XV турнир математических боев «Kostroma Open 6-7»
advertisement
XV турнир математических боев «Kostroma Open 6-7» 4-9 января 2010 года Командная олимпиада 1. В оцеплении в ряд стоят 87 солдат на расстоянии 2 метра друг от друга. Затем между каждыми двумя солдатами встал еще один солдат, после чего ряд растянулся так, что расстояние между солдатами снова стало равно 2 метрам. Во сколько раз увеличилась длина оцепления? 2. Между цифрами записи 1 2 3 4 5 6 7 можно ставить знаки умножения и деления (а можно не ставить ничего). Как получить выражение, значение которого равно 2010? 3. Из клетчатого квадрата 5 5 вырезали центральную клетку. Разрежьте оставшуюся фигуру на 2 части, из которых можно сложить клетчатый прямоугольник 4 6. 4. На ярмарке школьных поделок Петя купил несколько блокнотов на 1978 фантиков. Затем он передумал и три блокнота вернул обратно. Часть возвращенных фантиков он истратил на шоколадку за 140 фантиков. Сколько блокнотов купил Петя? 5. Требуется сложить из 2010 спичек треугольник, одна из сторон которого вдвое больше другой. Необходимо использовать все спички. Сколькими способами это можно сделать? 6. За круглым столом сидят 7 человек. Всего у них 2010 фишек. Каждый сказал про соседа слева: «У него всего одна фишка» и «У меня столько же фишек, сколько у него». Оказалось, что каждый соврал. Докажите, что кто-то из них соврал дважды. 7. В клетки квадратной таблицы 13 13 вписали в порядке возрастания (сначала заполнили первую строку, потом вторую и так далее) числа от 350 до 518. Можно ли выбрать 5 клеток таблицы, образующих крест, так, чтобы сумма записанных в них чисел равнялась 2010? 8. В московском турнире математических боев участвовало 3n команд. Причем, ровно n из них перед этим приезжали на XV турнир «Kostroma Open 6-7». В московском турнире ничьих не было, а «наши» команды одержали ровно 7/12 всех побед. Сколько команд участвовали в московском турнире? 9. На турнир приехали 2009 игроков. Известно, что среди любых 2008 из них есть человек, знакомый со всеми остальными. Докажите, что можно найти человека, который знаком со всеми остальными игроками. XV турнир математических боев «Kostroma Open 6-7» 4-9 января 2010 года Первый тур. Суперлига 6-7 10. Каждое натуральное число покрашено в красный или синий цвет. Оказалось, что произведение любых двух разноцветных чисел красное, а сумма синяя. Какого цвета может быть произведение двух красных чисел? 11. Можно ли записать по кругу 8 натуральных чисел, сумма которых равна 2010, что из любых двух стоящих рядом чисел одно вдвое больше другого? 12. Два мудреца написали на девяти карточках числа от 1 до 9. После этого они перемешали карточки, первый мудрец взял себе четыре карточки, второй взял четыре, а оставшуюся карточку они, не глядя, спрятали в мешок. Изучив свои карточки, первый мудрец сказал второму: «Я знаю, что сумма чисел на твоих карточках более 25». На что первый мудрец ответил: «А я знаю, какие у тебя карточки». Какие числа написаны на карточках второго мудреца? 13. В школе 2009 школьников. Однажды утром каждый ученик дал одному своему другу рубль. Причем мальчики — девочкам, а каждая девочка — мальчику. После этого оказалось, что все, кроме двоих, остались «при своих». Верно ли, что эти двое — мальчик и девочка? 14. Найдите наименьшее четное натуральное число, которое при делении на натуральные числа от 2 до 2010 дает разные остатки. 15. Администратор гостиницы работает либо с 8 утра до 8 вечера, либо с 8 вечера до 8 утра, либо сутки с 8 часов (утра или вечера) в первом случае он отдыхает не меньше суток, во втором — не меньше полутора суток, в третьем — не меньше двух с половиной суток. Какое наименьшее число администраторов должно работать в гостинице? 16. Из прямоугольника периметра 100 см вырезали крест, где вертикальная полоска шириной 5 см, а горизонтальная — шириной 3 см. Площадь креста равна 209 см2. Найдите размеры исходного прямоугольника. 17. Число 1/201 представили в виде бесконечной десятичной дроби. Первую ненулевую цифру после запятой вычеркнули. Представьте получившиеся число в виде обыкновенной дроби. Желаем успехов!!! XV турнир математических боев «Kostroma Open 6-7» 4-9 января 2010 года Первый тур. Лига 6. Лига 7 1. В коробке лежат фрукты. Если вытащить наугад три фрукта, то среди них обязательно найдется яблоко. Если вытащить наугад четыре фрукта, то среди них обязательно найдется груша. Какие фрукты могут быть вытащены, если взять наугад пять фруктов? 2. Имеется n натуральных чисел, все цифры которых имеют одинаковую четность. Сумма этих чисел равна 2009. Найдите наименьшее возможное значение n. 3. Можно ли записать по кругу 8 натуральных чисел, сумма которых равна 2010, что из любых двух стоящих рядом чисел одно вдвое больше другого? 