T=const - Кафедра физики

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра физики
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ПО ФИЗИКЕ
для студентов-бакалавров по направлению 270100 (строительство)
ЧАСТЬ 2
Вологда
2009
Требования к оформлению и общие методические указания по
выполнению индивидуальных домашних заданий.
1. Студентам, изучающим курс физики в течение двух семестров,
рекомендуется решить в течение семестра 10 задач по пятой части
пособия.
2. Номер варианта совпадает с порядковым номером студента в журнале.
3. Номера задач в зависимости от варианта определяются по формуле:
Nзадачи=30n+Nварианта, где n=0, 1, …11.
4. Задания должны выполняться последовательно по пройденным темам.
Сроки представления решенных задач объявляются преподавателем.
5. Задачи оформляются в письменном виде на отдельных листах. Решение
каждой задачи необходимо начинать с новой страницы.
6. Требуется указать номер варианта и номер задачи по нумерации пособия.
7. Условие задачи переписывается полностью, без сокращений.
8. Решение записывается в стандартном виде:
Дано:
Решение:
Найти:
Ответ:
9. Все физические величины необходимо выразить в системе единиц СИ.
10. Сделать рисунок, схему, если это необходимо.
11. Сформулировать основные законы, записать формулы, на которых
базируется решение. Обосновать возможность их применения в условиях
данной задачи. Составить полную систему уравнений для решения
задачи.
12. Получить окончательное выражение искомой величины в общем виде.
Проверить размерность.
13. Подставить числовые данные и рассчитать искомую величину.
14. Проанализировать полученный результат.
15. Записать ответ.
16. Каждую задачу требуется защитить, то есть полностью объяснить
решение задачи преподавателю.
2
1. Идеальный газ

m


N
– количество вещества (число молей);
NA
pV  RT ; p  nkT – уравнение Менделеева-Клапейрона;
N
n
– концентрация молекул;
V
R  kN A – универсальная газовая постоянная;
p   pi – закон Дальтона;
i
1
m0 nv 2кв . – давление, оказываемое газом на стенки сосуда;
3
3RT

– средняя квадратичная скорость;
p
v кв .

 E 0 
1
kT
2
– средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы
молекулы;
3
kT – средняя энергия поступательного движения молекулы;
2
3
  RT – суммарная кинетическая энергия поступательного движения
2
 E  пост. 
U пост.
молекул газа;
 E  в р. 
iв р.
U вр.  
iвр.
2
2
kT – средняя энергия вращательного движения молекулы;
RT – суммарная кинетическая энергия вращательного движения
молекул газа;
i
kT – средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа;
2
i
U   RT – внутренняя энергия идеального газа;
2
2
p  n E  пост. – основное уравнение молекулярно-кинетической теории для
3
 E 
давления.
Примеры решения задач
Задача 1
В сосуде при температуре 1000С и давлении 40 кПа находится 2 м3 смеси
кислорода и сернистого газа (SO2). Масса сернистого газа 0.8 кг. Определить
парциальное давление компонентов смеси и среднюю молярную массу.
Относительная атомная масса серы равна 32.
3
Решение
По закону Дальтона давление смеси газов
равно
сумме
парциальных
давлений
компонент смеси:
(1)
P  P1  P2 .
Для парциальных давлений кислорода и
сернистого газа
запишем уравнение
Менделеева-Клапейрона:
Дано:
t=1000 C
T=373 K
P=40.103 Па
V=2 м3
1  0.032кг / моль
m2=0.8 кг
 2  32  2  16  10 3 кг / моль 
 0.064кг / моль
Найти:
p1=?
p2=?
μcр.=?
P1V 
m1
P2V 
m2
RT ,
(2)
RT .
(3)
1
2
Сложим почленно (2) и (3) и учтём (1):


P1  P2 V   m1  m2  RT ,
 1  2 
m m 
PV   1  2  RT .
 1  2 
(4)
Запишем уравнение состояния для смеси газов, введя среднюю молярную
массу:
PV 
m
 ср.
RT ,
(5)
где m  m1  m2 – полная масса смеси.
Сравнив (4) и (5), получим выражение для средней молярной масс смеси:
 m1 m2  m1  m2

 
, или

 ср.
 1  2 
 ср. 
m1  m2
.
(6)
 m1 m2 



 1  2 
m RT
0.8 8.31  373
Из (3) получаем давление P2: P2  2

 19.4  10 3 Па . Из (1) –
2 V
0.064
2
давление P1: P1  P  P2  40  103  19.4  103  20.6  103 Па . Уравнение (2) позволит
1 P1V
0.032  20.6  10 3  2
 0.425кг . Теперь по (6) можно
RT
8.31  373
0.425  0.8
рассчитать среднюю молярную массу  ср. 
 0.0475кг / моль .
0.8 
 0.425



 0.032 0.064 
Ответ: P1  20.6  10 3 Па , P2  19.4  10 3 Па ,  ср.  0.0475кг / моль .
найти массу m1: m1 

1. В сосуде находятся 14 г азота и 9 г водорода при температуре 100С и
давлении 1 МПа. Найти среднюю молярную массу смеси и объем сосуда.
4
2. Определить плотность смеси газов, состоящей из 5 молей азота и 10 молей
кислорода. Смесь находится в баллоне при 170С и давлении 1.5 МПа.
3. Давление и плотность некоторого газа при 170С равны 750 мм рт.ст. и
8.2.10-4 г/см3 соответственно. Что это за газ?
4. Под каким давлением находится в баллоне водород, если емкость баллона
10 литров, а кинетическая энергия поступательного движения всех
молекул водорода равна 7.5.103 Дж?
5. Под каким давлением находится газ, если средняя квадратичная скорость
его молекул 550 м/с, а плотность 9.10-4 г/см3?
6. Чему равна кинетическая энергия поступательного движения всех
молекул, содержащихся в одном моле и в 1 кг гелия при температуре 1000
К?
7. Температура на улице –130С, в помещении 220С. На сколько изменится
давление в газовом баллоне, если баллон внести в помещение? В
помещении манометр на баллоне показывал 1.5 МПа.
8. Сколько частиц воздуха находится в комнате площадью 20 м2 и высотой 3
м при температуре 170С и давлении 752 мм рт.ст.?
9. Баллон вместимостью 25 л, содержащий воздух под давлением 3 .105 Па,
соединяют с другим баллоном вместимостью 50 л, из которого воздух
откачан. Найти установившееся давление воздуха в баллонах, если
температура оставалась постоянной.
10.После соединения двух баллонов вместимостью 2 и 3 л давление смеси
газов в них стало 2.4.105 Па. Определить давление газов в баллонах до их
соединения, если в первом баллоне оно было на 50 кПа больше, чем во
втором. Процесс изотермический.
11.Одноатомный газ массой 1.5 кг находится под давлением 5 атм и имеет
плотность 6 кг/м3. Найти энергию теплового движения молекул газа при
этих условиях.
12.Какое число молекул аммиака занимают объем 50 мл при давлении 0.1 атм
и температуре 300 К? Какой энергией теплового движения обладают эти
молекулы?
13.В первом сосуде объемом 3 л находится газ под давление 202 кПа, а во
втором объемом 4 л – 101 кПа. Под каким давлением будет находиться газ,
если эти сосуды соединить? Температура в сосудах одинакова и постоянна.
14.В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением 1 МПа при
температуре 300 К. После того как из баллона было взято 10 г гелия,
температура в баллоне понизилась до 290 К. Определить давление гелия,
оставшегося в баллоне.
15.В сосуде объемом 2 л находится 6 г углекислого газа и 4 г закиси азота
(N2O) при температуре 400 К. Найти давление смеси в сосуде.
16.Смесь гелия и аргона находится при температуре 1.2 Кк. Определить
среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетическую энергию
атомов аргона и гелия. Молярная масса аргона 0.04 кг/моль.
5
17.Какой объем занимает смесь 1 кг азота и 1 кг гелия при нормальных
условиях?
18.В баллоне вместимостью 15 л находится смесь 10 г водорода, 54 г
водяного пара и 60 г окиси углерода. Температура смеси 300 К.
Определить давление.
19.Смесь азота с массовой долей 87.5 % и водорода с массовой долей 12.5 %
находится в сосуде объемом 20 л при температуре 560 К. Определить
давление смеси, если масса смеси 8 г.
20.Определить суммарную кинетическую энергию поступательного движения
всех молекул газа, находящегося в сосуде объемом 3 л под давлением 540
кПа.
21.Определить среднюю квадратичную скорость молекул газа, заключенного
в сосуде объемом 2 л под давлением 200 кПа. Масса газа 0.3 г.
22.Водород находится при температуре 300 К. Найти среднюю кинетическую
энергию вращательного движения одной молекулы, суммарную
кинетическую энергию вращательного движения всех молекул этого газа и
полную кинетическую энергию всех молекул. Количество вещества 0.5
моль.
23.В баллоне объемом 25 л находится водород при температуре 290 К. После
того как часть газа израсходовали, давление в баллоне понизилось на 0.4
МПа. Определить массу израсходованного газа. Температура постоянна.
24.В сосуде объемом 1.5 л находится смесь азота и водорода при температуре
300 К и давлении 200 кПа. Определить массу смеси и ее компонентов, если
массовая доля азота в смеси равна 70%.
25.В сосуде находится смесь кислорода и водорода. Масса смеси 3.6 г.
Массовая доля кислорода 60%. Определить количество каждого вещества
и всей смеси.
26.В колбе вместимостью 100 мл находится некоторый газ при температуре
300 К. Вследствие утечки из колбы вышло 1020 молекул. На сколько
понизилось давление газа в колбе?
27.В баллоне емкостью 2 м3 находится смесь азота и окиси азота (NO).
Определить массу окиси азота, если масса смеси равна 14 кг, температура
смеси 300 К и давление 600 кПа.
28.# Определить плотность смеси, состоящей из 4 г водорода 32 г кислорода
при температуре 70С и давлении 93 кПа.
29.# При какой температуре энергия теплового движения атомов гелия будет
достаточна для того, чтобы преодолеть земное притяжение и навсегда
покинуть атмосферу?
30.# Чему равна энергия теплового движения 20 г кислорода при температуре
100С? Какая часть этой энергии приходится на долю поступательного
движения и какая часть - на долю вращательного?
6
2. Понятие о классической статистике. Скорости молекул.
Распределение молекул по скоростям и энергиям. Барометрическая
формула
 x 
N
1
N
x
i 1
i
– среднее арифметическое;
1 N 2
 xi – среднее квадратичное.
N i 1
xкв . 

