Лекция 5. Равновесие плоской системы сил

Лекция 5
РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ
Равновесие системы тел.
Расчет плоских ферм.
Равновесие при наличии трения скольжения. Законы Амонтона -Кулона.
Равновесие при наличии трения качения.
1.
2.
3.
4.
Равновесие системы тел
Если в равновесии находится не одно тело, а система тел, то для определения всех неизвестных величин необходимо расчленять систему, вводя в
рассмотрение реакции внутренних связей. При этом возможны два способа
составлений уравнений равновесия. Проиллюстрируем их применение на
примере равновесия двух тел.
Первый способ (рассмотреть равновесие конструкции и одной ее части):
y
C

P1

YA
A

XA

YC

P2
C

P1

YB
B

XB
x

YA
A

XC

XA
Количество неизвестных реакций внешних связей превышает количество уравнений равновесия плоской системы сил.
В этом случае помимо трех уравнений равновесия конструкции в целом составляются три дополнительных уравнения равновесия одной из частей конструкции.
Второй способ (рассмотреть равновесие каждой части конструкции):
32
Пример:
Дано:
m , DC , AC ,  .
Найти: реакции опор.
D
m

C
A
B
Рассмотрим равновесие балки CD:
y
n
F

YD
k 1
D

RC

XD
n
x
F
k 1
m
C
ky
0
XD  0,
0
YD  RC  0 ,
 m F   0

n

D
k
k 1
Рассмотрим равновесие балки AB:
n
F
k 1
mA
C

XA
m  RC DC cos   0 .
RC  RC ,

YA
A
kx
kx
n
F
B
k 1

RC
ky
0
X A  0,
0
Y A  RC  0 ,
 m F   0

n
k 1
A
k
m A  RC AC  0 .
Решая систему шести уравнений, находим неизвестные реакции связей.
Способ выбираем из соображений удобства решения системы уравнений равновесия.
33
Расчет плоских ферм
Ферма  жесткая (геометрически неизменяемая) конструкция из
стержней, соединенных между собой шарнирами. Шарнирные соединения
называются узлами.
Задачей расчета ферм является определение реакций внешних связей и
усилий в стержнях. Основные допущения – это идеальность стержней фермы и распределение внешней нагрузки по ее узлам.
У статически определимых ферм количество стержней s и количество
узлов n связаны соотношением:
s  2n  3 . Это равенство получается
из того факта, что добавление к простейшей треугольной ферме каждого
нового узла требует двух стержней : s  2(n  3)  3 .
Основные методы расчета усилий в стержнях плоских ферм: метод
вырезания узлов (последовательно вырезаются узлы, в которых сходится не
более двух стержней с неизвестными усилиями, и составляются уравнения
равновесия системы сходящихся сил) и метод сечений (Риттера1) (производится сечение фермы по трем стержням с неизвестными усилиями и составляются уравнения равновесия одной части фермы).
Пример:

P
1
A
2
4
C
3
E
D
5
9
7
6
F
8
B
Дано: P  30 кH , AE  EC  EF  FB  2 м .
Найти усилия в стержнях.
Риттер Август (1826-1908)  немецкий инженер, предложил метод расчета
ферм в работе «Элементарная теория расчета железных крыш и конструкций мостов» (1862).
34
1
Вначале определим опорные реакции:

P

YA
1

XA
A
n
4
C
5
3
6
F
0
X A  P  0,
F
0
YA  YB  0 ,
k 1
n
k 1
n
kx
ky
 m F   0
k 1

A
9
7
E
2
D
F

YB
B
8
 P  CE  YB  3AE  0 .
k
YB  10 кH , YA  10 кH , X A  30 кH .
Определив реакции в т. А и в т. В, рассмотрим последовательно рав-
Отсюда
новесие каждого узла, мысленно отбросив сходящиеся в них стержни и заменив их действия реакциями (усилиями). Полагая, что стержни растянуты,
направим их усилия от узлов.
y

YA

XA

S4

P

S 1

S1

S2

S 4

S3

S 3

S 2

S5

S6
35

S9
 
S 5 S 7

S7


S 6
S8

S 9

S 8

YB
x
Покажем каждый узел в отдельности и составим уравнения их равновесия:

