Л8-11 - WordPress.com

ЛЕКЦИЯ № 8
по учебной дисциплине «ФИЗИКА»
Занятие № 4/6. Кинематика и динамика жидкости и газов
Краснодар 2011
Раздел 1. «Физические основы механики».
Тема № 4. Кинематика и динамика твердого тела, жидкости и газов
Лекция № 8. «Механика жидкости и газов».
ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ :
1. Общие свойства жидкостей и газов. Идеальная и вязкая жидкость.
Гидростатика жидкости.
2. Гидродинамика идеальной жидкости. Уравнение Бернулли.
3. Гидродинамика вязкой жидкости. Коэффициент вязкости.
Ламинарное и турбулентное течение жидкости и газа.
4. Движение тел в жидкостях и газах
ЦЕЛЬ : Изучить основные положения механики жидкостей и газов
ОБЕСПЕЧЕНИЕ :
• методическая разработка занятия;
• цветной мел, доска.
Литература: | 1 | , с. 56 – 66
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
В основной
части, раскрывая изучаемые вопросы, достигается поставленная
цель.
В заключительной части, кроме установки на самоподготовку и определения темы
следующего занятия целесообразно вызвать аудиторию на краткое обсуждение
рассмотренных вопросов, указав на важность изучаемого материала для будущего
лётчика, обеспечив тем самым закрепление пройденного материала.
2
Вопрос 1. Общие свойства жидкостей и газов. Идеальная и вязкая жидкость.
Гидростатика жидкости.
Основным отличием жидкостей от твердых (упругих) тел является
способность легко изменять свою форму. Части жидкости могут свободно
сдвигаться, скользя друг относительно друга. Поэтому жидкость принимает
форму сосуда, в который она налита. В жидкость, как и в газообразную среду,
можно погружать твердые тела. В отличие от газов жидкости практически
несжимаемы.
На тело, погруженное в жидкость или газ, действуют силы, распределенные
по поверхности тела. Для описания таких распределенных сил вводится новая
физическая величина – давление.

Давление определяется как отношение модуля силы F , действующей
перпендикулярно поверхности, к площади S этой поверхности:
В системе СИ давление измеряется в паскалях (Па):
1 Па = 1 Н/м2.
Часто используются внесистемные единицы: нормальная атмосфера (атм)
и миллиметр ртутного столба (мм Hg):
1 атм = 101325 Па = 760 мм Hg.
Французский ученый Б. Паскаль в середине XVII века эмпирически
установил закон, названный законом Паскаля:
Давление в жидкости или газе передается во всех направлениях одинаково и
не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует.
Для иллюстрации закона Паскаля на рис. 1.15.1 изображена небольшая
прямоугольная призма, погруженная в жидкость. Если предположить, что
плотность материала призмы равна плотности жидкости, то призма должна
находиться в жидкости в состоянии безразличного равновесия. Это означает, что
силы давления, действующие на грани призмы, должны быть уравновешены. Это
произойдет только в том случае, если давления, т. е. силы, действующие на
единицу поверхности каждой грани, одинаковы: p1 = p2 = p3 = p.
3
Рисунок 1.15.1.
Закон
p1 = p2 = p3 = p.
Паскаля:
Давление жидкости на дно или боковые стенки сосуда зависит от высоты
столба жидкости. Сила давления на дно цилиндрического сосуда высоты h и
площади основания S равна весу столба жидкости mg, где m = ρghS – масса
жидкости в сосуде, ρ – плотность жидкости. Следовательно
Такое же давление на глубине h в соответствии с законом Паскаля жидкость
оказывает и на боковые стенки сосуда. Давление столба жидкости ρgh называют
гидростатическим давлением.
Если жидкость находится в цилиндре под
 поршнем (рис. 1.15.2), то
действуя на поршень некоторой внешней силой F , можно создавать в жидкости
дополнительное давление p0 = F / S, где S – площадь поршня.Таким образом,
полное давление в жидкости на глубине h можно записать в виде:
p = p0 + ρgh.
Если на рис. 1.15.2 поршень убрать, то давление на поверхность жидкости будет
равно атмосферному давлению: p0 = pатм.
