Ток и плотность вероятности

Ток и плотность вероятности. Уравнение КлейнаГордона. Уравнение Дирака. Матрицы Дирака.
Структура дираковского спинора, Физическая
интерпретация решений уравнения Дирака:
античастицы, спиральность, оператор спина.
Ток и плотность вероятности
 E  
B  0
B
 E 
0
t
E
 B 
J
t
 - плотность электрического заряда
J – плотность тока
Закон сохранения заряда выражается в виде
уравнения непрерывности:

 J  0
t
Вводим 4-х вектор плотности тока - J
=(, J)
 J =0
Операции с 4-х векторами, Лоренцинвариантность
Лоренц-инварианты:
c2t2 – x2
E2 – p2
a = (a0 , -a1 , -a2 , -a3 )
Скалярное произведение
AB = A0B0 – AB
Контравариантный 4-х вектор:
a = (a0 , -a1 , -a2 , -a3 )
Ковариантный 4-х вектор:
a = (a0 , a1 , a2 , a3 )
A  B = A B = A B = g A B = g A B
g00 = 1, g11 = g22 = g33 = -1, gij =0, g =g
x = (t, x), p = (E, p),  = (/t, -)
p p = E2 - p2 ,
p x = E t - p x
Нерелятивистская квантовая механика
p2
E
2m
Сделаем замены:

Ei
t
,
p  i
Получим уравнение Шредингера:

1 2
i

 0
t 2m
 
(1)
2
- плотность вероятности
Введем определение плотности потока вероятности.
Сконструируем аналог уравнения непрерывности:

 J  0
t
Возьмем комплексно-сопряженное уравнение:

1 2 *
i

 0
t
2m
*
(2)
Умножим (1) на -i *,

1 2
 i (i

 )  0
t 2m
*
умножим (2) на - i 
 * 1 2 *
 i (i

 )0
t
2m
Вычтем (2) из (1):

i

( * 2    2 * )  0
t 2m
Сравним с уравнением непрерывности:

 j  0
t
Поток j
i
j
( *    * )
2m
Для свободной частицы:
  N e

ipx iEt
 |  |  N
2
2
 p 2
j N
m
Релятивистская квантовая механика
E 2  p 2  m2
Сделаем замены:

Ei
t
,
p  i
Получим уравнение Клейна-Гордона:

 2   2  m2
t
2
(1)
Возьмем комплексно-сопряженное уравнение:

2 *
2 *
 2    m 
t
2
*
(2)
Умножим (1) на -i *, умножим (2) на - i ,
вычтем (2) из (1)


* 
{i(

)} 
t
t
t
   {i( *   * )}  0
*


  i(

)
t
t
*
*
j  i( *   * )
Структура
 и
j - одинакова
4-x вектор тока:
j = (, j ) = i (*  -  * )
Условие непрерывности:
 j = 0
Оператор Даламбера
2 =   
Уравнение Клейна-Гордона
 2
2
2
 2    m 
t
(2 + m2)  =0
Для свободной частицы:
  N e
  2E N


j  2p N

ipx iEt
2
2
Плотность вероятности зависит от энергии?
ПРОБЛЕМА:
Собственные значения уравнения К-Г
E =  (p2 + m2)1/2
При E<0
 <0
Возникают отрицательные плотности
вероятности
Именно этого хотел избежать Дирак ….
Уравнение Дирака
Уравнение К-Г

 2   2  m2
t
2
квадратичное по координатам.
Отсюда проблема отрицательных плотностей
вероятности.
Надо: 1) линейное уравнение
2) релятивистское
H=E
H  = (  p +  m)  - линейность
X=E
H2  = ( p2 + m2 ) 
- релятивизм
X2 = p2 + m2
2
( x px   y p y   z pz  m)  p  m2
2
Подсказка:
2
( x px   y py   z pz )  p  p  p  p
2
2
x
2
y
2
z
Матрицы Паули
0 1
0  i
1 0 
2
3
   
   

  
,
,
1 0
i 0 
 0  1
1
Известно, как сделать сумму 3 квадратов из
перемножения с матрицами 2х2
Найти сумму 4 квадратов…
H2  = ( i pi +  m) ( j pj +  m) 
(2i p2i + ( i j + j i ) pi pj +
+ ( i  + j ) pi m +2m2 )
( i j + j i )=0
( i  + j )=0
2i =1 2=1
[ai aj ]+ =0
[ai  ]+ =0
Дирак нашел матрицы, которые
удовлетворяют этим
перестановочным соотношениям
Есть несколько наборов таких матриц:
 Представление Паули-Дирака

0




    
 0 
I 0 

  
0  I 
где  - 2 х 2 матрицы Паули
0 1
0  i
1 0 
2
3
   
   

  
,
,
1 0
i 0 
 0  1
 Представление Вейля
(киральное представление)
1

  0 
  
 
 0 
0 I 

  
 I 0
Уравнение Дирака
H  = (  p +  m) 


i
 i  m 
t
Умножим слева на 


i
 i  m 
t
(i     m)  0



 (  ,  )
Гамма-матрицы
 =0,1,2,3

  0 
    
 0 
0 I 

  
 I 0
0
(в киральном представлении)
Получить вид гамма-матриц в представлении Дирака
[ ] =0, 
()2 = -I , =1,2,3
()2 = I , =0
Уравнение Дирака - 4 дифференциальные
уравнения, связывающие 4 компоненты
вектор-столбца 


