Решётки на множестве ZxZ, инвариантные относительно

РЕШЁТКИ НА МНОЖЕСТВЕ ZXZ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО
АФФИННЫХ ПОВОРОТОВ, ОБРАЗУЮЩИХ ЦИКЛИЧЕСКУЮ ГРУППУ
6-ГО ПОРЯДКА
В.Г. Мотанов
ФГОУ ВПО МГУП, Москва, Россия
Задачи, которые будут рассмотрены далее, возникают в прикладной теории
дискретных периодических узоров, формируемых линейными рядами. Основным
приложением этой теории является использование её результатов при разработке
автоматизированных систем проектирования дискретных периодических узоров с
помощью компьютеров на экранах графических дисплеев для автоматов, формирующих
указанные узоры линейными рядами. Такие автоматы широко распространены.
Например, на трикотажных и текстильных предприятиях такими автоматами являются
вязальные машины и ткацкие станки.
1. Параметры решёток на множестве ZxZ и их вычисление
Решётки [1] на множестве Z  Z будем называть Z-решётками.
Вектор {a,b} с целочисленными координатами назовём Z-вектором.
Любая Z-решётка порождается некоторым базисом {a,b},{c,d} из неколлинеарных
Z-векторов путём всевозможных целочисленных линейных комбинаций этих векторов.
Любая Z-решётка обладает бесконечным множеством базисов, связанных с базисом
{a,b},{c,d} целочисленным унимодулярным преобразованием, то есть любой другой
базис a, b , c, d  Z-решётки связан с базисом {a,b},{c,d} следующим образом
a, b   a, b   c, d 
c, d    a, b   c, d  , где  ,  ,  ,   Z и   
 1.
Оказывается, каждая Z-решётка обладает так называемым параметрическим базисом
вида P, 0 ,  R ,N г, д е P R 0 , N . 0 Этот базис полностью определяется тремя
числами P, R, N , где P R 0, N 0. Эти числа будем называть параметрами этой Zрешётки. Параметры P,R,N любой Z-решётки однозначно определяются этой Z-решёткой, причём любые три числа P, R, N с условием P  R  0, N  0 однозначно определяют
некоторую Z-решётку с помощью параметрического базиса. Часто именно в
параметрическом виде Z-решётки возникают в приложениях [2].
Следующая теорема позволяет по любому базису произвольной
Z-решётки
вычислить её параметры P,R,N.
Теорема. Если {a,b},{c,d} – любой базис некоторой Z-решётки, то её параметры
P,R,N вычисляются следующим образом:
1) N=D(b,d), где D(b,d) – наибольший общий делитель чисел b,d;
ad  bc
;
2) P 
N
3) R является единственным решением следующей системы сравнений
 b
 N R  a  mod P 
(1)

 d R  c  mod P  .
 N
Для вычисления N существует эффективный алгоритм Эвклида. Оказывается и для
вычисления решения R системы (1) возможен простой алгоритм, сравнимый по
эффективности с алгоритмом Эвклида вычисления наибольшего общего делителя двух
чисел. Дадим описание этого алгоритма.
Перепишем систему (1) в виде
 z1R  x1 (mod P)
b
d
(2)
, где z1  ; z2  ; x1  a; x2  c .

N
N
 z2 R  x2 (mod P)
Можем считать, что z1  0 и z2  0 , но, если это не так, то умножением
соответствующих сравнений системы (2) на -1 добьёмся этого. Кроме того, можем также
считать, что z1  z2 , так как в противном случае перестановкой сравнений в системе (2)
добьёмся этого (если z1 или z2 больше 1, то z1  z2 , т.к. D( z1; z2 )  1).
Пусть (2) есть обозначение системы (2) после указанных предварительных
операций. Представим z2 в виде z2  qz1  z2 , где 0  z2  z1. Получим
 z1R  x1 (mod P)


(qz1  z2 ) R  x2 (mod P)
Умножив первое из этих сравнений на -q и сложив его со вторым, получим
 z1R  x1 (mod P)
(3)
, где x2*  x2  qx1 (mod P)
 

 z2 R  x2 (mod P)
Но в системе (3) z2*  z1  z2 , т.е. z1  max{z1 , z2*}  max{z1 , z2 }  z2 и D( z1 , z2* )  1.
Переставляя в (3) сравнения местами и считая, что после этого (3) снова записано в
виде (2), мы придём к аналогичной равносильной системе сравнений, в которой
max{z1 , z2} меньше, чем в предыдущей системе (2). Точнее z2 в новой системе (2) равно
z1 в старой системе (2).
Действуя подобным образом с новой системой (2) и с последующими, аналогичным
образом получаемыми системами, мы, ввиду того что max{z1 , z2} от предыдущей системы
(2) к последующей системе (2) убывает, в конце концов придём к системе (3), в которой
z2*=0, то есть (3) имеет вид
 z1R  x1 (mod P)

