МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Кафедра теоретической и вычислительной физики
Задания по электродинамике
для самостоятельной работы студентов
Ростов-на-Дону
2011 г.
1. Вывод уравнений электромагнитного поля в вакууме.
1.1. Доказать формулу
r  r
1
.
  grad
3

r

r

r r
1.2 Доказать формулу

1
 4  r  r   .
r  r
1.3. Показать, что если векторный потенциал задан выражением
A r  
1 j r 
dV  ,
c  r  r
подстановка этого выражения в соотношение H  rot A приводит к формуле
H
1  j r  , r  r 
dV  .
3
c
r  r
1.4. Записать систему уравнений Максвелла в скалярной форме.
1.5. Вывести уравнение баланса энергии
w
 div P   jE ,
t
где
P
w
1
E2  H 2 

8
–
плотности
энергии
электромагнитного
поля,
c
E, H  – вектора плотности потока энергии электромагнитного поля
4
(вектор Пойнтинга).
2. Потенциалы электромагнитного поля.
2.1. Получить уравнение непрерывности

 div j  0
t
из уравнений Максвелла в четырехмерной форме
 F   
2
4 
j .
c
2.2. Показать, что первая пара уравнений Максвелла содержится в
уравнениях
e  F  0 ,
Показать,
что
эти
уравнения
могут
быть
представлены в эквивалентной форме
  F   F    F  0 .
2.3. Показать, что уравнения
mc
du
e
 F u
ds c
с   1, 2, 3 эквивалентны уравнениям движения заряженной частицы
dp
e
 eE   v, H  ,
dt
c
а уравнение с   0 выражает закон сохранения энергии частицы




d  mc 2 
 e  E, v  .
2 
dt 
v
 1 2 
c 

2.4. Убедиться в инвариантности тензора F
при калибровочных
преобразованиях потенциалов электромагнитного поля.
2.5. Получить уравнения для потенциалов
A 
1 2 A
 1 
 4
 grad 
 div A  
j;
2
2
c t
 c t
 c
 
1
div A  4
c t
из уравнений Максвелла в четырехмерной форме. Записать эти уравнения в
калибровке Лоренца.
2.6.
Доказать,
что
если
потенциалы
электромагнитного
удовлетворяют неоднородным уравнениям д'Аламбера
1  2
   4 ;
c 2 t 2
1 2A
4
 A 
j,
2
2
c t
c
3
поля
то калибровка Лоренца
1 
 div A  0
c t
является следствием уравнения непрерывности

 div j  0 .
t
2.7. (БТ 2.4) Бесконечно длинный круговой цилиндр радиуса R
равномерно заряжен по объему или по поверхности так, что на единицу его
длины приходится заряд  . Вычислить потенциал  и напряженность
электрического поля E в случае
1) объемного заряда;
2) поверхностного заряда.
2.8. (БТ 2.5) Найти потенциал  и напряженность электрического поля E
равномерно заряженной прямолинейной бесконечной нити, если ее заряд на
единицу длины равен  .
2.9. (БТ 2.9) Найти потенциал  и напряженность электрического поля E
шара, равномерно заряженного по объему. Радиус шара R, полный заряд q.
2.10. (БТ 2.10) Найти потенциал  и напряженность электрического поля
E сферы, равномерно заряженного по поверхности. Радиус сферы R, полный
заряд q.
2.11. (БТ 2.12) Пространство между двумя концентрическими сферами,
радиусы которых равны R1 и R2 ( R1  R2 ) заряжено с объемной плотностью
 r  

r2
.
Найти
полный
заряд
q,
потенциал

и
напряженность
электрического поля E. Рассмотреть предельный случай R2  R1 , считая при
этом q  const .
2.12. (БТ 2.15) В атоме водорода, находящемся в невозбужденном
состоянии, заряд электрона распределен с плотностью
 r   
e0
 2r 
exp    ,
2
a
 a 
4
где a = 0,529×10-8 см – боровский радиус атома, e0 – элементарный заряд. Найти
потенциал 0 и напряженность электрического поля E0 электронного заряда, а
также полные потенциал  и напряженность электрического поля E в атоме,
считая, что протонный заряд сосредоточен в начале координат. Построить на
компьютере графики величин  , E.
2.13. (БТ 2.16) Рассматривая атомное ядро как равномерно заряженный
шар, найти максимальное значение напряженности его электрического поля
Emax . Радиус ядра R  1,5 10
13
1
3
A см , заряд q  Ze0 , где A – атомный номер, Z –
зарядовое число, e0 – элементарный заряд. Сравнить Emax со значением поля
ядра E B на расстоянии боровского радиуса. Для атома с зарядовым числом Z
боровский радиус равен
a
.
Z
2.14. (БТ 2.56) Вычислить электростатическую энергию
1) шара с радиусом R и зарядом q, равномерно распределенным по
объему;
2) сферы с радиусом R и зарядом q, равномерно распределенным по
поверхности;
3) пространства между двумя концентрическими сферами, радиусы
которых равны R1 и R2 ( R1  R2 ), заряженного с объемной плотностью
 r  

