Лекция 2. Динамические системы, как объект имитационного моделирования МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ

МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Лекция 2. Динамические системы,
как объект имитационного моделирования
Цель:
Ознакомить с понятиями:
 механизмы продвижения времени. Модельное время: непрерывное,
дискретное, событийное, гибридное. Масштаб времени;
 понятие системы. Состояние системы. Поведение системы. Системы
непрерывные, дискретные, гибридные;
описания
непрерывного
поведения.
Простейшие
детерминированные модели экономических процессов с непрерывным
временем: накопление капитала, производство продукции с учетом
ограниченного
спроса,
производство
продукции
с
учетом
ограниченности ресурсов.
 способы
Оглавление
Математическая модель времени.............................................................................................1
Детерминированные модели на базе классических динамических систем ........................7
Модели описания процессов с помощью ДУ .........................................................................8
Математическая модель времени
Ньютоновская модель времени родилась при формулировании законов
классической
механики.
В
представлении
Ньютона
время
является
самостоятельной сущностью реального мира, что позволяет говорить о его
математических моделях. Ньютон различал:
 физическое (астрономическое) время – «...относительное, кажущееся или
обыденное время есть или точная, или изменчивая, постигаемая чувствами,
внешняя, совершаемая при посредстве какого-либо движения, мера
продолжительности, употребляемая в обыденной жизни вместо истинного
математического времени, как-то час, день, месяц, год»;
 абсолютное
(математическое)
время
–
«абсолютное,
истинное
математическое время само по себе и по своей сущности, без всякого
отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе
называется длительностью».
Непрерывное время
Ньютоновское время характеризуется непрерывным направленным течением с
постоянной скоростью. Еще одно важное свойство этой модели -- абсолютность
времени, позволяющая синхронизировать все параллельно протекающие
процессы.
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Математической моделью ньютоновского времени является вещественная ось,
по которой с постоянной скоростью пробегает переменная t (время), двигаясь из
прошлого в будущее, в пределах от
до
.
С
непрерывным
временем
неразрывно
связаны
обыкновенные
дифференциальные уравнения, применяющиеся для описания непрерывных во
времени процессов. В обыкновенных дифференциальных уравнениях время – это
единственная
независимая
переменная,
от
которой
зависит
значение
исследуемого параметра
.
.
Если мы перейдем от неавтономной к автономной системе, в которой время
трактуется как координата (еще один параметр):
то в новой записи в явном виде появится уравнение «часов».
Рассмотрим пример параллельно протекающих процессов в абсолютном
непрерывном времени — систему линейных дифференциальных уравнений
относительно
неизвестного
(двумерного)
квадратной матрицей A и вектором b.
вектора
с
заданной
.
Эту же систему можно записать в виде
,
Если
, то система будет иметь вид
Тем самым мы осуществили декомпозицию системы на две новых, решаемых
параллельно, в едином непрерывном времени, или, что в данном случае то же
самое, автоматически синхронизировали два независимых процесса со своими
внутренними часами.
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Пример. Рост вкладов в банке можно рассматривать как целостный процесс с
некими глобальными характеристиками, а можно разложить на совокупность
параллельных независимых процессов.
Дискретное время
При рассмотрении многих реальных физических процессов часто отказываются
от свойства непрерывности времени и вводят дискретное время . Под дискретным
временем понимают любую упорядоченную, неограниченно возрастающую
последовательность вещественных или рациональных чисел (1 с, 2 с, 3 с, или 1 г,
2 г, 3 г),
, а чаще всего множество целых чисел (1-й отсчет, 2-й
отсчет и т. д.). Как правило, эти отсчеты имеют одинаковые интервалы.
В этом случае z(t) искомая вещественная функция определена только в точках
сетки ti, поэтому она и получила название сеточной.
Сеточная функция – это множество пар (таблица) {t1, z(t1)},…{ti , z(ti)}.
Сеточные функции и разностные уравнения в моделировании возникают как
аппроксимации исследуемых непрерывных зависимостей. Из последней формы
записи мы видим, что множества целых чисел достаточно для моделирования
дискретного времени.
Дискретное время
играет роль независимой переменной в разностных
уравнениях, которые часто используют в экономике.