 


    
Сохранение тока

k 
i
 i
m 0
k
t
x
0
Возьмем эрмитово сопряжение:
 0 
i
  i k ( k )  m    0
t
x
Умножим справа на 0 и введем обозначение:
  
i     m  0
 0
|

i

   m  0
|
i      (  )   0

  (   )  0
- уравнение непрерывности


j  
- ток
А что же плотность?
4
  j         | i |
0
0

2
i 1
Всегда больше нуля !
Именно этого хотел Дирак
Но помимо этого, в уравнении Дирака
оказались
 Античастицы
 Спин
Решения уравнения Дирака для свободных
частиц
Свободная частица с импульсом p
 ipx
  u( p)e
Найдем явный вид функций u(p) – 4-x
компонентный спинор
1) p=0
H  = (  p +  m) 
Представление Паули-Дирака

0




    
 0 
I 0 

  
0  I 
Подставим волновую функцию свободной частицы
H u(p) =  m u(p) = E u(p)
 mI

 0
0 
u  Eu
 mI 
Имеем 4 решения:
E= m, m, -m, -m
Вид соответствующих спиноров:
1 0 0 0
       
 0 1  0  0
 0 ,  0 ,  1 ,  0 
       
 0  0  0 1
       
Проблемы:
1. Физический смысл решений с E<0
2. Физический смысл удвоения решений
Решения с E>0 – частицы
Решения с E<0 – античастицы
Удвоение – две проекции спина
2) p0
H  = (  p +  m) 

 0 
    
 0 
m
Hu ( p)   
 p
Система уравнений:
I 0 

  
0  I 

p  u1 
 u1 
   E 
 m  u 2 
 u2 
 
  pu2  ( E  m)u1
(*)
 
  pu1  ( E  m)u2
(**)
Для E>0 выберем решения в виде:
1
u   
0
 0
u   
1
1
1
2
1
 u
n
n
1
Тогда из (**)
 
p n
n
u2 

Em
Общее решение, E>0:
n



 


n
u  N   p n 
 

Em

N – нормировочный фактор
Для E<0 выберем решения в виде:
u
1, 2
2

n
Тогда из (*)
 
   p n 
 

n
u  N  | E | m

n





Таким образом, электрон с импульсом р –
4 независимых ортогональных решений:
E>0,
E<0,
n=1,2
n=1,2
 1p , E 0
1


0


 N    p

Em
0

 p3, E 0
 
   p 


 | E | m 
0
e ipx
 N
 1



0


Нормировочный фактор N:
(u n )  u n  1 для E>0
n



 


n
u  N   p n 
 

Em



 ipx
e



2E
N ( ) 
1
- домашнее задание
Em
2
n 
n
Em
N
2E
 Иерархия: верхние и нижние
(v/c) компоненты
В нерелятивистcком пределе:

 p


v
p
E


m
Em
c
1
E
Нижняя компонента подавлена на фактор v/c
Спиральность

   p
  p  
0


0 
 
p 
p - единичный вектор импульса,

  0 
  
 
0 
Коммутирует с гамильтонианом:
[H] = 0,
[p ]=0
Правая спиральность – R,  , =+1
Левая спиральность – L,  , =1
 p , E ,
1


0


 N    p

Em
0

=+1
 0 


 1  ipx
 0 e

   p



 E  m 
= -1
Физ. смысл 
  
Орбитальный момент L  [ r  p ]

 
[ H , L ]  i[  p ]

  0 
  
 
0 

 
[ H , ]  2i[  p ]
  1
J  L 
2
Тогда

[H , J ]  0
Полный угловой момент J – сохраняется
Оператор спина
 1
S 
2 ,
собственные значения оператора спина
ms =  ½
Античастицы: время – назад!
“ Попугай –контрамот действительно мог
знать кое-что о космосе. Он же живет из
будущего в прошлого. ….
Послушайте, а разве это возможно
контрамоция? – сказал я.
Теоретически возможно, -- сказал Эдик. –
Ведь половина вещества во Вселенной
движется в обратную сторону по времени.
Практически же этим никто не занимался.”
А.и Б.Стругацкие “Понедельник начинается в субботу”
Отрицательные энергии
  (   )  0

- уравнение непрерывности

j  
- ток

 j  0

p  ( E , p) ,
Для свободной частицы:

j  (, j )
  N e
  2E N


ipx iEt


j  2p N
2
,
2
2

j  2p N
Ток отрицательных зарядов:


j  2ep N
2

 2e( E , p )
2

 2e( E , p )
Ток положительных зарядов:


j  2ep N
Поменяем знак у Е и р:


j  2e( E , p )  2e(  E , p )

а теперь еще у заряда
e


j  2e( E , p)  2e( E, p)

Электрон с E>0, t>0 
Позитрон с E<0, t<0
Литература:
1. Ф.Хелзен, А.Мартин. Кварки и лептоны.
Москва, Мир, 1987. гл.3