Тема 16. Законы движения планет. Движение тел под действием

ИИСС «Планетарий»
Урок 16. Законы движения планет
Тема. Законы движения планет.
Цели урока.
Учащиеся должны усвоить:
1. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
2. Планеты движутся по своим орбитам с переменной скоростью таким образом, что
площади описываемые радиус-вектором планеты от центра Солнца до планеты за
равные промежутки времени, оказываются равными.
3. Отношение квадратов периодов планет прямо пропорционально отношению кубов их
больших полуосей.
4. Сила гравитационного притяжения прямо пропорциональна произведению масс
взаимодействующих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между
ними.
Основные понятия. Эллипс, фокусы эллипса, большая и малая полуоси эллипса,
эксцентриситет, радиус-вектор планеты, секториальная скорость, сидерический период
обращения планеты, астрономическая единица.
Демонстрационный материал. Иллюстрации и модели ИИСС «Планетарий»
Самостоятельная деятельность учащихся. Выполнение тестовых заданий.
Мировоззренческий аспект урока. Развивать навыки логического мышления учащихся и
научного подхода к изучению мира.
Использование новых информационных технологий. Работа с моделями.
План урока.
Формы
Время,
Приемы
и
Краткое содержание урока
использования
мин
методы
планетария
1. Изучение нового материала:
15
Объяснение
учителя.
 история открытия законов
 эллипс, основные точки и линии Иллюстрации,
модели
 первый закон Кеплера
 второй закон Кеплера
 третий закон Кеплера
 закон всемирного тяготения
5
Беседа
с
учащимися
Работа
с
2. Работа с интерактивной моделью
интерактивной
моделью
14
2. Самостоятельная работа
3. Домашнее задание
1
Самостоятельна
я
работа
учащихся
Запись на доске
учителя
Конспект урока.
Выдающийся математик и астроном Иоганн Кеплер был горячим сторонником
гелиоцентрической системы мира и пытался её усовершенствовать геометрическими
способами. Кеплер предположил, что, поскольку в мире должна существовать полная
математическая гармония, пять планетных «сфер» могут располагаться вокруг Солнца
таким образом, чтобы между ними вписывались правильные многогранники (рис.1).
1
ИИСС «Планетарий»
Проделанная Кеплером вычислительная работа была под силу только
незаурядному математику. Между самыми далекими сферами Сатурна и Юпитера он
поместил куб так, чтобы вершинами он касался сферы Сатурна, а гранями - сферы
Юпитера. Между Юпитером и Марсом Кеплер поместил тетраэдр и т. д. с тем же
расчетом, чтобы гранями каждый многогранник касался внутренней, меньшей сферы, а
вершинами был вписан в большую сферу.
Попытка дать геометрическую картину мира в духе Птолемея с учетом идей
Коперника импонировала многим. Ознакомившись с книгой Кеплера, Тихо Браге
пригласил его к себе на работу помощником. Иоганн Кеплер приступил к обработке
результатов астрономических наблюдений, собранных Тихо Браге, полагая, что их
огромное количество и высочайшая по тем временам точность позволят наконец-то
установить, какие тела вокруг каких и по каким окружностям движутся. То, что
движение небесных тел может осуществляться лишь по идеальным круговым орбитам,
не вызывало у Кеплера, как и у других ученых того времени, никакого сомнения.
Восемь лет после смерти Тихо Браге императорский математик Кеплер, не
получавший ни гроша за свою работу от императора, перебивавшийся составлением
гороскопов и случайными заработками, живший впроголодь в вопиющей бедности,
искал путь движения Марса. По его собственным словам, «размышляя и соображая, он
чуть не сошел с ума». Но он нашел то, что искал.
