Глава II . Старинные способы умножения.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 28 с углубленным изучением отдельных предметов
имени А.А. Угарова»
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА
НА ТЕМУ: «НЕТРАДИЦИОННЫЕ ПРИЕМЫ
УМНОЖЕНИЯ»
выполнили:
обучающиеся 4 класса «Б»
Моисеева Полина
Горбачев Даниил
руководитель:
Амитина Оксана Владимировна,
учитель начальных классов
Старый Оскол
2013-2014 учебный год
1
Оглавление
Введение.............................................................................................................................................. 2
Глава 1. История счёта ....................................................................................................................... 4
1.1. Как возникли числа ................................................................................................................ 4
Глава II . Старинные способы умножения. ...................................................................................... 6
2.1. Русский крестьянский способ умножения. .......................................................................... 6
2.2. Метод «решетки».................................................................................................................... 7
2.3. Египетский способ умножения ............................................................................................. 8
2.4. Умножение на пальцах ........................................................................................................... 9
1 способ .................................................................................................................................... 9
2 способ .................................................................................................................................. 10
Глава 3. Устный счет – гимнастика ума ......................................................................................... 11
3.1. Умножение и деление на 4................................................................................................... 11
3.2. Умножение и деление на 5................................................................................................... 11
3.3. Умножение на 25. ................................................................................................................. 11
3.5. Умножение на 9. ................................................................................................................... 12
3.6. Умножение на 11................................................................................................................... 12
3.7. Умножение трехзначного числа на 101. ............................................................................. 12
3.7. Игры ....................................................................................................................................... 13
Отгадывание полученного числа. ......................................................................................... 13
Угадывание задуманных чисел.............................................................................................. 13
Заключение ....................................................................................................................................... 13
Список использованной литературы .............................................................................................. 14
Введение
Можно ли представить себе мир без чисел? Без чисел ни покупки не
сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберёшь. А
космические корабли, лазеры и все другие технические достижения?! Они были
бы попросту невозможны, если бы не наука о числах.
Две стихии господствуют в математике – числа и фигуры с их
бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. В нашей работе
предпочтение отдано стихии чисел и действий с ними.
Сейчас, на этапе стремительного развития информатики и
вычислительной техники, современные школьники не хотят утруждать себя
счетом в уме. Поэтому мы сочли важным показать не только то, что сам
процесс выполнения действия может быть интересным, но и что, хорошо
усвоив приёмы быстрого счета, можно обойтись без калькулятора.
Объектом исследования являются алгоритмы счета.
Предметом исследования выступает процесс вычисления.
Цель: изучить нестандартные приемы вычислений и экспериментальным
путем выявить причину отказа от использования этих способов при обучении
математике современных школьников.
2
Задачи:
 раскрыть историю возникновения счета;
 рассмотреть некоторые приемы устного умножения и на конкретных
примерах показать преимущества их использования.
Гипотеза: Умножение — это не мучение. Существует множество
способов умножать легко и быстро.
В своей работе мы пользовались следующими методами:
 поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а
также поиск необходимой информации в сети Интернет;
 практический метод выполнения
нестандартных алгоритмов счета;
вычислений
с
применением
 анализ полученных в ходе исследования данных.
Актуальность данной темы заключается в том, что использование
нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает
интерес учащихся к математике и содействует развитию математических
способностей.
За простым действием умножения скрываются тайны истории
математики. Случайно услышанные слова «умножение решеткой»,
«крестьянский способ умножения» заинтриговали. Захотелось узнать эти и
другие способы умножения, сравнить их с нашим сегодняшним действием
умножения.
Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие
способы выполнения арифметических действий, кроме умножения столбиком и
деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, был проведен устный
опрос. Было опрошено 20 учащиеся 4 классов. Этот опрос показал, что
современные школьники не знают других способов выполнения действий, так
как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной
программы.
АНКЕТА:
1. Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными
числами современному человеку?
2. Умеете ли вы умножать, складывать, вычитать числа столбиком, делить
«уголком»?
3. Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий?
4. Хотели бы узнать?
3
Результаты анкетирования:
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
Очевидно, что школьники понимают необходимость умения выполнять
арифметические действия, умеют выполнять 4 арифметических действия и
хотят научиться нетрадиционным способам счета. И только 2 человека из 20
опрошенных владеют способами вычислений не изучаемых в школьном курсе
математики.
Глава 1. История счёта
1.1. Как возникли числа
Подсчитывать предметы люди научились ещё в древнем каменном веке палеолите, десятки тысяч лет назад. Как это происходило? Сначала люди лишь
на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли
определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше оленей и
т. д. Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого
племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и
сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу,
чтобы обмен между племенами состоялся.
Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились
арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо
засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо
было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары.
И вот более восьми тысяч лет назад древние пастухи стали делать из глины
кружки - по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть
одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз, когда очередное
животное заходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько
же, сколько было кружков, он спокойно шел спать. Но в его стаде были не
4
только овцы - он пас и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось делась из глины
и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок вели учет
собранного урожая, отмечая, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько
кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна.
Если овцы приносили приплод, пастух прибавлял к кружкам новые, а если
часть овец шла на мясо, несколько кружков приходилось убирать. Так, еще не
умея считать, занимались древние люди арифметикой.
Затем в человеческом языке появились числительные, и люди смогли
называть число предметов, животных, дней. Обычно таких числительных было
мало. Например, у племени реки Муррей в Австралии было два простых
числительных: энэа (1) и петчевал (2). Другие числа они выражали составными
числительными: 3= «петчевал-энэа», 4 «петчевал-петчевал» и т. д. Ещё одно
австралийское племя – камилороев имело простые числительные мал (1), булан
(2), гулиба (3) . И здесь другие числа получались сложением меньше: 4= «булан
– булан», 5= «булан – гулиба», 6= « гулиба – гулиба» и т. д.
У многих народов название числа зависело от подсчитываемых
предметов. Если жители островов Фиджи считали лодки, то число 10 называли
« боло»; если они считали кокосовые орехи, то число 10 называли «каро».
Точно так же поступали живущие на Сахалине и берегах Амура нивхи. Ещё в
прошлом веке одно и то же число они называли разными словами, если считали
людей, рыб, лодки, сети, звёзды, палки.
Мы и сейчас используем разные неопределённые числительные со
значением «много»: «толпа», «стадо», «стая», «куча», «пучок» и другие.
С развитием производства и торгового обмена люди стали лучше
понимать, что общего у трёх лодок и трёх топоров, десяти стрел и десяти
орехов. Племена часто вели обмен «предмет за предмет»; к примеру,
обменивали 5 съедобных кореньев на 5 рыб. Становилось ясно, что 5 одно и то
же и для кореньев, и для рыб; значит, и называть его можно одним словом.
Похожие способы счёта применяли и другие народы. Так возникли
нумерации, основанные на счёте пятёрками, десятками, двадцатками.
До сих пор мы рассказывали об устном счёте. А как записывали числа?
Поначалу, ещё до возникновения письменности, использовали зарубки на
палках, насечки на костях, узелки на верёвках. Найденная волчья кость в
Дольни - Вестонице (Чехословакия), имела 55 насечек, сделанных более 25000
лет назад.
Когда появилась письменность, появились и цифры для записи чисел.
Сначала цифры напоминали зарубки на палках: в Египте и Вавилоне, в Этрурии
и Финики, в Индии и Китае небольшие числа записывали палочками или
чёрточками. Например, число 5 записывали пятью палочками. Индейцы ацтеки
и майя вместо палочек использовали точки. Затем появились специальные
5
знаки для некоторых чисел, таких, как 5 и 10 .
В то время почти все нумерации были не позиционными, а похожими на
римскую нумерацию. Лишь одна вавилонская шестидесятеричная нумерация
была позиционной. Но и в ней долго не было нуля, а также запятой,
отделяющей целую часть от дробной. Поэтому одна и та же цифра могла
означать и 1, и 60, и 3600. Угадывать значение числа приходилось по смыслу
задачи.
За несколько столетий до новой эры изобрели новый способ записи чисел,
при котором цифрами служили буквы обычного алфавита. Первые 9 букв
обозначали числа десятки 10, 20,…, 90, а ещё 9 букв обозначали сотни. Такой
алфавитной нумерацией пользовались до XVII в. Чтобы отличить «настоящие»
буквы от чисел, над буквами- числами ставили чёрточку (на Руси эта чёрточка
называлась «титло»).
Во всех этих нумерациях было очень трудно выполнить арифметические
действия. Поэтому изобретение в 6 в. индийцами десятичной позиционной
нумерации по праву считается одним из крупнейших достижений человечества.
Индийская нумерация и индийские цифры стали известны в Европе от арабов, и
обычно их называют арабскими.
Числа, с которыми мы работаем с положительными и отрицательными
числами. Но, оказывается, что это не все числа, которые используют в
математике и других науках. И узнать о них можно не дожидаясь старшей
школы, а гораздо раньше, если изучать историю возникновения чисел в
математике.
Глава II . Старинные способы умножения.
