Молекулярная физика и термодинамика. Часть 2.
advertisement
3.3. Термодинамика "Термодинамика есть наука о силах, связанных с теплом". М. Лауэ На основании многочисленных опытов была построена система феноменологической термодинамики. Сначала Г. Гельмгольц переформулировал принцип эквивалентности тепла и работы в закон сохранения энергии, причём в математической форме, а затем В. Томсон в начале пятидесятых годов девятнадцатого века сформулировал закон о направленности теплообмена и, используя его результаты, Р. Клаузиус построил систему термодинамики. Построение было проведено в рамках общепринятой к тому времени аксиоматической схемы - система термодинамики включала формулировки основных понятий, величин и аксиом (начал) и позволяла, используя логикоматематические операции, получать следствия из аксиом и экспериментально проверять их. Перечислим основные понятия классической термодинамики. 1. Тело - вещество, заполняющее определённый объём. 2. Термодинамические параметры состояния тела - все признаки, характеризующие тело: плотность, упругость, объем, температура, масса, ... 3. Термодинамическое состояние тела - совокупность всех параметров, позволяющая полностью описать поведение тела. 4. Равновесное и неравновесное состояния тела: тело находится в равновесном состоянии, если все характеризующие его признаки во всех участках тела будут оставаться неизменными сколь угодно долго. Тело находится в неравновесном состоянии, если его параметры изменяются. Подчеркнём, что не надо приравнивать равновесное состояние к стационарному. Стационарное состояние тела - это состояние, при котором параметры тела не изменяются, но эта неизменность поддерживается протеканием 40 какого-либо процесса, который извне действует на тело. Например, состояние железного прута, если его с одной стороны нагревают, а с другой - охлаждают, может быть стационарным (распределение температуры вдоль длины прута не изменяется со временем), но это состояние не равновесно. В равновесных состояниях потоки отсутствуют. 5. Фаза - состояние тела, которое, будучи разделено произвольным образом на любое число частей, обнаруживает тождественность состояний всех частей. 6. Уравнение состояния - уравнение, связывающее параметры термодинамического тела. Равновесное состояние полностью описывается небольшим числом параметров состояния. Так, состояние однородных тел полностью определяется заданием двух из трёх величин: температуры (Т), давления (Р), объёма (V). Другими словами, для всякой однородной термодинамической системы в состоянии термодинамического равновесия заданным значениям Т и молярного V соответствует единственное значение давления P = P (V,T). вста случаях для полного описания равновесного состояния требуются другие параметры (концентрация компонентов системы, напряжённость электрического поля, ...). Конкретная функциональная зависимость этих параметров находится для каждого вещества опытным путём. Это очень трудная задача. Поэтому одна из основных задач термодинамики: исходя из теоретических представлений о строении вещества, найти уравнение состояния для любой термодинамической системы. Эта задача точно решена только для модели идеального газа - уравнение Клайперона - Менделеева, которым можно описывать поведение реальных разряженных газов при высоких температурах: PV m 41 RT , где Р - давление газа, V - объём газа, Т - температура газа в К, m - масса газа, молекулярный вес, R = 8,381 дж/моль К носит название универсальной газовой постоянной. 7. Термодинамический процесс - переход термодинамической системы из одного термодинамического состояния в другое. Если система находится в неравновесном состоянии, т.е. в состоянии, характеризующимся неоднородностью распределения параметров системы в отсутствие внешних полей или вращения системы как целого, то она переходит в равновесное в течение некоторого промежутка времени (времени релаксации). Система также может переходить из одного равновесного состояния в другое равновесное состояние. В процессе такого перехода система проходит через непрерывный ряд состояний, не являющимися равновесными. Для реализации процесса, приближающегося к последовательности равновесных состояний, необходимо, чтобы он протекал достаточно медленно (был квазистатическим). Но сама по себе медленность процесса ещё не является достаточным условием его равновесности. Равновесный процесс, представляя собой непрерывную цепь равновесных состояний, является обратимым - его можно совершить в обратном направлении, и при этом в окружающей среде не будет изменений. Классическая термодинамика даёт полное количественное описание равновесных (обратимых) процессов. Количественным изучением неравновесных процессов занимается термодинамика неравновесных процессов. 1. Для 3.3.1. Начала термодинамики каждой термодинамической системы существует состояние термодинамического равновесия, которого она достигает самопроизвольно при фиксированных внешних условиях - это положение называют нулевым началом термодинамики. 42 2. I начало - существует функция термодинамического состояния тела внутренняя энергия Е (V,T,) - изменение которой из одного состояния в другое равно сумме количества теплоты Q, переданного телу в процессе теплообмена, и работы внешних сил А, совершенной над телом E = Q + A. В термодинамике рассматриваются только тела, находящиеся в механическом равновесии в данной инерциальной системе отсчёта. Поэтому работа А связана только с деформацией тела. 3. II начало - теплота не способна переходить сама произвольно от более холодного тела к более тёплому. 4. При помощи конечной последовательности термодинамических процессов нельзя достичь температуры абсолютного нуля (Т = 0 К). Использование начал термодинамики позволило конструировать на научной основе тепловые машины. Сначала развивалось конструирование тепловых машин, которые выполняли полезную работу. вста замкнутых циклов, например, паровые машины. Определим замкнутый цикл и тепловую машину. 1. Замкнутые (циклические) процессы - термодинамические процессы, в которых начальное состояние термодинамической системы совпадает с конечным. Для таких процессов Е = 0, т.