4. Два мудреца написали на девяти карточках числа от 1 до 9. После этого они перемешали карточки, первый мудрец взял себе четыре карточки, второй взял четыре, а оставшуюся карточку они, не глядя, спрятали в мешок. Изучив свои карточки, первый мудрец сказал второму: «Я знаю, что сумма чисел на твоих карточках более 25». На что первый мудрец ответил: «А я знаю, какие у тебя карточки». Какие числа написаны на карточках второго мудреца? 5. В школе 2009 школьников. Однажды утром каждый ученик дал одному своему другу рубль. Причем мальчики — девочкам, а каждая девочка — мальчику. После этого оказалось, что все, кроме двоих, остались «при своих». Верно ли, что эти двое — мальчик и девочка? 6. Существует ли натуральное число, которое при делении на двузначные числа дает разные остатки? 7. Администратор гостиницы работает либо с 8 утра до 8 вечера, либо с 8 вечера до 8 утра, либо сутки с 8 часов (утра или вечера) в первом случае он отдыхает не меньше суток, во втором — не меньше полутора суток, в третьем — не меньше двух с половиной суток. Какое наименьшее число администраторов должно работать в гостинице? 8. Из прямоугольника периметра 100 см вырезали крест, где вертикальная полоска шириной 5 см, а горизонтальная — шириной 3 см. Площадь креста равна 209 см2. Найдите размеры исходного прямоугольника. Желаем успехов!!! XV турнир математических боев «Kostroma Open 6-7» 4-9 января 2010 года Первый тур. Лига 6-7 1. В коробке лежат фрукты. Если вытащить наугад три фрукта, то среди них обязательно найдется яблоко. Если вытащить наугад четыре фрукта, то среди них обязательно найдется груша. Какие фрукты могут быть вытащены, если взять наугад пять фруктов? 2. Имеется n натуральных чисел, все цифры которых имеют одинаковую четность. Сумма этих чисел равна 2009. Найдите наименьшее возможное значение n. 3. Можно ли записать по кругу 8 натуральных чисел, сумма которых равна 2010, что из любых двух стоящих рядом чисел одно вдвое больше другого? 4. Два мудреца написали на девяти карточках числа от 1 до 9. После этого они перемешали карточки, первый мудрец взял себе четыре карточки, второй взял четыре, а оставшуюся карточку они, не глядя, спрятали в мешок. Изучив свои карточки, первый мудрец сказал второму: «Я знаю, что сумма чисел на твоих карточках более 25». На что первый мудрец ответил: «А я знаю, какие у тебя карточки». Какие числа написаны на карточках второго мудреца? 5. Однажды утром каждый ученик класса дал одному своему другу рубль. Причем мальчики — девочкам, а каждая девочка — мальчику. После этого оказалось, что все, кроме двоих, остались «при своих». Верно ли, что эти двое — мальчик и девочка? 6. Существует ли натуральное число, которое при делении на числа от 2 до 10 дает разные остатки? 7. Администратор гостиницы работает либо с 8 утра до 8 вечера, либо с 8 вечера до 8 утра, либо сутки с 8 часов (утра или вечера) в первом случае он отдыхает не меньше суток, во втором — не меньше полутора суток, в третьем — не меньше двух с половиной суток. Какое наименьшее число администраторов должно работать в гостинице? 8. Из прямоугольника периметра 100 см вырезали крест, где вертикальная полоска шириной 5 см, а горизонтальная — шириной 3 см. Площадь креста равна 209 см2. Найдите размеры исходного прямоугольника. Желаем успехов!!! XV турнир математических боев «Kostroma Open 6-7» 4-9 января 2010 года Второй тур. Суперлига 6-7 18. В государстве Ро три партии: партия власти и две народные партии. Партию власти поддерживают 20% населения, а партию-лидера — не более 60%. Президентские выборы проходят почти как в США. Население делят на 13 равных по населению округов, в каждом округе выбирают своего представителя из трех кандидатов (по одному из каждой партии) — выигрывает набравший не менее 52% голосов. Затем 13 кандидатов выбирают одного из трех кандидатов в президенты (по одному из каждой партии) простым большинством голосов. Партия власти знает, кто за кого будет голосовать и может приписывать любого гражданина к любому округу. Может ли партия власти привести к президентству своего кандидата? 19. Имеем монеты 1 р, 2 р, …, 9 р. Нам нужно положить их в клетки таблицы 3 3. После этого Федя может выбирать две соседние непустые клетки и забрать большую из монет. Федя стремится забрать как можно больше. Какую наименьшую сумму можно отдать Феде? 20. На улице в ряд стоят N фонарей. Желая экономить электричество, мэр города приказал 1 января зажигать каждую 7-ю лампочку, 2 января — каждую 11-ю , 3 января — каждую 13-ю. При этом не обязательно отсчитывать, начиная с первого фонаря. Оказалось, что как ни выполняй указание мэра, найдется фонарь, что будет гореть все три дня. При каком наименьшем N это возможно? 