Рисунок 1.15.2.
Зависимость давления
высоты столба жидкости.
от
4
Из-за разности давлений в жидкости

выталкивающая или архимедова сила FA .
на
разных
уровнях
возникает
Рис. 1.15.3 поясняет появление архимедовой силы. В жидкость погружено тело в
виде прямоугольного параллелепипеда высотой h и площадью основания S.
Разность давлений на нижнюю и верхнюю грани есть:
Δp = p2 – p1 = ρgh.
Поэтому выталкивающая сила будет направлена вверх, и ее модуль равен
FA = F2 – F1 = SΔp = ρgSh = ρgV,
где V – объем вытесненной телом жидкости, а ρV – ее масса.
Архимедова сила, действующая на погруженное в жидкость (или газ)
тело, равна весу жидкости (или газа), вытесненной телом. Это утверждение,
называемое законом Архимеда, справедливо для тел любой формы.
Рисунок 1.15.3.
Архимедова
сила.
FA = F2 – F1 = S(p2 –
p1) = ρgSh,
F1 = p1S,
F2 = p2S.
Из закона Архимеда вытекает, что если средняя плотность тела ρт больше
плотности жидкости (или газа) ρ, тело будет опускаться на дно. Если же ρт < ρ,
тело будет плавать на поверхности жидкости. Объем погруженной части тела
будет таков, что вес вытесненной жидкости равен весу тела. Для подъема
воздушного шара в воздухе его вес должен быть меньше веса вытесненного
воздуха. Поэтому воздушные шары заполняют легкими газами (водородом,
гелием) или нагретым воздухом.
Из выражения для полного давления в жидкости p = p0 + ρgh вытекает, что в
сообщающихся сосудах любой формы, заполненных однородной жидкостью,
давления в любой точке на одном и том же уровне одинаковы (рис. 1.15.4).
5
Рисунок 1.15.4.
Пример сообщающихся сосудов. В
правом сосуде поверхность жидкости
свободна. На уровне h давление в обоих
сосудах
одинаково
и
равно
p0 = F / S = ρgh0 + pатм. Давление на дно
сосудов p = p0 + ρgh.
Если оба вертикально расположенных цилиндра сообщающихся сосудов
закрыть поршнями, то с помощью внешних сил, приложенных к поршням, в
жидкости можно создать большое давление р, во много раз превышающее
гидростатическое давление ρgh в любой точке системы. Тогда можно считать, что
во всей системе устанавливается одинаковое давление р. Если поршни имеют
разные площади S1 и S2, то на них со стороны жидкости действуют разные силы
F1 = pS1 и F2 = pS2. Такие же по модулю, но противоположно направленные
внешние силы должны быть приложены к поршням для удержания системы в
равновесии. Таким образом,
Если S2 >> S1, то F2 >> F1. Устройства такого рода называют
гидравлическими машинами (рис. 1.15.5). Они позволяют получить
значительный выигрыш в силе. Если поршень в узком цилиндре переместить вниз
под действием внешней силы F1 на расстояние h1 то поршень в широком цилиндре
переместится на расстояние h2 
S1
h1 , поднимая тяжелый груз.
S2
Таким образом, выигрыш в силе в n 
таким же проигрышем в расстоянии.
S1
раз обязательно сопровождается
S2
6
При этом произведение силы на расстояние остается неизменным:
F1h1 = F2h2.
Это правило выполняется для любых идеальных машин, в которых не
действуют силы трения. Оно называется «золотым правилом механики».
Рисунок 1.15.5.
F F
Гидравлическая машина. p  1  2
S1
S2
Гидравлические машины, используемые для подъема грузов, называются
домкратами. Они широко применяются также в качестве гидравлических прессов.
В качестве жидкости обычно используются минеральные масла.
Вопрос 2. Гидродинамика идеальной жидкости. Уравнение Бернулли.
