Тема 1 «Общее равновесие

Лекция 1. Общее экономическое равновесие
1. Частичное и общее равновесие: равновесие потребителя и производителя.
Эффект обратной связи.
2. Модель общего равновесия Вальраса. Закон Вальраса.
3. Анализ эффективности обмена с использованием ящика Эджуорта.
Кривая контрактов.
4. Условие эффективности производства. Кривая производственных
контрактов.
5. Условия достижения Парето – эффективности одновременно в обмене и
производстве.
1.Частичное и общее равновесие: равновесие потребителя и
производителя. Эффект обратной связи.
В микроэкономическом анализе используются модели двух типов –
оптимизационные (для изучения поведения отдельных экономических
субъектов) и равновесные (для изучения соотношений между
экономическими субъектами). Равновесные модели разделяются на модели
частичного, многорынкового и общего равновесия. Равновесие на каждом
отдельном рынке при его обособлении от других представляет собой
частичное равновесие (рынок пшеницы, рынок труда). Примером модели
многорынкового равновесия является в целом рынок сельхозпродукции
(неоднородной). Но и экономика в целом может находится в состоянии
равновесия, поскольку все ее части взаимосвязаны и взаимозависимы.
налоги
ресурсы
Домохозяйства
Товары и
услуги
субсидии
Расходы
государства
доходы
товары
трансферты
доходы
Ресурсы
Государство
товары
налоги
расходы
Фирмы
Расходы
расходы
ресурсы
Рынок ресурсов
Рынок товаров
Рисунок 1. Кругооборот благ и доходов (с учетом роли правительства)
Взаимосвязь всех потоков в экономике отражается в модели круговых
потоков (рисунок 1).
Как известно, рыночная экономика выполняет две основные функции –
производство (фирмы) и потребление (домохозяйства).
Общее равновесие – такое состояние системы, когда цены
обеспечивают равенство доходов от сектора фирм к сектору домашних
хозяйств потоку расходов, направленных от домохозяйств к предприятиям.
Общее экономическое равновесие – это состояние экономики, при
котором все рынки одновременно находятся в равновесии, а каждый субъект
максимизирует свою целевую функцию.
В условиях частичного равновесия лишь отдельный экономический
субъект максимизирует свои цели, полезность, т.е. оптимизирует свое
положение, например, потребитель в модели оптимума потребителя.
Основным аппаратом анализа являются производственные функции.
Y
I
Py
А
В1
y
В
В2

x
x1
x2

U
I
Px
X
Рисунок 2. Кривая безразличия
MRS x , y  
Y
U  const ;
X
MRS x , y - убывает при движении вниз по кривой
безразличия; математический смысл MRS: она измеряет наклон кривой
безразличия.
Бюджетная линия I  Px x  Py y ; I, Px, Py – известные величины.
Y 
Px
I
x
Py
Py
tg  tg (   )  tg

I / Py
P
Y
 tg  MRS x , y 
 x
X
I / Px
Py
(1)
Произведения предельных полезностей X и Y на изменения количеств
этих товаров равны, т.к. движение по кривой безразличия из точки А в точку
В приносит одинаковое удовлетворение.
MU x xX  MU y xy
Приведем равенство (1) к виду: MUxx  MUyy ;
MUx y Px


MUy x Py
MUx x

MUy y
(3). Это наклон или абсолютное значение наклона кривой
безразличия, т.е. предельная норма замещения товара Y на товар X. Набор
Y1 и X1 - высшее удовлетворение, которое может достичь потребитель при
данном бюджетном ограничении, т.к. детерминированы цены и доход.
MUx Px y
MUx MUy