е. количество переданной телу теплоты, и величина совершенной телом работы равны: Q = A. 2. Тепловая машина - модель, представляющая систему из двух термостатов (термостат - тело, изменением температуры которого в процессе теплообмена можно пренебречь; теплоёмкость термостата считается бесконечной) с разными температурами (T1 > T2) и рабочего тела, которое может осуществлять теплообмен с термостатами и совершать работу над внешними телами. Входящий в состав тепловой машины термостат с высокой температурой (Т1) называют нагревателем, а с низкой (Т2) - холодильником. 43 В тепловой машине, производящей работу за счёт замкнутых циклов, рабочее тело получает от нагревателя количество теплоты Q1 и отдаёт холодильнику количество теплоты Q2, совершая работу Q1 - Q2 = A (см. рис. 5). Коэффициент полезного действия (к.п.д.) тепловой машины A Q1 Q 2 . Q1 Q1 Тепловая машина может работать и как холодильная. В этом случае за счёт совершения вста работы некоторое количество тепла Q2 отнимается от резервуара с более низкой температурой Т2. При этом резервуару с более высокой температурой Т1 передаётся количество теплоты Q1, равное сумме A + Q (рис. 6). Схема тепловой машины Схема холодильной машины Среди множества различных термодинамических циклов существуют такие, в которых отсутствуют "потери" тепла, вызванные самопроизвольным переходом теплоты от более нагретого тела к менее нагретому. В таких циклах контакт рабочего тела с нагревателем и холодильником осуществляется при постоянной температуре Т1 и Т2 соответственно, а необходимое изменение температуры рабочего тела осуществляется без его теплообмена какими бы то ни было телами - по адиабате. Представителем такого типа циклов является цикл Карно - термодинамический цикл, состоящий из двух адиабатических и двух 44 изотермических процессов (адиабатический процесс - процесс без теплообмена, описывается уравнением PV =Const ( > 1). Изотермический процесс процесс - при постоянной температуре, описывается уравнением PV = const). Коэффициент полезного действия цикла Карно Т1 Т 2 Т1 (подробности см. в разделе "Задачи по термодинамике"). Существует теорема, которая утверждает, что к.п.д. цикла любой машины не может быть больше к.п.д. машины Карно, работающей по циклу Карно при тех же температурах нагревателя и холодильника. Из этой теоремы следует, что Q1' Q2' Q1 Q2 , Q1 Q1' где Q1' ,Q2' - относятся к машине Карно; Q1 ,Q2 - к другой тепловой машине. Поскольку для машины Карно Т1 Т 2 Т1 то имеет место T Q Q T Q Q Q1' Q2' T1 T2 Q1 Q2 или 1 2 1 2 или 2 2 или 2 1 . ' T1 Q1 Q1 T1 T2 T1 T1 Q1 Q1 где знак равенства может быть отнесён к машине Карно, т.е. для машины Карно Q1 T1 . Q 2 T2 Это соотношение позволяет задать способ измерения температуры. Если на температурной шкале выбрать реперную точку (постоянную) с заданной температурой Т1, то, проводя цикл Карно с телом при температуре Т1 в качестве нагревателя (или холодильника), можно определить температуру заданного тела Т2, используя его в качестве холодильника (или нагревателя) и измерив количество тепла Q1 и Q2 по их механическому эквиваленту, т.е. 45 T2 T1Q 2 . Q1 Построенная таким способом шкала называется термодинамической. Температура, измеренная по термодинамической шкале, совпадает с температурой, измеренной термометром, в котором рабочим телом служит идеальный газ. Вернёмся к общему соотношению Q2 Q1 . T2 T1 Будем понимать под Q величину, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения: положительные - если тело получает теплоту, отрицательные - если тело отдаёт теплоту. Тогда неравенство можно записать в виде Q 2 Q1 0. T2 T1 Рассмотрим круговой процесс, происходящий с рабочим телом, контактирующим с многими термостатами, имеющими различные температуры Т1, Т2, ... Тn. Совершив цикл, тело возвращается в начальное состояние с температурой Т1. При тепловых контактах рабочего тела с термостатами оно будет получать или отдавать количество теплоты Q1, Q2, ... Qn и совершать положительную или отрицательную работу. В случае, если все процессы, происходящие с рабочим телом, обратимы, то все циклы можно представить в виде графика (рис. 7). Произведём n циклов Карно между каждым из указанных n термостатов и новым дополнительным термостатом, имеющим температуру Т0, меньшую температуру всех n термостатов. Пусть при этом каждому из термостатов будет возвращено или взято у него количество теплоты, которое было отдано или забрано у него при рассмотренном выше круговом процессе. При этом дополнительный термостат получит или отдаст количество теплоты 46 Q0(1) , Q0( 2 ) ,...Q0( n ) . Для каждого из циклов Карно можно записать Q0(1) Q1 Q0( 2 ) Q2 Q0( n ) Qn 0; 0; ... 0. T0 T1 T0 T2 T0 Tn Сложив эти равенства, получим Qn Q0(1) Q0( 2 ) Q0( n ) Q1 Q2 Q Q Q1 Q2 ... ... ... n 0 0 , T1 T2 Tn T0 T0 T0 T1 T2 Tn T0 где Q0 Q0(1) Q0( 2 ) ... Q0( n ) . В результате всех этих процессов термостаты с температурами Т1, ... Тn не потеряют и не приобретут никакого количества теплоты. Единственным результатом будет приобретение холодильником температуры Т0 теплоты Q0. Но Q0 не может быть отрицательным, так как в этом случае мы получили процесс, единственным результатом которого было бы взятие тепла у самого холодного тела, что, согласно второму закону термодинамики, невозможно. Поэтому Q0 0 и следовательно, Qi T i Последнее i Q0 0; T0 неравенство Qi T i можно Q0 ; T0 Qi T i 0. i рассматривать как математическую формулировку второго начала термодинамики. Теперь рассмотрим круговой процесс, в котором от бесконечно большого числа термостатов берутся или отдаются бесконечно малые количества теплоты Q при определённых температурах рабочего тела. В этом случае надо написать lim Q dQ 0. Qi 0 Ti T что также является математическим выражением второго закона термодинамики. Рассмотрим обратимый круговой процесс (рис. 8). Выберем на кривой, изображающей этот процесс, две точки 1 и 2 и запишем для всего цикла 47 dQ 2 dQ 1 dQ T 1 T 2 T 0 , отсюда 2 2 2 2 dQ dQ dQ dQ 1 вдольТ а 1 вдольТ b , но 1 вдольТ b 1 вдольТ b . 2 2 dQ dQ 1 вдольТ а 1 вдольТ b . Отсюда Таким образом, вообще интеграл по любой кривой от точки 1 до точки 2 имеет одно и то же значение. Таким образом, 2 dQ T 2 является функцией только пределов. Обозначив эту функцию через S, можно написать 2 dQ S (2) S (1) . T 2 Функция S называется энтропией. Она является функцией состояния, т.