2.1. Русский крестьянский способ умножения.
В России 2-3 века назад среди крестьян некоторых губерний был
распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения.
Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название
крестьянского (существует мнение, что он берет начало от египетского).
Пример: умножим 47 на 35,
- запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную
черту;
- левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при
делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);
- деление заканчивается, когда слева появится единица;
- вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;
- далее оставшиеся справа числа складываем – это результат;
6
35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.
2.2. Метод «решетки».
1). Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед
Бен Мусса аль - Хорезми жил и работал в Багдаде. «Аль - Хорезми» буквально
означает «из Хорезми», т. е. родился в г. Хорезме (сейчас входит в состав
Узбекистана). Учёный работал в Доме мудрости, где были библиотека и
обсерватория, здесь работали почти все крупные арабские учёные.
Сведений о жизни и деятельности Мухаммеда аль - Хорезми очень мало.
Сохранились лишь две его работы – по алгебре и по арифметике. В последний
из этих книг даны четыре правила арифметических действий, почти такие же,
что используются в наше время.
2). В своей «Книге об индийском счете» учёный описал способ,
придуманный в Древней Индии, а позже названный «методом решётки». Этот
метод даже проще, чем применяемый сегодня.
Пусть нужно умножить 16 и 82.
Начертим таблицу в которой две клетки по длине и две по ширине
запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат
умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы
диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат
можно прочитать вниз и вправо
Этот алгоритмом умножения двух натуральных чисел был распространен
в средние века на Востоке и Италии.
Неудобство этого способа мы отметили в трудоемкости подготовки
7
прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение
таблицы напоминает игру.
2.3. Египетский способ умножения
Обозначения чисел, которые использовались в древности, были более или
менее пригодны для записи результата счета. А вот выполнять арифметические
действия с их помощью было очень сложно, особенно это касалось действия
умножения (попробуй, перемножь: ξφß*τδ). Выход из этой ситуации нашли
египтяне, поэтому способ получил название египетского. Они заменили
умножение на любое число - удвоением, то есть сложением числа с самим
собой.
Пример: 34 ∙ 5=34∙ (1 + 4) = 34∙ (1 + 2 ∙ 2) = 34 ∙ 1+ 34 ∙ 4.
Т. к. 5 = 4 + 1, то для получения ответа оставалось сложить числа,
стоящие в правом столбике против цифр 4 и 1 , т. е. 136 + 34 = 170.
2.4. Умножение на пальцах
1 способ
Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего
в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о
том значении, которое придавали древние этому способу выполнения
умножения натуральных чисел (он получил название пальцевого счета).
Умножали на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной
руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходил
число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные
пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто
пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых
пальцев на первой и второй руке.
Пример: 8 ∙ 9 = 72
Позже
пальцевой
счёт
усовершенствовали – научились
показывать с помощь пальцев числа
до 10000
8
2 способ
А вот еще один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук
запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по
порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец
слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого
пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти
чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец,
номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число
пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а
число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц
полученного произведения.
Пример. Пусть надо найти произведение 3х9.
Положив обе руки на стол, приподнимем четвертый палец, считая слева
направо. Тогда до поднятого пальца находятся три пальца (десятки), а после
поднятого - 6 пальцев (единицы). Результат произведения 3 на 9, значит, равен
27.
Глава 3. Устный счет – гимнастика ума
3.1. Умножение и деление на 4.
Чтобы умножить число на 4, его дважды удваивают.
Например,
214 * 4 = (214 * 2) * 2 = 428 * 2 = 856
537 * 4 = (537 * 2) * 2 = 1074 * 2 = 2148
Чтобы число разделить на 4 , его дважды делят на 2.
Например,
124 : 4 = (124 : 2) : 2 = 62 : 2 = 31
9
2648 : 4 = (2648 : 2) : 2 = 1324 : 2 = 662
3.2. Умножение и деление на 5.
Чтобы умножить число на 5, нужно его умножить на 10/2 , то есть
умножить на 10 и разделить на 2.
Например,
138 * 5 = (138 * 10) : 2 = 1380 : 2 = 690
548 * 5 (548 * 10) : 2 = 5480 : 2 = 2740
Чтобы число разделить на 5, нужно умножить его на 0,2, то есть в
удвоенном исходном числе отделить запятой последнюю цифру.
Например,
345 : 5 = 345 * 0,2 = 69,0
51 : 5 = 51 * 0,2 = 10,2
3.3. Умножение на 25.
Чтобы умножить число на 25, нужно его умножить на 100/4, то есть
умножить на 100 и разделить на 4.