 MRSxy (4) - это наклон бюджетной
или

MUy Py x
Px
Py
линии.
Равновесие производителя.
Анализ равновесия производителя тоже основан на рассмотрении
кривой безразличия - изокванты (греч. - равное количество). Изокванты
имеют одинаковые свойства с кривыми безразличия - вогнуты к началу
координат, не пересекаются, транзитивны. Их отличие - несут на себе
количество выпуска IQ (160 units). Количество выпуска 160 ед. в точке А
является результатом Kа и La, но такое же количество Q может быть
получено при другой комбинации ресурсов. Чем выше изокванта, тем выше
уровень выпуска. Карта (набор) изоквант показывает, что технологически
может быть выпущено. Карта изокост (линия та же, что и бюджетное
ограничение) показывает, что фирма может себе позволить. На изокосту
оказывает влияние:
- соотношение цен ресурсов - труда и капитала,
- уровень затрат - бюджет фирмы.
На рисунке 3 показано, что при уровне затрат 3000$ изокванта
проходит через 200 ед. выпуска. Т.к. данная фирма - ценообразующая, то
точка Е - высшая при данной изокванте и изокосте. Наклон изокосты - это
соотношение цен на факторы производства, а наклон изокванты (200ед. )
предельная норма технологического замещения L
и К.
MRTS LK  
K
,
L
всегда отрицательна, т.к. показывает на сколько сокращается количество
труда при увеличении капитала на 1 ед.
Еcли количество капитала растет на 1 ед., а все остальные параметры
фиксированы, то предельный продукт капитала будет добавлением к общему
продукту, или дополнительным увеличением его. Абсолютное значение
MRTS сокращается при движении по кривой слева направо.
Капитал
Ka
K
Kb
A
B
L
IQ3
C
Kc
IQ2 (200 ед.)
IQ1
L1 L2
L3
Труд
Рисунок 3. Равновесие производителя.
W
C
L ;
r
r
K W MPL
MRTS 


; (5)
L
r
MPR
C  WL  rK ;
K 

K
W
 ;
L
r
KMPK  LMPL ;
K MPL

;
L MPK
Минимизация издержек производителя выступает предусловием для
максимизации прибыли.
Представим (5) в виде
MPK MPL

