18. Расчёт четырёхполюсников

18. Расчёт четырёхполюсников
Расчёт
комплексных
частотных
характеристик
проходных
четырёхполюсников при произвольной нагрузке. Вторичные параметры
четырёхполюсника: мера передачи и характеристические сопротивления.
Цели изучения:
1. Расчёт
основные
комплексные
характеристики
четырёхполюсников: входное сопротивление, коэффициент
передачи по напряжению и по току при произвольной нагрузке
2. Определение вторичных параметров четырёхполюсника –
характеристических сопротивлений, меры передачи
18.1. Комплексные частотные характеристики четырёхполюсников
при произвольной нагрузке
Первичные параметры четырехполюсника представляют собой только
некоторые комплексные частотные характеристики, измеренные в одном из
предельных режимов - холостого хода или короткого замыкания. Зная
первичные параметры четырехполюсника, образующие любую из систем
первичных параметров, можно найти его любые комплексные частотные
характеристики при произвольной внешней нагрузке.
Определим комплексное входное сопротивление со стороны зажимов 1 –1`
Z(j) и комплексные коэффициенты передачи по напряжению К21(j) и току
G21(j) от зажимов 1 –1` к зажимам 2 – 2` при произвольной нагрузке ZН2,
подключенной к зажимам 2 – 2` (рис. 18.1), если известны А-параметры.
Z1
U 0
1
I1
I2
2
U 1
ZН2
2’
1’
Рис. 18.1. Нагруженный четырёхполюсник
1
U 2
Ток и напряжение на выходных зажимах
рассматриваемом режиме связаны соотношением
I '2 
четырехполюсника
в
U '2
.
ZH2
основные уравнения четырехполюсника в форме А (16.5), с учётом этого
соотношения, могут быть преобразованы к виду
U 1  A11U 2  A12U 2 / Z Н 2 
 ( A11Z Н 2  A12 )U 2 / Z Н 2  ( A11Z Н 2  A12 ) I'2 ;
I  A U  A U / Z 
1
21
2
22
2
(18.1)
Н2
 ( A21Z Н 2  A22 )U 2 / Z Н 2  ( A21Z Н 2  A22 ) I'2 .
Из уравнений (7.24) следует, что
Z ( j ) 
U 1
A Z  A12
 11 H 2
;
I1
A21Z H 2  A22
(18.2)
K 21 ( j ) 
U2
ZН2

;
U1 А11Z H 2  A22
(18.3)
G21 ( j ) 
I '2
1

.
I1 A21Z H 2  A22
(18.4)
В режиме холостого хода (ZH2 = ) коэффициент передачи
четырехполюсника по току равен нулю, а входное сопротивление со стороны
зажимов 1 – 1` и коэффициент передачи по напряжению от зажимов 1 – 1` к
зажимам 2 – 2` определяется выражениями
Z11Х(j) = A11 / A21;
K21Х(j) = 1 /A11.
(18.5)
В режиме короткого замыкания (ZН2 = 0) коэффициент передачи по
напряжению равен нулю, а входное сопротивление и коэффициент передачи
по току характеризуется соотношениями
Z11К(j) =A12 / A22;
G21К(j) =1 /A22.
2
(18.6)
Рассмотрим случай обратного включения, когда сопротивление нагрузки
подключено к зажимам 1 – 1` (рис. 18.2):
Z Н1  
1
ZН1
U 1
.
I1
I1
(18.7)
I2
U 1
2
Z2
U 0
U 2
2’
1’
Рис. 18.2. Обратное включение четырёхполюсника
Разрешая основные уравнения четырехполюсника (16.5) относительно
и
U 2
I '2 и учитывая (18.7) получаем
( A Z  A12 )U 1
U 2  ( A22 Z Н 1  A12 ) I1 /  А  22 Н 1
;
Z Н 1 А
( A Z  A11 )U 1
I2  ( A21Z Н 1  A11 ) I1 /  А   21 Н 1
.
Z Н 1 А
(18.8)
Используя (18.7), определяем входное сопротивление четырехполюсника и
коэффициент передачи четырехполюсника по напряжению и току в обратном
включении:
Z ( j )  
U 2 A22 Z H 1  A12

;
I '2
A21Z H 1  A11
3
(18.9)
K12 ( j ) 
U 1
Z H 1 А

;

U 2 A22 Z H 1  A12
(18.10)
G12 ( j ) 
 I1
А

.

