Document 3854668

I Открытый Кубок Нижнего Новгорода по математике. 2007-2008 учебный год
Математическая игра «Домино». Старшая лига (10-11 классы). 12.03.2008. Решения.
0–0. В равнобедренном треугольнике (АВ=АС) с А= проведена биссектриса ВЕ. Оказалось, что на основании ВС есть внутренняя
точка К такая, что АЕ=ЕК=КС. При каких значениях  такое возможно? (36<<180. Заметим, что это верный факт для любого
равнобедренного треугольника при условии, что К попадает внутрь ВС, но тогда СКЕ=>СВЕ=(180-)/4. Из этого неравенства и получаем ответ.)
0–1. Найдите наибольшее натуральное число из 10 различных цифр такое, что у любой пары соседних цифр НОД (наибольший общий
делитель) равен 1. (9876543210)
0–2. Найдите наименьшее значение суммы
x  x  1  x  2  x  3  x  4 . (6. Это выражение равно сумме расстояний на
числовой прямой от точки х до точек 0, -1, -2, -3, -4. При х=-2 эта сумма равна 6, а при удалении от точки (–2) эта сумма будет увеличиваться.)
0–3. Сколько существует стозначных натуральных чисел, в которых каждая цифра, кроме крайних, равняется сумме двух соседних с ней
цифр? (0 чисел. Самая маленькая из некрайних цифр числа может равняться сумме такой же цифры и 0, а тогда среди некрайних цифр обязательно есть 0, значит, и все остальные цифры будут равны 0, что невозможно. )
0–4. Решите систему уравнений
 xy  yz  2
.
 2
2
2
x  2 y  z  4
(x=y=z=1. Вычтем из первого уравнения удвоенное второе, тогда (x-y)2+(y-
z)2=0, откуда все числа равны между собой. Тогда из любого уравнения и получим нужные ответы.)
0–5. В клетках таблицы 55 расставлены ненулевые числа так, что каждое из них равно произведению всех
-1
чисел, стоящих в соседних (по стороне) клетках. Приведите пример, когда в таблице есть отрицательные числа.
0–6. Сколько решений имеет ребус: НИЖНИЙ=ЛЮБИМЫЙ? (Одинаковые буквы – одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры) (Если среди 9 данных различных цифр нет 0, то после
сокращения получим, что НИЖН=ЛЮБМЫ – участвуют все 9 ненулевых цифр, тогда
одна из частей делится на 5, а другая – нет, значит, среди цифр обязательно есть 0. Поэтому обе
части равны 0, что возможно либо при И=0, либо при Й=0 – 2 варианта. Остальные 8 цифр могут
быть
любыми
8
из
9
возможных
ненулевых
цифр,
значит,
всего
будет
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
2  А98  2  9! 725760 решений.)
1–1. Найдите все пары таких чисел, что после уменьшения каждого из них на 1 их произведение тоже уменьшится на 1. (это все
пары чисел с суммой 2; (x и 2-x). Пусть это числа a и b, тогда (a-1)(b-1)=ab-1, откуда после раскрытия скобок получим,
что a+b=2 и каждая такая пара чисел подойдёт.)
1–2. Сколько цифр понадобится для нумерации всех страниц книги, у последней страницы которой трёхзначный номер? (любое целое
число, кратное 3, от 192 до 2889)
1–3. В числе 9876543210 зачёркиваются цифры (от 1 до 9 штук) так, чтобы оставшееся число делилось на 10. Сколько таких различных
чисел можно получить? (511 чисел. Каждая ненулевая цифра либо зачёркнута, либо нет, значит, всего 2 9 вариантов, но один
вариант – ничего не зачеркнуть – нами не должен учитываться.)
1–4. С натуральным числом каждую минуту проделывают следующую операцию: если оно делится на 10, его делят на 10, а если не делится, к нему прибавляют 1. Когда число становится равным 1, операции прекращаются. Сколько существует чисел, впервые становящихся равными 1 ровно через 10 минут? (291 = 511. Понятно, что последней операцией было деление на 10. Возьмем число
10 и проделаем, начиная с него, девять обратных операций в обратном порядке. Теоретически может получиться 29 вариантов (на каждом шаге мы либо умножаем на 10, либо вычитаем 1). Но при этом невозможно девятикратное вычитание единицы, ибо в этом случае исходным было бы число 1. Отсюда  ответ.)
1–5.
Какое значение встречается во всех тройках чисел x, y, z, удовлетворяющих равенству x+y+z–2(xy+yz+zx)+4xyz=
0=x+y+z–2(xy+yz+zx)+4xyz–
1 1
=
2 2
1
2
?