.
r
W
Это все анализ частичного равновесия (оптимизационная модель) потребителя и производителя (экономика Робинзона Крузо). Общее
равновесие - это равновесие, возникающее в процессе взаимодействия всех
рынков, когда изменение спроса и предложения на одном рынке влияет на
равновесные цены и объемы продаж на всех рынках, поскольку в реальной
действительности все рынки взаимосвязаны. Количественной мерой
воздействия, например, дохода потребителя, определяемого ценами факторов
производства, на цены благ является коэффициент эластичности спроса по
доходу. К взаимозависимости всех цен приводит и тот факт, что любое благо,
кроме благ первой необходимости, является либо взаимодополняющим,
либо взаимозаменяющим, что количественно выражается коэффициентом
перекрестной эластичности.
Эффект обратной связи
Модель общего равновесия рассматривается для случая совершенной
конкуренции, т.е. экзогенных цен на рынках двух факторов производства (2
производителя) и двух товаров (2 потребителя).
Рост цен на автомобили его воздействие и на рынки других товаров.
Цена
автомобиля,$
S1
S
D1
10 000
8 000
7 000
D
12
15
Автомобили, млн.
20
a)
Цена
бензина, $
Цена
мотоцикла,$
Цена
ремонта,$
S
S
0,5
S
1100
D
0,4
D1
1000
D1
0
10
б)
12
600
400
D1
D
Литр, млн.
50
в)
60
Мотоцикл, млн.
D
100
120 Ремонт,
млн.
г)
Рисунок 4.Эффект обратной связи в экономике
Допустим, поднялась цена на автомобили, ведя к падению объема
продаж и кривая предложения поднимется вверх. Это приведет к падению
спроса на такой комплиментарный товар, как бензин за счет сдвига вниз
кривой спроса. Но в то же время повысится спрос на товар-заменитель
автомобиля - на мотоциклы
в связи со сдвигом вверх кривой спроса вырастет и объем продаж , и цена. Рост цен на новые автомобили привет
также к увеличению сроков использования старых, а, значит, к росту спроса
на ремонт. Все это ведет к возникновению эффекта обратной связи (feedback
effect) - падению спроса (сдвигу вниз кривой) на автомобили, что заставит
производителей снизить цену, вызывая новые равновесные цены на других
рынках.
Эффект обратной связи (feedback effect) - это изменение частичного
равновесия на данном рынке
в результате изменений, возникающих на
сопряженных рынках под воздействием первоначальных изменений на
данном рынке.
Существование общего равновесия ведет к тому, что при уменьшении
предложения и росте цены на некотором рынке
падает спрос на
комплиментарные товары и растет на товары-субституты.
2. Модель общего равновесия Вальраса. Закон Вальраса
Первым экономистом, построившим математическую модель с
помощью системы
уравнений для
доказательства
возможности
существования общего равновесия, был швейцарский экономист Леон
Вальрас (1834-1910). Он предположил, что народное хозяйство состоит из l
потребителей, использующих n взаимосвязанных благ, производство
которых ведется с применением m различных факторов производства. При
условиях:
- данности функций полезности каждого потребителя и его бюджета,
- равенства бюджета потребителя ценности его факторов производства,
- фиксированности объема его факторов производства (абсолютной
неэластичности их предложения), можно построить функцию спроса i-го
потребителя на j-е благо:
(6),
QiD
, j  f i, j (P
1 , P2 ,...Pn , M i )
m
где M i   rt Fi ,St , i  1,2,..., l
t 1
Mi – бюджет i-го потребителя,
Pj , r t - соответственно цены благ и факторов, j = 1,2,..n, t=1,2,...m,
FS i, t - заданный объем t-го фактора, принадлежащего i-му потребителю.
В целях упрощения предположим, что каждая фирма производит
только один вид благ. При заданной технологии и известных ценах на блага
и факторы производства фирма, максимизирующая прибыль, формирует
функцию предложения блага и функцию спроса на факторы. Сумма
предложений всех фирм, производящих одно и то же благо, образует
отраслевое предложение :
Q Sj  g (r1 , r2 ,...rm , Pj ) (7),
Суммарный спрос этих фирм на факторы составляет отраслевой спрос
на каждый из факторов:
F jD,t  Z j ,t (r1 , r2 ,...rm , Pj ) (8)
На основе функций (6)-(8) строится микроэкономическая модель
общего равновесия, состоящая из трех групп уравнений:
1.условия равновесия на рынке благ:
l
Q
i 1
D
i, j
 Q Sj , j  1,2,...n (9)
2.условия равновесия на рынках факторов производства:
n
l
j 1
i 1
 FjD,t   Fi ,St , t  1,2,...m (10)
3.бюджетные ограничения фирм на рынке совершенной конкуренции в
виде равенства общей выручки общим затратам:
Pj Q Sj 
m
r F
t 1
t
D
j ,t
, j  1,2,..., n
(11)
Система уравнений (9)-(11) содержит 2n+m неизвестных и столько же
уравнений. Но независимыми являются только 2n+m-1 уравнение. Это
связано с бюджетным ограничением потребителей, из-за которого
суммарный избыточный спрос любого потребителя равен нулю.
Допустим, что существуют только 2 рынка благ и 1 рынок факторов.
Бюджетное ограничение (уравнение) l -го потребителя имеет вид:
P1Q1D,l  P2Q2D,l  rFl D  P1Q1S,l  P2Q2S,l  rFl S (12)