pi  lim
Величина может принимать только дискретные значения.
Ni
при N → ∞ – вероятность того, что величина x принимает значение
N
хi, здесь N – полное число измерений, Ni – число опытов, в которых
величина x принимает значение хi;
 pi  1 – условие нормировки;
i
 x   xi pi – среднее значение величины х, где рi – вероятность того, что
i
величина x принимает значение хi;
pi или j=pi+pj – закон сложения вероятностей, здесь pi или j – вероятность получить
результат xi или xj;
p(xi, yj)=p(xi)p(yj) – закон умножения вероятностей, где p(xi, yj) – вероятность
появления xi одновременно с yj, причем значение y не зависит от x;
 x    xi  pi – среднее значение любой функции φ(x);
i

Величина принимает непрерывный ряд значений.
dN ( x )
 f  x dx  dp x  – вероятность того, что результат измерения лежит в
N
интервале (x; x+dx), здесь f(x) – функция распределения, N – полное число
измерений; dN(x) – число измерений, при которых результат измерения
лежит в интервале (x; x+dx);
  
  ( x) f x dx – среднее значение любой функции φ(x); здесь f(x) –
по
области
определения
функции

функция распределения;
f  x dx  1 – условие нормировки функции распределения.
по
обл асти
определения
функции
3
 m0 v 2 
dN ( v )
 m0  2
2
 – функция распределения Максвелла
 f v   
 4  v exp 
Ndv
2
kT
 2kT 


молекул по скоростям (доля молекул, имеющих скорости в интервале от v
до v+dv вблизи заданной скорости v, в расчете на единичный интервал
скоростей);
7
1
 m v2
dN ( v x )
 m 2
  v x    0  exp   0 x
Ndv x
 2kT 
 2kT



–
функция
распределения
Максвелла
молекул по компоненте скорости (доля молекул, имеющих проекцию vx
скорости на ось OX в интервале от vx до vx+dvx вблизи заданного значения
vx , в расчете на единичный интервал проекции скорости);
3
dN ( E )
2
kT  2 E exp   E 
 f E  
NdE

 kT 
–
функция
распределения
Максвелла
молекул по энергиям (доля молекул, имеющих энергию в интервале от Е
до Е+dЕ вблизи заданного значения Е, в расчете на единичный интервал
энергий);
v кв . 
3RT

;
 v 
8 RT

;
2 RT
v в ер. 

– скорости молекул газа: средняя
квадратичная, средняя арифметическая, наиболее вероятная;
 Е пот. 
n  n0 exp  
 – распределение Больцмана, здесь n и n0 – концентрации
kT 

частиц в состояниях с потенциальными энергиями Е и Е0 соответственно,
ΔЕпот.=Е – Е0;
p  p 0 exp( 
gh
RT
) , n  n0 exp( 
m0 gh
) – барометрическая формула.
kT
Примеры решения задач
Задача 2
Найти число молекул хлора в одном кубическом миллиметре при t=500°С
и давлении 105 Па, компоненты скорости которых заключены в следующих
интервалах: vх=(200÷205) м/с; vу=(100÷110) м/с; vz=(100÷105) м/с.
Относительная атомная масса хлора 35.45.
Решение
Дано:
t=500°С
Воспользуемся законом распределения молекул по
T=773 K
компонентам
скоростей:
P=105 Па
1
  0.0709кг / моль
vх=200м/с;
vу=100м/с;
vz=100м/с.
Δvх=5 м/с;
Δvу=10 м/с;
Δvz=5 м/с
V=1 мм3=10-6 м3
Найти:
ΔN=?
 m v2
dN ( v x )
 m 2
  v x    0  exp   0 x
Ndv x
 2kT 
 2kT

 ,

откуда
получим
вероятность того, что проекция скорости на ось OX
лежит в интервале от vх до vх+Δvх равна:
p x 
N ( v x )
N
1
 m v2
 m 2
  v x v x   0  exp  0 x
 2kT 
 2kT

  v x .


Аналогично,
для проекций скорости vу и vz:
1
1
2
 m0 v 2y 


 m0  2
  v ; p   m0  2 exp  m0 v z   v .
p y  
 exp 
y
z
z




 2kT 
 2kT 
 2kT 
 2kT 
Здесь было использовано то, что Δvx<<vx, Δvy<<vy,
Δvz<<vz.
8
По закону умножения вероятностей вероятность того, что молекула
одновременно имеет все три проекции скоростей в указанных интервалах, равна
произведению вероятностей:
N
3


 m 2
 m

p 
 p x p y p z   0  exp  0 v x2  v y2  v z2   v x  v y  v z , откуда искомое
N
 2kT 
 2kT

3


 m 2
 m

число молекул N  N   0  exp  0 v x2  v y2  v z2   v x  v y  v z . Здесь N –
 2kT 
 2kT

полное число молекул в объёме V: N  n  V , n – концентрация молекул. Она
может быть найдена из уравнения Менделеева-Клапейрона P  nkT . Тогда
3


P
 m 2
 m

N 
 V   0  exp  0 v x2  v y2  v z2   v x  v y  v z .
kT
 2kT 
 2kT

В последнем выражении остаётся неизвестной только масса одной
молекулы; её найдём из закона Авогадро: m0 

N Ав.