S1

YA

XA

S2
A

P

S 1

S4
C

S3
n
F
0
X A  S1 cos 450  S2  0 ,
F
0
Y A  S1 sin 450  0 ,
F
0
P  S1 cos 450  S 4  0 ,
F
0
 S1 sin 450  S 3  0 ,
k 1
n
k 1
n
k 1
n
k 1
kx
ky
kx
ky
S1  S1 ,
и т.д.
Для иллюстрации метода Риттера рассечем ферму по 4, 5 и 6 стержню
и рассмотрим равновесие правой части. Действие отброшенной части фермы заменяется соответствующими реакциями.

S4
D

S5
E
n
F
k 1
n
ky
0

S6

YB
B
F
 S 5 sin 45 0  YB  0 ,
 m F   0
YB  FB  S 6  FD  0 ,
 m F   0
YB  2FB  S 4  FD  0 .

D
k 1
n
k 1
k

E
k
36
Получаем:
S 5  10 2 кH ,
S 6  10 кH , S 4  20 кH .
Знак минус означает, что соответствующий стержень работает на сжатие.
При определении усилий в стержнях по методу сечений составляются
уравнения рановесия, в каждое из которых входит по одной неизвестной.
Равновесие при наличии трения скольжения.
Законы Амонтона-Кулона

При стремлении сдвинуть тело, лежащее
N

на шероховатой поверхности, возникает сила реFтр
акции, которая имеет две составляющие – нормальную и силу трения скольжения.
В результате экспериментальных исследований были установлены:
Законы Амонтона1 - Кулона2:
1. Сила трения скольжения при равновесии тела принимает значения от
нуля до максимального значения.
2. Максимальное значение силы трения скольжения не зависит от площади
контакта, а определяется величиной нормальной реакции, материалом и
состоянием контактирующих поверхностей.
max
Fтр
 fN , где f  коэффициент трения скольжения.

Конус трения  поверхность, обра max
N
зованная
линией действия максимальной
F
тр

Fтр

реакции при стремлении сдвинуть тело в
различных направлениях:
tg 
max
Fтр
N

fN
 f , tg  f .
N
Рассмотрим равновесие тела на шероховатой поверхности под действием
силы P.
Амонтон Гийом (31.08.1663- 11.10.1705)  франц. механик и физик,
член Французской АН. Работы по теории трения и термометрии.
2
Кулон Шарль Огюстен (14.07.1736-13.08.1806)  франц. физик, механик,
инженер, член Французской АН. Исследования по строительной механике,
гидравлике, теории трения, сопротивлению материалов, один из основателей электростатики.
37
1
n
y

P

0
P sin   Fтр  0 ,
F
0
 P cos  N  0 .
k 1
n

N

Fтр
F
k 1
kx
ky
Следовательно,
x
tg 
Fтр
N

Fтр
max
N
tg  tg ,
 f  tg ,
 
.
Никакая сила, лежащая внутри конуса трения, не может вывести тело из состояния покоя.
Равновесие при наличии трения качения
Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.


F2

F1

F1

F2
A
B

 F1
Fn 
F1

F2
A
B

 F1
Fn
N

Fn

Mс
F
тр
Вследствие деформации тел их касание происходит
вдоль площадки
AB и имеем распределенную систему сил реакции, которая может быть
заменена силой и парой. Сила раскладывается на две составляющие -нормальную и силу трения скольжения. При равновесии тела момент
сопротивления качению определяется из условий равновесия системы сил.
При этом установлено, что момент сопротивления принимает значения от
нуля до максимального значения. Максимальное значение момента
сопротивления, соответствующее началу качения, определяется равенством
M с max  N ,
где   коэффициент трения качения (по аналогии с трением скольжения).
Коэффициент трения качения имеет размерность длины, зависит от материала контактирующих тел и геометрии зоны контакта.
38
Литература: [1, §18, 22, 2325, 27];
[2, §35, 36, 39];
[3, п.5.4, 5.8, 6.16.2].
39