Движение жидкостей или газов представляет собой сложное явление. Для его
описания используются различные упрощающие предположения (модели). В
простейшей модели жидкость (или газ) предполагаются несжимаемыми и
идеальными (т. е. без внутреннего трения между движущимися слоями). При
движении идеальной жидкости не происходит превращения механической
энергии во внутреннюю, поэтому выполняется закон сохранения механической
энергии. Следствием этого закона для стационарного потока идеальной и
несжимаемой жидкости является уравнение Бернулли (1738 г.). Стационарным
принято называть такой поток жидкости, в котором не образуются вихри. В
стационарном потоке частицы жидкости перемещаются по неизменным во
времени траекториям, которые называются линиями тока. Опыт показывает, что
стационарные потоки возникают только при достаточно малых скоростях
движения жидкости.
7
Рассмотрим стационарное движение идеальной несжимаемой жидкости по
трубе переменного сечения (рис. 1.22.1). Различные части трубы могут
находиться на разных высотах.
Рисунок 1.22.1.
Течение идеальной жидкости по трубе
переменного сечения. ΔV1 = l1S1; ΔV2 = l2S2.
Условие несжимаемости: ΔV1 = ΔV2 = ΔV.
За промежуток времени Δt жидкость в трубе сечением S1 переместится на
l1 = υ1Δt, а в трубе сечением S2 – на l2 = υ2Δt, где υ1 и υ2 – скорости частиц
жидкости в трубах. Условие несжимаемости записывается в виде:
ΔV = l1S1 = l2S2 или υ1S1 = υ2S2.
Здесь ΔV – объем жидкости, протекшей через сечения S1 и S2.
Таким образом, при переходе жидкости с участка трубы с большим сечением
на участок с меньшим сечением скорость течения возрастает, т. е. жидкость
движется с ускорением. Следовательно, на жидкость действует сила. В
горизонтальной трубе эта сила может возникнуть только из-за разности давлений
в широком и узком участках трубы. Давление в широком участке трубы должно
быть больше чем в узком участке. Если участки трубы расположены на разной
высоте, то ускорение жидкости вызывается совместным действием силы тяжести
и силы давления. Сила давления - это упругая сила сжатия жидкости.
Несжимаемость жидкости означает лишь то, что появление упругих сил
происходит при пренебрежимо малом изменении объема любой части
жидкости.Так как жидкость предполагается идеальной, она течет по трубе без
трения. Поэтому к ее течению можно применить закон сохранения механической
энергии.
При перемещении жидкости силы давления совершают работу:
ΔA = p1S1l1 – p2S2l2 = p1S1υ1Δt – p2S2υ2Δt = (p1 – p2)ΔV.
8
Работа ΔA сил давления равна изменению потенциальной энергии упругой
деформации жидкости, взятому с обратным знаком.
Изменения, произошедшие за время Δt в выделенной части жидкости,
заключенной между сечениями S1 и S2 в начальный момент времени, при
стационарном течении сводятся к перемещению массы жидкости Δm = ρΔV (ρ –
плотность жидкости) из одной части трубы сечением S1 в другую часть сечением
S2 (заштрихованные объемы на рис. 1.22.1). Закон сохранения механической
энергии для этой массы имеет вид:
E2 – E1 = ΔA = (p1 – p2)ΔV,
где E1 и E2 – полные механические энергии массы Δm в поле тяготения:
Отсюда следует:
Это и есть уравнение Бернулли. Из него следует, что сумма
остается неизменной вдоль всей трубы. В частности, для горизонтально
расположенной трубы (h1 = h2) уравнение Бернулли принимает вид:
Величина p – статическое давление в жидкости. Оно может быть измерено с
помощью манометра, перемещающегося вместе с жидкостью. Практически
давление в разных сечениях трубы измеряется с помощью манометрических
трубок, вставленных через боковые стенки в поток жидкости, так чтобы нижние
концы трубок были параллельны скоростям частиц жидкости (рис. 1.22.2). Из
уравнения Бернулли следует:
Давление в жидкости, текущей по горизонтальной трубе переменного
сечения, больше в тех сечениях потока, в которых скорость ее движения
меньше, и наоборот, давление меньше в тех сечениях, в которых скорость
больше.