0.0709
 1.18  10 25 кг .
23
6.02  10
Теперь можно найти искомую величину:
3


2
 1.18  10  25  200 2  100 2  100 2
10 5  10 6
1.18  10  25

 exp 
N 


1.38  10  23  773  2  3.14  1.38  10  23  773 
2  1.38  10  23  773

N  5.3  1012 .
Ответ: N  5.3  1012 .
  5  10  5 ,


31.Два стрелка одновременно и независимо стреляют в одну цель.
Вероятности попадания в цель первым и вторым стрелками равны
соответственно 0.8 и 0.7. Найти вероятность того, что цель поразит только
первый стрелок.
32.Два стрелка одновременно и независимо стреляют в одну цель.
Вероятности попадания в цель первым и вторым стрелками равны
соответственно 0.8 и 0.7. Найти вероятность того, что цель останется
непораженной.
33.В сосуде находится N молекул. Найти вероятность p того, что в процессе
хаотического движения все молекулы соберутся в одной половине сосуда.
Вычислить p для N=2; 10; N=NА.
34.Величина x может принимать только два значения: x1 и x2, причем
вероятность первого равна p1=0.3. Найти среднее значение: а) <x>; б) <x3>
третьей степени величины x.
35.Распределение вероятностей значений некоторой величины x описывается
функцией f=Ax(a– x) при 0≤x≤a. Вне этого интервала f=0. Здесь A и a –
постоянные (a известно, А – неизвестно). Найти: а) наиболее вероятное
значение x и соответствующее значение функции f; б) средние значения x и
x2 в интервале (0;а).
36.Какая температура соответствует средней квадратичной скорости молекул
углекислого газа, равной 720 км/ч?
9
37.Определить среднюю квадратичную скорость капельки воды радиусом 10-6
см, взвешенной в воздухе при температуре 170С.
38.Найти среднюю квадратичную скорость молекул воздуха при температуре
170С, считая воздух однородным газом с молярной массой 0.029 кг/моль.
39.Найти концентрацию молекул водорода при давлении 266.6 Па, если
средняя квадратичная скорость его молекул 2400 м/с.
40.При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул азота
больше их наиболее вероятной скорости на 50 м/с?
41.Какой процент молекул обладает скоростями, отличающимися от наиболее
вероятной не более чем на 1%?
42.Какой процент молекул обладает скоростями, отличающимися от средней
квадратичной не более чем на 1%?
43.Найти число молекул азота в объеме 1 см3 при н.у., скорости которых
лежат в интервале 99÷101 м/с.
44.Найти число молекул азота в объеме 1 см3 при н.у., скорости которых
лежат в интервале 499÷501 м/с.
45.При какой температуре число молекул азота, скорости которых лежат в
интервале 299÷301 м/с, равно числу молекул со скоростями в интервале
599÷601 м/с?
46.Найти для газообразного азота при температуре 300 К отношение числа
молекул с компонентами скорости вдоль оси OX в интервале 300  0.31 м/с
к числу молекул с компонентами скорости вдоль той же оси в интервале
500  0.51 м/с.
47.Азот находится в равновесном состоянии при 421 К. Найти наиболее
вероятную скорость молекул. Определить относительное число молекул,
скорости которых заключены в пределах: а) от 499.9 до 500.1 м/с; б) от
249.9 до 250.1 м/с; в) от 999.9 до 1001.1 м/с.
48.Найти температуру газообразного азота, при которой скоростям молекул
300 м/с и 600 м/с соответствуют одинаковые значения функции
распределения.
49.Вычислить среднюю проекцию скорости <vx> и среднее значение модуля
проекции <|vx|>, если масса каждой молекулы m0 и температура газа Т.
50. Вычислить наиболее вероятную, среднюю и среднюю квадратичную
скорости молекул газа, у которого при нормальном атмосферном давлении
плотность 1 г/л.
51. Определить температуру водорода, для которой средняя квадратичная
скорость молекул больше их наиболее вероятной скорости на 400 м/с.
52. Найти число молекул хлора в одном кубическом миллиметре при t=500°С
и давлении 105 Па, компоненты скорости которых заключены в следующих
интервалах: vх=(200÷205) м/с; vу=(100÷110) м/с; vz=(100÷105) м/с.
Относительная атомная масса хлора 35.45.
53. Смесь водорода и гелия находится при 300 К. При какой скорости
молекул значения функции f(v) будут одинаковыми для обоих газов?
10
54. Идеальный газ состоит из молекул, масса каждой из которых равна т.
При какой температуре этого газа число молекул со скоростями в заданном
малом интервале (v, v+dv) будет максимально? Найти наиболее вероятную
скорость молекул, соответствующую такой температуре.
55. Газ состоит из молекул массой т и находится при температуре Т. Найти
с помощью функции распределения наиболее вероятную кинетическую
энергию E. Соответствует ли E вер. наиболее вероятной скорости?
56. Определить температуру кислорода, для которой функция распределения
молекул по скоростям будет иметь максимум при скорости 420 м/с.
57. Определить скорость молекул, соответствующую максимуму функции
распределения при 100С для водорода, гелия и азота.
58. Какая часть молекул воздуха при температуре 17°С обладает скоростями,
отличающимися не больше чем на 0.50 м/с от скорости, равной vвер?
59. Найти число молекул гелия в 1 см3, скорости которых лежат в интервале
от 2.39.103 м/с до 2.61.103 м/с. Температура гелия 690°С, его плотность
2.16.10-4 кг/м3.
60. В баллоне, объем которого 10.5 л, находится водород. При температуре
0°С давление водорода 750 мм рт. ст. Найти число молекул водорода,
скорости которых лежат в интервале от 1.19.103 м/с до 1.21.103 м/с.
61.Дана группа частиц, распределение по скоростям которых задано табл. 1.
Таблица 1.
Ni
2
4
6
8
2
vi, см/с
1
2
3
4
5
Здесь Ni – число частиц, имеющих скорость vi. Каковы характерные
скорости этой системы: среднеквадратичная, средняя арифметическая,
наиболее вероятная?
62.Давление воздуха на уровне моря 750 мм рт.ст., а на вершине горы 590 мм
рт.ст. Какова высота горы, если температура воздуха равна 50С?
63.Предположим, что внутри вертикальной трубы высотой 100 м находится
воздух при температуре 500 К; снаружи труба окружена воздухом при
температуре 250 К. Труба сверху открыта, а внизу отделена от наружного
воздуха заслонкой площадью 300 см2. Какая сила действует на заслонку,
если давление воздуха у верхнего конца трубы равно 740 мм рт.ст.?
64.Каким должно быть давление воздуха на дне скважины глубиной 8 км,
если считать, что температура по всей высоте постоянна и равна 300 К, а
давление воздуха у поверхности земли равно 1 атм?
65.Сколько весит 1 м3 воздуха: 1) у поверхности Земли; 2) на высоте 4 км?
Температуру считать постоянной и равной 00С, давление у поверхности
100 кПа.
66.На какой высоте плотность газа составляет 50% от плотности его на
уровне моря? Температуру считать постоянной и равной 00С. Задачу
решить для: 1) воздуха; 2) водорода.
11
67.Вблизи поверхности Земли отношение концентраций кислорода и азота в
воздухе равно 0.268. Полагая температуру атмосферы не зависящей от
высоты и равной 00С, определить это отношение на высоте 10 км.
68.На какой высоте плотность газа составляет 75% от плотности его на
уровне моря? Температуру считать постоянной и равной 00С. Задачу
решить для: 1) воздуха; 2) углекислого газа.
69.В баллоне, объем которого 10.5 л, находится водород. При температуре
0°С давление водорода 750 мм рт. ст. Найти число молекул водорода,
скорости которых лежат в интервале от 1.19.103 м/с до 1.21.103 м/с при
3000 К.
70.При каком значении скорости пересекаются кривые распределения
Максвелла для температур T и 2T?
71.Какая часть молекул сернистого ангидрида (SО2) при температуре 200°С
обладает скоростями в пределах 210÷220 м/с м/с?
72.Какая часть молекул водорода при температуре 500°С обладает
скоростями в пределах 420÷430 м/с?
73.Чистый газообразный кислород находится при температуре 300 K и
давлении 2 атм. Найти число молекул в объеме 1 мм3, компоненты
скорости которых лежат в следующих пределах: vх – от 200 до 202 м/с,
vу – от 450 до 455 м/с, vz – от 299 до 300 м/с.
74.Азот находится при температуре 0 С. Чему равно относительное число
молекул, скорость которых лежит в интервале от 250 до 260 м/с?
75.Найти число молекул хлора в 1 мм3 при температуре 500С и давлении 105
Па, компоненты скорости которых заключены в следующих интервалах:
vх=(200÷205) м/с, vу=(100÷110) м/с, vz=(100÷105) м/с. Относительная
атомная масса хлора равна 35.45.
76.Чему равно число атомов гелия со скоростями от 1000 до 1010 м/с,
содержащихся в шарообразном баллоне диаметром 16 м при 10С и
давлении 0.9 ат?
77.Вычислить средние скорости для водорода, неона и кислорода при 500С.
78.Зная функцию распределения молекул по скоростям в некотором
молекулярном
пучке:
 m2 
 m v2 
f v    20 2 v 3 exp  0  ,
 2k T 
 2kT 
найти выражение для наиболее вероятной скорости.
79.Используя функцию распределения молекул по энергиям, определить
наиболее вероятное значение энергии.
80.Найти относительное число молекул идеального газа, кинетические
энергии которых отличаются от наиболее вероятного значения энергии
не более чем на 1%.
81.#Потенциальная энергия молекул газа в некотором центральном поле
зависит от расстояния r до центра поля как U(r)=ar2, где а – положительная
постоянная. Температура газа равна Т, концентрация молекул в центре
12
поля n0. Найти: а) число молекул, находящихся в интервале расстояний (r,
r+dr); б) наиболее вероятное расстояние молекул от центра поля.
82.# Два стрелка одновременно и независимо стреляют в одну цель. Найти
вероятность поражения цели, если вероятности попадания в цель первым и
вторым стрелками равны соответственно 0.8 и 0.7. Цель считается
пораженной, если в нее попадает хотя бы один стрелок.
83.# Функция распределения вероятностей значений некоторой величины x
имеет вид f=Ax при 0≤x≤a. Вне этого интервала f=0. Здесь A и a –
постоянные (a известно, А – неизвестно). Найти А, вычислить значение
функции при x=a, найти средние значения x и x2 в интервале (0,а).
84.# Найти отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и
азота при одинаковых температурах.
85.# Найти среднюю арифметическую, среднюю квадратичную и наиболее
вероятную скорости молекул газа, плотность которого при давлении 300
мм рт.ст. равна 0.3 г/л.
86.# Во сколько раз число молекул ΔN1, скорости которых лежат в интервале
от vкв до vкв+Δv, меньше числа молекул ΔN2, скорости которых лежат в
интервале от vв+Δv? Интервал Δv считать достаточно малым.
87.# Определить долю молекул идеального газа, энергии которых отличаются
от средней энергии поступательного движения молекул при той же
температуре не более, чем на 1%.
88.# Найти вероятность того, что при температуре 300 К молекулы азота
имеют компоненты скорости вдоль осей OX, OY, OZ соответственно в
интервале 300  0.30 м/с, 400  0.40 м/с; 500  0.50 м/с.
89.# Найти силу, действующую на частицу со стороны однородного поля,
если концентрация этих частиц на двух уровнях, отстоящих друг от друга
на расстояние 3 см (вдоль поля) отличаются в 2 раза. Температура системы
280 К.
90.# Метеорологический шар с водородом перед запуском имеет объем 0.04
м3. Определить объем шара на высоте 3000 м над местом запуска.
Среднюю температуру воздуха на высоте считать равной 70С.
3. Столкновения молекул
 v
– среднее число столкновений молекулы с другими молекулами в
 z 
 