Дискретное время, как более простая модель времени непрерывного, и
сеточные функции естественным образом возникают при аппроксимации
дифференциальных уравнений разностными. Например, дифференциальное
уравнение
можно попытаться заменить разностным (явная схема Эйлера)
(неявная схема Эйлера)
и
решать
полученные
разностные
уравнения
вместо
исходного
дифференциального. Поступая так, надеются на то, что при определенных
значениях шага дискретизации h, модуль разности решений исходного и
аппроксимирующего уравнений
дискретных точках.
Разностные уравнения так
линейными или нелинейными.
будет незначительным во всех
же,
как
и
дифференциальные,
могут
быть
Вводя дискретное время, мы отказываемся от непрерывности, сохраняя
свойства упорядоченности и неограниченного возрастания. Равномерность
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
течения времени сохраняется, если речь идет о равномерности перебора номеров
дискретных отсчетов.
Событийное время
Однако
можно
пойти
и
дальше.
Следуя
воззрениям
Лейбница,
любую
упорядоченную последовательность явлений или состояний объекта
можно связывать с течением времени и даже называть событийным временем.
Здесь время связывается с изменчивостью объекта. О таком времени можно
говорить, что оно останавливается, если в рассматриваемой системе ничего не
меняется. Фактически мы следим за неким дискретно меняющимся признаком,
интересуясь только фактом его изменения. Непрерывное время заменяется
цепочкой наблюдаемых изменений. Например, последовательность, фиксирующая
смену цветов горящих ламп светофора {«красный», «желтый», «зеленый»,
«красный», «желтый», «зеленый», …} отражает его правильную работу, а
цепочка {«Красный»} говорит о его поломке.
Гибридное время
Существуют модели, где одновременно требуется и непрерывное (дискретное)
и событийное время.
Рассмотрим следующую задачу. Несколько автомашин курсируют между
городами, развозя товары на склады. Приехав в город и отыскав склад, где можно
оставить привезенный товар, шофер сдает его и загружает машину очередным
видом товара, который требуется увезти со склада. Таких складов может быть
несколько и возможно придется объехать их все, прежде чем отправиться в новый
путь. Время в пути намного превышает разъезды по городу, и временем
пребывания в городе можно пренебречь.
С точки зрения диспетчера, следящего за передвижением машин между
городами, погрузка и разгрузка совершается мгновенно, и в любом городе он
наблюдает скачкообразное изменение номенклатуры и количества товара. И
таким образом он имеет дело с непрерывным временем движения машины между
городами.
С точки зрения городского диспетчера, обеспечивающего погрузку, посещение
складов совершается в определенном порядке, и возможно, на каждом складе
будет скачкообразно меняться количество груза. И таким образом он имеет дело с
событийным временем посещения складов.
Объединим эти два времени – непрерывное время посещения городов, и
событийное время посещения складов – в единую последовательность пар для
каждой машины и получим временную последовательность, которую
можно назвать гибридной.
Эту последовательность можно интерпретировать следующим образом:
непрерывное время, т. е. вся вещественная ось, покрыта замкнутыми
интервалами, в каждом из которых протекает обычное непрерывное время.
Общие точки этих интервалов назовем «временными щелями», в которых
определено свое, событийное время.
Гибридное время обладает непривычными свойствами. Например, если две
машины посетят один город одновременно, мы ничего не сможем сказать об
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
очередности посещения складов каждой машиной, т. к. их событийные времена
несравнимы. В непрерывном времени все склады посещаются одновременно. Мы
только знаем, в какой последовательности посещались склады каждой машиной в
своем событийном времени.
Гибридное время для новичков может служить источником серьезных ошибок.
Также непривычным, как показывает опыт, является использование при
моделировании гибридных систем трех типов функций — непрерывных, кусочнопостоянных и сеточных.
Масштаб времени
Модельное время – это виртуальное время, в котором автоматически
упорядочиваются все события, причем не обязательно пропорционально
реальному времени.
Масштаб времени – это число, которое задает длительность одной единицы
модельного времени, пересчитанной в секунды, в секундах астрономического
реального времени при выполнении модели.
Относительный масштаб – это дробь, показывающая, сколько
модельного времени помещается в одной единице модельного времени.