Это равенство говорит о том, что расходы l -го потребителя (левая
часть) должны равняться его доходам от продажи имеющихся у него благ и
факторов производства (правая часть).
Или: P1 (Q1D,l  Q1S,l )  P2 (Q2D,l  Q2S,l )  r ( Fl D  Fl S )  0 (13)
В круглых скобках - избыточный спрос l -го потребителя на каждом из
рынков, т.е. равенство суммарного избыточного спроса нулю у любого
потребителя есть лишь иная форма представления его бюджетного
ограничения. Просуммируем бюджетные уравнения всех участников
рыночных сделок:
P1 (Q1D  Q1S )  P2 (Q2D  Q2S )  r ( F D  F S )  0 (14)
Из равенства (13) следует, что если система цен P1 , P 2 , r обеспечивает
равновесие на любых двух рынках, то равновесие будет и на третьем. Этот
вывод, верный для любого числа рынков, носит название закона Вальраса.
В соответствии с законом Вальраса система уравнений (9)-(11)
содержит
2n+m-1
независимых уравнений. Во времена Вальраса
отсутствовал математический аппарат для ее решения. Вальрас пошел по
пути группировки уравнений, а движение к равновесию рассматривал как
постепенный процесс - «поиск ощупью» верных пропорций обмена,
особенно на стадии предварительного контракта.
Чтобы система имела решение надо добавить еще одно
независимое уравнение, либо уменьшить на 1 число неизвестных. Первый
вариант - макроэкономический - вводится дополнительное уравнение
равновесия спроса и предложения на денежном рынке. Второй микроэкономический цена избранного блага принимается за 1, и система
относительных цен
достаточна для объяснения микроэкономических
явлений.
Общее равновесие в условиях чистого обмена при ограниченности
ресурсов и товаров обеспечивает решение экономической проблемы размещение ограниченного количества товаров среди потребителей. Одним
из лучших способов такого размещения является ящик (коробка) Френсиса
Эджуорта (англ. экономист, 1845-1926), в 1891г. написал «Математическую
психологию».
3. Анализ эффективности обмена с использованием ящика Эджуорта.
Кривая контрактов
В
Y
b1
b2
b3
g
d2
a3
d1
X
А
Xa
a2
a1
X
Коробка Эджуорта – это совмещение карт безразличия для двух субъектов.
Любая точка в ящике Эджуорта отражает вариант размещение двух товаров
между двумя потребителями.
В данном примере товары распределены неравномерно. Так как у
А меньше X, то он оценивает его выше по значимости в плане полезности.
Если они будут торговать друг с другом, то A может получить больше X и
отдать Y, чтобы положение обоих улучшилось. В ящике Эджуорта кривые
безразличия a1,a 2,a 3 - для A; b1, b2 , b 3 - для B. Для A более высокий уровень
полезности - движение на северо-восток, для B - наоборот. Касательная
означает, что предельные нормы замещения различны для двух
потребителей. Различия в нормах замещения вызывают различия в
потреблении. У B больше X и намного меньше Y, у A - наоборот. Если B
предпочтет получить больше Y, то он может торговать X и получить Y. B наоборот. Комбинации в точках g и d2 одинаково полезны для Каина,
комбинации g и d2 - одинаково полезны для В. Самое большое количество,
которое может отдать А (В) - сдвиг от g до d1 (d2 ). Следовательно, торговля
может произойти в d1 и d2; d1 - самое большое количество, которое может
обменять В, d2 - А. Посредством обмена они найдут другую точку равновесия
между d1 и d2 - d3. (рисунок 6).
У
B
g
d1
d3
d2
A
X
Рисунок 6. Линия контрактов
d3 - находится на более высокой кривой безразличия направо. Поэтому
A имеет лучшее положение - он получает выгоду от торговли. B хочет
достичь точки d2 , а сейчас переходит в d3, которая тоже располагается на
более высокой кривой безразличия. Таким образом, оба потребителя
перешли на более высокий уровень удовлетворения, что явилось эффектом
обмена, торговли.
Если d3, - ближе к d1 , то A - лучший торговец, если к d2 - Авель.
Возьмем точки, где кривые безразличия касаются, и соединим их линией.
Получим кривую контрактов или договорную кривую AB. Т.к. здесь
касательная одна для обеих кривых безразличия, то MRSXY для двух
потребителей равны.
А линия потребительских контрактов соединяет все точки
эффективного потребления. Она определяется обоюдными касательными
двух кривых безразличия. На линии контрактов предельная норма замещения
товара X товаром Y у А равна предельной норме замещения Y товаром X у
A
B
В. MRS XY  MRS XY
Кривая контрактов – это множество эффективных вариантов
распределения (через обмен) двух благ между двумя потребителями. Кривая
контрактов представляет собой множество точек, соответствующих
распределениям благ, после которых взаимовыгодный обмен теряет смысл.
Множество таких распределений называется Парето-эффективным (Паретооптимальным).
Определение: Распределение (обмен) является эффективным по
Парето, если товар нельзя перераспределить так, чтобы улучшить чье-то
положение, не ухудшая положение других.
Условие
эффективности
A
B
MRS yx
 MRS yx