21. На какое наименьшее число частей можно разрезать квадраты 3 3 и 4 4, чтобы из получившихся частей можно было сложить квадрат 5 5? Разрезы можно делать только по сторонам клеток. 22. Верно ли, что ребус KOST + ROMA = OPEN имеет более 30 решений? Решение ребуса — способ заменить буквы цифрами так, чтобы равенство стало верным. При этом одинаковые цифры заменяются равными цифрами, разные — разными. 23. На стене висят двое внешне одинаковых часов, одни — исправные, а другие — испорченные. Испорченные часы идут следующим образом: часовая стрелка движется правильно, а минутная — в ту же сторону и с того же начального положения, что и в исправных часах, но только в пять быстрее. Сколько раз в течение суток только по показаниям этих часов нельзя определить, какие из них исправные, а какие — испорченные? 24. В стране, где 200 городов, провели несколько дорог с односторонним движением так, что из каждого города выходит хотя бы одна дорога и в каждый город входит хотя бы одна дорога. Докажите, что можно провести не более, чем 100 новых дорог с односторонним движением так, чтобы из любого города можно было проехать в любой другой, не нарушая правил. Разрешается соединять два города несколькими дорогами. 25. Перед Ваней и Колей лежит кучка золотого песка. Ваня поделил эту кучку на две, затем Коля поделил одну из кучек на две, и так далее. Когда стало шесть кучек, Ваня ссыпал в каждый из трех мешочков по две кучки так, что в каждом мешочке стало менее половины всего песка. Верно ли, что Ваня мог такое сделать при любых действиях Коли? XV турнир математических боев «Kostroma Open 6-7» 4-9 января 2010 года Второй тур. Лига 7 1. В государстве Ро три партии: партия власти и две народные партии. Партию власти поддерживают 20% населения, а партию-лидера — не более 60%. Президентские выборы проходят почти как в США. Население делят на 13 равных по населению округов, в каждом округе выбирают своего представителя из трех кандидатов (по одному из каждой партии) — выигрывает набравший не менее 52% голосов. Затем 13 кандидатов выбирают одного из трех кандидатов в президенты (по одному из каждой партии) простым большинством голосов. Партия власти знает, кто за кого будет голосовать и может приписывать любого гражданина к любому округу. Может ли партия власти привести к президентству своего кандидата? 2. В клетки доски 3 3 положили монеты 1 р, 2 р, …, 9 р. Можно выбирать две соседние непустые клетки и забрать большую из монет. Монета хорошая, если её можно забрать первым ходом. Верно ли, что за несколько ходов можно забрать все хорошие монеты? 3. На улице в ряд стоят 1000 фонарей. Желая экономить электричество, мэр города приказал 1 января зажигать каждую 7-ю лампочку, 2 января — каждую 11-ю , 3 января — каждую 13-ю. При этом не обязательно отсчитывать, начиная с первого фонаря. Может случиться, что каждый фонарь не будет гореть в какой-то из этих трех дней? 4. На какое наименьшее число частей можно разрезать квадраты 3 3 и 4 4, чтобы из получившихся частей можно было сложить квадрат 5 5? Разрезы можно делать только по сторонам клеток. 5. Верно ли, что ребус KOST + ROMA = OPEN имеет более 10 решений? Решение ребуса — способ заменить буквы цифрами так, чтобы равенство стало верным. При этом одинаковые цифры заменяются равными цифрами, разные — разными. 6. На стене висят двое внешне одинаковых часов, одни — исправные, а другие — испорченные. Испорченные часы идут следующим образом: часовая стрелка движется правильно, а минутная — в ту же сторону и с того же начального положения, что и в исправных часах, но только в пять быстрее. Сколько раз в течение суток только по показаниям этих часов нельзя определить, какие из них исправные, а какие — испорченные? 7. Когда все ученики 6А и 6Б сдали по одному подарку, учитель добавил еще 5 подарков и это позволило каждому ученику 6В класса вручить по два подарка. Когда все ученики 6Б и 6В сдали по одному подарку, каждому ученику 6А класса вручили по два подарка и 3 подарка остались лишними. Теперь все ученики 6В и 6А сдали по одному подарку для того, чтобы ученику 6Б класса вручить по два подарка. Надо ли добавить подарки или останутся лишние? Сколько? 8. Перед Ваней и Колей лежит кучка золотого песка. Ваня поделил эту кучку на две, затем Коля поделил одну из кучек на две, и так далее. Когда стало шесть кучек, Ваня ссыпал в каждый из трех мешочков по две кучки так, что в каждом мешочке стало менее половины всего песка. Верно ли, что Ваня мог такое сделать при любых действиях Коли? XV турнир математических боев «Kostroma Open 6-7» 4-9 января 2010 года Второй тур. Лига 6 1. Пятиклассник Антон взял три доминошки из одного набора и составил верный пример на умножение: произведение двух правильных несократимых дробей равно 2/3 (см. рисунок). Какими могут быть доминошки-множители? 