*
0 R  x2 (mod P)
В этой системе x2*  0 (mod P) , а z1=1, так как D(0,z1)=1.
 x 
Поэтому R   x1   1  P, 0  R  P , где [w] – обозначение целой части числа w.
 P 
Циклическую группу 6-го порядка, состоящую из аффинных поворотов,
переводящих множество Z  Z в себя, обозначим через Р6. Z-решётки, инвариантные
относительно группы Р6, назовём АР6-решётками. Таким образом, АР6-решётка – это Zрешётка, инвариантная относительно следующего оператора
 x   pq  pt  rt  x   p 2  pr  r 2  y

,

2
2
y

q

qt

t
x

pq

qr

rt
y


 

где p,q,r,t – некоторые целые числа с условием
pt  qr  1, a  x, y  ,  x, y   переменные со значениями в множестве Z  Z .
2. Необходимые и достаточные условия, характеризующие АР6-решётки с
параметрами P,R,N
Теорема 1
Z-решётка с параметрами P,R,N (P>0, |R|<P, N>0) тогда и только тогда является
АР6-решёткой, когда найдутся такие числа p,q,r,t, которые совместно с P,R,N
удовлетворяют следующим условиям:
1 pt  qr  1;
2  R  q 2  qt  t 2  , P  q 2  qt  t 2  делятся на N ;
3
q
2
 qt  t 2  R 2
 (2 pq  pt  qr  2rt ) R   p 2  pr  r 2  N  0  mod P  .
N
Эта теорема позволяет организовать систематическое формирование всех АР6решёток с фиксированными p,q,r,t, используя R в качестве независимого параметра,
причём, если pq+qr+tr>0, то R должно пробегать значения 1,2,3,…. В этом случае для
каждого натурального R найдётся, по крайней мере, одна АР6-решётка, например с
параметрами R; N – любой делитель R  q 2  qt  t 2  ; P=Q,
где
q
Q
2
 qt  t 2  R 2
 (2 pq  pt  qr  2rt ) R   p 2  pr  r 2  N .
(1)
N
Остальные АР6-решётки при этом значении R описываются следующим образом: N
- любой такой положительный делитель числа R(q2+qt+t2), а Р – любой такой
положительный делитель числа Q, что P>R и N делит P(q2+qt+t2). Очевидно, таких АР6решёток конечное число.
Далее, если pq+qr+tr<0, то в этом случае для систематического формирования всех
AP6-решёток удобно вместо параметра R с условием P>R>0 рассмотреть этот параметр с
условием R<0 и P>|R|. Для фиксированной Z-решётки эти две формы параметра R связаны
следующим образом: R+=P-|R-|=P+R-, то есть R-=R+-P, где R+- параметр R с условием
P>R>0, а R- - параметр R с условием R<0 и P>|R|. Таким образом, в этом случае
удобно несколько изменить определение параметрического базиса Z-решётки, то есть
считать параметрическим базисом не базис вида {P,0},{-R+,N}, а базис вида {P,0},{-R,N}, а параметрами Z-решёток вместо P,R+,N будут P,R-,N. Легко увидеть, что каждый из
этих базисов выражается через другой, то есть эти базисы порождают одну и ту же Zрешётку. С учётом этого в случае pq+qr+tr<0 все АР6-решётки будут сформированы,
если R будет пробегать значения -1,-2,-3,…. В этом случае для каждого целого
отрицательного R найдётся, по крайней мере, одна АР6-решётка, например с
параметрами: R; N – любой натуральный делитель числа R  q 2  qt  t 2  ; P=Q, где Q
имеет вид (1). Остальные АР6-решётки при этом значении R описываются следующим
образом: N - любой такой положительный делитель числа R(q2+qt+t2), а Р – любой такой
положительный делитель числа Q, что P>|R| и N делит P(q2+qt+t2). Очевидно таких
АР6-решёток конечное число.
Так как P>|R|, то в этом случае в качестве R может быть взято также положительное
число R+=P-|R|.
Осталось рассмотреть случай R=0. В этом случае теорема 1 может быть
представлена в следующей форме.
Теорема 1. Z-решётка с параметрами R=0, P, N (P>0, N>0) тогда и только тогда
является AP6-решёткой, когда найдутся такие числа p,q,r,t,x,y, которые совместно с P,N
удовлетворяют следующим условиям:
1) pt-qr = 1;
2) P(q2+qt+t2) = yN;
3) xP = (p2+pr+t2)N.
Эта теорема позволяет организовать вычисление всех АР6-решёток при R=0 и
заданных p,q,r,t с условием 1). Оставшиеся неизвестные x,y,N,P могут быть получены
следующим образом.
Пусть xy любое разложение числа (p2+pr+t2) (q2+qt+t2) на два натуральных
множителя x,y (таких разложений очевидно конечное число). Для этих x,y все возможные
значения N и P будут зависеть от одного натурального параметра  (то есть пар N,P
будет в этом случае бесконечно много) и иметь следующий вид:
(q 2  qt  t 2 )
x
N ( ) 
или N ( ) 
,   1, 2,3,...
2
2
2
D( y, q  qt  t )
D( x, p  pr  r 2 )
P( ) 
y
( p 2  pr  r 2 )
или
P
(