е. зависит только от параметров системы. Теперь рассмотрим круговой процесс, при котором изменение состояния системы от точки 1 до точки 2 по направлению а протекает необратимо, а по направлению b от состояния 2 к состоянию 1 - обратимо. Тогда 48 2 1 2 1 2 1 2 1 dQнеобр T dQнеобр T dQнеобр T dQнеобр T 1 dQобр T 2 1 dQобр T 2 2 1 0 2 dQобр 1 dQобр T T S ( 2) S (1) или 0 Таким образом, в общем виде можно записать dQ 0, T где знак неравенства относится к необратимым процессам, а знак равенства - к обратимым. Иначе Q S. T Данное выражение является наиболее общим выражением второго закона термодинамики. Рассмотрим замкнутую систему, для которой dQ = 0. В этом случае dS 0, т.е. изменение энтропии замкнутой системы может быть только положительным, или энтропия замкнутой системы может только возрастать или оставаться постоянной. В этом положении выражен характер тепловых процессов, их однонаправленность: во всякой замкнутой системе тепловые процессы всегда происходят так, что энтропия системы увеличивается. Когда энтропия достигает максимума, тепловые процессы в системе прекращаются, и наступает состояние термодинамического равновесия. Таким образом, первый закон термодинамики вводит функцию состояния внутреннюю энергию, второй закон вводит функцию состояния- энтропию. В то время как энергия замкнутой неравновесной системы остаётся постоянной, её энтропия увеличивается. Поскольку Q = TS, термодинамики может быть записано: E = TS + pV. 49 то с использованием Сейчас вспомним: при рассмотрении молекулярной физики мы рассматривали величину, имеющую название энтропии. Возникает вопрос: это та же величина, которую мы рассматривали в термодинамике, но только в разных представлениях (статистическом и термодинамическом) или это разные величины, но имеющие одинаковые названия? Решим этот вопрос в рамках упрощённой модели. Пусть в сосуде объёмом V находится N молекул идеального газа. В результате независимости движения молекул, все положения каждой молекулы внутри объёма равновероятны. Отсюда следует, что вероятность для любой молекулы находиться в части объёма V1 равна w1 V1 . V Какова вероятность, что две молекулы находятся в части объёма V1? Так как два события - нахождение одновременно одной и другой молекулы в объёме V1 - независимы, то, согласно законам теории вероятностей, искомая вероятность равна 2 V V V w2 1 1 1 . V V V Рассуждая таким образом, придём к выводу, что вероятность нахождения всех молекул в объёме V1: N V w 1 . V Взяв логарифм от обеих частей, получим ln w N ln V1 . V Подсчитаем теперь энтропию определённой массы газа, когда весь газ находится в объёме V1. Для этого рассмотрим изотермический процесс, который заключается в уменьшении объёма газа от V до V1 при постоянной температуре. Тогда 50 V1 dQ dQ PdV 1 RT S dV R ln . T V PV RT V V V V1 V Так как физический смысл имеет не абсолютное значение энтропии, а её изменение, то энтропию газа, занимающего объём V1, можно принять за 0 и S R ln если N равно числу Авогадро NAB, то V1 R ln w , V N R k (константа Больцмана) и мы имеем N AB S=k ln w. Таким образом, мы имеем дело с одной и той же величиной, но имеющей разные выражения в разных представлениях (термодинамическом и статистическом). Соотношение получено для простейшего случая, но имеет всеобщий характер. Таким образом, второй закон термодинамики можно считать вероятностным законом, и он может быть сформулирован так: самопроизвольное изменение системы всегда происходит в направлении увеличения вероятности её состояния. Другими словами, изолированная система всегда переходит от состояния менее вероятного к состоянию боле вероятному. Теперь рассмотрим тепловые машины второго типа, которые совершают некруговые процессы, производя при этом полезную работу. Примерами таких машин могут служить ракеты, бомбы, гальванические элементы... Рассмотрим, какую максимальную работу могут производить машины второго типа. 51 Пусть (назовём её некоторая основной система системой) находится в среде (термостате) с постоянной температурой Т0 и давлением Р0. Между системой и средой имеет место взаимодействие обмен теплом и работой. Кроме основной системы и среды, имеется теплоизолированное тело, над которым система может производить механическую работу. Тело будем называть объектом работы, а совершённую над ним работу - полезной работой (рис. 9). Пусть основная система переходит из начального состояния в некоторое конечное состояние, производя при этом полезную работу (-А). В ходе процесса система получает от среды некоторое количество тепла - Q0. Кроме того, при взаимодействии с системой может изменяться объём среды на величину V0 (как увеличиваться, так и уменьшаться). Соответственно, среда выполняет над системой работу P0V0=A0. Закон сохранения энергии для замкнутой системы (среда + основная система + объект работы) гласит: E=-A-Q0+A0 Поскольку объём замкнутой системы остаётся постоянным, то V0 = -V. Размеры среды настолько велики, что при любых взаимодействиях с системой в среде происходит бесконечно медленный, квазистатический процесс при постоянном давлении р0 и температуре Т0. Поэтому р0V0 = -р0V = A0, Откуда E = -A - р0V-T0S0. 52 Закон возрастания энтропии для замкнутой системы (основная система + среда) имеет вид S+S0 0 или Е0S + TS0 0. TS0=-A - р0V - E. Но И таким образом (-A) E + р0V - T0S'. Так как в ходе процесса Е0 и р0 остаются постоянными, то (-A) (E + р0V - T0S) = R. Для обратимых процессов имеет место равенство, где R = E + р0V - T0S'. Наибольшая полезная работа может быть произведена над объектом работы при обратимом процессе, в данном случае обратимого процесса в системе, так как в среде процесс всегда обратим. Таким образом, (-A) = (-A)обр =(-A)max = R или (A)max = -R. Таким образом, максимальная полезная работа при некруговом процессе по абсолютной величине равна убыли величины R. В R входят и величины, относящиеся к системе (E,V,S), и величины, относящиеся к среде (Р0, Т0). Желательно выразить (А)max только через параметры системы. Конкретное выражение для (А)max, содержащее только характерные параметры системы, можно получить только для некоторых специального вида процессов, происходящих в системе. Предположим, что система совершает изотермический процесс T = T0 = const и объём системы не изменяется. В случае системы, находящейся