Фрактальная размерность как характеристика АСМ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ КАК ХАРАКТЕРИСТИКА АСМИЗОБРАЖЕНИЙ БИОЛОГИЧЕСКИХ КЛЕТОК
Стародубцев Иван
Гомельский Государственный университет
e-mail: istarodubtsev.science@gmail.com
Атомно-силовая микроскопия (АСМ) является одним из современных методов
исследования структуры и свойств поверхностей твердых тел. Она имеет огромные
преимущества перед электронной микроскопией, включая растровую электронную
микроскопию, так как позволяет работать с объектами как на воздухе, так и в различных
жидкостях. Атомно-силовые микроскопы нашли широкое применение во многих областях науки
и техники: они используются в биофизике, биохимии, материаловедении, фармацевтике, физике
поверхности, электронике и других областях. В том числе АСМ широко используется при
изучении биологических клеток и тканей.
АСМ позволяет получить трехмерный рельеф поверхности (режим сканирования
topography) с нанометровым разрешением, а также информацию о ее локальных физикомеханических свойствах (режим сканирования torsion). АСМ-изображение поверхности
представляет собой массив точек с 3 координатами (x,y,z), описывающих либо карту рельефа
поверхности (в этом случае x, y, z – положение точки поверхности), либо карту локальных
физико-механических свойств (в этом случае x, y - положение точки, а z – значение силы в этой
точке).
Размерность является важным параметром поверхности объекта. Реальные поверхности
характеризуются фрактальной (дробной) размерностью. Существуют различные методы расчета
фрактальной размерности: метод подсчета кубов, метод триангуляций, метод спектра
мощностей, точечный метод, вариационный метод, метод «островов и озер» и другие. Каждый
из методов имеет свои особенности, ограничивающие его область применения.
Основным методом, используемым в работе для расчета фрактальной размерности,
является метод подсчета кубов. Он основывается на следующей формуле:
(1)
DF  lim [ln N ( ) / ln(1 /  )]
 
где N ( ) - минимальное число кубов со стороной  , покрывающих в совокупности
искомую поверхность. Для нахождения фрактальной размерности (DF) получают систему
уравнений вида ln(N(ε)) = ln(с) – DF×ln(1/ε) (число уравнений больше числа неизвестных),
которая, чаще всего, не имеет точного решения, поэтому решается численно.
Программная реализация алгоритма нахождения DF методом подсчета кубов выполнена в
среде разработки Borland C++ Builder на языке программирования C++ с использованием
библиотеки STL. Алгоритм метода включает в себя следующие этапы. Сначала область
пространства, включающая исследуемую поверхность, разбивается кубической решеткой (с
ребром куба, равным половине наименьшего абсолютного значения координат). Затем
подсчитывается количество кубов решетки, в которых есть точки изображения, и ребро куба
решетки уменьшается в 2 раза, после чего процесс повторяется в цикле с начала до тех пор, пока
ребро куба не станет меньше некоторой константы (зависящей от шага сканирования). По
полученным данным строится массив пар: логарифм количества кубов и логарифм величины,
обратной размеру ребра куба. Данные массива представляют собой точки двухмерного графика в
логарифмическом масштабе. Полученная зависимость может быть аппроксимирована линейной
зависимостью, и ее тангенс угла наклона является DF поверхности.
В работе также использовали модификацию этого метода. Суть модифицированного
метода сводиться к следующему: поверхность разбивается на несколько одинаковых по размеру
фрагментов, затем для каждого фрагмента рассчитывают DF методом подсчета кубов, и по
полученным значениям DF фрагментов оценивают DF всей исходной поверхности. Результат
анализа представляют в виде среднего значения и границ доверительного интервала.
В работе анализировали также изменение DF поверхности при масштабировании данных
по оси z. Проблема изменения размерности объекта при масштабировании была недавно
рассмотрена Саймоном Виллертоном для двухмерного случая. В нашей работе анализ изменения
фрактальной размерности при масштабировании выполняли следующим образом: данные по
осям x и y оставались неизменными, а данные по оси z в цикле умножались на множитель t,
изменяемый в широком диапазоне. DF всей поверхности рассчитывали при каждом значении
множителя (коэффициента масштабирования по оси z): DF=φ(t) (2). Зависимость DF=φ(t)
является характеристикой поверхности, описывающей ее более полно, чем единственное
значение DF.
Для качественного анализа полученных зависимостей были сгенерированы различные
модельные
поверхности:
плоскость,
волновые
поверхности
вида
Z  Hsin( x 2  y 2 ) и
Z  H |sin( x 2  y 2 ) | , а также поверхность, представляющая собой плоскость с конечным числом
пиков Гаусса. Были выявлены закономерности изменения DF=φ(t) при изменении частоты,
амплитуды и других параметров модельных поверхностей (например, см. рисунок).
Рисунок - Изменение зависимости DF=φ(t) для поверхности Z  Hsin( x 2  y 2 ) при
изменении частоты  от 0,001 до 100
Процессы, протекающие в биологических клетках с изменением их свойств, влияют как
на рельеф поверхности, так и на распределение физико-механических свойств клеточной
поверхности. АСМ-изображения поверхности клеток содержат данные, характеризующие эти
изменения. Характеристики этих изменений могут быть получены из АСМ-данных только после
соответствующей математической обработки и расшифровки. Поэтому разработка методов
обработки и анализа АСМ-данных является актуальной и важной научно-исследовательской
задачей. В Гомельском государственном медицинском университете в течение длительного
времени выполняются АСМ-исследования биологических клеток. Был накоплен и продолжает
накапливаться большой объем экспериментальных данных (АСМ-изображений клеток,
обработанных различными реагентами при различных условиях), требующий математического
анализа.