анализ релевантности методов моделирования месячного

УДК 551.480
АНАЛИЗ РЕЛЕВАНТНОСТИ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ МЕСЯЧНОГО
ПРИТОКА К КАМСКОМУ ВОДОХРАНИЛИЩУ
В.В. Ильинич, Н.Л. Лебедева
ФГОУ ВПО МГУП, г. Москва, Россия
Речной сток является сложным вероятностным процессом, и, следовательно, для
адекватного описания гидрологических и водохозяйственных систем необходимо
использовать стохастические методы. Естественные гидрографы реки не дают полного
вероятностного описания стока, так как наблюдения не охватывают всех возможных
сочетаний расходов. Для рассмотрения всех возможных сочетаний величин стока
необходимо организовать более репрезентативную выборку гидрографов путем
моделирования стока каким-либо из методов статистических испытаний, что позволит
более объективно предвидеть экологически и экономически опасные варианты при
управлении водохранилищами. Выбор метода моделирования зависит не только от
качества самого метода, но и от водного объекта, целей и режима его использования.
Цель работы - выбор наиболее подходящего метода для моделирования месячного
стока к Камскому водохранилищу. Поставленная цель обусловила необходимость
решения следующих задач.
1.Провести сопоставление основных статистических характеристик исходных и
искусственных гидрологических рядов.
2.Проанализировать степень однородности исходных и искусственных
гидрологических рядов.
Первым анализировался метод фрагментов. При его использовании сначала
моделируются годовые расходы, а затем для них производится случайный выбор
модели внутригодового распределения стока, так называемого фрагмента.
Соответственно, предварительно были получены фрагменты притока к
Камскому водохранилищу из 75-летних рядов наблюдений за стоком
Ql , j
Фij 
,
(1)
Ql
где Ф lj - фрагмент в l-м году j-го месяца Камского водохранилища; Qlj - месячный
расход в l-м году j-го месяца Камского водохранилища, Qkl - годовой расход в l-м году
Камского водохранилища.
Таким образом, были получены 75 фрагментов. Каждый фрагмент содержит 12
элементов. Фрагменты за 75 лет были ранжированы по убыванию годового расхода.
Затем моделировались случайным образом годовые значения обеспеченности Рi притока к
Камскому водохранилищу. По кривой обеспеченности с параметрами ( Q ; Сv, Сs = 2Сv) были
получены значения годовых расходов Qi за 1000 лет (i=1÷1000).
Далее рассматривались два варианта моделирования: без учета водности года и с
учетом водности года. Без учета водности года - подготовленные месячные фрагменты
выбирались случайным образом (l=1÷75) в произвольном порядке, соответствующем
равномерному распределению случайных величин. При учете водности года – 75-летний
наблюденный годовой расход разбивался на пять градаций по степени водности – очень
многоводный, многоводный, средний по водности, маловодный, очень маловодный. В
зависимости от смоделированной годовой обеспеченности Рi выбиралась нужная
градация, и уже из градации случайным образом (l = 1÷25) выбирались фрагменты Ф lj .
Затем каждый фрагмент Фij умножался на смоделированный годовой расход Qi и
получалась последовательность месячных расходов притока к Камскому водохранилищу
Qij = Qi* Ф lj .
(2)
Для оценки релевантности метода моделирования полученные основные
статистические характеристики сравнивались с доверительными интервалами
соответствующих характеристик исходного гидрологического ряда. Так, на рисунке для
каждого месяца средняя диаграмма (Q модели) представляет собой среднее значение стока,
полученное по смоделированному ряду, верхняя - соответствует средним величинам
исходного ряда наблюдений плюс средняя квадратическая ошибка (Q+d). Нижняя (Q-d) соответствует средним величинам исходного ряда минус средняя квадратическая ошибка
(Q – средняя величина для каждого месяца, d – средняя квадратическая ошибка). Как видно
из представленной диаграммы, доверительные интервалы (Q-d ~ Q+d) исходного ряда
наблюдений всегда включают в себя средние месячные значения смоделированного ряда.