о внешнем поле сил при заданных Т и V, состояние системы полностью определено. Однако если система находится во внешнем поле или является неоднородной, например, представляет собой смесь реагирующих веществ, то при 53 заданных Т и V состояние системы может измениться. Получаемая при этом работа (-A) (E - TS) = F, где обозначено F = E - TS. Величина F, являющаяся мерой работы, которая может быть получена при изотермо-изохроническом процессе, происходящем в системе, взаимодействующей со средой, именуемой свободной энергией системы. Таким образом, на получение полезной работы может быть затрачена лишь часть внутренней энергии системы. Часть же, равная TS и именуемая связанной энергией, остаётся в системе. Другим важным случаем является процесс при постоянной температуре Т = Т0 = const и постоянном давлении p = p0 = const. При этом (-A) (E + рV – TS ) =Ф, где Ф = E + pV - TS носит название термодинамического потенциала Гиббса. Термодинамический потенциал является мерой работы при изотермоизобарическом процессе, подобно тому, как свободная энергия служит мерой работы при изотермо-изохорическом процессе и внутренняя энергия - теплоизолированной системе. 3.3.1.1. Общие замечания по решению задач раздела "Термодинамика" При решении задач по термодинамике используется общая функциональная схема решения задач. Объектами термодинамики служат равновесные термодинамические системы, которые участвуют в равновесных термодинамических процессах. Для решения задач объекты необходимо перевести в физические модели объектов. В данном курсе используется только одна модель - идеальный газ. Равновесное состояние термодинамической системы считается полностью определённым, если задано уравнение состояния и калорическое уравнение. 54 Для модели идеального газа уравнение состояния известно - это формула Клайперона-Менделеева PV m RT . Калорическое уравнение, которое в общем случае представляет собой функциональную зависимость теплоёмкости газа при постоянном объёме от температуры и молярного объёма CV CV (V T ) для однотомного идеального газа имеет вид 3 R. 2 CV Однако, поскольку уравнение Клайперона-Менделеева описывает не только одноатомный газ, то и калорическое уравнение может быть другим. Обратимые (равновесные) термодинамические процессы рассматривают как последовательность равновесных состояний. Это значит, что в любой момент на любом этапе такого процесса для газа, участвующего в этом процессе, справедливо уравнение состояния. С другой стороны, при термодинамическом процессе изменяется функция состояния термодинамической системы - внутренняя энергия, причём её изменение подчиняется первому началу термодинамики E = Q + A, где Q и А зависят от типа процесса, что приводит к различным функциональным зависимостям величин, характеризующих термодинамические системы. Так как процесс определяется внешними воздействиями, то функциональная связь величин, участвующих в процессе, может иметь произвольную форму, важно только, чтобы не нарушалась обратимость процесса. Таким равновесных образом, при решении термодинамических проблем, систем, связанных подвергнутых с описанием обратимым термодинамическим процессам, в общем случае система уравнений может содержать уравнение состояния 55 PV m RT . Калорическое уравнение СV f (V молT ) . Уравнение термодинамического процесса P f (V , T ) . Первое начало термодинамики E = Q + A Выражение для Q конкретного процесса Q = Cp + A; Q = 0; Q = CVT. Выражение А конкретного процесса A pV ; A R ln V2 ... V1 или общая формула V2 A PdV . V1 Кроме этих уравнений, в систему могут входить другие законы (например, закон Дальтона); уравнения, основанные на общих принципах (закон сохранения массы); формулы, определяющие конкретные физические величины (например, коэффициент полезного действия отдельными величинами ( P АП ); функциональные связи между Q затр m ); специфические условия конкретной задачи V (Тмах = 200 К) и т.п. Иногда для решения задач надо найти механические величины. Тогда к этим уравнениям добавляются уравнения, фигурирующие при решении механических задач. Поскольку решение получают в рамках математических моделей, то в систему могут входить уравнения, связанные с математическими операциями 56 (приближение, ограничение, условия минимума, максимума, тригонометрические соотношения, геометрические формулы и т.д.). В качестве примеров, рассмотрим задачи, связанные с особенностью использования основных аксиом.. 3.3.1.1.1. Уравнение состояния идеального газа Из формулировки закона следует, что уравнение газового состояния записывается только для тех этапов процесса, для которых m const . Поэтому надо различать, по крайней мере, следующие случаи: 1.Система однородна, представляет один газ с постоянным молекулярным весом и постоянной массой m. Задача. Перед вылетом пули из ствола винтовки объём, занимаемый пороховым газом, в n раз превышает объём твёрдого пороха. Температура газов в этот момент равна Т. Молярная масса продуктов сгорания , плотность твёрдого пороха 0. Определить давление пороховых газов при вылете пули. Так как m = const, то для решения задачи используем уравнение газового состояния PV Закон сохранения массы: Связь плотности, массы и объёма Специфическое условие задачи: m RT . mпороха = mгаза. m . Vгаза = n Vпороха. В результате имеем: mпор m газа 0Vпор газаVпор или газа 0 Из уравнения состояния 57 Vпор Vгаз 0 n . P RT г RT m1 . RT г V n 2. Система однородна, = const, но масса газа изменяется. Задача. Температура комнаты была t1. После того, как печь натопили, температура в комнате поднялась до t2. Объём комнаты V, давление в ней Р. На сколько изменилась масса воздуха, находящегося в комнате. Молярная масса воздуха .. Уравнение газового состояния справедливо только для постоянной массы газа. Масса газа m1 постоянна при температуре Т1 и масса газа m2 постоянна при температуре Т2. Записав для каждой температуры уравнение состояния PV m1 RT1 и PV m2 RT 2 получим, используя эти уравнения, m m2 m1 PV 1 1 . R T1 T2 3. В системе = const, но газ состоит из сложных молекул. Задача. Шаровая молния представляет собой слабо светящийся газовый шар, свободно плавающий в воздухе. Согласно одной из моделей, молния состоит из идеального газа, представляющего собой комплексное соединение, каждая