единицу времени;
1
– среднее время свободного пробега;
 z
1
– средняя длина свободного пробега;
  
2n
    d 2 эффективное сечение молекулы, где d – эффективный диаметр

молекулы.
13
Примеры решения задач
Задача 3
Найти среднее число всех соударений, которое происходит в течение 1 с
между всеми молекулами в 4 мм3 водорода при нормальных условиях.
Эффективный диаметр принять 0.23 нм.
Решение
Дано:
 v
Если N – полное число молекул, а  z 
–
t=1 с
 
3
.
-6 3
V=4 мм =4 10 м
среднее число соударений в секунду одной
P=105 Па
молекулы, то искомое полное число соударений в
T=273 К
секунду между всеми молекулами равно: Z  1  z  N .
d=0.23 нм=0.23.10-9 м
2
μ=0.002 кг/моль
1
Коэффициент
учитывает, что в каждом
2
Найти:
Z=?
соударении участвуют две молекулы. Средняя
арифметическая скорость молекул  v 
средняя длина свободного пробега –   
сечение молекулы,
n
1
2n
P  nkT
через
N  n V 
концентрацию:
, а
. Здесь     d 2 – эффективное
:
n
PV
kT
P
.
kT
.
Полное число молекул также выразим
Таким
образом,
1  v
1 8RT
P
PV
  RT
 P

N
2
  d 2
 2 V  
d 
2  
2  
kT
kT

 kT 
2
6 

– концентрация молекул. Её можно найти из уравнения
Менделеева-Клапейрона
Z
8 RT
для
Z
получаем:
. Подставим численные
2
5
 10 9 
3.14  8.31  273
 