Например,
348 * 25 = (348 * 100) : 4 = (34800 : 2) : 2 = 17400 : 2 = 8700
3.4. Умножение на 1,5.
Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его
половину.
Например,
26 * 1,5 = 26 + 13 = 39
228 * 1,5 = 228 + 114 = 342
127 * 1,5 = 127 + 63,5 = 190,5
3.5. Умножение на 9.
Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное
число. Например,
241 * 9 = 2410 – 241 = 2169
847 * 9 = 8470 – 847 = 7623
3.6. Умножение на 11.
1 способ. Чтобы число умножить на 11, к нему приписывают 0 и
10
прибавляют исходное число. Например:
47 * 11 = 470 + 47 = 517
243 * 11 = 2430 + 243 = 2673
3.7. Умножение трехзначного числа на 101.
Например 125 * 101 = 12625
(увеличиваем первый множитель на число его сотен и приписываем к
нему справа две последние цифры первого множителя)
125 + 1 = 126 12625
Еще пример: 527 * 101 = (527+5)27 = 53227
3.7. Игры
Отгадывание полученного числа.
1. Задумайте какое-нибудь число. Прибавьте к нему 11; умножьте
полученную сумму на 2; от этого произведения отнимите 20; умножьте
полученную разность на 5 и от нового произведения отнимите число, в 10 раз
больше задуманного вами числа.
Я отгадываю: вы получили 10. Верно?
2. Задумайте число. Утрой его. Вычти из полученного 1. Полученное
умножьте на 5. К полученному прибавьте 20. Разделите полученное на 15. Из
полученного вычтите задуманное.
У вас получилось 1.
3. Задумайте число. Умножьте его на 6. Вычтите 3. Умножьте на 2.
Прибавьте 26. Вычтите удвоенное задуманное. Разделите на 10. Вычтите
задуманное.
У вас получилось 2.
4. Задумайте число. Утройте его. Вычтите 2. Умножьте на 5. Прибавьте 5.
Разделите на 5. Прибавьте 1. Разделите на задуманное. У вас получилось 3.
5. Задумайте число, удвойте его. Прибавьте 3. Умножьте на 4. Вычтите
12. Разделите на задуманное.
У вас получилось 8.
11
Угадывание задуманных чисел.
Предложите своим товарищам задумать любые числа. Пусть каждый
прибавит к своему задуманному числу 5.
Полученную сумму пусть умножит на 3.
От произведения пусть отнимет 7.
Из полученного результата пусть вычтет ещё 8.
Листок с окончательным результатом пусть каждый отдаст вам. Глядя на
листок, вы тут же говорите каждому, какое число он задумал.
(Чтобы угадать задуманное число, результат, написанный на бумажке или
сказанный вам устно, разделить на 3)
Заключение
Мы вступили в новое тысячелетие! Грандиозные открытия и достижения
человечества. Мы много знаем, многое умеем. Кажется чем-то
сверхъестественным, что с помощью чисел и формул можно рассчитать полёт
космического корабля, «экономическую - ситуацию» в стране, погоду на
«завтра», описать звучание нот в мелодии. Нам известно высказывание
древнегреческого математика, философа, жившего в 4 веке д. н.э.- Пифагора «Всё есть число!».
Согласно философскому воззрению этого учёного и его последователей,
числа управляют не только мерой и весом, но также всеми явлениями,
происходящими в природе, и являются сущностью гармонии, царствующей в
мире, душой космоса.
Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы
быстрого счёта, мы попытались показать, что как в прошлом, так и в будущем,
без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.
Наша гипотеза подтвердилась: действительно, существует множество
способов умножать легко и быстро и овладев этими способами в совершенстве
можно поспорить с вычислительными машинами.
При знакомстве с научной литературой мы обнаружили более быстрые и
надежные способы умножения. Поэтому изучение действия умножения – тема
перспективная.
Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу
выполнять эти или другие подсчеты. Пусть сначала не получится использовать
прием, показанный в работе. Не беда. Нужна постоянная вычислительная
тренировка. Из урока в урок, из года в год. Она поможет приобрести полезные
навыки устного счета.
12
Список использованной литературы
1.
Кордемский Б. А., Ахадов А. А. Удивительный мир чисел: Книга
учащихся,- М. Просвещение, 1986.
2.
Минских Е. М. «От игры к знаниям», М., «Просвещение» 1982г.
3.
Свечников А. А. Числа, фигуры, задачи М., Просвещение, 1977г.
4.
http://gi-akademie.com/ru/online_coursers/2777/9588/
5.
http://anisim.org/?p=7904
13