Трунов Г.М. К вопросу об аналогии формы записи закона Кулона

К вопросу об аналогии формы записи закона Кулона
и закона гравитации Ньютона
Г.М.Трунов
Известно[1], что сила гравитационного взаимодействия тел сферической
формы, находящихся в вакууме, можно представить в виде (для модуля силы):
Fгр = G
ρ1V1  ρ2V2
,
r2
(1)
где G = 6,6710–11 Нм2/кг2 - гравитационная постоянная, 1 и 2 – плотности тел,
имеющих соответственно, объемы V1 и V2 .
Закон Кулона для электрических зарядов, находящихся на поверхности сферических тел, записывается (в СИ) в виде:
Fэл = k0
σ1S1  σ 2 S2
,
r2
(2)
где k0 = 9109 Нм2/Кл2 – размерный коэффициент, S1 и S2– площади поверхности
заряженных тел; 1 = Q1/S1 и 2 = Q2/S2 – поверхностные плотности зарядов,
находящихся на поверхности S1 и S2 взаимодействующих тел.
Общепринято, что закон гравитации Ньютона (1) не зависит от среды, в которой могут находиться взаимодействующие тела, хотя классические эксперименты по определению гравитационной постоянной были осуществлены Кавендишем при взаимодействии тел, находящихся только в воздухе [2]. ,
Закон Кулона для модуля силы электрического взаимодействия в среде с диэлектрической проницаемостью  описывается уравнением:
Fэл = k0
σ1S1  σ 2 S2
,
εr 2
(3)
из которого следует, что сила электрического взаимодействия в среде в  раз
меньше, чем в вакууме. Это связано с тем, что в слое среды, непосредственно
1
контактирующем с заряженным телом, индуцируются электрические заряды противоположного знака, которые частично нейтрализуют заряды, находящиеся на
телах.
Учитывая это обстоятельство, закон Кулона (3) можно записать в виде уравнения:
Fэл = k0
(σ1  σ01 )S1  (σ 2  σ02 )S2
,
r2
(4)
где 01 и 02 – поверхностные плотности индуцированных зарядов, находящихся
в слоях среды (диэлектрика), непосредственно контактирующих с поверхностями
заряженных тел.
Действительно, величина индуцированного заряда в слое диэлектрика, контактирующего с поверхностью заряженного тела, пропорциональна величине заряда, находящегося на теле, поэтому:
01= 1
и
02 = 2,
(5)
где  – постоянная для данного диэлектрика.
Величину  легко выразить через диэлектрическую проницаемость  , подставив уравнение (5) в уравнение (4):
Fэл = k0
(1  δ)2  σ1S1  σ 2 S2
(σ1  δσ1 )S1  (σ 2  δσ2 )S2
=
.
k
0
r2
r2
(6)
Сравнив уравнения (3) и (6), получим :
(1– )2 =
1
ε
или
=
ε 1
.
ε
(7)
Таким образом, уравнение (4) действительно является видоизмененной
формой уравнения (3).
Так как в вакууме закон гравитации Ньютона (1) по форме аналогичен закону Кулона (2), то можно предположить[2, 3], что гравитационное взаимодействие
2
двух тел, имеющих, соответственно, плотности 1, 2 и объемы V1 , V2 и находящихся в среде с плотностью 0 , должно описывается уравнением, аналогичным
по форме уравнению (4):
F21 = – G
(ρ1  ρ0 )V1  (ρ2  ρ0 )V2
r0,
r2
(8)
где F21 – сила гравитации, действующая на второе тело со стороны первого тела;
r0 – единичный вектор, направленный от первого тела ко второму.
ρ0
ρ1V1
ρ2V2
F21
F12
r
Рис. 2. Иллюстрация к формуле (8).
Справедливость уравнения (8) подтверждается в двух предельных случаях.
1. Рассмотрим взаимодействие Земли (объем V1 , плотность 1 = 5,5103
кг/м3) и железного шарика (объем V2 , плотность 2 = 7,9103 кг/м3) в воздухе у
поверхности Земли при нормальных условиях (0 = 1,29 кг/м3). В этом случае
уравнение (8) переходит (с учетом 1  0 и 2  0, а r – радиус Земли) в закон гравитации Ньютона (1):
F21 = – G
ρ1V1  ρ 2V2
r0,
r2
(9)
т.е. взаимодействие Земли и железного шарика проявляется в виде силы притяжения (направление силы F21 противоположно направлению r0).
3
2) Рассмотрим взаимодействие Земли и резинового шарика с бесконечно
тонкими стенками (т.е. пренебрегаем толщиной и массой оболочки), имеющего
объем V2 и наполненного водородом (2 = 0,09 кг/м3). В этом случае уравнение
(8) переходит (учитывая, что 1  0 и 2  0) в уравнение
F21 = – G
где g = G
ρ1V1  (ρ2  ρ0 )V2
r0 = g(0 – 2)V2 r0 ,
r2
(10)
ρ1V1
= 9, 81 м/с2 – ускорение свободного падения тел.
r2
Уравнение (10) представляет собой положительную разность двух сил силы
Архимеда FАрх = 0gV2 и силы тяжести m2g:
В этом случае взаимодействие Земли и шарика, наполненного водородом,
проявляется в виде силы отталкивания (направление силы F21 совпадает с направлением r0).
Таким образом, уравнения (4) и (8) свидетельствуют о том, что электрическое и гравитационное взаимодействия имеют более глубокую аналогию, чем это
следует из уравнений (1) и (2).
Литература
1. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. Учеб. пособие для вузов.
М.: Высшая школа, 1976.
2. Карякин Н.И. , Быстров К.Н., Киреев П.С. Краткий справочник по физике. –
М.: Высшая школа, 1964, С. 79.
3. Трунов Г.М. Гравитационное взаимодействие шарообразных тел, находящихся в
бесконечной среде. Физическое образование в вузах. 2000, Т. 6, № 3. – С. 63 –
65.
4. Трунов Г.М. Представление в другой форме закона Кулона и закона гравитации
Ньютона. Сб. «Физика в системе инженерного образования России». Тез. докл.
Совещания зав. кафедрами технических вузов России. М.: АТОМ ПОЛИГРАФ
СЕРВИС. – 2003. С. 178-180.
4