значения: Z  2  4  10  10  0.23
 5.6  10 29 .
 23

0
.
002
 1.38  10  273 
Ответ: Z  5.6  10 29 1 .
с
91. Найти среднюю длину свободного пробега молекул углекислого газа при
температуре 1000С и давлении 13.3 Па. Диаметр молекулы 0.32 нм.
92. Найти среднее число столкновений в единицу времени молекул СО2 при
температуре 1000С, если средняя длина свободного пробега молекул 870
мкм.
93. Найти среднее число столкновений в единицу времени молекулы азота
при давлении 53.33 кПа и температуре 270С. Эффективный диаметр
принять 0.3 нм.
94. Средняя длина свободного пробега молекул кислорода при 300 К равна
41.7 мкм. Определить среднее время свободного пробега молекул в этих
условиях.
95. Средняя длина свободного пробега молекул кислорода при температуре
273 К равна 0.1 мкм. Вычислить среднюю арифметическую скорость
молекул и число соударений в секунду.
14
96.Найти среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при
температуре 293 К и давлении 0.15 МПа. Эффективный диаметр молекул
воздуха принять 0.3 нм.
97.При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул водорода
равна 2.5 cм? Температура 670С. Диаметр молекулы водорода 0.23 нм.
98.Баллон емкостью 10 л содержит 1 г водорода. Определить среднюю длину
свободного пробега молекул. Диаметр молекулы водорода 0.23 нм.
99.Найти среднее количество столкновений, которые испытывает за 1 с
молекула аргона при температуре 290 К и давлении 0.1 мм рт.ст.
Эффективный диаметр молекулы аргона равен 0.29 нм. Молярная масса
0.04 кг/моль.
100. Какое давление надо создать внутри сферического сосуда, диаметр
которого равен 1 см, чтобы молекулы не сталкивались друг с другом?
Диаметр молекулы газа принять
равным 0.3 нм, температуру газа
0
равной 0 С.
101. Какое давление надо создать внутри сферического сосуда, диаметр
которого равен 100 см, чтобы молекулы не сталкивались друг с другом?
Диаметр молекулы газа принять
равным 0.3 нм, температуру газа
0
равной 20 С.
102. Найти количество столкновений, которые испытывают друг с другом за 1
с все молекулы аргона при температуре 290 К и давлении 0.1 мм рт.ст.,
находящиеся в сосуде объемом 1 л. Эффективный диаметр молекулы
аргона равен 0.29 нм. Молярная масса 0.04 кг/моль.
103. Найти среднее число всех соударений, которое происходит в течение 1 с
между всеми молекулами в 4 мм3 водорода при нормальных условиях.
Эффективный диаметр принять 0.23 нм.
104. Найти среднее число столкновений в 1 с молекулы некоторого газа, если
средняя длина свободного пробега при этих условиях равна 5 мкм, а
средняя квадратичная скорость молекул 500 м/с.
105. Определить плотность разреженного водорода, если средняя длина
свободного пробега молекул равна 1 см. Эффективный диаметр принять
0.23 нм.
106. В сосуде находится углекислый газ, плотность которого равна 1.7 кг/м 3,
средняя длина свободного пробега его молекул 79 нм. Найти диаметр
молекул углекислого газа.
107. Средняя длина свободного пробега молекул азота при нормальных
условиях равна 60 нм. Некоторая масса азота перешла от нормальных
условий к состоянию, при котором ее температура равна 3000С. Какова
длина свободного пробега молекул в новом состоянии, процесс перехода
был изобарическим?
108. При некоторых условиях средняя длина свободного пробега молекул газа
равна 0.16 мкм, а средняя арифметическая скорость молекул 1950 м/с.
Чему будет равно среднее число столкновений в 1 с молекул этого газа,
если при той же температуре давление уменьшилось в 1.27 раза?
15
109. При нормальных условиях длина свободного пробега молекулы водорода
160 нм. Определить эффективный диаметр молекулы.
110. Найти среднюю продолжительность свободного пробега молекулы
кислорода при температуре 250 К и давлении 100 Па. Диаметр молекул
0.3 нм.
111. Найти среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при
нормальных условиях. Диаметр молекул воздуха 0.3 нм.
112. Какое предельное число молекул воздуха должно находиться внутри
сферического сосуда, чтобы молекулы не сталкивались друг с другом?
Диаметр молекулы воздуха 0.3 нм, диаметр сосуда 15 см.
113. Расстояние между катодом и анодом в разрядной трубке равно 15 см.
Какое давление надо создать в разрядной трубке, чтобы электроны не
сталкивались с молекулами воздуха на пути от катода к аноду?
Температура равна 300 К. Диаметр молекулы воздуха 0.3 нм. Средняя
длина свободного пробега электрона в газе примерно в 5.7 раза больше
средней длины свободного пробега молекул самого газа.
114. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул равна 1
мм, если при нормальном давлении и той же температуре она равна 6 .10-6
см?
115. Найдите среднюю продолжительность свободного пробега молекул
кислорода при давлении 2 мм рт. ст. и температуре 27 0С. Диаметр
молекул 0.3 нм.
116. # Во сколько раз уменьшится число столкновений в единицу времени в
двухатомном газе, если его объем адиабатически увеличить в 2 раза?
117. # В колбе объемом 100 см3 находится 0.5 г азота. Найти среднюю длину
свободного пробега молекул азота, среднее число столкновений в 1 с
каждой молекулы этого газа с остальными молекулами и общее число
столкновений всех молекул в колбе за 1 с. Температура 00С.
Эффективный диаметр принять 0.3 нм.
118. # При температуре 273 К средняя длина свободного пробега молекул
кислорода 95 нм. Чему будет равно среднее число столкновений в 1 с
молекул кислорода, если сосуд откачать до 0.01 первоначального
давления? Температура постоянна.
119. # В сферической колбе объемом 1 л находится азот. При какой плотности
азота средняя длина свободного пробега молекул азота больше размеров
сосуда? Эффективный диаметр принять 0.3 нм.
120. # Баллон вместимостью 10 л содержит водород массой 1 г под давлением
125 кПа. Определить среднюю продолжительность свободного пробега
молекул. Диаметр молекул 0.23 нм.
4. Явления переноса
N   D
dn
d
St ; m   D
St – уравнение диффузии;
dz
dz
16


dv
dv
St ; F  
S – закон Ньютона для вязкости;
dz
dz
dT
Q  
St – уравнение теплопроводности;
dz
1
1
1
D   v  ;     v  ;     cV  v   – коэффициенты диффузии, вязкости и
3
3
3
C
i
теплопроводности для газа; здесь cV  V и CV  R – удельная и молярная
2

p  
теплоемкости идеального газа (i – число степеней свободы молекулы; i=3
для одноатомного газа, i=5 для двухатомного, i=6 – для многоатомного).
Примеры решения задач
Задача 4
Найти коэффициент диффузии газа, если в объеме 1 л находится 1022
молекул трехатомного газа. Коэффициент теплопроводности 0.02 Вт/м.К.
Решение
Дано:
V=1 л=10-3 м3
Коэффициент
диффузии
связан
со
средней
N=1022
арифметической скоростью молекул газа и средней длиной
i=6
1
свободного пробега молекул формулой: D   v  ; а для
τ=0.02 Вт/м.К
3
коэффициента теплопроводности газа имеем:   1   cV  v  ,
Найти:
D=?
3
тогда
    cV  D .
Здесь
cV
(1)
– удельная теплоёмкость газа:
cV 
CV


i R
2
,
(2)

m
V
– плотность газа. Поскольку число молей вещества можно записать как

m


N
, то m   N , и
N Ав.
NA
m
 N

 .
V N Ав. V
  2  N Ав.  V


D


N iR
  cV
N i  R

N Ав.  V 2 

Из (1), (2) и (3) получим:
  2  N Ав.  V
(3)
. Подставим
0.02  2  6.02  10 23  10 3
 4.8  10 5
22
N i  R
10  6  8.31
Вт
1
Дж 2
3

м
м
Вт  м 2
м2
размерность: D  м  К моль
.