2. В клетки доски 3 3 положили монеты 1 р, 2 р, …, 9 р. Можно выбирать две соседние непустые клетки и забрать большую из монет. Монета хорошая, если её можно забрать первым ходом. Верно ли, что за несколько ходов можно забрать все хорошие монеты? 3. На улице в ряд стоят 1000 фонарей. Желая экономить электричество, мэр города приказал 1 января зажигать каждую 7-ю лампочку, 2 января — каждую 11-ю , 3 января — каждую 13-ю. При этом не обязательно отсчитывать, начиная с первого фонаря. Может случиться, что каждый фонарь не будет гореть в какойто из этих трех дней? 4. На какое наименьшее число частей можно разрезать квадраты 3 3 и 4 4, чтобы из получившихся частей можно было сложить квадрат 5 5? Разрезы можно делать только по сторонам клеток. 5. Верно ли, что ребус KOST + ROMA = OPEN имеет более 10 решений? Решение ребуса — способ заменить буквы цифрами так, чтобы равенство стало верным. При этом одинаковые цифры заменяются равными цифрами, разные — разными. 6. На стене висят двое внешне одинаковых часов, одни — исправные, а другие — испорченные. Испорченные часы идут следующим образом: часовая стрелка движется правильно, а минутная — в ту же сторону и с того же начального положения, что и в исправных часах, но только в пять быстрее. Сколько раз в течение суток только по показаниям этих часов нельзя определить, какие из них исправные, а какие — испорченные? 7. Когда все ученики 6А и 6Б сдали по одному подарку, учитель добавил еще 5 подарков и это позволило каждому ученику 6В класса вручить по два подарка. Когда все ученики 6Б и 6В сдали по одному подарку, каждому ученику 6А класса вручили по два подарка и 3 подарка остались лишними. Теперь все ученики 6В и 6А сдали по одному подарку для того, чтобы ученику 6Б класса вручить по два подарка. Надо ли добавить подарки или останутся лишние? Сколько? 8. Сколько времени длился бой, если его продолжительность составила одну седьмую часть от 00:00 до его окончания и одну третью часть от его начала до 24:00? XV турнир математических боев «Kostroma Open 6-7» 4-9 января 2010 года Второй тур. Лига 6-7 1. Пятиклассник Антон взял три доминошки из одного набора и составил верный пример на умножение: произведение двух правильных несократимых дробей равно 2/3 (см. рисунок). Какими могут быть доминошки-множители? 2. В клетки доски 3 3 положили монеты 1 р, 2 р, …, 9 р. Можно выбирать две соседние непустые клетки и забрать большую из монет. Монета хорошая, если её можно забрать первым ходом. Верно ли, что за несколько ходов можно забрать все хорошие монеты? 3. На улице в ряд стоят 29 фонарей. Желая экономить электричество, мэр города приказал 1 января зажигать каждую 2-ю лампочку, 2 января — каждую 3-ю , 3 января — каждую 5-ю. При этом не обязательно отсчитывать, начиная с первого фонаря. Может случиться, что каждый фонарь не будет гореть в какойто из этих трех дней? 4. На какое наименьшее число частей можно разрезать квадраты 3 3 и 4 4, чтобы из получившихся частей можно было сложить квадрат 5 5? Разрезы можно делать только по сторонам клеток. 5. Верно ли, что ребус KOST + ROMA = OPEN имеет более 5 решений? Решение ребуса — способ заменить буквы цифрами так, чтобы равенство стало верным. При этом одинаковые цифры заменяются равными цифрами, разные — разными. 6. На стене висят двое внешне одинаковых часов, одни — исправные, а другие — испорченные. Испорченные часы идут следующим образом: часовая стрелка движется правильно, а минутная — в ту же сторону и с того же начального положения, что и в исправных часах, но только в пять быстрее. Сколько раз в течение суток только по показаниям этих часов нельзя определить, какие из них исправные, а какие — испорченные? 7. Когда все ученики 6А и 6Б сдали по одному подарку, учитель добавил еще 5 подарков и это позволило каждому ученику 6В класса вручить по два подарка. Когда все ученики 6Б и 6В сдали по одному подарку, каждому ученику 6А класса вручили по два подарка и 3 подарка остались лишними. Теперь все ученики 6В и 6А сдали по одному подарку для того, чтобы ученику 6Б класса вручить по два подарка. Надо ли добавить подарки или останутся лишние? Сколько? 8. Сколько времени длился бой, если его продолжительность составила одну седьмую часть от 00:00 до его окончания и одну третью часть от его начала до 24:00? XV турнир математических боев «Kostroma Open 6-7» 4-9 января 2010 года Третий тур. Суперлига 6-7 26. В съезде юных писателей принял участие 21 школьник. После съезда каждый из них прочитал произведения трех юных писателей, побывавших на съезде. Верно ли, что из делегатов съезда можно составить комиссию из 4 человек так, что в комиссии никто не читал произведения остальных ее членов? 