Олимпиадные задания для 7 класса. Олимпиада после летних каникул. 1. Как, не пользуясь измерительными инструментами, от шнура длиной 2 1 3 м отрезать 2 м? 2. Решите уравнение | | x – 386 | – 7 | = 5. 3. Натуральное число n делится на 12 и имеет 14 различных делителей (положительных). Найдите число n. 4. На координатной плоскости обозначена точка А (2; 1). Найдите все точки, имеющие целые координаты, которые находятся на расстоянии 5 от точки А. 5. Лифт едет с 1-го на 6-й этаж 15 секунд. За сколько секунд он проедет со 2-го по 10-й этаж? Турнир смекалистых. Раунд 1 1. Каких пятизначных чисел больше: не делящихся на 5 или тех, у которых ни первая, ни вторая слева цифры не пятёрки? 2. Верно ли утверждение, что число f (n) = n2 + n + 41 простое при любом целом n? 3. Длину прямоугольника уменьшили на 2,4 м, а ширину увеличили на 30 %. В результате площадь нового прямоугольника оказалась на 4 % больше площади старого. Найдите новую длину прямоугольника. 4. Рассказывая о своем дедушке, Катя каждый раз старалась назвать его по-новому: «отец брата отца», «брат отца брата», «отец отца брата», «брат отца отца». Сколько раз Катя ошиблась? (Все братья родные!) 5. Представьте, что все лжецы живут в одном городе, а все рыцари – в другом. Как выяснить у аборигена, куда ведёт интересующая нас дорога – в город рыцарей или в город лжецов? Раунд 2. 1 . Пять кошек поймали 5 мышек за 5 минут. Сколько кошек поймают 10 мышек за 10 минут? 2. В тёмной кладовой без порядка лежат ботинки: 10 пар чёрных и 10 пар коричневых. Сколько ботинок надо взять, чтобы среди них оказалась хотя бы одна пара (левый и правый ботинок) одного цвета? В темноте нельзя отличить не только цвет ботинка, но и левый от правого. 3. Какое наибольшее число клеток доски 6 Ч 6 можно покрасить так, чтобы никакие две закрашенные клетки не соприкасались даже в одной точке? 4. Над озёрами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и ещё полгуся, остальные летели дальше. Все сели на 7 озёрах. Сколько было гусей, если на последний остров сел один последний гусь? 5. Натуральное число n делится на 18 и имеет 14 различных положительных делителей. Найдите число n. Математический бой. Раунд 1 1. Хулиган Ваня разорвал школьную стенгазету на 10 кусков. Затем некоторые из кусков он разорвал ещё на 10 кусков, затем некоторые из кусков – ещё на 10 кусков и т. д. На следующий день собрали 1009 кусков. Все ли кусочки нашли? 2. Имеются 4 пакета и чашечные весы без гирь. За 5 взвешиваний расположите пакеты по весу. 3. На какое наименьшее число частей надо разрезать торт, чтобы его можно было раздать поровну как троим, так и четверым? 4. 30 лет назад возрасты Ани, Бори и Вали относились как 1 : 2 : 5. Сейчас возрасты Ани и Бори относятся как 6 : 7. Сколько сейчас лет Вале? 5. Найдите все двузначные числа, которые делятся на каждую свою цифру и на сумму своих цифр. Раунд 2 1. Сравните a и b, если 5 ∙ (a – 1) = a2 + b. 2. Апельсин стоит 278 тубриков, а лимон – 455 тубриков. Куплено несколько фруктов общей стоимостью 3842 тубрика. Сколько куплено лимонов? 3. Магазин снизил цену на стиральную машину на 10 %, при этом в результате продажи получает прибыль 8 %. Какую прибыль получал магазин до снижения цены? 4. Найдите все двузначные числа, которые после перестановки цифр увеличиваются на 75 %. 5. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение х2у3 = 612? Олимпиада 1. 1. В баке не менее 10 литров бензина. Можно ли отлить 6 литров с помощью девятилитрового ведра и пятилитрового бидона? 2. Решите уравнение (x – y)2 + (х – 3)2 + | 2x + y + z | = 0. 3. Можно ли разменять 37 рублей на десять монет достоинством в 1 рубль, 3 рубля и 5 рублей? 4. Прямоугольник разрезали на три прямоугольника, два из которых имеют размеры 7 Ч 11 и 4 Ч 8. Какие размеры может иметь третий прямоугольник? Найдите все возможные варианты. 5. Одно и то же число поделили с остатком на 3, на 12 и на 54. Сумма трёх полученных остатков оказалась равна 39. Найдите остаток, полученный при делении на 3. Олимпиада 2. 1. Можно ли разменять 29 рублей на восемь монет достоинством в 1 рубль, 3 рубля и 5 рублей? 2. Коробейник купил на оптовом рынке партию ручек и предлагает покупателям либо одну ручку за 5 рублей, либо три ручки за 10 рублей. От каждого покупателя коробейник получает одинаковую прибыль. Какова оптовая цена ручки? 3. Найдите все пятизначные числа, у которых каждая цифра числа строго больше суммы цифр, стоящих правее неё. В частности, четвёртая цифра больше пятой. 4. Белка за 20 минут приносит орех в гнездо. Далеко ли от орешника её гнездо, если известно, что налегке белка бежит со скоростью 5 м/с, а с орехом 3 м/с? 1 5. В классе число отсутствующих учеников составляет 6 часть от числа присутствующих. После того как из класса вышел один ученик, число 1 отсутствующих стало равно 5 числа присутствующих. Сколько учеников учится в этом классе? Олимпиада 3. 1. – Который час? – спросили Пифагора. Он ответил: – До конца суток остается дважды две пятых того, что уже протекло от начала. В какое время суток был задан вопрос? 2. Определите, сколько диагоналей в выпуклом произвольном восьмиугольнике. 3. Докажите, что при любом целом а выражение а3 – 7а делится на шесть. 4. Найдите стороны прямоугольника, у которого периметр численно равен площади, а стороны – натуральные числа. 5. Найдите все натуральные числа, делящиеся на 6 и имеющие ровно 14 различных делителей. Олимпиада 4. 1. Решите систему уравнений x y z 45, y z t 70, z t x 65, t x y 60. 1 1 2 2. Известно, что х + х = 11. Чему равно х2 + х ? 1 3. Известно, что a + а – целое число, а a не целое. 1 3 Докажите, что a3 + а – целое число. 4. Решите уравнение | x – 7 | = x – 7. 5. Натуральное число кратно 11. Может ли сумма его цифр равняться 111?