описание процессов в газе на основе двух моделей сплошной

Курлапов Л.И., Спицын А.А., Турлыбекова Г.К. Описание процессов в газе на основе двух моделей
сплошной среды. // Труды II Международной научной конференции «Высокие технологии – залог
устойчивого развития» I том. – Алматы: КазНТУ им. К.И. Сатпаева, 2013. – 312 с. (ISBN 978-601-228548-2) - Стр. 136-139.
ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССОВ В ГАЗЕ НА ОСНОВЕ ДВУХ МОДЕЛЕЙ
СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Л.И. Курлапов, А.А. Спицын, Г.К. Турлыбекова
Казахский национальный технический университет
имени К.И. Сатпаева, Алматы
The random motion of molecules of gas results in formation of emptiness in
model of the continuum consisting of deformable domains of constant composition.
The reversible of continuity equation of this model does not contain members of
diffusion nature. In the second model in which the continuum is broken into domains
of a constant configuration, but variable structure, irreversible processes are formed
at crossings by molecules of constant borders of local-equilibrium domains, and the
equation of a continuity contains members of diffusion nature. Calculations thermo
diffusion baroeffect on base of this model well coordinated with experiments.
Свойства газов определяются тепловым хаотическим движением
структурных элементов и их взаимодействиями. В разрежённом газе
структурными элементами являются молекулы, которые являются носителями
химических свойств и массы газа. В плотных газах кроме молекул в тепловом
движении и в определении физических свойств играют кластеры [1-3].
В неоднородном газе, состоящем из одноимённых молекул (в простом
газе) под действием градиентов макропараметров возникают процессы,
описание которых зависит от модели сплошной среды. В условиях локального
термодинамического равновесия неоднородная сплошная среда мысленно
разбивается на домены (элементарные объёмы или капли). Малый размер
доменов позволяет вводить макропараметры одинаковые в пределах каждого
домена – локально равновесные макропараметры, и описывать процессы в
сплошной среде уравнениями механики сплошных сред и термодинамики
необратимых процессов.
В зависимости от способа разбиения среды на домены уравнения
макрофизики будут разными. В настоящее время известны два способа
разбиения сплошной среды на домены и соответственно две модели сплошной
среды и две системы уравнений механики сплошных неоднородных сред.
Первая модель наиболее части излагается в учебной и научной
литературы, и обычно используется для описания движения механических
систем [4, 5]. В этой модели неоднородная среда разбивается на локальноравновесные деформируемые домены постоянного состава, но переменной
конфигурации. Постоянство состава, следовательно, постоянство массы,
позволяет движение такого домена описывать вторым законом Ньютона.
Постоянство состава обеспечивается тем, что те частицы, которые оказались в
определенном домене должны всегда в нём оставаться. Однако частицы, в
частности, молекулы газа, непрерывно движутся, поэтому для обеспечения
постоянство состава домен должен деформировать так, чтобы в него не могли
попасть другие частицы и из него не могли выйти те частицы, которые
оказались в нём при определении границ домена.
В этой модели вывод уравнения непрерывности основан на нахождении
изменения объёма домена, обусловленного деформацией при перемещении
всего домена. Изменение локальной плотности обусловлено изменением
объёма домена, которое удаётся определить только в пределе при стремлении
объёма домена к нулю. Наиболее подробно такой вывод приведён в последнем
издании монографии Л. Лойцянского [5]. В качестве первичного принципа в
этом рассмотрении используется постоянство массы домена:
d
(1)
m  0
dt
Через объём домена V и массовую плотность  это уравнение можно
переписать так:
d
d
dV
(2)
(V ) 
V  
 0,
dt
dt
dt
Скорость относительного объёмного расширения деформируемого домена
как отношение приращения объёма домена V к первоначальной величине
этого объёма и ко времени деформации dt , определяется дивергенцией
 dr
скорости механического (обратимого) движения W 
:, что приводит к
dt
уравнению непрерывности:
 
d
(2)
   W  0 ;
dt

 
(3)
   W  0 .
t
Такой вывод уравнения непрерывности основан на рассмотрении одного
уединённого домена. Деформация домена определяется тепловым движением
молекул газа, которое носит хаотический характер. При рассмотрении
нескольких деформируемых доменов, из которых должно состоять
непрерывная среда, приводит к тому, что несогласованность деформаций
соседних доменов может привести к образованию пустот или к наложению
одного домена на другой, что противоречит принципу сплошности среды.
Как видно из уравнения непрерывности, оно обратимо во времени, что
согласуется с обратимостью механики, поэтому оно широко используется и в
механике и в электродинамике и в статистической физике, когда из него
выводится уравнение Лиувилля. Однако, как видно из вывода, в нём не
учитывается тепловое движение структурных элементов, которое в
неоднородно среде приводит к существованию необратимых процессов. В
связи с этим, в данном докладе описание процессов в неоднородных газах
основано на второй модели сплошной среды.
На рисунке 1 приведена схема движения среды и деформации доменов
постоянного состава.
Рисунок 1. Модель сплошной среды, разбиваемой на деформируемые
домены постоянного состава
Как видно из рисунка 1, домены, которые в момент времени t 0 выбраны в
виде квадратов, при движении деформируются и к моменту времени t  t0  t
между ними образуют пустоты или пересечения.
На рисунке 2 дана схема движения доменов постоянной конфигурации, но
перемнного состава.
Рисунок 2. Вторая модель сплошной среды, разбиваемой на домены
постоянной конфигурации, но переменного состава
Как видно из рисунка, 2 домены, которые в момент времени t 0 выбраны в
виде квадратов, при движении не деформируются и к моменту времени
t  t0  t образуют сплошную среду. Частицы из-за теплового движения
пересекают постоянные границы и переходят из одного домена в другой. В
неоднородной среде локально-равновесные макропараметры разные, поэтому
такие переходы создают необратимый поток частиц или других экстенсивных
параметров. Это согласуется с моделью элементарной кинетической теорией
процессов переноса и с теорией основанной на решении кинетического
уравнения, в котором также используется модель последовательных локальноравновесных состояний. Уравнение непрерывности в рамках такой модели
представляет собой балансовое соотношение, которое с учётом существования
как движения домена как целого, так и необратимые потоки, образованные в
результате пересечений постоянных границ доменов, записывается так [вестник
казнту 66]:
 