 с

Дж
Дж
Дж
с
11
моль К
м2
Ответ: D  4.8  10 5
.
с
численные значения:
D

и вычислим
17
121. Найти коэффициент диффузии водорода при нормальных условиях, если
средняя длина свободного пробега 0.16 мкм.
122. Какое количество теплоты проходит за 1 с через медный стержень с
площадью поперечного сечения 10 см2 длиной 50 см, если разность
температур на концах стержня 15 К? Тепловыми потерями пренебречь.
Теплопроводность меди 389.6 Вт/м.К.
123. Коэффициент вязкости гелия при нормальных условиях 1.89.10-5 Па.с.
Вычислить эффективный диаметр его атома.
124. Найти динамическую вязкость гелия при нормальных условиях, если
коэффициент диффузии при тех же условиях равен 1.06.10-4 м2/с.
125. Коэффициент вязкости углекислого газа при н.у. равен 14.10-6 Н.с/м2.
Найти длину свободного пробега.
126. Коэффициент диффузии водорода при н.у. равен 0.91 см2/с. Определить
коэффициент теплопроводности.
127. Толщина деревянной стены равна 12 см. Какой должна быть толщина
кирпичной стены, чтобы она обладала такой же теплопроводностью, как
деревянная? Коэффициент теплопроводности дерева равен 0.17 Вт/м.К, а
кирпича 0.69 Вт/м.К.
128. В сосуде объемом 2 л находится 4.1022 молекул двухатомного газа.
Коэффициент теплопроводности газа равен 0.014 Вт/м .К. Найти
коэффициент диффузии при этих условиях.
129. Углекислый газ и азот находятся при одинаковой температуре и
давлении. Найти для этих газов отношение коэффициентов диффузии.
Диаметры молекул считать одинаковыми.
130. Углекислый газ и азот находятся при одинаковой температуре и
давлении. Найти для этих газов отношение коэффициентов вязкости.
Диаметры молекул и концентрации считать одинаковыми.
131. Как изменится вязкость газа, состояние которого далеко от вакуума, при
уменьшении объема в 2 раза, если процесс перехода изобарический?
132. Как изменится вязкость газа, состояние которого далеко от вакуума, при
уменьшении объема в 2 раза, если процесс перехода изотермический?
133. Коэффициенты диффузии и вязкости водорода при некоторых условиях
равны соответственно 1.42.10-4 м2/с и 8.5.10-6 Н.с/м2. Найти концентрацию
молекул водорода при этих условиях.
134. Стальная стенка котла толщиной 1.5 мм покрыта с внутренней стороны
слоем котельной накипи толщиной 1 мм. Определить температуру
стального листа под накипью, если температура наружной поверхности
стенки 250 К, внутренней – 2000С. Коэффициент теплопроводности
накипи 0.6 Вт/м.К, стали – 46 Вт/м.К.
135. Один конец железного стержня поддерживается при температуре 373 К,
другой упирается в лед. Длина стержня 14 см, площадь поперечного
сечения 2 см2. Стержень теплоизолирован так, что потерями теплоты
через стенки можно пренебречь. Найти скорость протекания теплоты
вдоль стержня (dQ/dt) и массу льда, растаявшего за 40 мин. Коэффициент
18
теплопроводности железа 59 Дж/(м.с.К), удельная теплота плавления льда
3.33.105 Дж/кг.
136. Какое количество теплоты проходит в 1 с через медный стержень с
площадью поперечного сечения 10 см2 длиной 50 см, если разность
температур на концах стержня 15 К? Тепловыми потерями через стенки
пренебречь. Коэффициент теплопроводности меди 380 Дж/(м.с.К).
137. Коэффициент теплопроводности у гелия в 8.7 раза больше, чем у аргона
при тех же условиях. Найти отношение эффективных диаметров молекул.
138. В медном котле диаметром 0.3 м при нормальном атмосферном давлении
кипит вода и при этом каждую секунду испаряется 100 г воды. Найти
температуру внешней поверхности котла, если его толщина 3 мм. Котел
считать полусферой. Коэффициент теплопроводности меди 380
Дж/(м.с.К), удельная теплота парообразования воды 2.26 МДж/кг.
139. Найти коэффициент диффузии газа, если в объеме 1 л находится 10 22
молекул трехатомного газа. Коэффициент теплопроводности 0.02 Вт/м.К.
140. Диаметр молекулы воздуха 0.3 нм. Считая, что для дождевой капли
диаметром 0.3 мм справедлив закон Стокса, определить наибольшую ее
скорость при 273 К.
141. Вычислить теплопроводность гелия при н.у. Эффективный диаметр
молекул гелия 0.19 нм.
142. Найти динамическую вязкость гелия при н.у., если коэффициент
диффузии при тех же условиях равен 1.06.10-4 м2/с.
143. Как изменятся коэффициент диффузии и вязкость идеального газа, если
объем газа увеличится изотермически в 10 раз?
144. # Как изменятся коэффициент диффузии и вязкость идеального газа, если
объем увеличится изобарически в 10 раз?
145. # Коэффициент теплопроводности кислорода равен 3.25.10-2 Вт/м.К.
Найти коэффициент вязкости при тех же условиях.
146. # Найти количество азота, прошедшего через площадку 100 см2 за 10 с,
если градиент плотности равен 1.26 кг/м4. Температура азота 270С,
средняя длина свободного пробега 0.1 мкм.
147. # Самолет летит со скоростью 360 км/ч. Считая, что толщина слоя
воздуха у крыла самолета, увлекаемого вследствие вязкости, равна 4 см,
найти касательную силу, действующую на каждый м2 поверхности
крыла. Диаметр молекулы воздуха 0.3 нм, температура 00С.
148. # Диаметр молекулы воздуха 0.3 нм. Найти коэффициент диффузии,
теплопроводности и вязкости при 283 К и давлении 1 атм.
149. # Температура в комнате 293 К, снаружи 253 К. Размеры стены комнаты,
выходящей на улицу, 2.7х5 м2, толщина стены 0.5 м. Какое количество
теплоты теряется в 1 с, если коэффициент теплопроводности кирпича 0.7
Вт/м.К? Потерями теплоты через внутренние стены, пол и потолок
пренебречь.
150. # Какое количество теплоты теряет помещение за время 1 час через окно
за счет теплопроводности воздуха, заключенного между рамами?
19
Площадь каждой рамы 4 м2, расстояние между рамами 15 см,
температура в помещении 180С, температура наружного воздуха –200С.
Диаметр молекул воздуха 0.3 нм. Температуру воздуха между рамами
считать равной среднему арифметическому температур помещения и
наружного воздуха. Давление 101.3 кПа.
5. Термодинамика. Теплоемкость. Изопроцессы.
Процесс
Уравнение
процесса
T=const
Изотерма
V=const
Изохора
P=const
Изобара
P1V1  P2V2
P1 P2

T1 T2
V1 V2

T1 T2
Таблица 2.
S=const
Адиабата
P1V1  P2V2
T1V1 1  T2V2 1
1
T1 P1
Q  A
Первое начало
термодинамики
ΔA
Q  U
V2
;
V1
P
RT ln 1
P2
RT ln
0
ΔU
CV T ;
0
ΔQ
i
VP
2
V2
;
V1
P
RT ln 1
P2
V
R ln 2 ;
V1
P
R ln 1
P2
RT ln
ΔS
CV T
T2
;
T1
P
CV ln 2
P1
CV ln
Q  A  U
PV ;
RT
CV T ;
i
PV
2
C P T ;
i2
PV
2
T2
;
T1
V
C P ln 2
V1
C P ln

1
 T2 P2 
A  U
P1V1   V1 
1  
  1   V2 

 CV T
 1

;


CV T
0
0
Q  A  U – первое начало термодинамики;
2
dA  PdV ; A12   PdV – работа идеального газа;
1
dQ
C тела 
dT
CV 
;
dQ
c
m  dT
;
C
dQ
dQ

  dT m
 dT
– теплоёмкость тела; удельная и молярная;

i
i2
R ; CP 
R – молярные теплоемкости идеального газа при постоянном
2
2
объеме и при постоянном давлении;
20
c
C

– связь удельной и молярной теплоемкостей.
Примеры решения задач
Задача 5
Кислород массой 200 г занимает объем 100 л и находится под давлением
200 кПа. При нагревании газ расширяется при постоянном давлении до объема
300 л, а затем его давление возросло до 500 кПа при неизменном объеме. Найти
изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу и количество
теплоты, переданной газу.
Решение
P
Дано:
График процесса в
m=0.2 кг
T3
осях (P, V) дан на рис.1.
P3
μ=0.032 кг/моль
Процесс 1→2 изобарный;
V1 =100 л=0.01 м3
работа при изобарном
V2 =300 л=0.03 м3
процессе
равна
T1
P1=2.105 Па
T2
P
=P
1
2