Используя данные Коперника, Кеплер сначала изобразил орбиты Земли и Марса
окружностями с радиусами 1 и 1, 5, а чтобы объяснить неравномерное движение
Солнца по эклиптике, сместил его из центра земной орбиты на 0,017 её ради уса. Но
попытки изобразить орбиту Марса окружностью окончились неудачей: вычисленные
положения планеты не совпадали с наблюдаемыми. Тогда Кеплер понял, что
многовековое убеждение в круговом движении планет оказалось ложным, и стал
подбирать для Марса подходящую орбиту: лучше всего подошла геометрическая
фигура называемая эллипсом.
Образно говоря, эллипс – это сплюснутая окружность. Математическое
определение таково: эллипс – это плоская замкнутая кривая, для любой точки которой
2
ИИСС «Планетарий»
сумма расстояний от двух заданных точек (фокусов эллипса) постоянна. Рассмотрим
основные точки и линии эллипса (рис.2).
Важнейшие точки и линии эллипса
АА`– большая ось эллипса, обозначается 2а; ВВ` – малая ось – 2b. Обе оси взаимно
перпендикулярны и пересекаются в центре эллипса – точке О. Половины осей называются
полуосями.
Точки F1, F2 – фокусы эллипса. Фокусы лежат на одинаковом расстоянии с от центра
эллипса и лежат на большой оси. Они характерны тем, что лучи, вышедшие из точечного
источника, помещенного в один фокус, после отражения от разных точек эллипса
обязательно пройдут через другой фокус. Аналогично тому, как световые лучи
собираются в фокусе выпуклой линзы.
с
Степень выпуклости эллипса характеризуется эксцентриситетом е  . При
а
эксцентриситете е = 0 оба фокуса эллипса сливаются с его центром и эллипс
превращается в окружность. При малом эксцентриситете вытянутость эллипса
незначительна и он мало отличается от окружности. Наоборот очень, значения е, близкие
к 1, характеризуют очень вытянутый эллипс.
Доказав движение Марса по эллиптической орбите, Кеплер поместил Солнце в
один из её фокусов, и тогда все теоретически рассчитанные видимые положения планеты
совпали с наблюдаемыми.
В 1609 году вышла в свет «Новая астрономия, причинно обоснованная, или физика
неба, изложенная в исследованиях движения звезды Марс, по наблюдениям
благороднейшего мужа Тихо Браге». В этой гениальной книге Кеплер впервые
сформулировал те положения, которые мы теперь называем первым и вторым законом
Кеплера.
Первый закон Кеплера: планеты движутся по орбитам, имеющим форму эллипса, в
одном из фокусов которого находится Солнце.
При движении планеты вокруг Солнца её гелиоцентрическое расстояние расстояние от Солнца то точки, где находится планета, т. е. радиус-вектор планеты непрерывно изменяется. Среднее гелиоцентрическое расстояние Земли, равное большой
полуоси её орбиты, принимается за единицу измерения расстояний в Солнечной системе и
называется астрономической единицей. По современным измерениям 1 а.е. = 149,6 млн
км.
3
ИИСС «Планетарий»
Второй закон Кеплера, называемый законом площадей, утверждает, что радиусвектор планеты очерчивает за одинаковые интервалы времени равную площадь. Таким
образом, планеты движутся по своим орбитам неравномерно, причем, планеты движутся с
максимальной скоростью, когда находятся около перигелия (ближайшей к Солнцу точки
своей орбиты), и с минимальной — около афелия (наиболее удаленной от Солнца точки
орбиты).
Рис. Первый и второй законы Кеплера.
Интерактивная модель «Законы Кеплера»
Площадь, описываемая радиус-вектором планеты в единицу времени, называется её
секториальной скоростью. Второй закон Кеплера часто формулируется так: секториальная
скорость планеты есть величина постоянная.
4
ИИСС «Планетарий»
Оба закона Кеплера решают задачу движения каждой планеты в отдельности.
Совершенно естественно, что у Кеплера возникла мысль о существовании закономерности,
связывающей все планеты в единую стройную планетную систему. Лишь в 1618 г. Кеплер
нашел и опубликовал в книге «Гармония мира» эту закономерность, известную как третий
закон Кеплера.