)

,   1, 2,3,....
D( y, q 2  qt  t 2 )
D( x, p 2  pr  r 2 )
3. Естественный базис для АР6-решёток и его вычисление
Базис {a,b},{c,d} AP6-решётки будем называть естественным, если {a,b} переходит
в {c,d} в результате аффинного поворота 6-го порядка, то есть найдутся такие целые
числа p,q,r,t с условием
pt  qr  1, что
2
2

c  ( pq  pt  rt )a  ( p  pr  r )b

2
2

d  (q  qt  t )a  ( pq  qr  rt )b.
В приложениях, например при автоматизированном проектировании периодических
узоров, использование естественного базиса идеально согласует процесс проектирования
с автоматическим размножением по симметрии. По этой причине важно для
произвольной АР6-решетки в параметрическом виде, то есть заданной параметрами P,R,N
и числами p,q,r,t (а именно в таком параметрическом виде АР6-решетки появляются в
приложениях [2]) уметь по этим данным вычислять естественный базис. Займёмся
решением этой задачи.
Рассмотрим произвольную АР6-решётку, заданную параметрами P,R,N.
Пусть {a,b},{(pq+pt+rt)a-(p2+pr+r2)b; (q2+qt+t2)a-(pq+qr+rt)b} естественный базис
этой АР6-решётки. Таким образом, p,q,r,t; P,R,N заданы, а a,b – неизвестные. Так как
N=D(b; (q2+qt+t2)a-(pq+qr+rt)b)= D(b; (q2+qt+t2)a), то b можно представить в виде b=NB,
а естественный базис с учётом этого будет иметь вид:
{a;NB},{(pq+pt+rt)a-(p2+pr+r2)NB; (q2+qt+t2)a-(pq+qr+rt)NB}.
Следовательно, для вычисления естественного базиса достаточно определить
неизвестные a и B.
Теорема. Неизвестные a и B вычисляются следующим образом:
ˆ
(q 2  qt  t 2 ) R
N ( Rˆ 2  Rˆ  1)
ˆ
ˆ   R  P .
1) R 
 ( pq  qr  rt ); P1 
;
R

R
1
1
N
P(q 2  qt  t 2 )
 P1 
3) Положив An  1, Bn  0 или An  0, Bn  1 или An  1, Bn  1, далее по следующим
рекуррентным формулам в обратном порядке, т.е. для i  n  1, n  2,...,3, 2,1
вычисляем Ai , Bi :
Ai 
Ai 1  Bi 1 Ri
A ( R  1)  Bi 1
; Bi  i 1 i
, (i  n  1, n  2,..., 2,1).
Pi 1
Pi 1
4) Вычислив A1 , B1 , по следующим формулам вычислим a, B :
a
A1  p 2  pr  r 2  N   pq  qr  rt  R   B1 R
P1

q 2  qt  t 2  R 

  B1
A1  pq  pt  rt  
N


B
.
P1
Очевидно, по эффективности описанный алгоритм вычисления естественного базиса
сравним с алгоритмом Эвклида вычисления наибольшего общего делителя двух чисел.
Библиографический список
1.
2.
Жидков Н.П., Щедрин В.М. Геометрия кристаллического пространства. М., 1988.
Мотанов В.Г. Теория строения и расчёта возможных геометрических форм
раппортов периодических узоров на трикотаже. М., 1988 г.