потребителя:
MRS xyA  MRS xyB 
Px
;
Py
Py
Px
4. Условие эффективности производства. Кривая производственных
контрактов
Предположим, что в какой-то стране имеется в распоряжении для
производства совокупный объем трудовых ресурсов данного качества – 60
тыс. чел./час. в день. Вторым (и последним) фактором является капитал
объемом 40 тыс. маш./час.
Определение: совокупный объем услуг факторов производства,
доступный в день, есть ресурсное ограничение экономики.
Предположим, что производятся только два товара - продовольствие и
одежда. Рынки этих товаров - совершенно конкурентны, т.е. на них не может
иметь места недоиспользование факторов производства. Поэтому чем больше
ресурсов используется в день для производства продуктов питания, тем
меньше их доступно для производства одежды.
Диаграмма Эджуорта может быть использована для анализа
эффективности производства.
Определение: Парето-эффективность производства достигается при
таком размещении ресурсов, когда единственным способом роста
производства одного товара является снижение производства другого товара.
Такое размещение ресурсов называется Парето-оптимальным.
Это не ситуация выигрыша, а игра с нулевым результатом.
Труд в производстве одежды
50L
Капитал в производстве У
40K
40L
30L
G
20L
10L
E
10K
160Y
30 X
30K
20K
70 X
20K
C
90 X
F
120Y
10K
N
0Y
0x
10L
20L
30L
40L
50L
Труд в производстве Х
Рисунок 7. Эффективность производства
30K
40K
60L
Капитал в производстве одежды
60L
Длина и ширина ящика (диаграммы) Эджуорта для производства - это
количество каждого ресурса, используемого в производстве товаров X и Y:
каждая точка в нем отражает распределение ресурсов между выпусками двух
товаров. Все точки на кривой эффективности использования ресурсов в
экономике - кривой производственных контрактов (рисунок 7) отражают
технически эффективные варианты использования ресурсов. Объемы
производства при ограниченных L и
K зависят от технологии.
Производственные
взаимосвязи
(технологии)
описываются
производственными функциями для товаров X и Y, которые показывают,
какой максимальный их объем может быть получен при любой данной
комбинации труда и капитала.
Определим максимально возможный выпуск товаров X и Y в условиях
совершенной конкуренции. Все точки на линии производственных
контрактов определяются взаимными касаниями между двумя наборами
изоквант. Наклон изокванты, взятый с отрицательным знаком, - это
предельная норма технологического замещения капитала трудом.
Pl
w MPl
Для производства товаров X и Y: MRTS lXY
 