молекула которого содержит ион азота, связанный с несколькими молекулами воды. Температура молнии Т = 900 К, температура воздуха Т0 = 300 К. Сколько молекул воды связывает каждый ион азота? Электроны, потерянные атомом азота, связаны с молекулами воды, так что комплексная молекула, в целом, остаётся нейтральной. воздуха = 29 кг/к моль = 0. Так как молния свободно плавает в воздухе, можно считать, что плотность газа, из которого состоит молния, равна плотности воздуха. Равны и давления. В 58 этом случае молярные массы вещества молнии и воздуха обратны их абсолютным температурам. Действительно, из уравнения газового состояния имеем P RT и так как давления и плотности газа и вещества молнии равны, то Т Т0 0 ; Т0 ; 0 = 86 г/моль. Искомое число молекул воды, связанных с ионом азота, найдём из соотношения n N , B где N = 14 г/моль - молярная масса ионов азота (равная молярной массе атомарного азота); В = 18 г/моль - молярная масса воды. Таким образом, n = 4. 4. В системе = const, но имеет место смесь газов. Задача. Определить плотность смеси, содержащей m1 водорода и m2 кислорода при температуре Т и давлении Р. Каждый сорт газа в смеси даёт вклад в общее давление, равный парциальному давлению (закон Дальтона). Для парциальных давлений можно записать: P1 m1 RT m RT ; P2 2 ; 1V 2V отсюда m m P = P1 + P2 или ( P1 P2 )V 1 2 RT . 1 2 Искомая плотность (по определению) m1 m2 m m2 ( P1 P2 ) . 1 m1 m2 V RT 1 59 2 5. Имеют место процессы с изменением количества вещества, т.е. const и const. Задача. В стальном баллоне находятся m1 = 0,2 г водорода и m2 = 3,2 г кислорода при температуре Т = 300 К. Водород соединяется с кислородом и после того, как реакция закончится, давление внутри баллона увеличивается в три раза. Какая температура будет внутри баллона после реакции? Согласно условию задачи, перед реакцией в баллоне имеется n0V = 0,1 моля водорода и кислорода. После реакции останется V1 = 0,05 моля кислорода и появится V2 = 0,1 моля водяного пара, т.е. количество вещества составит 3,4 начального. Давление возрастёт в три раза. Значит, температура возрастёт в четыре раза, т.е. будет Т = 1200 К. Действительно, закон состояния идеального газа справедлив только при = const. Так как в процессе изменяется, то надо написать закон для двух состояний газа - до реакции p1V = 1RT1 p2V = 2RT2. Так как V = const, то P1 V1 T1 V P или T2 1 T1 2 . P2 V2 T2 V2 P1 6. Уравнение газового состояния используется для нахождения параметров различных систем, в которых одной из подсистем является идеальный газ. Параметры находятся либо прямым использованием уравнения газового состояния, или его использованием совместно с уравнениями механики. Задача. С какой максимальной силой прилипает к телу человека медицинская банка, если диаметр её отверстия D. В момент прикладывания к телу воздух в ней прогрет до температуры Т, а температура окружающего воздуха Т0. Атмосферное давление Р0. Изменением объёма воздуха в банке (из-за втягивания кожи) пренебречь. 60 В состоящая задаче из имеется банки и система, воздуха, находящегося в ней, который будем считать идеальным газом. В начальный момент воздух в банке находится при атмосферном давлении Р0 и нагрет до температуры Т. После приложения банки к коже, масса воздуха не изменяется, но он остывает до температуры Т0, а его давление становится равным Р1. Именно, когда воздух в банке охладится до температуры Т0 сила будет максимальна. Для каждого из этих состояний можно записать уравнение состояния P0V m RT , P1V m RT , откуда P0T0 . T P1 Теперь составим уравнение для сил, действующих на банку: со стороны внешнего воздуха действует сила давления F1 = p0S' и направленная вниз, где S площадь отверстия банки. Со стороны газа, находящегося внутри банки, на банку действует сила давления F2, направленная вверх и равная P1S' . Также на банку действует сила тяжести mg и сила реакции опоры N1. При этом, так как банка неподвижна, F i 0. i Пренебрежём силой тяжести банки. Тогда уравнение для сил будет иметь вид P0 S P1 S N 0 или N ( P0 P1 ) S ' 61 где S D 2 4 или N 0D 2 P D 2 T0 1 1 1 . 4 T P0 4 N - это сила со стороны тела человека на банку, но по III закону Ньютона со стороны банки на тело действует сила F, равная по величине N и противоположно направленная. Итак, Fmax D 2 T P0 1 0 . 4 T Ещё один пример. В простейшей модели Марса предполагалось, что планету окружает равно плотная атмосфера, высота которой Н = 25 км. Температура атмосферы на поверхности планеты Т = 300 К. Какова молярная масса атмосферного газа Марса? Радиус Марса r = 3400 км, его масса 23 М = 6 10 кг, гравитационная постоянная G = 6,67 10 -11 2 2 н м /кг . Давление на поверхности Марса найдём из уравнения газового состояния: P RT . Так как атмосфера равно плотная по условию, а высота её гораздо меньше радиуса планеты, то это давление в рамке механических переменных можно записать P g H , где g GM - ускорение свободного падения на поверхности Марса. r2 В результате имеем RTr 2 = 29 г/моль. GMH 7. Калорическое уравнение Как уже указывалось, калорическое уравнение необходимо для полного определения состояния системы, и потому существует класс задач, в которых занимаются поисками таких уравнений, а также существует класс задач по поиску конкретных теплоёмкостей в конкретных условиях. Для идеального одноатомного газа, как известно, 62 СV 3 R; 2 СV i R, 2 для газа из многоатомных молекул где i - число степеней свободы. Правила нахождения степеней свободы даны ранее. 1) Нахождение теплоёмкости для смеси газов Задача. Дана смесь газов из неона, масса которого m1 и водорода, масса которого m2. Определить удельную теплоёмкость смеси газов при постоянном объёме. По определению, теплоёмкость смеси газов при постоянном объёме CVсм При этом dQ . ( m1 m 2 )dT dQ dQ1 dQ2 (c1m1 c2 m2 )dT , где с1m1 и c2 m2 , соответственно, удельные теплоёмкости и массы водорода и неона. Подставив, получим CVсм c1m1 c 2 m2 . m1 m2 2) Нахождение теплоёмкости идеального газа, находящегося в поле внешних сил. Задача. В вертикальном цилиндрическом сосуде высотой H находится один моль идеального газа. Найти теплоёмкость С этого газа, учитывая наличие поля сил тяжести и предполагая, что gH << RT, где - молекулярный вес газа. Расширением сосуда при нагревании пренебречь. Поскольку газ идеальный, а нагревание происходит при постоянном объёме, то С dQ dU dA dU , dt dt dt 63 где dU -изменение полной внутренней энергии газа, которая складывается из кинетической энергии молекул и потенциальной энергии молекул в поле сил тяжести, т.