d
(1)

dV



 j  dS   g dV ,
dt V
S
V


где  – массовая плотность, dS – элементарная площадка, j  –
поверхностная плотность потока массы, связанного с тепловым движением
частиц при наличии градиентов макропараметров, g  – скорость
возникновения частиц как источник массы.
Переход от субстанциональной производной по времени к локальной даёт:
 
 

dV


W

d
S




 j  dS   g  dV .
V t
S
S
V
(2)
В этом уравнении учтено, что в рамках второй модели сплошной среды
конвективная часть субстанциональной производной определяется скоростью
движения
домена как производной по времени от радиуса-вектора домена
 
W  r . Уравнение непрерывности, которое получается из балансового
соотношения (2), содержит поток необратимой природы и учитывает движение
среды:
 



(3)
   j     W  g  .
t
Кинетическая теория, которая согласуется со второй моделью даёт
формулы для коэффициентов переноса и следующее выражение для потока
частиц в однокомпонентном газе [2]:




T
  nW  nD11 ln p  nD11
 ln T .
(4)



T
j  mnD11 ln p  mnD11
 ln T
Из этого уравнения видно, что для описания процессов в неоднородной
среде необходимо иметь сведения о коэффициентах баросамодиффузии D11 и
T
термосамодиффузии D11
. Такие данные получаются путём расчётов по
формулам кинетической теории [2].
Различия результатов, которые получаются в рамках двух моделей можно
продемонстрировать на примере опыта, в котором газ находится в сосудах,
соединённых трубкой. Если постоянная температура газа в этих сосудах
поддерживается разной, то на концах трубки существует постоянная разность
давления. В ультраразрежённом газе разность давления известна как
термомолекулярная разность давления. В нормальной гидродинамической
области течений эту разность принято называть термодиффузионным
бароэффектом [2, 6].
В рамках первой модели сплошной среды возникновение разности
давления объясняется тепловым скольжением: при решении уравнения
непрерывности в качестве граничного условия на стенке трубки принимается
так называемая скорость скольжения. Такие граничные условия приводят к
тому, что решение обратимого уравнения носит необратимых характер, а
формула для разности давления содержит коэффициент скольжения, который в
рамках данной модели не определяется.
Из уравнения непрерывности (3), полученного в рамках второй модели
видно, что в трубке под действием градиента температуры будут существовать
два процесса: течение со скоростью обратимого движения W и поток
термосамодиффузии j . В установившемся процессе эти два вида переноса
компенсируются – через трубку нет переноса частиц. Но для возникновения
течения на концах трубки существует разность давления – термодиффузионный
бароэффект. Формулы кинетической теории, которая согласуется со второй
моделью, позволяют рассчитывать коэффициент термосамодиффузии и
бароэффект, которые хорошо согласуются с экспериментами [2, 6].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Курлапов Л.И., Спицын А.А., Майлина Х.Р., Кошкинбаев А.Д.
Термодинамические свойства рабочих тел энергетических устройств.// Вестник
Казахского национального технического университета имени К.И. Сатпаева
(ISSN 1680-9211) №2(90) 2012. – Стр. 67-71.
2 Курлапов Л.И. Физическая кинетика мезоскопических систем. От
материальной точки к мезоскопической частице. Монография. – LAP LAMBERT
Academic Publishing. –2011. 116 с. ISBN-13: 978-3-8454-3722-4; ISBN-10:
3845437227.
3 Жумабекова Н.Н., Касымов А.Б., Курлапов Л.И. Модели неоднородной
сплошной среды в механике и модель последовательных локально-равновесных
состояний в кинетике // Труды международной научно-практической
конференции «Информационные и телекоммуникационные технологии:
образование, наука, практика». – Алматы. – 2012. – С.500-504.
4 Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика, том 1 (Серия: теоретическая
физика, том 1)- М.: Наука, 1973. – 208 с.
5 Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. Гл. ред. физ.мат. лит. 1987. – 840 с.
6 Косов Н.Д., Богатырев А.Ф., Курлапов Л.И. Термодиффузионный
бароэффект. -ЖТФ, 1969, т.39, № 6, с.1119-1125.