 I '2 A21Z н1  A11
(18.11)
По аналогичной методике выражения для любых комплексных частотных
характеристик четырехполюсника как в прямом, так и в обратном включении
могут быть найдены также в терминах Y-, Z-, H-, G- или B-параметров.
Пусть
к
входным
зажимам
четырехполюсника
подключен
линеаризованный источник с внутренним сопротивлением Z1, а к выходным
зажимам – сопротивление нагрузки ZH2 (рис. 18.1). Отношение напряжения на
выходе двусторонне нагруженного четырехполюсника U2 к ЭДС
линеаризованного источника U 0 :
K 21 ( j )  U 2 / U 0 .
Учитывая, что
U 0  U 1  Z1 I1 и U 2  Z Н 2 I2 ,
получаем
K 21 ( j ) 
Z Н 2 I2

( A11U 2  A12 I2 )  Z1 ( A21U 2  A22 I2 )
ZН2

.
( A11Z Н 2  A12 )  Z1 ( A21Z н 2  A22 )
(18.12)
Найденные выражения для комплексного входного сопротивления и
комплексного коэффициента передачи, учитывающие наличие нагрузки и
внутреннего сопротивления источника, относятся к внешним (рабочим)
параметрам четырехполюсника.
18.2. Вторичные параметры четырёхполюсника
К
вторичным
параметрам
четырёхполюсника
относятся
характеристические сопротивления и мера передачи.
Характеристическими сопротивлениями четырехполюсника называют
пару сопротивлений ZС1 и ZС2, которые выбраны таким образом, что при
подключении к зажимам 2 – 2` сопротивления ZН2 = ZС2 входное
4
сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов 1 – 1` равно ZС1, а при
подключении к зажимам 1 – 1` сопротивления ZН1 = ZС1 входное
сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов 2 – 2` равно ZС2.
Сопротивление ZС1 называется характеристическим входным, а ZС2 характеристическим
выходным
сопротивлением
четырехполюсника.
Подставляя в выражения для входных сопротивлений четырехполюсника в
прямом (18.2) и обратном (18.9) включениях ZН2 = ZС2, Z11(j) = ZС1; ZН1 = ZС1,
Z22(j) = ZС2 имеем:
Z С1 
A11Z С 2  A12
;
A21Z С 2  A22
ZС 2 
A22 Z С1  A12
.
A21Z С1  A11
Решив эту систему относительно ZС1 и ZС2 находим:
Z С1 
A11 A12
;
A21 A22
(18.13)
ZС 2 
A22 A12
.
A21 A11
(18.14)
Используя выражения (18.5), (18.6) и (18.9), убеждаемся, что
характеристическое входное сопротивление четырехполюсника может быть
определено как среднее геометрическое из его входных сопротивлений в
прямом включении в режимах холостого хода и короткого замыкания:
Z С1  Z11Х ( j )Z11К ( j ) ,
а характеристическое выходное сопротивление – как среднее
геометрическое из его входных сопротивлений в обратном включении в
режимах холостого хода и короткого замыкания:
Z С 2  Z 22 Х ( j )Z 22К ( j )
5
Таким образом, характеристические сопротивления четырехполюсника
могут быть найдены непосредственно по результатам опытов холостого хода и
короткого замыкания.
Если А-параметры четырехполюсника удовлетворяют условию А11 = А22,
то его характеристическое входное и выходное сопротивления одинаковы:
Z С1  Z С 2  Z С  A12 A21 .
(18.15)
Четырехполюсник, к зажимам которого подключено сопротивление ZС,
называется четырехполюсником с согласованной нагрузкой.
Коэффициенты передачи такого четырехполюсника по напряжению в
прямом и обратном включении равны соответственно коэффициентам
передачи по току в прямом и обратном включениях:
K 21 ( j )  G21 ( j ) 
1
;;
A11 A22  A12 A21
(18.16)
K12 ( j )  G12 ( j ) 
А
..
A11 A22  A12 A21
(18.17)
Из выражений
четырехполюсника,
соотношениями
(18.16), (18.17) следует, что у
А-параметры которого связаны
симметричного
между собой
А = А11А22 – А12А21 = 1; А11 = А22,
коэффициенты передачи по току и напряжению в прямом и обратном
включениях при согласованной нагрузке имеют одинаковые значения:
K 21 ( j )  G21 ( j )  K12 ( j )  G12 ( j ) 