27. В таблице приведены итоги однокругового турнира перед последним туром и результаты игр предпоследнего тура. В колонке И — информация о том, сколько раз команда сыграла на данный момент, в колонке В — количество побед команды, в колонке Н — количество ничьих, в колонке П — количество поражений. Определите, кто с кем встретится в последнем туре. Команда И В Н Херенвен 3 3 0 Униао 3 1 2 Бекешчаба 4 1 2 Нэствед 3 0 2 Тон Пентр 3 0 0 Херенвен — Бекешчаба 4:0. Тон Пентр — Униао 0:3. П 0 0 1 1 3 28. Учитель математики знает, кто в классе дружит, а кто — нет. На уроке он выдал каждому карточку с натуральным числом (все числа различны) и попросил каждых двух ребят искать НОД чисел на карточках. Ребята с удивлением обнаружили, что у друзей НОД равен 1, а не у друзей — более 1. Верно ли, что такой набор чисел можно подготовить для любого класса? 29. Дана треугольная сетка, показанная на рисунке, узлы которой отмечены точками. В точку можно заложить бомбу. После взрыва, бомба разрушает саму точку и все соединенные с ней отрезком точки. Какого наименьшего числа бомб достаточно, чтобы уничтожить все точки? 30. В n шкатулках лежит 2010 монет по 1 рублю. Петя может положить в любые две шкатулки по одной монете. Его цель — уровнять число монет в шкатулках. Какого наименьшего числа монет хватит Пете, чтоб его цель была достигнута при любом начальном распределении монет по шкатулкам? 31. На гранях игрального кубика записаны числа от 1 до 6. На каждом ребре написали, на сколько отличаются числа на гранях, граничащих по этому ребру (то есть положительная разность этих чисел). Какое наименьшее значение может иметь сумма всех чисел на ребрах такого куба? 32. Бенька, автор песни (см. справа) утверждает, что два бобра — уже семья, сова весит всего 2 унции, а мы составляем более половины цапли. Можем ли мы занять менее одной восьмой всего чемодана? 33. В пещере Али-Бабы много золота и алмазов. Полный мешок золота весит 200 кг, полный мешок алмазов — 40 кг. Али-Баба может унести за раз 100 кг. Килограмм золота стоит 20 динаров, килограмм алмазов — 60 динаров. Какое максимальное количество денег он сможет получить за золото и алма- Природа чемодана такова, что в чемодане может жить сова, и две совы, и дважды две совы, а пять уже не вместится, увы. Природа чемодана так мудра, что в нём возможно жительство бобра, а вот семьи бобров, увы, никак. Ведь чемодан, простите, не чердак. Природа чемодана так проста, что в нем уместна цапля без хвоста, и полбобра, и унция совы. А мы уже не вместимся, увы. зы, унесенные в одном мешке за один раз? XV турнир математических боев «Kostroma Open 6-7» 4-9 января 2010 года Третий тур. Лига 7 1. 2. На окружности расположено неокрашенных 100 точек. Есть красная и синяя краски. Можно покрасить любую неокрашенную точку, но если какие, соседние с этой точкой уже окрашены, то их надо перекрасить в противоположный цвет. Можно ли сделать все точки одноцветными? Команда И В Н В таблице приведены итоги однокругового турнира Херенвен 3 3 0 перед последним туром и результаты игр предпосУниао 3 1 2 леднего тура. В колонке И — информация о том, Бекешчаба 4 1 2 сколько раз команда сыграла на данный момент, в Нэствед 3 0 2 колонке В — количество побед команды, в колонке Тон Пентр 3 0 0 Н — количество ничьих, в колонке П — количество Херенвен — Бекешчаба 4:0. поражений. Определите, кто с кем встретится в Тон Пентр — Униао 0:3. последнем туре. П 0 0 1 1 3 3. Учитель математики знает, кто в классе дружит, а кто — нет. На уроке он выдал каждому карточку с натуральным числом (все числа различны) и попросил каждых двух ребят искать НОД чисел на карточках. Ребята с удивлением обнаружили, что у друзей НОД равен 1, а не у друзей — более 1. Верно ли, что такой набор чисел можно подготовить для любого класса? 4. Дан треугольник, разбитый на треугольные ячейки, как показано на рисунке. В ячейку можно заложить бомбу. После взрыва, бомба разрушает саму ячейку и все соседние с ней по стороне ячейки. Какого наименьшего числа бомб достаточно, чтобы разрушить весь треугольник? 5. В трех шкатулках лежит 2010 монет по 1 рублю. Петя может положить в любые две шкатулки по одной монете. Его цель — уровнять число монет в шкатулках. Какого наименьшего числа монет хватит Пете, чтоб его цель была достигнута при любом начальном распределении монет по шкатулкам? 6. На гранях игрального кубика записаны числа от 1 до 6. На каждом ребре написали, на сколько отличаются числа на гранях, граничащих по этому ребру (то есть положительная разность этих чисел). Какое наибольшее значение может иметь сумма всех чисел на ребрах такого куба? 7. Бенька, автор песни (см. справа) утверждает, что два бобра — уже семья, сова весит всего 2 унции, а мы составляем более половины цапли. Можем ли мы занять менее одной восьмой всего чемодана? 