A

P

V

P

V

V
12
1
12
1
2
1 .
P3=5.105 Па
Процесс 2→3 изохорный,
i=5
и в этом процессе работа
V1
V2 =V3 V
не совершается. Таким
Найти:
Рис.1
образом, полная работа
ΔU=?
A13  P1  V2  V1  .
ΔA=?
(1)
ΔQ=?
Найдём приращение внутренней энергии при
переходе газа из состояния 1 в состояние 3: U13    i  R  T13    i  RT3  T1  .
2
2
Преобразуем это выражение и используем уравнение Менделеева-Клапейрона
PV  RT
для
начального
и
конечного
состояний
газа:
U 13 
i
RT3  RT1   i P3V3  P1V1  .
2
2
И, наконец, получим:
U 13 
i
P3V2  P1V1  .
2
(2)
Количество теплоты, переданной газу, найдём из первого начала
термодинамики:
Q  A  U .
(3)
5
Подставим в (1), (2) и (3) численные значения: A13  2  10 0.03  0.01  4000 Дж ,
U 13 


5
5  10 5  0.03  2  10 5  0.01  32500 Дж , Q  4000  32500  36500 Дж .
2
Ответ: A  4кДж , U  32.5кДж , Q  36.5кДж .
151. В сосуде объемом V=2 л находится азот при давлении p=0.1 МПа. Какое
количество теплоты надо сообщить азоту, чтобы: а) при p=const объем
увеличился вдвое; б) при V =const давление увеличилось вдвое?
152. Чему равна степень диссоциации кислорода, если удельная теплоемкость
его при постоянном давлении равна 1050 Дж/(кг.К)?
21
153. Какое количество теплоты надо сообщить 12 г кислорода, чтобы нагреть
его на 50 К при постоянном давлении?
154. Найти удельную теплоемкость кислорода для: а) V= const; б) p=const.
155. Плотность некоторого двухатомного газа при нормальных условиях
=1.43 кг/м3 . Найти удельные теплоемкости cv и cp этого газа.
156. 10 г кислорода находится при давлении p=0.3МПа и температуре t=10 0C.
После нагревания при p=const газ занял объем 10 л. Найти количество
теплоты, полученное газом, и энергию теплового движения молекул газа
до и после нагревания.
157. В закрытом сосуде находится 20 г азота и 32 г кислорода. Найти
изменение внутренней энергии смеси газов при охлаждении ее на 28 К.
158. До какой температуры охладится воздух, находящийся при 100C, если он
расширяется адиабатически от объема V1 до V2 =2V1?
159. Найти молярную массу и число степеней свободы молекул газа, если его
удельные теплоемкости cv=0.65 Дж/(г.К) и cp=0.91 Дж/(г.К).
160. Определить показатель адиабаты идеального газа, который при
температуре 350 К и давлении 0.4 МПа занимает объем 0.3 м3 и имеет
теплоемкость Сv=857 Дж/К.
161. Определить молярные теплоемкости газа, если его удельные
теплоемкости 10.4 кДж/(кг.К) и 14.6 кДж/(кг.К).
162. Вычислить отношение теплоемкостей газа Сp/ Сv для смеси 3 молей
аргона и 5 молей кислорода.
163. В баллоне при температуре 145 К и давлении 2 МПа находится кислород.
Определить температуру и давление газа после того как из баллона будет
очень быстро выпущена половина газа.
164. Газ, занимавший объем 12 л под давлением 100 кПа, был изобарически
нагрет от 300 К до 400 К. Определить работу расширения газа.
165. Кислород занимает объем 1 м3 и находится под давлением 200 кПа. Газ
был нагрет сначала при постоянном давлении до объема 3 м3, а затем при
постоянном объеме до давления 500 кПа. Найти изменение внутренней
энергии газа, совершенную им работу и количество теплоты, переданное
газу.
166. Азот массой 200 г расширился изотермически при температуре 280 К,
причем объем газа увеличился в 2 раза. Найти изменение внутренней
энергии газа, совершенную им работу и количество теплоты, переданное
газу.
167. В цилиндре под поршнем находится азот массой 600 г, занимающий
объем 1.2 м3 при температуре 560 К. В результате подвода теплоты газ
расширился и занял объем 4.2 м3 при неизменной температуре. Найти
изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу и
количество теплоты, переданное газу.
168. При изотермическом расширении 1 моля кислорода при температуре 300
К ему передано количество теплоты 2 кДж. Во сколько раз увеличился
объем газа?
22
169. Некоторая масса газа с двухатомными молекулами перешла от первого
состояния ко второму в два этапа: сначала по изобаре, а затем по
адиабате. При этом приращение внутренней энергии 130 кДж.
Определить начальное давление, если начальный объём равен 0.24 м3,
конечный объём 0.48 м3, конечное давление 1050 кПа.
170. Двухатомный газ при давлении 270 кПа имел объем 0.14 м3, а при
давлении 320 кПа – объем 0.11 м3. Переход из первого состояния во
второе был сделан в два этапа: сначала по изотерме, затем по изохоре.
Определить количество поглощенной газом теплоты.
171. Один киломоль газа изобарически нагревается от 200С до 6000С,
поглощая 12 МДж теплоты. Найти число степеней свободы молекул газа,
приращение внутренней энергии газа, работу газа.
172. В закрытом сосуде объемом 2.5 л находится водород при температуре
170С и давлении 13.3 кПа. Водород охлаждают до 00С. Найти количество
отданной газом теплоты, приращение внутренней энергии.
173. Водород занимает объем 10 м3 при давлении 100 кПа. Газ нагрели при
постоянном объеме до давления 300 кПа. Найти изменение внутренней
энергии газа, совершенную им работу и количество теплоты, переданное
газу.
174. Двухатомному газу сообщено 2095 Дж теплоты.
При этом газ
расширяется при постоянном давлении. Найти работу расширения газа.
175. 1 г кислорода находится под давлением 0.3 МПа при температуре 10°С.
После нагревания при постоянном давлении газ занял объем 1 л. Найти
количество теплоты, сообщенное газу, изменение внутренней энергии и
работу, совершенную газом.
176. 10.5 г азота изотермически расширяются при температуре -23°С от
давления 250 кПа до давления 100 кПа. Найти работу, совершенную
газом при расширении.
177. Газ, занимающий объем 5 л и находящейся под давлением 0.2 МПа при
температуре 17°С, был нагрет и расширялся изобарически. Работа
расширения газа при этом оказалась равной 200 Дж. На сколько нагрели
газ?
178. При изотермическом расширении 10 г азота, находящегося при
температуре 17°С, была совершена работа 860 Дж. Во сколько раз
изменилось давление азота при расширении?
179. Некоторое количество идеального газа с одноатомными молекулами
совершило при давлении 105 Па обратимый изобарический процесс, в
ходе которого объем газа изменился от 10 л до 20 л. Определить
приращение внутренней энергии газа, совершенную газом работу и
полученное газом количество теплоты.
180. При изобарическом нагревании от 0°С до 100°С один моль идеального
газа поглощает 3.35 кДж теплоты. Определить отношение удельных
теплоемкостей газа, приращение внутренней энергии и работу,
совершаемую газом.
23
181. В результате обратимого изотермического (Т=300 К) расширения 531 г
азота давление газа уменьшилось от 2 МПа до 0.2 МПа. Определить
работу, совершаемую газом при расширении, и количество полученной
газом теплоты.
182. 231 г гелия, находившегося первоначально при температуре 20°С и
давлении 105 Па, сжимают адиабатически до давления 107 Па. Считая
процесс сжатия обратимым, определить температуру газа в конце сжатия;
работу, совершаемую газом; во сколько раз уменьшился объем газа.
183. Азот нагревался при постоянном давлении, при этом ему было сообщено
21 кДж теплоты. Какую работу совершил при этом газ? Каково было при
этом изменение внутренней энергии?
184. Водород в объеме 5 л, находящийся под давлением 100 кПа,
адиабатически сжат до объема 1 л. Найти работу сжатия.
185. В цилиндре под поршнем находится 20 г азота. Газ был нагрет на 100°С
при постоянном давлении. Определить количество теплоты, сообщенной
газу, работу расширения и приращение внутренней энергии.
186. Какое количество тепла отдает одноатомный газ при изобарическом
охлаждении, если на сжатие газа затрачена работа 10 Дж?
187. В сосуде емкостью 10 л находится кислород под давлением 10 5 Па.
Стенки сосуда могут выдержать давление 106 Па. Какое максимальное
количество теплоты можно сообщить газу?
188. Найти изменение внутренней энергии идеального одноатомного газа,
изобарически расширившегося от объема 10 л до объема 20 л при
давлении 5 атм.
189. 14 г азота адиабатически расширяется так, что давление уменьшается в 5
раз и затем изотермически сжимается до первоначального давления.
Начальная температура азота 420°С. Найти: а) температуру газа в конце
процесса; б) количество теплоты, отданной газом; в) приращение
внутренней энергии газа; г) совершенную газом работу.
190. Водород массой 40 г, имевший температуру 300 К, адиабатически
расширился, увеличив объем в три раза. Затем при изотермическом
сжатии объем газа уменьшился в 2 раза. Определить полную работу,
совершенную газом и конечную температуру газа.
191. При адиабатическом сжатии 2.8 кг окиси углерода объем уменьшается в
4 раза. Определить работу сжатия, если температура газа в начале
процесса 7°С.
192. При адиабатическом сжатии 20 г гелия давление газа увеличилось в 10
раз. Определить конечную температуру газа и работу сжатия. Начальная
температура гелия равна 300 К.
193. Один килограмм кислорода сжимается адиабатически, вследствие чего
температура газа возрастает от 20°С до 500°С. Вычислить: а) приращение
внутренней энергии газа; б) работу, затраченную на сжатие газа; в) во
сколько раз уменьшится объем газа?
24
194. Для аргона отношение удельных теплоемкостей равно 1.68. Определить
давление, получившееся после адиабатического расширения этого газа от
1 л до 2 л, если начальное давление равно 105 Па.
195. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном давления и объеме
для гелия и углекислого газа, считая эти газы идеальными.
196. Молярная масса газа 44 кг/кмоль. Отношение удельных теплоемкостей
равно 1.33. Вычислить удельные теплоемкости газа.
197. При температуре 207°С 2.5 кг некоторого газа занимают объем 0.8 м3.
Определить давление газа, если удельная теплоемкость при постоянном
объеме 519 Дж/(кг.К) и отношение удельных теплоемкостей равно 1.67.
198. В баллоне емкостью 10 л находится кислород при температуре 300 К под
давлением 100 кПа. При нагревании кислород получил 8350 Дж теплоты.
Определить температуру и давление кислорода после нагревания.
199. В двигателе степень сжатия горючей смеси равна 6.2. Смесь засасывается
в цилиндр при температуре 150С. Найти температуру горючей смеси в
конце такта сжатия. Смесь рассматривать как двухатомный идеальный
газ, процесс считать адиабатическим.
200. # Найти удельную теплоемкость сp газовой смеси, состоящей из 3000
молей аргона и 2000 молей азота.
201. # Найти удельные теплоемкости cv и cp парообразного йода, если степень
диссоциации его равна 50%. Молярная масса йода 0.254 кг/моль.
202. # Чему равна теплоемкость идеального газа при: а) изотермическом; б)
адиабатическом процессах?
203. # Определить молярные теплоемкости смеси двух газов – одноатомного и
двухатомного. Количество вещества одноатомного газа 0.4 моль,
двухатомного – 0.2 моль.
204. # Кислород массой 200 г занимает объем 100 л и находится под
давлением 200 кПа. При нагревании газ расширяется при постоянном
давлении до объема 300 л, а затем его давление возросло до 500 кПа при
неизменном объеме. Найти изменение внутренней энергии газа,
совершенную им работу и количество теплоты, переданной газу.
205. # Водород массой 40 г, имевший температуру 300 К, адиабатически
расширился, увеличив объем в 3 раза. Затем при изотермическом сжатии
объем газа уменьшился в 2 раза. Определить полную работу,
совершенную газом, и конечную температуру.
206. # Какое количество теплоты выделится, если азот массой 1 г при
температуре 280 К и давлении 100 кПа изотермически сжать до давления
1 МПа?
207. # В цилиндре под поршнем находится водород массой 20 г при
температуре 300 К. Водород сначала расширился адиабатически,
увеличив свой объем в 5 раз, а затем был сжат изотермически до
первоначального объема. Найти температуру в конце адиабатического
расширения и полную работу газа.
25
208. # Горючая смесь в двигателе дизеля воспламеняется при температуре
1100 К. Начальная температура смеси 350 К. Во сколько раз нужно
уменьшить объем смеси при сжатии, чтобы она воспламенилась? Сжатие
считать адиабатическим, показатель адиабаты равен 1.4.
209. # Два киломоля углекислого газа нагреваются при постоянном давлении
на 50°С. Найти изменение внутренней энергии, работу расширения и
количество теплоты, сообщенное газу (молекула углекислого газа
линейная).
210. # В вертикально расположенном цилиндре под поршнем находится
воздух. Какую работу надо произвести, чтобы поднять поршень на
высоту 10 см, если начальная высота столба воздуха равна 15 см,
атмосферное давление равно 100 кПа, площадь поршня 10 см2? Весом
поршня пренебречь. Температура постоянна.
6. Круговой процесс (цикл). КПД цикла. Цикл Карно
A Q1  Q2
– КПД цикла;