,k 
Pk
r
MPk
Наклон отрезка GN круче, чем EF. Это отражает рост цены труда по
отношению к цене капитала. Это побудит производителей сокращать
производство Y и увеличивать производство X. В точках касания изоквант
MPRS равны для обоих товаров. Отсюда
MPl
 –const . Поэтому каждая точка
MPk
касания изоквант, т.е. кривая производственных контрактов показывает
эффективное размещение ресурсов - такое, при котором нельзя увеличить
выпуск, используя другую комбинацию ресурсов.
Кривая производственных возможностей
Теория общего равновесия на основе использования кривой
производственных контрактов позволяет построить КПВ (РРС), которая
показывает все максимально возможные комбинации выпуска одного товара
при условии, если дано количество выпуска другого в условиях
ограниченности ресурсов и постоянстве технологии. Каждая точка касания
изоквант двух товаров в диаграмме Эджуорта соответствует точке на кривой
производственных возможностей (рисунок 8).
Y

В
G
O
A
X
Рисунок 8.Кривая производственных возможностей
Предельная норма трансформации (marginal rate of transformation) X в
Y равная тангенсу угла наклона касательной к данной точке на РРС, т.е.
наклон РРС по абсолютной величине является предельной нормой
трансформации. Для точки В MRTX XY  tg . РРС выпукла, она становится
более крутой, по мере того как больший объем X и меньшее количество Y
производится за день, что означает рост альтернативных издержек: все
труднее переместить ресурсы из производства X в производство Y. Каждая
точка РРС эффективна, внутри нее - неэффективное использование ресурсов.
OGBA - ящик Эжуорта: 2 потребителя (О и В), два товара (X и Y), ОB линия контрактов. Предельная норма замещения должна быть равна
предельной норме трансформации.
y
(15)
MRT XY  
x
Предельная норма трансформации товара (Y) в
товар (X)
характеризует то количество Y, от которого следует отказаться для
производства дополнительной единицы X. Т.к. предельные издержки
производства X выражаются в отказе от дополнительной единицы Y, то
MC x  Y , а предельные издержки производства Y - в отказе от
дополнительной единицы X, то MC x  X . При подстановке в (15):
MRT XY  
MC X
P
Y

 X
X
MCY
PY
5. Условия достижения Парето – эффективности одновременно в обмене
и производстве
Когда и ресурсы, и продукция распределяются таким образом, что
невозможно улучшить положение одного лица без ущерба для другого,
достигается оптимальное по Парето распределение ресурсов. Для
достижения эффективности одновременно в производстве и обмене
необходимо отсутствие возможности
получения дополнительных
выигрышей путем перераспределения ресурсов
или обмена продуктами
между потребителями. Определим условия этого. Предположим, что
предельные нормы замещения X на Y равны для двух лиц 1, т.е. обмен X и Y
эффективен. Но предельная норма трансформации Y в X равна 5 на РРС,
когда производится 400 единиц X и 1100 единиц Y. Можно забрать у А 1 ед.
Y и, перераспределяя ресурсы в пользу производства X, увеличить его
выпуск на 5 ед. Поскольку MRS XY  1 для обоих потребителей, то
поддержание их благосостояния на прежнем уровне обойдется в 1ед. X, т.е.
после компенсации одному из потребителей потери 1 ед. Y, останется еще 4
ед. X.
Они могут быть отданы обоим или одному, и в любом случае один
из них выигрывает без ущерба для другого или выигрывают оба. До тех пор,
пока предельная норма трансформации X в Y больше или меньше
предельной нормы замещения товара X товаром Y, оптимальное по Парето
распределение ресурсов не достигается, даже если наличный объем
продовольствия распределен эффективно. Чтобы достичь эффективности,
необходимо исчерпать все возможности получения дополнительного
выигрыша
- либо за счет обмена, либо перераспределения факторов
производства.
Условие эффективности, необходимое для достижения
оптимальности по Парето в производстве и обмене одновременно:
MRS XY ( A)  MRS XY ( B)  MRT XY
Кривая потребительских возможностей показывает, как полезность,
получаемая потребителями, варьируется при всех возможных эффективных
вариантах распределения ресурсов и продукции. Каждая точка на ней
показывает, какая максимальная полезность может быть получена одним
человеком при данном уровне полезности другого и данном ресурсном
ограничении и технологии. Каждая точка на кривой потребительских
возможностей предполагает определенный уровень производства товаров, а
значит, определенный вариант распределения ресурсов.
MRS ij1  MRS ij2  ... 
Pi
MCi