(
1
2
.
(2x–1)(2y–1)(2z–1). Значит, хотя бы один из множителей равен 0, следовательно, одно из чи-
сел x, y, z равно 1/2.)
1–6. Постройте треугольник с целыми сторонами и медианой, равной ½. (невозможно, т.к.
mc 
abc 1
 ,
2
2
т.к. a+b>c и
a+bc+1 в силу целостности чисел)
2–2. В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC (AB = BC) на боковую сторону BC опущена высота AH. Точка L – основание перпендикуляра из H на сторону AB. Оказалось, что AL = AB/4. Найдите углы треугольника ABC. (30, 75, 75. Пусть AL=1, тогда АВ=4.
Прямоугольные треугольники ВНА и BLH подобны, причём АВ/ВН=ВН/BL. Тогда ВН2=12, АН2=4. В прямоугольном АВН
катет АН=2=АВ/2, значит, В=30. Тогда углы при основании АВС равны 75.)
3 . По теореме косинусов из
5
3
1
BCD получим ВС= 3 . По теореме синусов из АВС для ВАС= получим уравнение
, из которого и

sin  sin( 30   )
2–3. В параллелограмме ABCD AB=BD=DC и угол BAD равен 30. Чему равен тангенс угла BAC? (
найдём нужный нам тангенс.)
2–4. В числе 9876543210 зачёркиваются цифры (от 1 до 9 штук) так, чтобы оставшееся число было чётным. Сколько таких различных
чисел можно получить? (681 число. Разбирая варианты последних цифр, аналогично задаче 1-3, получим всего
21+23+25+27+29-1=681 вариантов. )
2–5. При каких натуральных числах n уравнение
x  x  1    x  n  2n  2 имеет решение? (2, 3, 4. Минимальное значение
данная сумма, равная сумме расстояний на числовой прямой от точки х до чек 0, -1, -2, …, -n принимает при х=-n/2. Подсчитав эту минимальную сумму, найдём при каких n она окажется не большей 2n-2.)
2–6. В шахматном турнире участвуют 20 человек. В некоторый момент оказалось, что среди любых 10 из них есть человек, сыгравший с
остальными 9 из этой десятки. Какую наибольшую по численности группу гарантированно можно выделить так, что в ней любые два
сыграли между собой? (12. Выберем из этих 20 человек наибольшее возможное количество непересекающихся пар не сыгравших между собой. Если таких пар наберётся 5, то среди входящих в них 10 человек не найдется никого, кто бы сыграл с
9 остальными — противоречие. Значит, таких пар не больше 4, и в них входит не больше 8 человек. Поэтому среди 12 (или
большего числа) остальных людей каждый сыграл с каждым. В качестве турнира, в котором можно выделить только 12
таких человек приведём следующий: 11 человек сыграли со всеми (т.е. по 19 партий), а 9 остальных между собой не играли
(т.е. сыграли ровно по 11 партий). Тогда в нашу группу можно выделить только 12 человек (11 закончивших турнир и 1 из
незакончивших).
3–3. Какое наименьшее количество клеток можно вырезать из доски 1010 так, чтобы из оставшейся части можно было вырезать по линиям сетки не более 20 прямоугольников 14? (4. Т.к. доску можно разбить на 24 прямоугольника 14, то хотя бы 4 клетки
надо вырезать. Воспользуемся диагональной раскраской в 4 цвета, тогда одного из цветов будет 24 клетки, удалив 4 из которых мы и добьёмся нужного условия.)
3–4.
Сумма
чисел
x
и
y
равна
1.
Найдите
наибольшее
значение
выражения
xy4+x4y.
(1/12.
xy4+x4y = xy(x3+y3) = xy(x+y)(x2xy+y2) = xy(x+y)((x+y)23xy) = xy(13xy). Положим
47
48
49
50
51
52
53
54
3xy = t. Тогда xy4+x4y = t(1t)/3. Произведение t(1t) достигает максимального
значения 1/4 при t = 1/2, то есть при xy = 1/6. xy4+x4y в этом случае равно 1/12.
4,
13,
46
25
27
28
30
55
Такое возможно, ибо xy = 1/6  x(1x) = 1/6, а произведение x(1x) при измене26
29
нии x от 0 до 1/2 меняется от 0 до 1/4, то есть в какой-то момент будет равно 1/6
(или же просто покажем, что у получившегося квадратного уравнения есть кор45
24
3
5
12
14
31
56
ни).)
3–5. Покажите, как король может обойти всю шахматную доску, сделав при этом не бо44
23
2
11
6
15
32
57
лее 13 поворотов.