Разработайте способ измерения скорости с использованием манометра
9
Если сечение потока жидкости достаточно велико, то уравнение Бернулли
следует применять к линиям
тока, т. е. линиям, вдоль
которых перемещаются частицы
жидкости при стационарном
течении.
Например,
при
истечении
идеальной
несжимаемой
жидкости
из
отверстия в боковой стенке или
дне широкого сосуда линии тока
Рисунок 1.22.2.
начинаются вблизи свободной
жидкости
и
Измерение давления в потоке жидкости с поверхности
через
отверстие
помощью манометров. υ1 < υ2 < υ3; h1 > h2 > h3. проходят
(рис. 1.22.3).
Поскольку скорость жидкости вблизи поверхности в широком сосуде
пренебрежимо мала, то уравнение Бернулли принимает вид:
Рисунок 1.22.3.
Истечение
широкого сосуда.
жидкости
из
где p0 – атмосферное давление, h – перепад высоты вдоль линии тока. Таким
образом,
Это выражение для скорости истечения называют формулой Торричелли.
Скорость истечения идеальной жидкости из отверстия в сосуде такая же, как и
при свободном падении тела с высоты h без начальной скорости.
10
Вопрос3. Гидродинамика вязкой жидкости. Коэффициент вязкости.
Ламинарное и турбулентное течение жидкости и газа.
На шарик, падающий в жидкости вертикально вниз с установившейся
скоростью, действуют три силы :
- сила тяжести P = mшg = Vш·ш ·g = (4π·r3/ 3) · (ш·g) ,
где [ш - плотность шарика (кг/м3) , r - радиус шарика (м) , Vш - объем шарика
(м3)];
- сила Архимеда F´A = (4π r3 / 3) · (м·g) ;
- сила сопротивления, эмпирически установленная Дж. Стоксом
(FC = 6π·ηrν),
где м - плотность масла ;
η - динамическая вязкость (Пас) характеризует величину сил внутреннего
трения в жидкости и определяет свойство реальных жидкостей
оказывать сопротивление перемещению одного слоя жидкости
относительно другого.
В формуле Стокса :
r - радиус шарика (м) ;
ν - скорость падения шарика (м/с) .
При равномерном движении шарика в жидкости (рис. 2.3.1)
Рис. 2.3.1
Р = FA + FC
Подставляя полученные выражения для Р, FA , FC , получим :
(4π r3 / 3)·(ш·g) = (4π r3 / 3)·(м·g) + 6π·r ην
После алгебраических преобразований, получим :
ν = 2(ш - м)·gr2 : 9η
Тогда динамическая вязкость может быть найдена как :
11
η = 2(ш - м)·gr2 : 9ν
Выражая радиус r через диаметр D и скорость ν через пройденный путь L и
время падения  как  = L/ получим :
η = (ш - м)·gD2 : 18L
Таким образом, если найти экспериментально диаметр шарика, время его
падения и длину пройденного пути при падении, то можно определить значение
динамической вязкости, используя полученную формулу.
На практике, кроме динамической вязкости,
используют понятие кинетической вязкости υ , которая определяется как :
υ = η /  (м2/с)
где  - плотность масла (кг/м3).
Вопрос 4. Движение тел в жидкостях и газах
В отличие от жидкостей, газы могут сильно изменять свой объем. Расчеты
показывают, что сжимаемостью газов можно пренебречь, если наибольшие
скорости в потоке малы по сравнению со скоростью звука в этом газе. Таким
образом, уравнение Бернулли можно применять к достаточно широкому классу
задач аэродинамики.
Одной из таких задач является изучение сил, действующих на крыло
самолета. Строгое теоретическое решение этой задачи чрезвычайно сложно, и
обычно для исследования сил применяются экспериментальные методы.