1
.
A11 A22  A12 A21
(18.18)
Входное сопротивление симметричного четырехполюсника в прямом и
обратном
включениях
при
согласованной
нагрузке
равны
характеристическому сопротивлению четырехполюсника:
6
Z11 ( j )  Z 22 ( j )  Z С 
A12
.
A21
(18.19)
Характеристическими постоянными передачи (мерой передачи)
неавтономного проходного четырехполюсника в прямом и обратном
включениях называются два комплексных числа Г1 и Г2, определяемые
соотношениями
Г1   ln K21( j )G21( j ) ;
(18.20)
Г 2   ln K12 ( j )G12 ( j ) ;
(18.21)
где К21(j), G21(j) – коэффициенты передачи по напряжению и току
четырехполюсника с согласованной нагрузкой на выходе; К12(j), G12(j) –
коэффициенты передачи по напряжению и току четырехполюсника с
согласованной нагрузкой на входе.
Характеристические постоянные передачи четырехполюсника выражаются
через его А-параметры:
Г 2  ln
Г1  ln( A11 A22  A12 A21 );
(18.22)
A11 A22  A12 A21
  ln( A11 A22  A12 A21 )
A
(18.23)
или
e Г1  A11 A22  A12 A21 ,
e Г2 
1
.
A11 A22  A12 A21
7
(18.24)
(18.25)
Определитель матрицы А-параметров взаимного четырехполюсника А = 1,
поэтому
характеристические
постоянные
передачи
взаимного
четырехполюсника в прямом и обратном включениях одинаковы:
Г1  Г 2  Г  ln( A11 A22  A12 A21 ).
(18.26)
В общем случае взаимный четырехполюсник имеет три независимых
характеристических параметра. Симметричный четырехполюсник имеет
только два независимых характеристических параметра ZС и Г, определяемых
с помощью соотношений (7.42) и (7.49).
Вторичные параметры четырёхполюсника, подобно первичным, образуют
систему независимых параметров, определяющих соотношения между токами
и напряжениями на его зажимах. Зная первичные параметры
четырехолюсника, можно найти его характеристические параметры ZС1, ZС2, Г1
и Г2. В свою очередь, первичные параметры четырехполюсника могут быть
однозначно определены через его характеристические параметры.
Действительно используя (7.36), (7.37), получаем
A12
 Z С1 Z С 2 ;
A21
ZС 2
A22

