31 Канонический ансамбль

31. Канонический ансамбль
Канонический ансамбль получается из микроканонического ансамбля, если
допустить обмен энергией с внешней средой (термостатом).
Перенумеруем возможные состояния системы индекса i так, чтобы
величина представляла собой возможные значения энергии системы,
предполагая, конечно, что такое перечисление возможно. Без потери общности
можно считать, что
— множество дискретных уровней.
Определим теперь pi как вероятность того, что вся система имеет полную
энергию Et. Будем пользоваться для микрораспределения обозначениями,
основанными на величине
вероятности того, что ni частиц находятся в
микросостоянии /. Тогда для всей системы имеем
(П. 2.12)
(П.2.1З)
(П.2.14)
где — {известное) среднее аначение
ограничениях (11.2.12) и (11.2.13), имеем
. Как обычно, максимизируя S при
(11.2.15)
где
(П.2.16)
Если в уравнении (П.2.15) перейти к логарифмам и подставить в уравнение
(П.2.14), то, если воспользоваться уравнением (П.2.13), видно, что
Следовательно, максимальное значение энтропии системы зависит от среднего
значения энергии, величины , продставляющей логарифм функции разбиения, и
параметра μ. Параметр можно найти, решив уравнение (П.2.13), поэтому
система определена, а ее поведение целиком описано в каноническом ансамбле
путем задания всех и их среднего значения Е.
Большой канонический ансамбль
Для нашего примера канонический ансамбль был построен как обобщение
микроканонического ансамбля, полученное в результате отказа от условия
постоянства полных расходов. Большой канонический ансамбль представляет
собой дальнейшее обобщение, которое получается, если дополнительно
отказаться от предположения о постоянстве общего числа ипдивидуумов.
Поэтому вместо фиксированного значения п будем рассматривать
среднее значение
Мы должны приписать состояниям системы метки,
соответствующие возможным значениям п. Пусть состояние системы помечено
буквой
— полное число частиц в состоянии
— энергия. (Здесь
используется заглавная буква N, поскольку пюописная буква отведена для меток
мик-росостояпия. Конечно,
| Тогда, если по-прежнему — вероятность
реализации состояния системы, то
Можно воспользоваться выкладками, приведенными в разделе 1.1.2 в уравнениях
(1.10) — (1.13), чтобы показать, что наиболее вероятное распиеделение есть
(II. 2.23) гло
(11.2.24)
Как и в разделе П.2.3 воспользуемся уравнением (П.2.14), чтобы получить
максимальное значение
S в виде
(П. 2.25)
Можно в духе раздела
ГГ.2.3 исследовать малые изменения и
обсу-дить законы поведения п системе, в которой может меняться общее число
частиц. В физике лто представление обычно используется для изучения систем,
состоящих из различных взаимодействующих частиц. Это можно показать с
помощью расширении рассматриваемого примера.
Пусть существуют три вида центров отдыха: один предлагает услуги А, второй —
В, а третий — комбинированные услуги А — В. Тогда имеем три системы А, В и С
( - Л — В), которые можно обт.сдипить в одну систему. Дли изучения равновесных
свойств лсой системы воспользуемся большим каноническим ансамблем.
Пусть
— возможные объемы населения подсистем, а
—
полные энергии. Тогда в равповесии
где
есть каноническая функция разбиения подсистемы X. Это социальный эквивалент
закона действия масс, закона химической композиции и его можно использовать
для изучения последствий созда-