XIII Международная олимпиада «Эрудит. Осень - зима 2015» Математика 8 класс Ответы

XIII Международная олимпиада «Эрудит. Осень - зима 2015»
Математика
8 класс
Ответы
Максимальное количество баллов – 30 баллов
Задача № 1 (4 балла)
Из треугольника ВОС видим, что <ОВС + <ОСВ = 1800 – 1100 = 700.
Значит, <ОВА + <ОСА = <ОВС + <ОСВ = ·700 = 350. Тогда
<АВС + <АСВ = 700 + 350 = 1050, а <ВАС = 1800 – 1050 = 750.
Угол ВАС равен 750, а не 850 как получилось у Владимира.
Ответ: <ВАС = 750.
Задача № 2 (4 балла)
Сережа понял, что сумма чисел на двух листочках Вити – четное число. Значит, он знает,
что у Вити либо два четных, либо два нечетных числа. Следовательно, после того, как
Сережа выбрал свои листочки, Вите остались 4 числа одной четности (иначе у Вити
могут оказаться числа разной четности). Но четных чисел всего 3, значит, Витя выбирал
из четырех нечетных чисел: 1, 3, 5 и 7. Это значит, что Сережа забрал 3 четных числа: 2,
4 и 6. А их сумма равна 12.
Ответ: 12
Задача № 3 (6 баллов)
Из уравнения х2 + х – 2015 = 0 по теореме Виета, получаем
а·b = - 2015;
а + b = -1.
Преобразуем выражение:
а2 + 2b2 + аb + b – 2015 = а2 + 2аb + b2 – аb + b2 + b – 2015 = (a + b)2 - аb + b2 + + b – 2015
= (- 1)2 – (- 2015) + b2 + b – 2015 = 1+ 2015 + b2 + b – 2015 = 2016 + + b2 + b – 2015.
Из второго уравнения системы выразим а и подставим в первое уравнение.
a = - b – 1;
(- b – 1)·b = - 2015;
- b2 – b + 2015 = 0;
b2 + b – 2015 = 0. Учитывая это равенство, получаем ответ 2016.
Ответ: 2016.
Задача № 4 (6 баллов)
Пусть всего в гости пришло х гостей. Тогда Чебурашка знает 0,75х, а Гена
соответственно 0,65х. Поскольку восемь гостей знают и Чебурашку и Гену, то число
гостей знакомых только с Чебурашкой, равно 0,75х – 8, а только с Геной 0,65х – 8. Тогда
получаем уравнение (0,75х – 8) + (0,65х – 8) + 8 = х.
Раскрывая скобки и решая это уравнение, находим х = 20.
Ответ: 20 гостей.
Задача № 5 (10 баллов)
Найдем общий знаменатель для всех дробей
.
Общий знаменатель равен 120. Выполним сложение дробей и получим в числителе: х 5 +
10 х4 + 35 х3 + 50 х2 + 24х = х(х4 + 10 х3 + 35 х2 + 50 х + 24) =
= х((х4 + 10 х3 + 25 х2) +10 х2 + 50х +24) = х((х2 +5х)2 + 10(х2 + 5х) + 24) =
= х(х2 + 5х + 6)(х2 + 5х + 4) = х(х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4).
Произведение пяти последовательных чисел делится на 120, а значит дробь целое число.