.
A11
Z С1
Согласно (18.24), (18.25)
A11 A22  (e Г1  e  Г 2 ) / 2;
A12 A21  (e Г1  e  Г 2 ) / 2.
Откуда
A11 
Z С1 Г1
(e  e  Г 2 ) / 2;
ZС2
A12  Z С1 Z С 2 (e Г1  e  Г 2 ) / 2;
А21 
1
(e Г1  e  Г 2 ) / 2;
Z С1 Z С 2
A11 
Z С 2 Г1
(e  e  Г 2 ) / 2.
Z С1
8
(18.27)
Переходя в (18.27) от экспонент к гиперболическим функциям
chГ = (eГ + e-Г)/2; shГ = (eГ - e-Г)/2,
получаем
выражения
четырехполюсника:
для
первичных
параметров
A11 
Z С1
chГ ; A12  Z С1Z С 2 shГ ;
ZС 2
A12 
ZС 2
1
shГ ; А22 
chГ ;
Z С1
Z С1 Z С 2
взаимного
(18.28)
Комплексные частотные характеристики неавтономного проходного
четырехполюсника
могут
быть
представлены
в
терминах
его
характеристических параметров. Так, для неавтономного проходного
четырехполюсника общего вида с согласованной нагрузкой на выходе
выражения для коэффициентов передачи по напряжению и току могут быть
представлены в виде
K 21 ( j )  Z С 2 / Z С1 e  Г1 ,
(18.29)
G21 ( j )  Z С1 / Z С 2 e  Г1 ,
(18.30)
а для четырехполюсника с согласованной нагрузкой на входе
K12 ( j )  Z С1 / Z С 2 e  Г 2 ,
(18.31)
G12 ( j )  Z С 2 / Z С1 e  Г 2 .
(18.32)
Входное сопротивление этого четырехполюсника в первом случае равно
ZС1, а во втором – ZС2 .
Выражения для комплексных частотных характеристик взаимного
четырехполюсника получаются из (18.29) – (18.32) при Г1 = Г2 = Г. Для
симметричного четырехполюсника (ZС1 = ZС2 = ZС, Г1 = Г2 = Г) выражения
(18.29) – (18.32) еще более упрощаются:
9
K21(j) = K12(j) = G21(j) = G12(j) = e-Г.
(18.33)
Как следует из выражения (18.33), характеристическая постоянная
передачи симметричного четырехполюсника с согласованной нагрузкой равна
натуральному логарифму отношения комплексных действующих значений
напряжений (токов) внешних по отношению к четырехполюснику ветвей,
содержащих источник энергии и нагрузку. При согласованной нагрузке на
выходе
Г  ln
U 1
I
 ln( 1 /)  A  jB.
U 2
I2
(18.34)
Для определения вещественной А и мнимой В составляющих
характеристической постоянной передачи представим напряжения и токи на
зажимах четырехполюсника в показательной форме:
U1e j u1
U
Г  ln
 ln 1  j ( u1  u 2 );
j u 2
U2
U 2e
I1e j i1
I
Г  ln
 ln 1  j ( i1  i 2 ).
j i 2
I2
I 2e
(18.35)
Из выражений (18.34), (18.35) следует, что вещественная составляющая
характеристикой постоянной передачи симметричного четырехполюсника с
согласованной
нагрузкой на выходе равна натуральному логарифму
отношения действующих значений напряжений (токов) на входе и выходе
четырехполюсника:
A = ln(U1/U2) = ln(I1/I2),
а мнимая составляющая характеристикой постоянной передачи - разности
начальных фаз этих напряжений (токов):
B = u1 - u2 = i1 - i2.
В литературе величины А и В называют постоянными ослабления и фазы
четырехполюсника.
Постоянная ослабления характеризует изменение действующих значений
напряжения или тока при передаче энергии от источника к нагрузке. Ее
выражают в неперах (Нп) или белах (Б). Ослаблению в 1 Нп соответствует
уменьшение действующего значения напряжения или тока в е  2,718 раз.
Постоянная ослабления симметричного четырехполюсника, выраженна в
10
белах, определяется десятичным логарифмом отношения полных мощностей
на входе и выходе четырехполюсника:
U I 
АБ  ln( Ps1 / Ps 2 )  lg  1 1   lg( U1 / U 2 ) 2 
U 2 I 2 
2
 lg( I1 / I 2 )  2 lg( U1 / U 2 )  2 lg( I1 / I 2 ).
На практике для измерения ослабления широко используют децибелы (дБ):
АдБ = 10 АБ = 20 lg (U1/U2) = 20 lg(I1/I2).
Для перехода от одних единиц ослабления к другим можно использовать
соотношения 1 Нп  8,686 дБ; 1 дБ  0,115 Нп. Полезно запомнить, что
уменьшению мощности в два раза (уменьшению напряжения или тока в 2
раз) соответствует АдБ  3 дБ, уменьшению мощности в 10 раз - АдБ  10 дБ,
уменьшению напряжения в 10 раз - АдБ = 20 дБ.
Постоянная фазы В четырехполюсника характеризует изменение
начальной фазы напряжения и тока при передаче энергии от источника к
нагрузке. Эту величину выражают в угловых единицах - радианах или
градусах.
Выводы
 Зная первичные параметры четырехполюсника, можно найти его
любые комплексные частотные характеристики при произвольной
внешней нагрузке.
 Вторичные параметры четырёхполюсника служат для определения его
влияния на внешние цепи и нахождения параметров сигналов на его
выходе
 Входное сопротивление симметричного четырехполюсника в прямом
и обратном включениях при согласованной нагрузке равны
характеристическому сопротивлению четырехполюсника.
 Мера передачи определяет изменение параметров гармонического
колебания (амплитуды, начальной фазы) при прохождении
четырёхполюсника
 Вторичные параметры четырёхполюсника образуют систему
независимых параметров, определяющих соотношения между токами
и напряжениями на его зажимах.
11