Третий закон Кеплера: что квадраты сидерических периодов обращения планет
вокруг Солнца прямо пропорциональны кубам их средних расстояний от Солнца.
Промежуток времени за который, за который планета совершает один оборот
вокруг Солнца, называется звездным или сидерическим периодом обращения.
Обозначим через Т1 сидерический период обращения одной планеты, а через а1 – и
её среднее гелиоцентрическое расстояние (большую полуось орбиты планеты). Такие же
величины для другой планеты обозначим через Т2 и а2 . Тогда третий закон Кеплера
запишется так:
T12 a13
, или

T22 a23
T12 T22 T32
T2



...

C,
a13 a 23 a33
a3
т. е. отношение квадрата сидерического периода обращения планеты к кубу её среднего
расстояния от Солнца является постоянной величиной для всей Солнечной системы.
Если выражать сидерический период планеты в периодах обращения Земли вокруг
Солнца, т. е. земных годах, а среднее расстояние до Солнца в астрономических единицах,
то для Земли Т = 1 году и а = 1 а. е., откуда С = 1, и тогда третий закон Кеплера примет
вид
T 2  a3 .
Хотя законы Кеплера по исторической традиции формулируются как законы
движения планет, в действительности они применимы к движению любых тел вокруг
Солнца, а также движению естественных и искусственных спутников планет.
Кеплер не только открыл законы движения планет, но и пытался понять, почему
планеты движутся именно таким образом. Он догадывался, что от Солнца исходит какаято центральная сила, управляющая движениями планет, но не смог разобраться в её
природе, пытаясь увязать её с давлением на планеты солнечных лучей и магнитными
явлениями.
Первый шаг в правильном направлении сделал Галилео Галилей. Он
сформулировал концепцию инерции, пришедшую на смену концепции естественных
движений. Галилей утверждал, что тело сохраняет состояние покоя или состояние
прямолинейного равномерного движения, если к нему не приложена никакая внешняя
сила, причем это относилось и к небесным, и к земным телам. Это было исключительно
смелое утверждение, так как впервые провозглашалось, что два считавшихся совершенно
разными мира — земной и небесный, на самом деле являются единым физическим
пространством.
Французский ученый Рене Декарт (1596–1650) догадался, что движение планет
представляет собой сочетание прямолинейного движения по инерции и постоянного
падения на Солнце — падения, в результате которого планета, совершив оборот,
возвращается в исходную точку, и так еще и еще, бесчисленное множество раз. Но
объяснить, почему планеты «падают» на Солнце, Декарт не сумел.
Это сделал английский физик Роберт Гук (1635–1703). Именно ему принадлежит
идея о том, что движением планет управляет сила тяготения. Гук даже считал, что эта
сила прямо пропорциональна массам взаимодействующих тел и каким-то образом
уменьшается с увеличением расстояния между ними, но не смог выразить эти
зависимости математически.
5
ИИСС «Планетарий»
Последний шаг сделал Исаак Ньютон, обобщивший идеи своих предшественников
и давший математическую формулу силы тяготения — силы, что правит мирами.
Закон всемирного тяготения: сила тяготения прямо пропорциональна массе
взаимодействующих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояний между
ними.
Mm
F G 2
r
Используя закон всемирного тяготения можно получить третий закон Кеплера в
обобщенной форме. Обозначим индексом 1 величины в одной системе тел, а индексом 2 –
в другой системе тел. Тогда:
T22 ( M 2  m2 ) T12 ( M 1  m1 )
T22 ( M 2  m2 ) a23
,
или


a23
a13
T12 ( M 1  m1 ) a13
В таком виде закон позволяет вычислить отношении масс центральных тел систем,
если массы их спутников пренебрежимо малы по сравнению с массами их центральных
тел.