е. dU dU k dU П . Распределение молекул по координатам описывается распределением Больцмана n( x) n0 e gx RT , которое, при условии gx << RT, переходит в gx n ( x ) n0 1 . RT На перераспределение молекул по высоте будет затрачиваться дополнительное тепло и, следовательно, хотя процесс идёт при постоянном объёме, теплоёмкость его, в случае учёта влияния поля сил тяжести, отличается от CV для идеального газа, свободного от действия силовых полей и складывается из части CVk (за счёт кинетической энергии) [эта часть равна dU iR ] и части CVП П 2 dT (за счёт потенциальной энергии взаимодействия молекул идеального газа с полем сил тяжести). Для решения задачи надо вычислить зависимость потенциальной энергии от температуры. 64 Выделим слой молекул толщины dx на высоте х от дна цилиндра. Масса этого слоя dM = mn(x)Sdx, где m - масса одной молекулы, S площадь сечения цилиндра, n(x) -концентрация молекул на высоте х. Потенциальная энергия слоя dU П = dMgx = mSgn(x)xdx. Полная потенциальная энергия всех молекул H H H 2 gH mgx , U П dU П mgS n( x)dx mgS 1 xdx mgSn0 RT 3RT 2 0 0 где n 0 - концентрация молекул на дне сосуда (при х = 0). Вычислим n 0 из условий нормировки. Используя распределение Больцмана по координатам, найдём полное число молекул в сосуде и приравняем его числу Авогадро, так как по условию количество газа равно 1 молю. Число молекул в слое dN(x) = n(x)Sdx. Полное число молекул в цилиндре gH N 0 dN ( x ) n0 SH 1 , 2 RT 0 H откуда n0 N0 SH gH 1 2 RT и тогда U П mgS N 0 gH H 2 gH 1 1 ( gH ) 2 . 1 gH SH 2 RT 2 3RT 2 12 RT 65 Из этой формулы видно, что первый член соответствует равномерному распределению молекул, второй - зависит от температуры: dU iR iR R gH . dt 2 2 12 RT 2 СV Выражение теплоёмкостей для конкретных процессов Задача. Изменение состояния идеального газа происходит по политропе PV n const . Задана удельная теплоёмкость CV . 1. Найти выражение для удельной теплоёмкости в политропическом процессе через показатель политропы n и показатель адиабаты . 2. Разобрать частные случаи а) n = 0; б) n = ; в) n = 1; г) n = . 1) Для политропического процесса PV n const и связь показателя политропы с теплоёмкостью С определяется формулой n C CP , C CV показатель адиабаты равен CP , CV где C P - теплоёмкость идеального газа при постоянном давлении, CV - при постоянном объёме. Из этих двух формул находим C CV n . n 1 2) Частные случаи а) n = 0, C = CP, т.е. имеем изобарический процесс (p = const); б) n = , C = CV, имеем изохорический процесс (P = const); в) n = 1; С = , процесс изотермический (Т = const); с) n = , С = 0, процесс адиабатический. 66 3.3.1.1.2. Термодинамические процессы При решении задач, связанных с термодинамическими процессами широко используют методы, связанные с графическим изображением процессов. Существует класс задач, в котором часть вста для решения информации находится из графиков. По графику можно определить тип процесса, этапы процесса, значения параметров процесса, подсчитать теплоту, работу, к.п.д. и т.п. Каждый график задаётся в определённых координатах, например, P-V (см. рис. 12). По виду кривой можно установить функциональную связь изображённых на графике параметров P = f(V); значения параметров в любых точках, в том числе начальных (P1V1) и конечных (P2V2) точках процесса. Полученные данные используются при решении задачи. Часто требуется процесс, заданный по условию графиком в одних координатах, представить в других координатах, например, процесс задан в координатах ( P,V), а надо его представить в координатах (V,T) или (P,T). В этом случае можно использовать общее правило. Поскольку в любой момент времени система подчиняется уравнению состояния идеального газа, то составляют систему уравнений для каждого этапа процесса, включающую: 1. уравнение состояния идеального газа; 2. функциональную связь, определённую из графика в заданных координатах; 3. начальные и конечные значения заданных на рисунке параметров. 67 Используя первые два уравнения, получают формулу нужной функциональной связи. Затем, подставляя в неё начальные и конечные значения из заданного графика системы, получают начальные и конечные значения параметров в требуемых координатах. Пример. Дан график адиабатического процесса 1 моля идеального газа в координатах p = f(V). Нарисовать графики в системах координат 1)-РТ и 2)-UT, где U - внутренняя энергия идеального газа. 1).Согласно функциональная общему связь правилу, в заданных координатах PV const , CP . CV Уравнение состояния PV = RT. Решаем эту систему для нахождения зависимости P = f(T) Для этого надо из системы исключить V. Из уравнения состояния V RT , P следовательно, 1 1 P const RT const или P P PV P const или T P R P 1 . Таким образом, P 1 T const . (Рис.14) 2). В этом случае координата U не связана с уравнением состояния идеального газа. Значит, надо использовать те уравнения, с которыми она связана в рамках заданного процесса. Для адиабатического процесса 68 U i i RT или U RT (рис.15). 2 2 Задача. Один моль идеального газа участвует в некотором процессе, изображённом в PV-координатах. Продолжения отрезков прямых 1-2 и 3-4 проходят через начало координат, а кривые 1-4 и 2-3 являются изотермами. Изобразить этот процесс в Т,V-координатах и найти объём V3, если известны объёмы V1 и V2 = V4. В соответствии с общим правилом: P dV PV RT участок 1-2 P1 V1 R P2 V2 решая, имеем V 2 RT или T V 2 69 или P1 V1 ; P2 V2 PV const участок 2-3 PV RT или T const1 P2V2 P3V3 ; участок 3-4 P V или T V 2 R PV RT участок 4-1 PV const или T const PV RT P3 V3 P4 V4 или P3 V3 ; P4 V4 P4V2 P1V1 ; Итак, суммируя (1), (2), (3). (4), получаем график Т = f(V) Решая совместно P1 V1 P V 2 2 P3 V3 P4 V4 P1V1 P4V4 P V P V 2 2 3 3 V2 V4 получим V3 V2 . V1 Существует большой класс задач по нахождению теплоты и количества совершенной газом работы при протекании различных термодинамических процессов. Так, при изохорическом процессе работа не производится, так как V = const, а изменение внутренней энергии происходит только за счёт теплообмена с внешней