Рис. 1. Среднемесячные расходы модели в
с
р
а
в
н
е
н
и
и
с
д
о
в
е
р
и
т
е
л
ь
н
ы
м
и
н
т
е
р
в
а
л
о
м
Q+d
7000
Q[куб. м/с ]
6000
Q модели
5000
4000
3000
Q-d
2000
1000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Месяцы
Результаты, полученные при анализе коэффициентов вариации и коэффициентов
корреляции между значениями стока смежных месяцев, оказались несколько хуже.
Однако, как правило, доверительный интервал включал в себя как значение исходного
гидрологического ряда, так и смоделированного.
Однородность исходных и смоделированных рядов анализировалась на основе
критериев Фишера и Стьюдента. В случае использования метода фрагментов для всех
месячных отрезков времени ряды можно признать однородными при 5%-м уровне
значимости.
Одним из известных методов формирования реализаций случайных векторов
является метод линейного преобразования. В этом методе при учете корреляционных
связей между нормализованными величинами месячного притока получается матрица
следующего вида
а j 1 / j 1
0
0
Qij*1  а j 1 j 1 * j 1  Q*j 1
*
аj/ j
0 ,
, а j 1 / j
(3)
Qij*1  а j 1 j * j 1  а jj * j  Q j
а j 1 / j 1 а j / j 1 а j 1 / j 1
Q*  а
*  а *  а
*  Q*
j 1
j 1 j 1
j 1
jj1
j
j 1 j 1
j 1
j 1
где коэффициенты ajj определяются следующими формулами:
а j 1 j 1   j 1
а j 1 j   j * R j 1/ j
а jj   j * 1  R 2j 1/ j
(4)
а j 1 j 1   j 1 * R j 1/ j 1
а jj1   j 1 *
R j / j 1  R j 1/ j * R j 1/ j 1
1  R 2j 1/ j
а j 1 j 1   j 1 * 1  R j 1/ j 1 
R
 R j 1/ j * R j 1/ j 1 
2
j / j 1
1  R 2j 1/ j
где Q *ij1 , Q *ij , Q*ij 1 - нормализованные значения месячного расхода за i-й год, j-1-й,
j-й и j+1-й месяцы для Камского водохранилища; Q *ij1 = ln(Q) – преобразованная к
нормальному распределению функция месячных расходов для Камского водохранилища;
j-1 j j+1 – среднеквадратические отклонения от среднего нормализованного значения в
*
*
*
j-1-м, j-м и j+1-м месяцах; Q j 1 , Q j , Q j 1 - среднее нормализованное значение
месячного расхода за j-1-й, j-й и j+1-й месяцы;
j-1 j j+1 – случайная величина
нормального распределения для j-1-го, j-го и j+1-го месяцев;
Rj-1/j, Rj-1/j+1, Rj/j+1
коэффициенты
корреляции
между
соответствующими
месяцами
Камского
водохранилища.
Метод линейного преобразования имеет недостатки, в частности, иногда
появляются отрицательные значения стока в случае тесной корреляционной связи между
величинами месячного притока при выпадении подряд нескольких критических значений
случайных чисел j-1 j j+1 . Избежать этого недостатка, не нарушая нормального закона
распределения случайных величин, в данном случае не представляется возможным.
Соответственно, при моделировании месячных расходов притока методом линейного
преобразования были приняты в отдельные месяцы нулевые значения притока.
Корреляционная связь между смежными месяцами смоделированных рядов была учтена
недостаточно точно, что сказалось на результатах. Также в отдельных случаях
существенно различался первый центральный момент и во многих случаях второй
центральный момент распределения.
Была сделана попытка смоделировать обеспеченности Р нормализованных значений
притока к Камскому водохранилищу методом линейного преобразования, используя те
же уравнения и те же допущения.