Используя модель 3.3 Законы движения планет «Открытая астрономия 2.6»
Ответьте на вопросы:
1. *Если планеты перечислять в порядке возрастания их расстояния от Солнца, то этот
порядок будет соответствовать увеличению:
А) периода вращения планет вокруг своих осей
Б) эксцентриситета орбит
В) периода обращения вокруг Солнца
Г) размеров планет
Д) их видимой яркости.
2. *Отношение кубов больших полуосей орбит двух планет равно 16. Следовательно,
период обращения одной планеты больше периода обращения другой:
А) в 8 раз
Б) в 4 раза
В) в 2 раза
Г) в 16 раз
Д) в 32 раза.
3. *Отношение квадратов периодов обращения двух планет вокруг Солнца равно 8.
Следовательно, отношение больших полуосей этих планет равно
А) 8
Б) 4
В) 16
Г) 2.
Д) 64.
4. *Как должен измениться период обращения спутника, если он останется на прежнем
расстоянии от планеты, а масса планеты увеличится в 4 раза?
А) Увеличится в 2 раза.
Б) Уменьшится в 2 раза.
В) Останется неизменным.
Г) Увеличится в 4 раза.
Д) Уменьшится в 4 раза.
5. *Все утверждения за исключением одного приемлемы. Укажите исключение.
А) Земля движется быстрее, когда она находится ближе к Солнцу.
Б) Орбита Земли лежит в плоскости, проходящей через центр Солнца.
6
ИИСС «Планетарий»
В) Линия, соединяющая Землю и Солнце, описывает равные площади за период с 21 по
23 марта и с 21 по 23 декабря.
Г) Солнце находится точно в центре орбиты Земли.
Д) Земля движется медленнее, когда она находится дальше от Солнца.
6. *По своей орбите Земля движется:
А) быстрее, когда она находится ближе к Солнцу.
Б) быстрее ночью.
В) с постоянной скоростью.
Г) быстрее, когда она находится ближе к Луне.
Д) ни одно из этих утверждений неверно.
7. *Предположим, что обнаружены 3 планеты, вращающиеся вокруг какой-то звезды и
имеющие следующие характеристики:
Планета
Период обращения
Масса
1
14 лет
10 масс Земли
2
188 лет
17 масс Земли
3
50 лет
0,5 масс Земли
На основе законов Кеплера расположите эти планеты в порядке возрастания их
расстояния от звезды. Если начать с ближайшей к звезде планеты, то их порядок таков:
А) 1-2-3.
Б) 2-3-1.
В) 3-1-2.
Г) 2-1-3.
Д) 1-3-2.
8. Звездный период обращения Юпитера вокруг Солнца составляет 12 лет. Каково среднее
расстояние от Юпитера до Солнца?
9. **Автоматическая станция «Луна-1», запушенная 2 января 1959 года, вышла на
гелиоцентрическую орбиту и превратилась в первую искусственную планету. Её
расстояние от Солнца в перигелии 0,98 а.е., в афелии 1,32 а.е. Вычислите по этим данным:
А) большую полуось её орбиты;
Б) эксцентриситет её орбиты;
В) её период обращения (в годах)
10. Самый первый астероид, открытый 1 января 1801 года, был назван Церерой.
Эксцентриситет орбиты Цереры равен 0,079, большая ось 5,54 а.е.
А) Чему равна большая полуось орбиты Цереры?
Б) Чему равно наибольшее расстояние Цереры от Солнца?
В) Вычислите период обращения Цереры вокруг Солнца (в годах)
*Задания 1-7 взяты из книги Г. И. Малахова, Е. К. Страут «Дидактический материал по астрономии». М.,
Просвещение, 1979
** Задания 8-9 взяты из книги Разбитная Е. П. «Программированные задания по астрономии: Пособие для
учителей».-М.: Просвещение, 1981.
Ответы
1
2
В
Б
3
Г
4
Б
5
Г
6
А
7
Д
8
3
12
7
2
9А
9Б
9В 10А 10Б 10В
1,15 0,15 1,23 2,77 2,99 4,61