Исследование статистики экстремумов неполного моста и

ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИКИ ЭКСТРЕМУМОВ НЕПОЛНОГО
МОСТА И ПРИМЕНЕНИЕ ЕЕ ДЛЯ АНАЛИЗА ЭФФЕКТИВНОСТИ
ОЦЕНОК ВОЛАТИЛЬНОСТИ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ.
Саичев А.И. 1, Лапинова С.А.2
1. ВВЕДЕНИЕ
Проблема статистического описания глобальных на заданнном интервалe
времени экстремумов винеровского моста хорошо известна в применении к ряду физических задач, например для поиска волновых функций в потенциальных ямах с движущимися стенками или гидроакустических волн в шельфовых
зонах. В качестве примера экономических приложений, где востребована статистика экстремумов родственных винеровскому процессов, можно привести
анализ эффекгивности оценок волатильности финансовых рынков [1-3].
Предварительно укажем случайные процессы, экстремальные свойства
которых изучаются в данной статье. Прежде всего, отметим, что в силу фрактальиости винеровского процесса, заданный интервал времени можно брать единичной длиы t(0,1), а исходный процесс можно полагать равным
X(t,):= t+W(t),
t(0,1)
(1)
где  - постоянная скорость сноса, а W(t) - стандартный винеровский
процесс W(t)~ N(0,t). Назовем случайный процесс X(t,) (1) винеровским
проиессом со сносом. Нам понадобится также неполный винеровский мост
(неполный мост), по определению равный
Y(t,k,) := X(t,) -kt X(1,),
(2)
Частный случай неполного моста при k = 1
Y(t) := Y(t,1,) = W(t) -t W(1),
(3)
называют винеровским мостом, или кратко - мостом. Ниже мы будем интересоваться совместными вероятностными свойствами случайных величин
H : sup Y (t , k ,  ) , L : inf Y (t , k ,  ) , C : X (1,  )
t( 0 ,1)
t( 0 ,1)
(4)
характеризующих экстремальные свойства неполного моста.
Как известно, во многих частных случаях совместные статистические характеристики случайных величин (Н, L, С) (4) детально изучены. Например,
давно известны в частном случае стандартного винеровского
Саичев А.И. – Guest Professor Chair of Enterpreneurial Risks, ETH Zürich
Лапинова С.А. – доцент кафедры математической экономики НИУ ВШЭ – Нижний Новгород
1
2
процесса при k==0 совместные вероятностные свойства величин (4) (см.
например [4]). Найдено также совместное распределение величин (Н, L, С) для
винеровского ироцесса со снососом X(t, )и так далее.(см. например [5-7])
Щироко известна также работа Феллера [8], где найдено распределение разности экстренумов R:=Н-L винеровского цроцесса. Однако до сих пор неизвестно
явное аналитическое выражение для трехмерной плотности вероятностей
Q(h,l,c,k,) случайных величин (Н, L, С) (4) при произвольных нараметрах k и 
неполного моста Y(t, k,) (2).
В данной работе сформулирована смешанная краевая задача для уравнения диффузии, решение которой определяет искомую плотность вероятностией
Q(h,l,c,k,), приведеноее решение и обсуждаются некоторые ее свойства.
2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕПОЛНОГО МОСТА
Обсудим некоторые полезные свойства геометрические свойства неполного
моста (2). Воспользуемся следующей теоремой, доказанной в [9].
Теорема. Неполный мост Y(t, k,) (2) стохастически эквивалентен случайному
процессу Z(t, k,):
Y(t, k,)~ (t, k,):= (1-k)t+ (t,k)
(5)
где


t

 (t , k ) : (1  t  (1  k ) 2 t )W 
2
 1  t  (1  k ) t 


(6)
Используем для удобства замену переменных:
 (t, k ) :
(1  k ) 2 t
(1  t  (1  k ) t )
2
 t ( , k ) :

  (1  k ) 2 (1   )
И введем вспомогательный случайный процесс
Z(t, k,):= (t(,k), k,)
(7)
Который можно переписать, используя (5)-(6), в виде
Z ( , k ,  ) 
1 k
[  W ( )]
  (1  k ) 2 (1   )
(8)
Используя (5)-(8) можно получить следующие оценки:
l<Y(t, k,)<h, l<(t, k,)<h, a+<W()<b+
где
(9)
Конференция
4
a=(1-k)l, b=(1-k)h,