8. Имеется 11 фишек четырех цветов. Можно ли расставить их по кругу так, чтобы среди любых пяти идущих подряд были фишки всех цветов? Природа чемодана такова, что в чемодане может жить сова, и две совы, и дважды две совы, а пять уже не вместится, увы. Природа чемодана так мудра, что в нём возможно жительство бобра, а вот семьи бобров, увы, никак. Ведь чемодан, простите, не чердак. Природа чемодана так проста, что в нем уместна цапля без хвоста, и полбобра, и унция совы. А мы уже не вместимся, увы. XV турнир математических боев «Kostroma Open 6-7» 4-9 января 2010 года Третий тур. Лига 6 1. 2. На окружности расположено неокрашенных 100 точек. Есть красная и синяя краски. Можно покрасить любую неокрашенную точку, но если какие, соседние с этой точкой уже окрашены, то их надо перекрасить в противоположный цвет. Можно ли сделать все точки одноцветными? Команда И В Н В таблице приведены итоги однокругового турнира Херенвен 3 3 0 перед последним туром и результаты игр предпосУниао 3 1 2 леднего тура. В колонке И — информация о том, Бекешчаба 4 1 2 сколько раз команда сыграла на данный момент, в Нэствед 3 0 2 колонке В — количество побед команды, в колонке Тон Пентр 3 0 0 Н — количество ничьих, в колонке П — количество Херенвен — Бекешчаба 4:0. поражений. Определите, кто с кем встретится в Тон Пентр — Униао 0:3. последнем туре. П 0 0 1 1 3 3. Можно ли в вершинах шестиугольника поставить такие различные натуральные числа, что числа в противоположных вершинах не имеют общего делителя, большего 1, а любые два других числа имеют какой-то общий делитель, больший 1? Вершины шестиугольника противоположные, если между ними ровно две другие вершины. 4. Дан треугольник, разбитый на треугольные ячейки, как показано на рисунке. В ячейку можно заложить бомбу. После взрыва, бомба разрушает саму ячейку и все соседние с ней по стороне ячейки. Какого наименьшего числа бомб достаточно, чтобы разрушить весь треугольник? 5. В трех шкатулках лежит 2010 монет по 1 рублю. Петя может положить в любые две шкатулки по одной монете. Его цель — уровнять число монет в шкатулках. Какого наименьшего числа монет хватит Пете, чтоб его цель была достигнута при любом начальном распределении монет по шкатулкам? 6. На гранях игрального кубика записаны числа от 1 до 6. На каждом ребре написали, на сколько отличаются числа на гранях, граничащих по этому ребру (то есть положительная разность этих чисел). Какое наибольшее значение может иметь сумма всех чисел на ребрах такого куба? 7. Бенька, автор песни (см. справа) утверждает, что два бобра — уже семья, сова весит всего 2 унции, а мы составляем более половины цапли. Можем ли мы занять менее одной восьмой всего чемодана? 8. Имеется 11 фишек четырех цветов. Можно ли расставить их по кругу так, чтобы среди любых пяти идущих подряд были фишки всех цветов? Природа чемодана такова, что в чемодане может жить сова, и две совы, и дважды две совы, а пять уже не вместится, увы. Природа чемодана так мудра, что в нём возможно жительство бобра, а вот семьи бобров, увы, никак. Ведь чемодан, простите, не чердак. Природа чемодана так проста, что в нем уместна цапля без хвоста, и полбобра, и унция совы. А мы уже не вместимся, увы. XV турнир математических боев «Kostroma Open 6-7» 4-9 января 2010 года Третий тур. Лига 6-7 1. 2. На окружности расположено неокрашенных 20 точек. Есть красная и синяя краски. Можно покрасить любую неокрашенную точку, но если какие, соседние с этой точкой уже окрашены, то их надо перекрасить в противоположный цвет. Можно ли сделать все точки одноцветными? Команда И В Н В таблице приведены итоги однокругового турнира Херенвен 3 3 0 перед последним туром и результаты игр предпосУниао 3 1 2 леднего тура. В колонке И — информация о том, Бекешчаба 4 1 2 сколько раз команда сыграла на данный момент, в Нэствед 3 0 2 колонке В — количество побед команды, в колонке Тон Пентр 3 0 0 Н — количество ничьих, в колонке П — количество Херенвен — Бекешчаба 4:0. поражений. Определите, кто с кем встретится в Тон Пентр — Униао 0:3. последнем туре. П 0 0 1 1 3 3. Найдите наименьшее составное натуральное число, большее 10, которое не делится ни на одно из двузначных чисел. 4. Дан треугольник, разбитый на треугольные ячейки, как показано на рисунке. В ячейку можно заложить бомбу. После взрыва, бомба разрушает саму ячейку и все соседние с ней по стороне ячейки. Какого наименьшего числа бомб достаточно, чтобы разрушить весь треугольник? 