Pj
MC j
В экономике совершенной конкуренции формируются такие пропорции
производства и потребления благ, при которых выполняется условие:
P
MCi
 MRTS ij ; MRS ij  MRTS ij  i
Pj
MC j
То есть экономика совершенной конкуренции - Парето-эффективна.
полезность В
K
F
A
N
C
E
полезность А
Рисунок 9.Кривая потребительских возможностей
Вдоль кривой потребительских возможностей невозможно улучшить
положение одного человека без ухудшения положения другого. Она имеет
отрицательный наклон, т.к. на кривой увеличение полезности одного может
произойти за счет уменьшения полезности другого. Точки ниже кривой
неэффективны, точка N недостижима.
Рекомендуемая литература.
1. 50 лекций по микроэкономике. Т.2. СПб.: Экономическая школа, 2000.
Лекция 41-42.
2. Белокрылова О.С. Методические указания «Микроэкономические основы
макроэкономики». Тема 1 «Общее равновесие»
3. Гребенников П.И. Леусский А.И., Тарасевич Л.С. Микроэкономика. Изд.
СПБУЭиФ, 1996. Гл.6.
4. Нуреев Р.М. Основы экономической теории. Микроэкономика.
М.,1997.Гл.11.1, 11.2, 11.3.
5. Хайман. Д.Н. Современная микроэкономика: анализ и применение. Т.2. М.,
1992. Гл.16.1, 16.2, 16.3
6. Электронный учебник: Экономика: вводный курс. Введение. Общее
экономическое равновесие и благосостояние // http:// edinp.wordbank.org.ru
7. Экономическая теория. Экзаменационные вопросы. Ростов н/Д: Феникс,
2002. Гл.2.10
Контрольные вопросы:
1.
Что такое эффект обратной связи? Какова его роль в рыночной
экономике?
2.
Каковы достоинства и недостатки модели рыночного социализма?
3.
Каким образом участники обмена двух товаров в модели Эджуорта
достигают Парето – эффективного распределения?
4.
Охарактеризуйте основные модели, на обобщении которых построена
экономика Робинзона Крузо (модель максимизации прибыли в
краткосрочном периоде, модель спроса на труд, модель предложения труда).
5.
Перечислите основные препятствия для достижения Парето эффективного размещения ресурсов и распределения благ, существующие в
реальной экономике.
Задачи
1. Иван Иванович и Петр Петрович делят между собой 29 кг яблок и 30 кг
груш. Функция полезности Ивана Ивановича U ( x, y)  XY ; функция
полезности Петра Петровича U ( x, y)  XY 2 , где X - количество яблок, кг; Y количество груш, кг. Постройте (хотя бы приблизительно) кривую
контрактов и кривую возможных полезностей.
2. Рассмотрим экономику Робинзона Крузо, располагающего трудом в
объеме 450 часов в месяц. Робинзон Крузо производит два товара –
картофель и рыбу.
Объем производства картофеля зависит от объема использования труда как
X  ( L x )1 / 2 , объем производства рыбы от объема использования труда как
Y  ( L y )1 / 2 , где X - количество картофеля, кг; Y - количество рыбы, кг; L x труд, затраченный на выращивание картофеля; L y - труд, затраченный на
ловлю рыбы. Функция полезности Робинзона Крузо U ( X , Y )  XY .
а) Найдите оптимальное распределение времени между производством рыбы
и картофеля, если Робинзон Крузо лишен контактов с мировой экономикой.
б) Ответьте на вопрос а при условии, что Робинзон Крузо может продавать и
покупать на мировом рынке неограниченное количество картофеля и рыбы
по цене: картофель – 0,5 долл. за килограмм. Получает ли Робинзон Крузо
выигрыш от участия в международной торговле?
Решение задач
Воспользуемся условием оптимальности набора по Парето.
Предельная норма замены яблок грушами для Ивана Ивановича
должна быть равна предельной норме замены яблок грушами для Петра
Петровича. Пусть X 1 и Y - количество яблок и груш, кг, принадлежащих
Ивану Ивановичу; X 2 и Y2 - количество яблок и груш, кг, принадлежащих
Петру Петровичу.
Тогда условие равенства предельных норм замещения для двух
потребителей друг другу: Y1 / X 1  Y2 / 2 X 2 .
Зная, что X 1  X 2  20 ;
Y1  Y2  30 ,
1
получаем, что
Y1
(30  Y2 )
.