1  (1  k ) 2
(1  k )
l  ,  
1  (1  k ) 2
(1  k )
h 
Введем еще одну случайную величину С, определяемую из равенства
Y(1,k, )=(1-k)C
Учтем соотношения (1), (7),(8) получим
W(1)=C-
(10)
3. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СОВМЕСТНОЙ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Плотность вероятностей Q(h,l,c,k,) случайных величин (Н, L, С) выражается
через вероятность
f(h,l,c;k,)dc:=Pr{C(c,c+dc)  l<Y(l,k,)<h:t(0,1)}
(11)
где
Q(h, l , c; k ,  )  
 2 f (h, l , c; k ,  )
(12)
hl
Из соотношений (9)-(11) получим
f(h,l,c;k,):= (с-;1,a,b,, )
(13)
где (с-;1,a,b,, )= (;,a,b,, )= (;) подчиняется уравнению диффузии
2
 1  

 2  2
(14)
С сингулярным начальным условием
 (;  0)   ( )
(15)
И граничными условиями
 (  a   ; )  0 ,  (  b   ; )  0
(16)
В [9] показано, что решение уравнения (14) c условиями (15)-(16) имеет вид
 (; ) 

 exp( 2(    )(b  a)m
2
 2( b  a )m) 
m  
g
0
(  2m(b  a );  )  exp( 2a ( 2(   )m   )) g 0 (  2m(b  a )  2a; )

(17)
Сборник научных трудов
g 0 (; ) 
1
2
exp( 
2
2
5
)
4. СТАТИСТИКИ ЭКСТРЕМУМОВ НЕПОЛНОГО МОСТА
Используя решение (17), можно получить искомую плотность вероятностей
Q ( h, l , c; k ,  )  g 0 ( c   ) R( h, l ; k | c )
Где
R ( h, l ; k | c ) 

 m[mD(m(h  l ), (1  k )c)  (1  m) D(m(h  l )  l , (1  k )c)] ,
m  
D(h, c)  4[( c  2h) 2  1]e 2h ( c h )
Здесь R(h, l; k | c) - условная плотность вероятностей экстремальных величин H и
L (4), при условии, что случайная величина С равна заданной величине с.
В предельном случае, если к=1 (случай полного моста), R(h, l; k | c) не зависит от
с. Безусловная совместная плотность вероятностей равна
R ( h, l ) 

 m[mD(m(h  l ))  (1  m) D(m(h  l )  l ))] ,
m  
D(h, c)  4(4h 2  1) exp( 2h 2 )
Исследование супремума H и инфинума L в случае моста (3) дали следующие
соотношения
H  L 

8
1
2
, H 2   L2  , HL 
6  2
12
А коэффициент корреляции  супремума H и инфинума L равен
0.655
Литература
1. Garman M.B., Klass M.T. The Journal of Business, 53, 67,1980.
2. Rogers L.C.G., Satchell S.E. The Annals of Applied Probability, 1, 4, 504,1991.
3. Martens M., D. Van Dijk. Journal of Econometrics, 138, 181,2007.
4. Gikhman I.I., Skorokhod A.V. The Theory of Stochastic Processes II. Series:
Classics in Mathematics 218. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg & New York.
1975.
Конференция
6
5. Borodin A.N., P. Salminen. Handbook of Brownian Motion – Facts and Formulae.
Second Edition, Birkhauser-Verlag, Basel –Boston-Berlin.
6. Jeanblanc M., Yor M.,Chesney M. Mathematical Methods for Financial Markets.
Springer Verlag, Dordrecht Heidelberg London & New York, 2009.
7. Saichev A.I., Malevergne Y., Sornette D. Theory of Zipf’s Law and Beyond. Lecture Notes in Eonomics and Mathematical Systems, 632. Springer Verlag, Dordrecht Heidelberg London & New York, 2010.
8. Feler W. Annals of Mathematical Statistics. 22, 427,1951.
9. Саичев А.И., Лапинова С.А. Экстремумы неполного моста. (в печати)