фазой, поэтому A = 0; Q = U = mCVT. При изобарическом процессе работа газа, совершаемая над внешними телами A PdV P(V2 V1 ) 70 m R(T2 T1 ) Q mCP T . При изотермическом процессе m U = 0; так как T = const; Q = A = R ln V2 V1 При адиабатическом процессе Q = 0; A = -U = -CVT/ Если любой квазистатический процесс изобразить в координатах P = f(V), то совершённую работу можно найти, подсчитав площадь под кривой P = f(V). Этот метод особенно удобен в качественных задачах. Пример. Над газом совершают два тепловых процесса, нагревая его из одного и того же начального состояния до одинаковой конечной температуры. На PV-диаграмме процессы изображаются прямыми линиями 1-3 и 1-2. Определить, при каком из процессов газу сообщается большее количество теплоты. Согласно I началу термодинамики, при переходе газа из состояния 1 Рис. 18 (P0V0) в состояние 2 (P1V1) количество теплоты Q1, полученное газом Q1 = U1 + A1. где U1 - изменение его внутренней энергии, A1 - работа, совершаемая газом. Причем A1 ( P0 P1 )(V1 V0 ) 2 (из графика). При переходе газа из состояния (1) в состояние (3) ((P2V2) - точки 2 и 3 лежат на одной изотерме) – выполняются соотношения Q2 = U2 + A2. , A2 ( P0 P2 )(V2 V0 ) . 2 71 Так как конечная температура газа в состояниях (2) и (3) одинакова, то U1 U 2 . Поэтому для решения задачи надо сравнить работы A1 и A2 A1 A2 [( P0V1 P0V2 ) ( P2V0 P1V0 )] 0. 2 Так как P0V1 P0V2 , P2V0 P1V0 , следовательно, A2 A1 и Q2 Q1 , т.е. в процессе 13 газу сообщается большое количество теплоты. Важный класс представляют задачи по нахождению различных параметров замкнутых термодинамических процессов (циклов) в тепловых машинах. В этом случае желательно: 1. провести анализ на тип машины - какая машина, тепловая или холодильная, рассматривается в задаче; 2. какая работа совершается рабочим телом (или над рабочим телом) на каждом этапе цикла; 3. чему равна полная работа за цикл; 4. какое количество тепла получает или отдаёт рабочее тело на каждом этапе цикла; 5. чему равно полное количество тепла, которое переносится за цикл рабочим телом от нагревателя к холодильнику или наоборот; 6. чему равен к.п.д. машины. Задача. Термодинамический цикл проводится над одним молем идеального газа. Последовательность состояний задана на P,V-диаграммах; V2 2V1 (Рис.19). Температура в состоянии 2 равна Т2, а в состоянии 4 - Т4. Определить работу цикла на отдельных участках цикла, к.п.д. машины, работающей по такому циклу. 72 1. Площадь цикла в координатах PV равна совершённой за цикл работе, и она положительна: PV 0 Это соответствует случаю, когда система работает, как тепловая машина. 2. Найдём работу на каждом участке цикла A23 A14 0 , так как на этих участках V = const, RT 2 0 2 A34 P3 (V1 V2 ) R(T4 T3 ) RT 4 0 A12 P1 (V2 V1 ) R(T2 T1 ) Действительно, так как P1 P2 P' , P3 P4 P" , то V2 T2 или T2 2T1 . V1 T1 Аналогично T3 2T4 . 3. Найдём полную работу A A12 A34 A23 A41 R(T2 T1 T4 T3 ) R (T2 2T4 ) . 2 4. Найдём теплоту, которую получает или отдаёт рабочее тело на каждом этапе цикла. Общая формула dQ = dU + dA или dQ = CVdT + PdV или dQ = CPT. Итак, 2 Q12 C P dT CV (T2 T1 ) 0 . 1 Q34 C P (T4 T3 ) 0 Аналогично 3 Q23 CV dT CV (T3 T2 ) 0 2 1 Q41 CV dT CV (T1 T4 ) 0 4 Итак, полученное тепло Q1 Q12 Q41 0 , 73 отнятое тепло Q2 Q23 Q34 0 . 5. Найдём к.п.д. цикла где Aпол R(T2 T1 T4 T3 ) ( 1)(T2 2T4 ) A , Q затр Q1 C P (T2 T1 ) CV (T1 T4 ) ( 1)(T2 2T4 ) CP . CV Задача. Вычислить к.п.д. цикла Карно. Рассмотрим этапы процесса. (1-2) - расширения изотермический -Q = U + A, U = 0 (T = const) A RT ln (2-3) - этап так как V2 0. V1 адиабатный процесс расширения: A = - U (газ не получает и не отдаёт тепла) Q = 0. (3-4) - этап изотермического сжатия при A1 Q0 RT0 ln V3 . V4 (4-1) этап адиабатного сжатия Q = 0. Таким образом, за цикл газ получает теплоту Q и отдаёт теплоту Q0. Поскольку к концу цикла газ возвращается к своему исходному состоянию, то разность Q - Q0 превращена в работу А, произведённую газом за цикл. A Q Q0 . Q Q Поскольку адиабатический процесс подчиняется уравнению TV 1 const , то имеем TV2 1 T0V3 1 и TV1 1 T0V4 1 . Отсюда найдём С учётом этого условия получим 74 T T0 . T V 2 V3 . V1 V4 Задача о холодильной машине Тепловая машина Карно, имеющая к.п.д. 40 % начинает использоваться как холодильная машина при тех же условиях. Найти величину холодильного коэффициента, какое количество тепла эта машина может перенести за один цикл от холодильника к нагревателю, если к ней за каждый цикл подводится механическая работа, равная 1000 кгм. Этапы процесса: (1-2) адиабатическое расширение Q12 0; m 2 2 1 1 CV dT PdV 0 m или A12 U 12 CV (T2 T1 ) 0 ; Рис. 20 (б) (2-3) изотермический процесс, тепловой контакт с холодильником с температурой Т2. U 23 0, Q23 A23 V RT2 ln 3 0 ; V4 m (3-4) адиабатическое сжатие A34 U 34 m CV (T1 T2 ) 0 ; (4-1) изотермическое сжатие, при котором имеет место тепловой контакт с нагревателем, производится внешними силами. В реальности нагреватель окружающая среда, которой передаётся тепло, отобранное у холодильника. В процессе сжатия температура рабочего тела на Т должна быть выше, чем окружающая среда. Тепло, забираемое окружающей средой Q41 A41 V RT1 ln 1 0 . V4 m Таким образом, если в тепловой машине Карно за счёт тепла, переданного от нагревателя холодильнику, совершается работа, то в холодильной машине 75 тепло от холодильника поступает к нагревателю за счёт внешней работы. Из уравнения состояния для изотермических участков P2 V3 . P3 V2 P1 V4 ; P4 V1 Подставляя в уравнения адиабатических процессов P1 V2 P2 V1 ; P4 V3 , получим P3 V4 V1 V2 V 4 V3 (так называемое условие замкнутости цикла Карно). Полная работа A PdV Aik Тепло, полученное рабочим телом Тепло, отданное m R(T2 T1 ) ln V3 0. V4 Q1x Q23 Q41 V RT2 ln 3 0 . V2 m V RT1 ln 3 0 . V2 m Тепловая машина Карно характеризуется к.п.д. Эффективность холодильной машины T1 T2 . T1 характеризуется отношением отнятого у холодильника тепла Q1x к совершённой для этого работе. Эту величину принято называть холодильным коэффициентом. x RT 2 ln Q1x V3 V2 Q23 T2 0. V3 T2 T1 A A PdV 23 41 R(T2 T1 ) ln V2 Обычно используют | X | T2 . T1 T2 Лучшей холодильной машиной считается та, для которой при одном и том же Q1x затрачивается наименьшая работа. С другой стороны, при осуществлении в тепловой машине цикла Карно 76 К Q1 Q2 A . Q1 Q1 Машина обратима, при обратном цикле за счёт совершённой работы над рабочим телом она забирает от холодильника столько же тепла Q1x , сколько передаёт ему при прямом цикле Q2 1 K | Q1x || Q2 | Q1 A A K Q 1 K | K || 1x | A K . Подстановка числовых значений: Q1x = 1,5 103 кгм = 3,5 103 кал. | x | 0,6 1,5 . 