X 1 2(20  X 2 )
Задавая значение X 1 от 0 до 20, получаем значение остальных переменных,
характеризующих точки на кривой контрактов.
Например, приравняем X 1 последовательно к 5, 10 и 15.
Получим координаты трех точек на кривой контрактов Ивана
Ивановича и Петра Петровича.
Точка А:
Точка В:
X 2  10 ;
Точка С:
X1  5 ;
X 2  15 ;
Y1  30 / 7 ;
Y2  180 / 7 .
X 1  10 ;
Y2  20 ;
Y1  10 ;
X 1  15 ;
X2  5;
Y1  18 ;
Y2  12 ;
Соединим точки А, В и С, получаем приблизительный вид кривой
контрактов.
Опп
Y
С
В
А
Х
Оии
5
10
15
Зная три варианта оптимального распределения яблок ( X ) и груш (Y ) ,
найдем уровень полезности, который достигают Иван Иванович и Петр
Петрович:
Комбинация А: полезность И.И. приблизительно равна 21, 42;
полезность П.П. приблизительно равна 9918.
Комбинация В: полезность И.И. равна 100;
полезность П.П. равна 4000.
Комбинация С: полезность И.И. равна 270;
полезность П.П. равна 720.
По имеющимся данным можно построить примерный график границы
Потребительских возможностей:
Полезность П.П.
18000
9918
А
В
4000
С
720
0
21,42
100
600 Полезность И.И.
270
1.
а) Роль ограничения для максимизации полезности Робинзона Крузо
выполняет кривая производственных возможностей. Общее число часов
труда составляет 450. Зависимость часов труда, потраченных на
выращивание картофеля, от объема выпуска картофеля L x  X 2 ; зависимость
часов, потраченных на ловлю рыбы, от объема использования труда L y  Y 2 ;
X 2  Y 2  450 - ограничение по объему использования труда.
Предельная норма трансформации товара Y в товар X будет равна:
dY / DX  X /( 450  X 2 )1 / 2 . Предельная норма замены товара X товаром Y (из
функции полезности Робинзона Крузо) равна Y / X . Решив систему
уравнений:
X /( 450  X 2 )1 / 2  Y / X ,
X 2  Y 2  450 ,
получим решение: X *  15 (количество выращенного картофеля)
Y *  15
(количество пойманной рыбы).
Рабочее время будет распределено Робинзоном Крузо следующим
образом: 225 часов – на выращивание картофеля; 225 часов – на ловлю рыбы.
Графически решение будет выглядеть так:
Y
E*
15
U = 225
X2 + Y2 = 450
X
0
15
б) После включения Робинзона Крузо в мировую торговлю ограничения его
выбора меняются. Оптимальный объем производства определяется из
равенства предельной нормы трансформации товара Y в товар X
отношению цены товара X к цене товара Y - dY / dX  X /( 450  X 2 )1 / 2  1 / 3 .
Отсюда оптимальный выпуск товара X - приблизительно 6, 7; Y приблизительно 20, 12.
В этом случае денежный эквивалент выпуска Робинзона Крузо
составляет Рх Х  Р у Y , что равно приблизительно 33, 53 долл.
Объем потребления Робинзона Крузо определим, ответим на
вопрос: сколько картофеля и рыбы покупал бы Робинзон Крузо, располагая
33, 53 долл.?
Определяем X *  33,53 долл.; Y *  11,18 - оптимальный объем
потребления картофеля и рыбы.
Видно, что картофель Робинзон Крузо будет импортировать в
объеме 33,53 – 6,7 =26,83 кг, а рыбу экспортировать в объеме 20,12—11,18
=8,94 кг.
После включение в мировое хозяйство полезность, которую
достигает Робинзон Крузо, увеличилась с 225 до 374,87.
Графически решение будет выглядеть так:
Y
20,12
Экспорт
Е1
Е2
U = 374,87
11,18
0
6,7
33,53
импорт
X