1,
7,
(Порядок обхода показан на рисунке. Важно, что клетки король может повто43
22
9
8
33
58
10
16
рять при обходе. Тёмным цветом отмечены 13 клеток поворота. )
3–6. В числе 9876543210 зачёркиваются цифры (от 1 до 9 штук) так, чтобы оставшееся
42
21
20
19
18
17
34
59
число делилось на 3. Сколько таких различных чисел можно получить?
(350=222411 чисел. Переберём все варианты остатков цифр по модулю 3 – 0,
41
40
39
38
37
36
35
60
111, 12, 1122, 222, 111222, для каждого из которых подсчитаем количества комбинаций распределения самих цифр – 1, 1, 33=9, 33=9, 1, 1  всего 22 варианта.
68
67
66
65
64
63
62
61
И умножим это число на 24 – количество способов выбора цифр с остатком 0.
Но два недопустимых варианта (взять все цифры и не взять ни одной цифры)
исключим из рассмотрения.)
4–4. В группе из N5 человек среди любых пятерых есть не более 3 пар знакомых. При каком наименьшем N в этой группе гарантированно есть хотя бы 5 человек, имеющих не более чем по одному знакомому? (N=9. Доказательство методом от противного. При
меньших N есть контрпример. )
4–5. В треугольнике АВС проведены медианы АК и BL. Углы ВАК и CBL равны 30. Найдите ABС. (60 или 120. Рассмотрим равносторонний треугольник АРN, в котором АК является медианой, тогда точка пересечения М медиан АК и BL исходного треугольника АВС окажется в треугольнике АРN центром, а точки В, Р, К, М будут лежать на одной окружности с диаметром
РМ, т.к. МВК=МРК=30, а МКР=90. Рассмотрев все возможные случаи расположения точки В на луче АР, найдём что
АВС равен либо 60, либо 120.)
4–6. У выпуклого двенадцатиугольника, вписанного в окружность, длины каких-то шести сторон равны 1, а длины оставшихся шести
сторон равны 3 . Найдите радиус описанной окружности. ( 7 . Пусть АВ и ВС две смежные, но не равные стороны нашего
двенадцатиугольника. Тогда дуга АВС=360/6=60, т.е. АВС – равносторонний, значит, радиус равен отрезку АС, длину которого найдём из АВС с АВС=300/2=150 по теореме косинусов. (АС)2=1+3-21 3 (- 3 /2)=7.)
5–5. В некоторых клетках квадрата nn стоят звездочки. Для каждой вертикали, горизонтали и диагонали (не обязательно главной; даже
одна угловая клетка  тоже диагональ) известно количество стоящих на ней звездочек. При каких n всегда можно определить, где
стоят звездочки? (1, 2 и 3. Решение. Для n  3 тактика достаточно очевидна (учитывая, что углы можно проверить непосредственно). Если же n  4, то невозможно отличить квадрат, где стоят звёздочки в клетках b1, a3, c4 и d2, а клетки a2, b4, c1 и
d3 пусты, от квадрата, где стоят звёздочки в клетках a2, b4, c1 и d3, а клетки b1, a3, c4 и d2 пусты.)
5–6. Какая цифра (и сколько раз) встречается чаще всего в десятичной записи суммы из 2007 чисел 1  11  111  ...  11...11 ? (5 и 6

2007единиц
по 224 раза. Исходная сумма равна (9+99+…+99…9)/9=(10+10 2+…+1020072007)/9= 11...10 / 9  223 =

2007
123456790123456790…123456790223=123456790123456790…123456790123456567, где кусок 123456790 встречается 222 раза.)
6–6. Найдите все возможные значения суммы натуральных чисел a, b и c таких, что abc=2310 и a2b+b2c+c2a=ab2+bc2+ca2. (2312. Т.к. в
разложении числа 2310=235711 все простые множители встречаются только по одному разу, то числа a, b, c попарно взаимно простые. Рассмотрим случай abc. Заметим, что из второго уравнения, в котором есть четыре числа, кратных a, следует, что b2c-bc2=bc(b-c) делится на a. Тогда в силу взаимной простоты данных трёх чисел a, b, c следует, что (b-c) делится на
a, что в случае натуральных abc возможно только при b=c и в силу взаимной простоты эти числа равны 1, тогда a=2310. В
случаях другой упорядоченности нашей тройки чисел получим остальные варианты, т.е. возможны три тройки, удовлетворяющие условию, - (2310, 1, 1), (1, 2310, 1), (1, 1, 2310), значит, сумма данных трёх чисел может быть равна только 2312.)