единиц
Можно выделить четыре разновидности масштаба времени:
реальный масштаб времени – модель выполняется со скоростью реального
процесса, а интервалы между событиями в модели равны интервалам реальных
событий в моделируемом объекте. Относительный масштаб в этом случае 1:1;
максимально ускоренный масштаб времени – время моделирования
определяется чисто процессорным временем выполнения модели;
пропорционально ускоренный масштаб времени – вводится значение
выбранной единицы измерения модельного времени, выраженное в секундах.
Например, 1:36 000 означает, что 1 час реального времени моделируется 0,1 с
модельного времени;
замедленный масштаб времени – аналогично предыдущему, только дробь
представляет собой целое число, например 2:1.
Понятие системы
Система – это совокупность объектов, например людей или механизмов,
функционирующих и взаимодействующих друг с другом для достижения
определенной цели.
Данное определение предложено Шмидтом и Тейлором. На практике понятие
системы зависит от задач конкретного исследования. Так, совокупность
предметов, которые составляют систему в одном исследовании, может являться
лишь подмножеством в иной системе, при проведении другого исследования.
Пример. Задача об исследовании функционирования банка.
Скажем, при исследовании функционирования банка с целью определения
числа кассиров, необходимого для обеспечения адекватного обслуживания
клиентов, желающих снять деньги со счета, обналичить чек, сделать вклад,
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
система будет состоять из кассиров и посетителей, ожидающих своей очереди на
обслуживание. Если же в исследовании должны быть учтены служащие,
занимающиеся выдачей кредитов, и сейфы для вкладов на ответственном
хранении, определение системы расширится соответствующим образом.
Состояние системы определяется как совокупность переменных, необходимых
для описания системы на определенный момент времени в соответствии с
задачами исследования.
Пример.
Задача
(продолжение).
об
исследовании
функционирования
банка
При исследовании банка примерами переменных состояния могут служить
число занятых кассиров, число посетителей в банке и время прибытия каждого
клиента в банк.
Поведение системы – описание законов изменения параметров.
Предметом наших исследований будут динамические системы разного уровня
сложности.
Термин « динамическая система » первоначально отождествлялся с автономной
системой обыкновенных дифференциальных уравнений, правая часть которой
удовлетворяет условиям, гарантирующим существование и единственность
решения. Позже он стал использоваться для обозначения все большего числа
математических моделей и теперь нередко употребляется во всех случаях, когда
речь заходит о системах, чье поведение зависит от времени.
Динамические системы характеризуются типом времени, которое описывает
процесс, и могут быть непрерывными, дискретными или гибридными.
В дискретной системе переменные состояния в различные периоды времени
меняются мгновенно.
Банк можно назвать примером дискретной системы, поскольку переменные
состояния, например количество посетителей в банке, меняются только по
прибытии нового посетителя, по окончании обслуживания или уходе посетителя,
раньше находившегося в банке.
В непрерывной системе переменные меняются беспрерывно во времени.
Самолет, движущийся в воздухе, может служить примером непрерывной
системы, поскольку переменные состояния (например, положение и скорость)
меняются постоянно по отношению ко времени. На практике система редко
является полностью дискретной или полностью непрерывной. Но в каждой
системе, как правило, превалирует один тип изменений, по нему мы и определяем
ее либо как дискретную, либо как непрерывную.
Формы описания непрерывного поведения
Мы будем различать следующие формы описания непрерывного поведения:
1. Формулы вида
.
2. Нелинейные алгебраические уравнения относительно переменных, явно
зависящих от времени
.
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
3. Дифференциальные уравнения в форме систем уравнений первого порядка
с
уравнения
в
заданными начальными условиями, дифференциальные
форме систем линейных алгебраических уравнений
относительно первых производных вида
и в общей форме
.
4. Алгебро-дифференциальне уравнения вида
с согласованными начальными условиями.
Если описание системы задано в форме алгебро-дифференциальных
уравнений, будем считать, что решение алгебраических уравнений известно в
начальной точке. Такие системы называются согласованными в начальной точке.
Более того, будем во всех случаях предполагать, что на временном промежутке,
где ищется решение, – оно единственное.
Будем говорить, что мы имеем описание обобщенной динамической системы,
если ее поведение задано любой совокупностью из вышеприведенных способов.