5. В трех шкатулках лежит 20 монет по 1 рублю. Петя может положить в любые две шкатулки по одной монете. Его цель — уровнять число монет в шкатулках. Какого наименьшего числа монет хватит Пете, чтоб его цель была достигнута при любом начальном распределении монет по шкатулкам? 6. На гранях игрального кубика записаны числа от 1 до 6. На каждом ребре написали, на сколько отличаются числа на гранях, граничащих по этому ребру (то есть положительная разность этих чисел). Какое наибольшее значение может иметь сумма всех чисел на ребрах такого куба? 7. Бенька, автор песни (см. справа) утверждает, что два бобра — уже семья, сова весит всего 2 унции, а мы составляем более половины цапли. Можем ли мы занять менее одной восьмой всего чемодана? 8. Имеется 11 фишек четырех цветов. Можно ли расставить их по кругу так, чтобы среди любых пяти идущих подряд были фишки всех цветов? Природа чемодана такова, что в чемодане может жить сова, и две совы, и дважды две совы, а пять уже не вместится, увы. Природа чемодана так мудра, что в нём возможно жительство бобра, а вот семьи бобров, увы, никак. Ведь чемодан, простите, не чердак. Природа чемодана так проста, что в нем уместна цапля без хвоста, и полбобра, и унция совы. А мы уже не вместимся, увы. XV турнир математических боев «Kostroma Open 6-7» 4-9 января 2010 года Финальный тур. Вариант СЛ 34. Каждая клетка прямоугольной таблицы окрашена в белый или черный цвет. Известно, что в любом квадрате 2 2 четное число черных клеток. Отметили два столбца и две строки. Докажите, что среди четырех клеток, находящихся в их пересечении, также четное число черных клеток. 35. В числе можно изменить одну цифру и переставить цифры местами. Из скольких четырехзначных чисел можно получить число 2010? Четырехзначное число не может начинаться с нуля, но промежуточный вариант после замены может. 36. Какое наименьшее значение может иметь сумма таких различных 25 целых чисел, что сумма любых восьми из них положительна? 37. В Цветочном городе живет 2010 коротышек. У них имеется 1234 монеты по 10 копеек и неограниченный запас монет по 5 копеек. Иногда коротышки меняются монетами: один дает другому монету в 10 копеек и получает взамен две монеты по 5 копеек. Как-то вечером каждый коротышка заявил: "Сегодня я отдал ровно 10 монет". Докажите, что кто-то из них ошибся. 38. Деду Морозу и снегурочке прислали по 2010 пар варежек. Каждая пара белая, красная, синяя или зеленая. Все варежки разложены вперемешку по N мешкам. Узнав количество мешков, Дед Мороз сказал: «В каком-нибудь мешке точно можно найти одну пару варежек одного цвета». При каком максимальном N это утверждение верно? 39. Прямоугольник разделен на два прямоугольника. Обе части увеличились — получились прямоугольники, а периметр каждой части увеличился на 10 см. Сам же прямоугольник увеличил свой периметр на 15 см, став квадратом со стороной 20 см. Найдите размеры исходного прямоугольника. 40. Дан куб 10 10 10, составленный из кирпичиков 1 1 1. Некоторые кирпичики бракованы, но в любом блоке 1 1 10, направленном вдоль любого ребра куба, не более одного бракованного кирпичика. Какой наибольший куб, состоящий из небракованных кубиков, можно гарантированно выделить из этого куба? 41. Натуральное число n замечательное, если для любых двух натуральных чисел A и B по крайней мере одно из чисел A, B, (A + B), (A – B) делится на n. Сколько замечательных чисел? XV турнир математических боев «Kostroma Open 6-7» 4-9 января 2010 года Финальный тур. Вариант 7 1. Каждая клетка прямоугольной таблицы окрашена в белый или черный цвет. Известно, что в любом квадрате 2 2 четное число черных клеток. Отметили два столбца и две строки. Докажите, что среди четырех клеток, находящихся в их пересечении, также четное число черных клеток. 2. В числе можно изменить одну цифру и переставить цифры местами. Из скольких четырехзначных чисел можно получить число 2010? Четырехзначное число не может начинаться с нуля, но промежуточный вариант после замены может. 3. Какое наименьшее значение может иметь сумма таких 25 целых чисел, что сумма любых восьми из них положительна? 4. В стране Логика живут только рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. За круглым столом сидят 11 человек. Каждый из них заявил, что двое, видящие напротив него, — это рыцарь и лжец. Сколько лжецов за столом? Напротив — это двое сидящих наиболее далеко. Например, напротив первого сидят шестой и седьмой. 5. Деду Морозу и снегурочке прислали по 2010 пар варежек. Каждая пара белая, красная, синяя или зеленая. Все варежки разложены вперемешку по N мешкам. Узнав количество мешков, Дед Мороз сказал: «В каком-нибудь мешке точно можно найти одну пару варежек одного цвета». При каком максимальном N это утверждение верно? 