Уравнение Бернулли позволяет дать лишь качественное объяснение
возникновению подъемной силы крыла. На рис. 1.22.4 изображены линии тока
воздуха при обтекании крыла самолета. Из-за специального профиля крыла и
наличия угла атаки, т. е. угла наклона крыла по отношению к набегающему
потоку воздуха, скорость воздушного потока над крылом оказывается больше,
чем под крылом. Поэтому на рис. 1.22.4 линии тока над крылом располагаются
ближе друг к другу, чем под крылом. Из уравнения Бернулли следует, что
давление в нижней части крыла будет больше, чем в верхней; в результате


появляется сила F , действующая на крыло. Вертикальная составляющая Fy этой
силы называется подъемной силой. Подъемная сила позволяет скомпенсировать
силу тяжести, действующую на самолет, и тем самым она обеспечивает
возможность полета тяжелых
12
летательных аппаратов в воздухе. Горизонтальная составляющая
представляет собой силу сопротивления среды.

Fx
Рисунок 1.22.4.
Линии тока при обтекании
крыла самолета и возникновение
подъемной силы. α – угол атаки.
Теория подъемной силы крыла самолета была создана Н. Е. Жуковским. Он
показал, что существенную роль при обтекании крыла играют силы вязкого
трения в поверхностном слое. В результате их действия возникает круговое
движение (циркуляция) воздуха вокруг крыла (зеленые стрелки на рис. 1.22.4). В
верхней части крыла скорость циркулирующего воздуха складывается со
скоростью набегающего потока, в нижней части эти скорости направлены в
противоположные стороны. Это и приводит к возникновению разности давлений
и появлению подъемной силы.Циркуляция воздуха, обусловленная силами
вязкого трения, возникает и вокруг вращающегося тела (например, цилиндра).
При вращении цилиндр увлекает прилегающие слои воздуха, вызывая его
циркуляцию. Если такой цилиндр установить в набегающем потоке воздуха, то
возникнет сила бокового давления, аналогичная подъемной силе крыла самолета.
Это явление называется эффектом Магнуса. Рис. 1.22.5 иллюстрирует обтекание
вращающегося цилиндра набегающим потоком. Эффект Магнуса проявляется,
например, при полете закрученного мяча при игре в теннис или футбол.
Рисунок 1.22.5.
Обтекание
ращающегося цилиндра
набегающим
потоком
воздуха.
13
Итак, во многих явлениях аэродинамики существенную роль играют силы
вязкого трения. Они приводят к возникновению циркулирующих потоков воздуха
вокруг крыла самолета или вокруг вращающегося тела, к появлению силы
сопротивления среды и т. д. Уравнение Бернулли не учитывает сил трения. Его
вывод основан на законе сохранения механической энергии при течении
жидкости или газа. Поэтому с помощью уравнения Бернулли нельзя дать
исчерпывающего объяснения явлений, в которых проявляются силы трения. В
этих случаях можно руководствоваться только качественными соображениями –
чем больше скорость, тем меньше давление в потоке газа.Особенно заметно
проявляются силы вязкого трения при течении жидкостей. У некоторых
жидкостей вязкость настолько велика, что применение уравнение Бернулли
может привести к качественно неверным результатам. Например, при истечении
вязкой жидкости через отверстие в стенке сосуда ее скорость может быть в
десятки раз меньше рассчитанной по формуле Торричелли. При движении
сферического тела в идеальной жидкости оно не должно испытывать лобового
сопротивления. Если же такое тело движется в вязкой жидкости, то возникает
сила сопротивления, модуль которой пропорционален скорости υ и радиусу
сферы r (закон Стокса)
Fсопр ~ υ · r.
Коэффициент пропорциональности в этой формуле зависит от свойств
жидкости.Поэтому, если тяжелый шарик бросить в высокий сосуд, наполненный
вязкой жидкостью (например, глицерином), то через некоторое время скорость
шарика достигнет установившегося значения, которое не будет изменяться при
дальнейшем движении шарика. При движении с установившейся скоростью силы,


действующие на шарик (сила тяжести mg , выталкивающая сила Fарх и сила
сопротивления
среды

Fсопр ), оказываются скомпенсированными, и их
равнодействующая равна нулю.
14
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ.
Полученные соотношения позволяют проводить
изученных явлений и решать конкретные задачи.
количественную
оценку
На самоподготовке:
Изучить рассмотренные вопросы по конспекту и | 1 | , с. 56-66
СЛЕДУЮЩАЯ лекция №9 «Механические гармоническиеколебания»
| 1 | , с. 255-261