетке в декартовой системе координат. Уравнение неразрывности
реализовано с использованием явной противопотоковой схемы. Уравнения для
температуры и скоростей решаются неявным методом стабилизирующей поправки.
Тестовые расчеты проводились при h  0.5,   103 . Заданы следующие безразмерные
значения модельных параметров: вязкость  = 1 и температуропроводность, k = 100. В
результате согласования потоков получены гладкие значения скоростей (рис. 7, 8).
Рис. 7. Распределения значений температуры (а), плотности (б), вертикальной (в) и
горизонтальной (г) составляющих скорости при t = 5*1010 с. Шкала (а) – температур в
градусах (С), (б) – плотности в кг/м3, (в, г) – скорости в м/с.
16
Рис. 8. Изолинии температуры (а), плотности (б), вертикальной (в) и горизонтальной (г)
составляющих скорости при t = 5*1010 с.
Рис. 9. Изолинии температуры в моменты времени t = 1010 с (а), t = 5*1010 с (б) , t = 5*1010
с (в) и t = 1011 с (г). Шкала температур в градусах (С).
17
Таким образом, создана новая 2D нестационарная модель геологических течений
в приближении слабосжимаемой жидкости. Разработан алгоритм и прототип программы
расчета модельной задачи при постоянной вязкости. Введено согласование входящего
теплового потока. Получены результаты расчетов, подтверждающие правомерность
построенной модели.
III. Адаптация программного обеспечения к многопроцессорному
моделированию.
Выполнен анализ существующего программного обеспечения для решения
различных задач механики сплошной среды на основе метода конечных элементов.
Совместно с НГУ осуществлена закупка программного обеспечения MSC
University FEA Bundle, включающего реализацию метода конечных элементов NASTRAN
(см. «Протокол…» в приложении). Совместно с НГУ разрабатывается схема интеграции
программного обеспечения в программно-аппаратную среду кластера ИВЦ НГУ.
Осуществлялась техническая поддержка пользователей программ Marc и Nastran.
Выполнены тестовые расчеты тонкостенных оболочек в программе Nastran.
Выполнены тестовые расчеты напряженно-деформированного состояния в твердом
образце в программе Marc. MSC.NASTRAN представляет собой первый в истории
коммерческий пакет, реализующий метод конечных элементов.
MSC.NASTRAN
обеспечивает полный набор расчетов, включая расчет напряженно-деформированного
состояния, запасов прочности, собственных частот и форм колебаний, анализ
устойчивости,
исследование
установившихся
и
неустановившихся
динамических
процессов, решение задач теплопередачи, акустических явлений, нелинейных статических
и нелинейных переходных процессов, анализ сложного контактного взаимодействия,
расчет критических частот и вибраций роторных машин, анализ частотных характеристик
при воздействии случайных нагрузок и импульсного широкополосного воздействия,
исследование аэроупругости на дозвуковых и сверхзвуковых скоростях. Предусмотрена
возможность моделирования практически всех типов материалов, включая композитные и
гиперупругие. В состав расширенных функций входит технология суперэлементов
(подконструкций), включая продвинутые методы динамических конденсаций, модальный
синтез и развитые методы анализа динамики сложных структур на основе суперэлементов
и формулировок метода Крейга-Бемптона. В дополнение к MSC.NASTRAN в состав
University FEA входит также пакет для построения расчетных сеток и визуализации
PATRAN, пакет для расчета нелинейных задач Marc, пакет для расчета динамических
нагрузок DYTRAN и пакет для построения сеток и визуализации, специализированный
для работы с оболочечными моделями.
18
Публикации по теме проекта за 2009 год.
1. Полянский О.П., Бабичев А.В., Ревердатто В.В., Коробейников С.Н., Свердлова В.Г.
Компьютерное моделирование гранито-гнейсового диапиризма в земной коре//
Доклады Академии наук, 2009, т. 429, №1, 101-105.
2. Верниковская А.Е., Верниковский В.А., Матушкин Н.Ю., Полянский О.П., Травин
А.В.
Термохронологические
модели
эволюции
лейкогранитов
А-типа
неопротерозойского коллизионного орогена Енисейского кряжа// Геология и
геофизика, 2009, т. 50 (№5), 576-594
3. Федорук М.П., Прокопьева Л.Ю., Чубаров Д.Л., Юрченко А.В., Стрижак С.В., Юдин
А.Б., Некрашевич С.С., Аффонников Д.А., Подколодный Н.Л., Вяткин Ю.В.,
Вишневский О.В. Информационно-вычислительный центр в Новосибирском
университете // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ’2009): Труды
международной научной конференции (Нижний Новгород, 30 марта – 3 апреля 2009 г.).
– Челябинск: Изд. ЮУрГУ, 2009. – С. 825.
4. Polyansky O. P., Korobeynikov S. N., Babichev A. V., Reverdatto V. V. Numerical modeling
of Rayleigh-Tailor instability in relation to the melting and diapirism of granite magma in the
crust. Abstr. Int. Conf. “Geodyn. Phenomena: From Field, Observational, Computational,
Seismological, Rheological Persp.”, Suzdal, Russia, 18-23.08.2009, Inst. Phys. Earth RAS,
Moscow, p. 110-112
5. О. П. Полянский, С. Н. Коробейников, А. В. Бабичев, В. В. Ревердатто, В. Г. Свердлова.
Оценки параметров диапиризма гранитной магмы в земной коре (скорость и уровень
подъема, реология и температура) // Тезисы конф. посвящен. 110-летию акад. Д.С.