6. Прямоугольник разделен на два прямоугольника. Обе части увеличились — получились прямоугольники, а периметр каждой части увеличился на 10 см. Сам же прямоугольник увеличил свой периметр на 15 см, став квадратом со стороной 20 см. Найдите размеры исходного прямоугольника. 7. Дан куб 10 10 10, составленный из кирпичиков 1 1 1. Некоторые кирпичики бракованы, но в любом блоке 1 1 10, направленном вдоль любого ребра куба, не более одного бракованного кирпичика. Верно ли, что из него гарантированно можно выделить куб 2 2 2? 8. Натуральное число n замечательное, если для любых двух натуральных чисел A и B по крайней мере одно из чисел A, B, (A + B), (A – B) делится на n. Сколько замечательных чисел? XV турнир математических боев «Kostroma Open 6-7» 4-9 января 2010 года Финальный тур. Вариант 6 1. Каждая клетка прямоугольной таблицы окрашена в белый или черный цвет. Известно, что в любом квадрате 2 2 четное число черных клеток. Отметили два столбца и две строки. Докажите, что среди четырех клеток, находящихся в их пересечении, также четное число черных клеток. 2. В числе можно уменьшить одну цифру на 1 и переставить цифры местами. Из скольких четырехзначных чисел можно получить число 2010? Четырехзначное число не может начинаться с нуля, но промежуточный вариант после замены может. 3. Какое наименьшее значение может иметь сумма таких 25 целых чисел, что сумма любых восьми из них положительна? 4. В стране Логика живут только рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. За круглым столом сидят 11 человек. Каждый из них заявил, что двое, видящие напротив него, — это рыцарь и лжец. Сколько лжецов за столом? Напротив — это двое сидящих наиболее далеко. Например, напротив первого сидят шестой и седьмой. 5. Деду Морозу и снегурочке прислали по 2010 пар варежек. Каждая пара белая, красная, синяя или зеленая. Все варежки разложены вперемешку по N мешкам. Узнав количество мешков, Дед Мороз сказал: «В каком-нибудь мешке точно можно найти одну пару варежек одного цвета». При каком максимальном N это утверждение верно? 6. Прямоугольник разделен на два прямоугольника. Обе части увеличились — получились прямоугольники, а периметр каждой части увеличился на 10 см. Сам же прямоугольник увеличил свой периметр на 15 см, став квадратом со стороной 20 см. Найдите размеры исходного прямоугольника. 7. Дан куб 10 10 10, составленный из кирпичиков 1 1 1. Некоторые кирпичики бракованы, но в любом блоке 1 1 10, направленном вдоль любого ребра куба, не более одного бракованного кирпичика. Верно ли, что из него гарантированно можно выделить куб 2 2 2? 8. Можно ли фигуру, изображенную на рисунке (её центральная клетка вырезана), разрезать на такие 4 равные части, что из любой части нельзя вырезать квадрат 2 2? Резать можно только по сторонам клеток. XV турнир математических боев «Kostroma Open 6-7» 4-9 января 2010 года Финальный тур. Вариант 6-7 1. В каждую ячейку таблицы 7 7 записано целое число. Выписали 14 чисел — суммы во всех строках и всех столбцах таблицы. Может ли ровно половина этих чисел быть отрицательной? 2. В числе можно уменьшить одну цифру на 1 и переставить цифры местами. Из скольких четырехзначных чисел можно получить число 2010? Четырехзначное число не может начинаться с нуля, но промежуточный вариант после замены может. 3. Какое наименьшее значение может иметь сумма таких 25 целых чисел, что сумма любых восьми из них положительна? 4. В стране Логика живут только рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. За круглым столом сидят 11 человек. Каждый из них заявил, что двое, видящие напротив него, — это рыцарь и лжец. Сколько лжецов за столом? Напротив — это двое сидящих наиболее далеко. Например, напротив первого сидят шестой и седьмой. 5. Деду Морозу и снегурочке прислали по 2010 пар варежек. Каждая пара белая, красная, синяя или зеленая. Все варежки разложены вперемешку по N мешкам. Узнав количество мешков, Дед Мороз сказал: «В каком-нибудь мешке точно можно найти одну пару варежек одного цвета». При каком максимальном N это утверждение верно? 6. Прямоугольник разделен на два прямоугольника. Обе части увеличились — получились прямоугольники, а периметр каждой части увеличился на 10 см. Сам же прямоугольник увеличил свой периметр на 15 см, став квадратом со стороной 20 см. Найдите размеры исходного прямоугольника. 7. Дан куб 10 10 10, составленный из кирпичиков 1 1 1. Некоторые кирпичики бракованы, но в любом блоке 1 1 10, направленном вдоль любого ребра куба, не более одного бракованного кирпичика. Верно ли, что из него гарантированно можно выделить куб 2 2 2? 8. Можно ли фигуру, изображенную на рисунке (её центральная клетка вырезана), разрезать на такие 4 равные части, что из любой части нельзя вырезать квадрат 2 2? Резать можно только по сторонам клеток.