Результаты говорят о следующем: среднее значение обеспеченности входит в
допустимую ошибку, однако при этом присутствуют отрицательные значения
обеспеченности и значения больше 100. Коэффициент вариации несколько меньше
исходных значений, то есть разброс значений уменьшился. Коэффициент корреляции
между смежными месяцами не входит в пределы допустимых ошибок.
Следующим методом моделирования нормализованных месячных значений притока
испытывался метод, впервые использованный в работе Захарова В.П. и Кима В.Я. Исходя
из того, что средние расходы одноименных месяцев за многолетний период являются
случайными величинами, нормализованный расход за каждый месяц моделируется с
помощью уравнения
j
Q *ij  Q * j  rj / j 1
Q *ij1  Q * j 1   j j 1  rj2/ j 1 ,
(5)
 j 1


где
Q *ij = lnQij – нормализованные значение месячного расхода за i-й год, j-й месяц;
*
rj/j-1 - –
Q j - среднее нормализованное значение месячного расхода за j-й месяц;
коэффициент межрядной корреляции между нормализованными значениями месячного
расхода в j-м и j-1-м месяце; j и j-1 - среднеквадратические отклонения от среднего
нормализованного значения в j-м и j-1-м месяце; Q *ij1 - нормированное значение
*
месячного расхода за i-й год, j-1-й месяц; Q j 1 - среднее нормированное значение
месячного расхода за j-1-й месяц; j – случайная величина нормального распределения.
Полученные
результаты
для
месячных
характеристик
стока
–
неудовлетворительные.
Была сделана попытка моделирования обеспеченностей нормализованных месячных
значений, что привело к следующим результатам: первый и второй моменты, за
исключением 1-2-х месяцев, совпадает со статистическими характеристиками натурных
наблюдений, но коэффициент межрядной корреляции не входит в пределы допустимых
ошибок, то есть корреляционные связи не поддерживаются.
Следующим рассмотренным методом моделирования притока к Камскому
водохранилищу был метод, использующий условные кривые распределения. Методика их
построения сводится к следующему: в зависимости от количества выбранных интервалов
(3, 5, 7) по обеспеченности и количества членов ряда в каждом интервале строится
необходимое количество условных кривых с параметрами ( Рl , j , Сvlj,) для каждого
интервала каждого месяца. Затем моделируются обеспеченности Рij притока для каждого
месяца по закону равномерного распределения. По выбранной условной кривой
обеспеченности, учитывающей межрядную корреляцию rj/j-1 между обеспеченностями
соседних месяцев, получают нормализованное значение месячного расхода за j-й месяц i*
го года Q *ij . Нормализованное значение затем необходимо денормализовать: Qij = еQ ij .
При расчетах использовалось несколько условных кривых – три, пять с различными
интервалами обеспеченности Рlij.
Проведенный анализ полученных результатов говорит о следующем: средние
значения и коэффициенты вариации не превышают допустимую ошибку при сравнении с
исходными рядами, коэффициенты межрядной корреляции незначительно превышают
ошибку.
Следует отметить, что во всех рассмотренных методах за исключением метода
фрагментов, не всегда выдерживаются критерии однородности для исходных и
смоделированных рядов относительно 5%-го уровня значимости.
Таким образом, можно сделать заключение, что наиболее точным среди
проанализированных методов
моделирования месячного притока к Камскому
водохранилищу является метод фрагментов, который может быть рекомендован к
применению на практике для дальнейшего анализа функционирования Камского каскада.
Библиографический список
1. Алексеев Г.А. Совместное моделирование временных рядов на основе нормализации
законов распределения. //Водные ресурсы. 1979. №1.
2. Бусалаев И.В. Сложные водохозяйственные системы: методы гидрологического
обоснования моделирования и оптимизации решений. Алма-Ата. 1980.
3. Захаров В.П., Ким В.Я. Непрерывная периодичность гидрологического процесса как
основа водохозяйственных расчетов. «Проблемы гидроэнергетики и водного
хозяйства». Алма-Ата, 1963. Вып.1.
4. Сванидзе Г.Г. Математическое моделирование гидрологических рядов. Л., 1977.