Коржинского «Физико-химические факторы петро- и рудогенеза: новые рубежи»,
Москва, ИГЕМ РАН, 7-9.10.2009, стр. 320-323.
6. Polyansky O.P., Babichev A.V., Korobeinikov S.N., Reverdatto V.V., Sverdlova V.G.
Computer model of granite-gneiss diapirism. // Geochimica et Cosmochimica Acta, V. 73, N.
13. suppl. 1 (June 2009), p. A1041.
7. Полянский О.П., Коробейников С.Н., Свердлова В.Г., Бабичев А.В., Ревердатто В.В.
Влияние реологии коры на характер субдукции плит по результатам математического
моделирования// Доклады Академии наук, 2010, т. 430, №4. (в печати)
Участие в конференциях
1. Шокин Ю.И., Федорук М.П. Применение высопроизводительных вычислений для
решения сложных задач математической физики // Шестое совещание российскоказахстанской рабочей группы по вычислительным и информационным
тезнологиям (16-18 марта 2009 г.), Алма-Аты.
2. Федорук М.П., Прокопьева Л.Ю., Чубаров Д.Л., Юрченко А.В., Стрижак С.В.,
Юдин А.Б., Некрашевич С.С., Аффонников Д.А., Подколодный Н.Л., Вяткин Ю.В.,
Вишневский О.В. Информационно-вычислительный центр в Новосибирском
университете // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ’2009) (30 марта
– 3 апреля 2009 г.), Нижний Новгород.
3. О. П. Полянский, С. Н. Коробейников, А. В. Бабичев, В. В. Ревердатто, В. Г.
Свердлова. Оценки параметров диапиризма гранитной магмы в земной коре
(скорость и уровень подъема, реология и температура) // Конф. посвящен. 110летию акад. Д.С. Коржинского «Физико-химические факторы петро- и рудогенеза:
новые рубежи», Москва, ИГЕМ РАН, 7-9.10.2009
4. Ревердатто В.В. Развитие идеи Д.С.Коржинского о локальном равновесии
минералов при метаморфизме// Конф. посвящен. 110-летию акад. Д.С.
Коржинского “Физико-химические факторы петро- и рудогенеза: новые рубежи”
(7-9 октября). Москва, ИГЕМ, 2009, с. 332-335.
19
Финансовый отчет за 2009 г. по ИГМ СО РАН
по интеграционному проекту СО РАН № 2
"Тепломассоперенос в континентальной коре
в условиях гравитационной неустойчивости:
геологический анализ и многопроцессорное моделирование"
Код по
КПС
Виды расходов
Всего на
2009 г.
(руб.)
211 Заработная плата
212
Прочие выплаты (командировки и
служебные разъезды в части оплаты
суточных)
213 Начисления на фонд оплаты труда
891442
(единый социальный налог) - 26,2%
221 Услуги связи
222 Транспортные услуги, в т.ч. оплата
транспортных расходов при
командировках и служебных
разъездах
224 Арендная плата за пользование
233558
10000
имуществом
225 Услуги по содержанию имущества
226
Прочие услуги, в т.ч. оплата
проживания на время нахождения в
служебной командировке
310 Увеличение стоимости основных
340
25000
90000
75000
310000
средств
225000
Увеличение стоимости материальных
запасов (расходные материалы и
предметы снабжения)
640000
ИТОГО РАСХОДОВ
2 500 000
Координатор проекта,
академик РАН
Главный бухгалтер
Ревердатто В.В.
Еремина И.А.
20
"УТВЕРЖДАЮ"
Директор Института …………
«____» __________________ 2009 г.
М.П.
Финансовый отчет
по междисциплинарному интеграционному проекту СО РАН на 2009-2011 годы,
№ 2 «Тепломассоперенос в континентальной коре в условиях гравитационной
неустойчивости: геологический анализ и многопроцессорное моделирование»
на 2009 год
№ Код
по
БК
Предметные статьи расходов
За год
(руб.)
1
211
Заработная плата
395470
2
212
Прочие выплаты (командировки и служебные
разъезды в части оплаты суточных)
54000
3
213
Начисления на фонд оплаты труда (единый
социальный налог) – 26,2% включая тариф на
обязательное
социальное
страхование
от
несчастных
случаев
на
производстве
и
профессиональных заболеваний
4
221
Услуги связи
5
222
Транспортные услуги, в т.ч. оплата транспортных
расходов при командировках и служебных
разъездах
6
224
Арендная плата за пользование имуществом
7
225
Услуги по содержанию имущества
8
226
Прочие услуги, в т.ч. оплата проживания на время
нахождения в служебной командировке
9
290
10 310
11 340
I кв.
(руб.)
II кв.
(руб.)
III кв.
(руб.)
IV кв.
(руб.)
158470 79000
14000 40000
79000
0
79000
0
21000
0
0
21000
0
10000
41530
0
10000
0
0
21000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
104530
246000
40000
Прочие расходы
0
Увеличение стоимости основных средств
0
Увеличение стоимости материальных запасов, в
14000 232000
0
40000
0
0
0
0
том числе:
Медикаменты, перевязочные средства и прочие
лечебные расходы
Продукты питания (кормление животных в
вивариях)
Оплата горюче-смазочных материалов
Прочие расходные
материалы и предметы
снабжения
12
Накладные расходы Института
150000
0
0
13 800
ИТОГО РАСХОДОВ
1000000 388000 412000 100000
Координатор проекта
д.ф.-м.н.
М.П. Федорук
Главный бухгалтер
А.Н. Осина
100000
21