§6 Идеальный вырожденный ферми-газ

§6 Идеальный вырожденный ферми-газ
Общие формулы предыдущего параграфа дают рецепт параметрического построения
зависимости химического потенциала от температуры. Параметр, как уже обсуждалось в
предыдущем параграфе, x   T может изменяться в пределах интервале  ,   и
приводит к зависимости на рис. 5.1.
23
 2  2 
N  2  2 2
23


  x   x T  x , T  x    N V  
или V  x  

 .(6.1)
 2  1  x  
m
2  1  x   m  T 
2


2
Для вырожденного газа обычно предполагается, что   0 T , поэтому по малому
параметру T   1 x 1 можно вычислять температурные поправки1 к формулам для
термодинамических функций, вычисленных при Т=0. В частности, уравнение для
химического потенциала
2  2 T 2 

.
(6.2)
N  A  V  T 3 2  J1 2    A  V 3 2 1 
3
8 2 
T
Из него легко получить:
3
2
1
1

32
 AVT
32
0
V 2   2 T 2 
 
 J     A    1 
 

2
2 
N 3 
8  
T 
2
2 3
  T 
1  8  2 
.



12
 2 T 2 
 N 3
   0  1 
,
0  

2 
 VA 2
 12 0 
Для омега потенциала, аналогично, имеем:
23
  32 
N
 
2m  V 
2
(6.3)
23
2
2

   P  V   E   A  V  T 5 2  J 3 2   
3
3
T
2
2
2 3 5 T 2 
4
2
52 2
52
32 T
  A  V 
1
  A  V   A  V 
3
5 
6 2 2  2 
15
6

.
(6.4)
N 4
Для давления, соответственно, запишем:
2
2
2
2 3 5 T 2  4
2
52
 
52 2
52
32 T
P  A  T  J 3 2    A 
1
 A   A 
3
5 
6 2 2 2  15
6

T 3
(6.5)
N 4V
1
Имеет место
 
формула J     
T T
1


1  2
T2
T4 
1




1

1.894



1





1



2
, которая








  1 
6
2
4 
следует из более общего соотношения
n
     e   T  d 1
 n    
   
d     n
T  J n
0 e T  1  0  0  T 2 T  n n! 0     2 T  
n!
n 0
e
1
2T
2T
e  e



J0  1



n
J
J2
x
2

     2     T 2 
    T 4 , здесь J n  

J

2
2
2  3 4
4  ch 2  x 2  
3

 J  45.4576
 4

     d
 0  0

n


Из омега потенциала сразу можно получить, что:
2 T
  
2 1
32 T
S  


A

V

N


3

2 0
 T 
cp
c
2 T
.
2 0
(6.6)
N 2
При Т=0 из-за (6.4)
2
2
2
3
32
0   A  V  0 0   N 0  E 0  N 0
3
5
5
5
,
(6.7)
N
Из теплоёмкости легко получить температурную поправку к внутренней энергии при
нулевой температуре. Таким образом, из-за (6.6) имеем:
53
3
2 T 2
2 N0  2 T 2   N 
E  N0  N
 P
. (6.8)
1 
  
5
4 0
5 V 
6 02   V 
На рисунках, приведённых ниже, приведены кривые для химического потенциала и
теплоёмкости, построенных по приближённым низкотемпературным формулам
(штрихованные кривые) и по точным соотношениям предыдущего параграфа (сплошные
1
2
0
3
2
õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë
1
cf ( x)
5
cf0 ( Tx)
0
2
òåìïåðàòóðà
1
4
0
Ðèñ.6.1
0
5 10
Tf ( x)
 Tx
k
4
1 10
5
кривые). На следующем рисунки по формулам (6.5) и (6.1) построены изотермы
(сплошные кривые) при T=1000 K˚(верхняя кривая) и T=100K˚(нижняя кривая), общее
число частиц N  2.2  1022 , которое при объёме V  1  cm 3 соответствует твёрдотельным
плотностям.
500
8
3
2
Pf ( x  1000k)
atm
400
Pf ( x  100k)
atm

300

3
P id Vx cm  1000k
1 10
4
0
x)
cV
 Tx
200
atm
5

3

P id Vx cm  100k
atm
100
0
0
20
40
60
80
100
Vf ( x  1000k)  Vf ( x  100k)  Vx  Vx
Для сравнения на том же рисунке приведены изотермы для идеального больцмановского
газа (штриховые кривые), которые при не слишком больших объёмах идут значительно
ниже кривых для ферми – газа. При больших объёмах ферми – газ превращается в
больцмановский, и кривые для одинаковых температур сближаются.