0,4 3.3.2. Термодинамическая энтропия Как термодинамическая характеристика, энтропия при решении задач "работает", как и любая другая переменная, обладающая свойством функции состояния. Рассмотрим класс задач, решение которых сводится, в основном, с расчёту изменения энтропии для простейших процессов. Расчёт основан на независимости изменения энтропии от термодинамического пути перехода между состояниями и выбором пути, связанным с наиболее простым расчётом. Задача. Массу m кислорода нагревают от температуры T1 до температуры T2. Найти изменение энтропии газа, если известно, что начальное и конечное давления газа одинаковы. Общая формула изменения энтропии для обратимого процесса 2 dQ T 1 S и не зависит от характера процесса (от пути перехода). Поэтому независимо от процесса, который перевёл систему из одного состояния в другое, изменение 77 энтропии будем искать, используя самый простой процесс, в результате которого совершён переход между теми же состояниями. В данном случае переход из состояния 1 в состояние 2 может быть осуществлён, например, с помощью обратимого перехода 12 (изобарический процесс) или 1-3-2 (изотермический процесс с последующим изохорным нагревом). Первое начало термодинамики при использовании энтропии dQ = dU + pdV = TdS B идеальном газе U = CVT. Таким образом, для изобарического перехода 1-2 ( dQ ) P m C P dT T2 T dT m S12 C P C P ln 2 T1 T T1 m . Для перехода 132 имеем S123 S13 S 32 pdV m dV R T V V m V 2 dV R ln 2 m V1 S13 R V S13 ( dS ) T V1 , dS 32 ( dS )V S 32 учитывая, что p1 = p2 имеем m m T2 CV CV dT T T dT m CV ln 2 T T1 T1 V2 T2 и V1 T1 78 S123 m (CV R ) ln T2 m T C P ln 2 . T1 T1 Задача. Два баллона ёмкостью V1 и V2 соединены трубкой с краном и оба заполнены одинаковым газом. Давление в сосудах, соответственно, P1 и P2. Найти изменение энтропии системы в результате перемешивания газов при открытом кране. Вся система изолирована в тепловом отношении. Начальная температура в баллоне одинакова и равна Т. В модели идеального газа его внутренняя энергия будет зависеть только от температуры. Так как система теплоизолирована, внутренняя энергия газа остаётся постоянной. Смешивание происходит адиабатически, но необратимым образом (не происходит самопроизвольно обратный процесс - разделение молекул по сосудам). Однако в необратимых процессах энтропия возрастает, и значит, чтобы использовать энтропию в первом начале, надо рассмотреть такой процесс, пр котором смешивание происходит обратимым образом. В данном случае, поскольку молекулы газа неразличимы между собой, кран можно заменить поршнем, который будет перемещаться обратимым образом при T = const пока не выровняется давление. (Если бы газы были разные, то надо было бы рассмотреть изотермическое равновесное расширение каждой из компонент до полного объёма. Такие процессы часто моделируются двумя полупроницаемыми перегородками: через одну такую перегородку свободно проходят молекулы одного сорта, а второго не проходят; через другую наоборот). Итак, при замене крана поршнем можно записать первое начало dU = TdS – pdV. Постоянство внутренней энергии даёт соотношение ( dS )U pdV m dV R . T V Из аддитивности энтропии общее изменение энтропии S равно сумме её изменений S1 (в первом баллоне) и S2 (во втором баллоне) 79 S S1 S 2 P1V1 V1' P2V2 V2' P1V1 P1 P2V2 P1 ln ln ln ln , T1 V1 T2 V2 T1 P1 T2 P2 где V1' и V 2' - объёмы после выравнивания. Используя соотношения P1V1 P1V1' , P2V2 P2V2' , V1 V2 V1' V2' имеем P P1V1 P2V2 . V1 V2 Изменение энтропии S P1V1 P1 (V1 V2 ) P2V2 P2 (V1 V2 ) ln ln . T P1V1 P2V2 T P1V1 P2V2 Задача. Вычислить разность энтропии S12 между конечным и начальным состояниями, проверить утверждение, что процесс расширения идеального газа в пустоту от молярного объёма V1 до объёма V2 необратим, т.е. dS > 0. Система теплоизолирована и при расширении газа в пустоту не совершается работа против внешних сил. Поэтому согласно I началу U = 0. Для идеального газа внутренняя энергия является функцией только температуры, поэтому температура газа остаётся постоянной. Процесс расширения газа в пустоту представляет собой переход из начального равновесного состояния к конечному равновесному состоянию через промежуточные неравновесные состояния. В качестве обратимого процесса перехода из состояния 1 в состояние 2 в данном случае целесообразно выбрать изотермический процесс. Изменение энтропии в этом случае с учётом термодинамических соотношений и учётом того, что энтропия - функция состояния, т.е. её приращение является полным дифференциалом, равно dT P S S dS dT dV CV dV ; T T U T V V T 80 для идеального газа R P T V V V dV P и S S (V2 T ) S (V1T ) R ln 2 0, ( так как V2 V1 ) dV R T V V V1 1 V1 2 V2 т.е. энтропия возрастает. Задача. На ST-диаграмме изображён некоторый замкнутый процесс, проведённый с идеальным газом. Необходимо перевести этот процесс в PVдиаграмму и определить к.п.д. цикла. Изменение энтропии 2 dQ S (2) S (1) . T 1 S Поскольку мы рассматриваем только квазистатические процесс, участки с постоянной энтропией интерпретировать как можно обратимые адиабатические процессы. А изменение энтропии при Т = const - как изотермические процессы. В рассматриваемом цикле направление обхода задано, поэтому S 23 S 41 0, S12 0, S 34 0 , что даёт dQ23 dQ41 0, dQ12 0, dQ34 0 . Таким образом, данный цикл есть цикл Карно для тепловой машины. Его к.п.д. T1 T2 . T1 На PV-диаграмме площадь цикла равна работе, совершаемой рабочим телом. Теперь выясним, чему соответствует площадь цикла на ST-диаграмме 81 A12 RT1 ln V2 T1 S12 , Q T1 S A, так как U 0. V1 A34 RT 2 ln V4 T2 S 34 V3 Для цикла Карно V 2 V3 . V1 V4 Обозначим S12 S 34 S . Полная работа за цикл A A12 A34 S (T1 T2 ) ST . Таким образом, площади цикла Карно на ST-диаграмме равна работе, совершаемой рабочим телом за цикл. Поскольку любой цикл может быть представлен в виде суммы бесконечно малых циклов Карно, то в общем случае A TdS . 82