Детерминированные модели
на базе классических динамических систем
Классическая теория математического моделирования – объекту ставится в
соответствие некоторое уравнение, описывающее его поведение. Знаем, как
решать, и можно предсказать поведение.
Модель должна объяснить объяснимое и предсказать неизвестное.
Математические модели – детерминированы , т. к. однозначно определяют
решение. С одними и теми же исходными данными получается один и тот же
результат. Кроме того t и – t одно и то же.
Если уравнение математической модели не имеет точного решения (как
правило, для сложных систем), то при решении используют методы численного
анализа.
Дифференциальное уравнение как способ описания
непрерывного поведения системы
– исследуемый параметр – функция, описывающая процесс;
– скорость изменения исследуемого параметра – ДУ 1-го порядка.
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Общий подход к описанию процесса:
 найти функцию, характеризующую изменение процесса;
 составить и решить дифференциальное уравнение.
Модели описания процессов с помощью ДУ
Процесс – накопление средств
Модель 1-1. В «банке»
Хорошо известная схема накопления средств бабушками – «в банке» или «в
чулке». Бабушка с каждой пенсии откладывает дома некоторую фиксированную
сумму денег.
В данной модели единицей модельного времени является 1 месяц.
Откладываемая сумма в единицу времени A = const – это приращение средств в
единицу времени.
Если x(t) – функция, описывающая интересующий нас процесс накопления
средств, то производная этой функции равна приращению (по определению
производной). Таким образом, можно записать в виде ДУ
.
Начальные условия (задача Коши) задают значение первоначального капитала.
В данной модели оно может быть равно 0:
.
Данное ДУ имеет простое аналитическое решение:
.
Модель 1-2. В банке
Некто, имея некоторую сумму средств, вкладывает их в банк под процент.
В данной модели единицей модельного времени может быть и 1 месяц, и 3
месяца и какой-либо другой срок. Предположим α=const – процент приращения
вложенных средств за единицу времени; x0 – первоначальная сумма вложенных
средств.
Если x(t) – функция, описывающая интересующий нас процесс накопления
средств, то за единицу времени приращение этой функции равно проценту от
накопленных к этому времени средств. Это условие может быть описано в виде ДУ
.
Начальные условия (задача Коши) задают значение первоначального капитала.
В данной модели оно НЕ может быть равно 0.
.
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Данное ДУ имеет простое аналитическое решение
.
Обратите внимание!
И та, и другая модель реально существуют.
Модель 1-2 требует ненулевого первоначального капитала.
Модель 1-3. «Расходы по доходам»
Пусть x0 стартовый капитал (родители дали ребенку по окончании института).
Далее капитал изменяется по следующей схеме: за единицу времени он получает
фиксированную зарплату А и тратит часть всего имеющегося в наличии текущего
капитала, выражаемую константой α, которая может принимать значение от 0 до
1. Как видно, расходование средств в текущий момент времени зависит от уровня
имеющегося в наличии капитала, поэтому модель и названа «расходы по
доходам».
А = const – фиксированная сумма, получаемая в единицу времени.
α= const – процент траты имеющихся средств в единицу времени.
Если x(t) – функция, описывающая интересующий нас процесс накопления
средств, то за единицу времени приращение этой функции может быть описано в
виде ДУ
.
Задание для самостоятельной работы
Решить ДУ самостоятельно к практическому занятию.
Может ли в данной модели x0быть равным 0?
Процесс – производство продукции
Модель 2-1. Монополия, неограниченные ресурсы
Производительность – скорость выпуска изделий в единицу времени.
Может быть постоянной (см. модель 1-1).
Может увеличиваться пропорционально росту производства.
Пусть α= const – коэффициент роста производства.
Количество ресурса не ограничено. Спрос также неограниченный.
В этом случае модель процесса производства описывается таким же ДУ, как и в
модели 1-2:
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
.
Модель
2-2.
Производство товара при ограниченном спросе с учетом потерь
Пусть:
x( t ) – количество производимого товара;
r = const – скорость увеличения производства товара на начальном этапе
развития производства (т.е. когда спрос опережает предложение);
K = const – максимальный спрос на данный товар;
A = const – потери в единицу времени, вызванные наличием на рынке
конкурентов с аналогичным товаром.
Тогда процесс производства описывается ДУ
.