r2
.
2.15. (БТ 2.71) Определить напряженность магнитного поля H,
создаваемого
постоянным
током
J,
текущему
по
бесконечному
цилиндрическому проводнику кругового сечения радиуса a. Решить задачу с
помощью уравнений магнитостатики в интегральной форме, а также путем
введения векторного потенциала A.
2.16. (БТ 2.83) Показать, что магнитное поле бесконечно длинного
цилиндрического соленоида с густой намоткой (n витков на единицу длины, по
5
соленоиду течет ток J) дается формулами: H 
4 nJ
e z внутри соленоида,
c
H  0 вне соленоида. Ось z направлена вдоль соленоида.
2.17.
Определить
векторный
потенциал
A
бесконечно
длинного
цилиндрического соленоида. Учитывая, что вне соленоида векторный
потенциал является чистой калибровкой ( A  grad ), определить функцию  .
3. Свободное электромагнитное поле.
3.1. (БТ П2.21) Считая компоненты тензора поляризации J заданными,
найти
интенсивность
полностью
поляризованной
и
Ip
полностью
неполяризованной волн I n , степень поляризации и степень деполяризации
волны.
3.2. (БТ 2.125, 2.120, 2.122) Электромагнитное поле разложимо по
плоским монохроматическим волнам, т. е. в интеграл Фурье по трем
координатам и времени:
E  r, t  

1

d    d k E  k ,   e

 2 
3
i kr t 
4

E k,   



 dt    d

;
3
x E  r, t  e
 i kr t 
.

Записать уравнения Максвелла для гармоник Фурье. Указать связь между
гармониками напряженностей поля и потенциалов. Указать связь между
гармониками Фурье E  k ,   и E  k ,    .
3.3. (БТ 2.126) Записать уравнения д'Аламбера и калибровочное условие
Лоренца для компонент Фурье потенциалов   r, t  , A  r, t  .
4. Запаздывающие потенциалы.
4.1. Показать, что для запаздывающих потенциалов Лиенара – Вихерта
  r, t  
R
e
,
 v, R 
A  r, t  
ev
cR   v, R 
c
выражения для напряженностей электрического и магнитного поля имеют вид
6
  v2
E
3 
 1  c 2

 v, R    
R 

c 

e

v  1
 R  R   2
c  c

 
v   
R
,
R

R  , v    ;
 
c

  
 
H
 R, E .
R
5. Поля статических систем зарядов и токов.
5.1. Разложить в ряд потенциал системы зарядов
 r   
a
ea
r  ra
и напряженность электрического поля E с точностью до членов третьего
порядка, считая ra малыми параметрами.
5.2. Доказать, что тензор квадрупольного момента Dij системы зарядов,
для которой полный заряд Q  0 и дипольный момент d  0 , не зависит от
выбора начала координат.
5.3. Найти компоненты тензора квадрупольного момента Dij для системы
зарядов, расположенных в углах квадрата со стороной a. Рассмотреть два
случая (рис. 1 и 2).
Рис. 1.
Рис. 2.
6. Излучение электромагнитных волн.
6.1. Определить интенсивность квадрупольного и магнито-дипольного
излучения.
6.2. Определить интенсивность излучения затухающего осциллятора и
полную излученную им энергию.
7
7. Уравнения электродинамики сплошных сред.
7.1. Записать закон Кулона в анизотропной среде.
8. Физические свойства сплошных сред.
8.1. Найти емкость плоского конденсатора, состоящего из двух
параллельных пластин площадью S. Расстояние между пластинами d. Зазор
между пластинами заполнен двумя слоями диэлектрика толщиной a и d  a с
диэлектрическими проницаемостями 1 и  2 .
8.2. Найти емкость сферического конденсатора, состоящего из двух
концентрических сфер с радиусами R1 и R2 ( R1  R2 ).Пространство между
сферами заполнено двумя концентрическими слоями диэлектрика толщиной a и
R2  R1  a с диэлектрическими проницаемостями 1 и  2 .
8.3. Найти емкость цилиндрического конденсатора, состоящего из двух
коаксиальных цилиндров с радиусами R1 и R2 ( R1  R2 ).Пространство между
цилиндрами заполнено двумя коаксиальными слоями диэлектрика толщиной a
и R2  R1  a с диэлектрическими проницаемостями 1 и  2 . Высота цилиндра
h.
8.4.
(ЛЛ8.2.1)
Найти
взаимную
емкость
двух
противоположно
заряженных проводников.
8.5. (ЛЛ8.2.3) Два проводника с емкостями C1 и C 2 помещены на
расстоянии r друг от друга, большом по сравнению с их собственными
размерами. Определить коэффициенты Cab . Определить взаимную емкость
проводников.
8.6. (ЛЛ8.2.4) Определить емкость C кольца из тонкого провода
кругового сечения. Радиус кольца b, радиус сечения провода a ( b
8
a ).
Условные обозначения:
БТ – [1] В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин, Современная электродинамика.
Часть I. Микроскопическая теория, Москва – Ижевск, НИЦ “Регулярная и
хаотическая динамика”, 2005.
ЛЛ – [2] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред,
Москва, “Наука”, 1982.
БТ 2.4 – [1], задача 2.4.
БТ П2.21 – [1], пример 2.21.
ЛЛ8.2.1 – [2], §2, задача 1.
9