Q1
Q1
T T
 Карно  1 2 – КПД цикла Карно.
T1

Примеры решения задач
Задача 6
Идеальный газ совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар.
При этом объем газа изменяется от 25 cм3 до 50 cм3, а давление от 100 кПа до
200 кПа. Найти работу в рассматриваемом цикле, а также работу в цикле
Карно, изотермы которого соответствуют наибольшей и наименьшей
температурам рассматриваемого цикла, если при изотермическом расширении
объем возрастает в 2 раза. Во сколько раз работа в таком цикле меньше работы
в цикле Карно?
Решение
Дано:
Цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар,
V1 =25 см3=25.10-6 м3
изображён на рисунке 2 в осях (P, V). Работа A в
V2 =50 см3=50.10-6 м3
этом цикле равна сумме работ изобарического
P1=1.105 Па
расширения и изобарического сжатия, поскольку
P2=2.105 Па
при изохорных процессах работа не совершается:
VT 2
A  P2 V2  V1   P1 V1  V2   P2  P1 V2  V1  .
(1)
2
VT 1
Максимальная и минимальная температуры
рассматриваемого цикла будут в точках с
Найти:
параметрами (P1, V1) и (P2, V2) соответственно, как
А=?
следует из уравнения Менделеева-Клапейрона,
АК=?
записанного для этих двух точек:
AК
?
P1V1  RTmin
(2)
A
P2V2  RTmax .
(3)
26
P
По условию температуры нагревателя и холодильника в другом цикле –
цикле Карно – равны соответственно
максимальной и минимальной температуре
данного цикла:
Tmax
P2
TН  Tmax 
P2V2
R
,
TХ  Tmin 
P1V1
R
.
(4)
Работа же изотермического расширения в
цикле Карно равна Aрасш.  RTН ln
Tmin
P1
учётом
V1
Рис.2
V2
(3)
Aрасш.  P2V2 ln
VK 2
VK1
.
VК 2
VК 1
, а с
Поскольку
процесс расширения в цикле Карно –
изотермический, то внутренняя энергия при
этом
процессе
не
изменяется:
V
i
2
U     R  T  0 ,
и
по
первому
закону
термодинамики количество теплоты, полученной рабочим телом от нагревателя
при этом процессе, равно
QН  A расш.  U  А расш.  P2V2 ln
A
,
QН
A
К  К ,
QН
Далее, КПД любого цикла равен  
VK 2
VK1
.
(5)
и, в частности, для цикла Карно:
(6)
где АК – искомая полная работа в цикле Карно. С другой стороны,
К 
TН  T Х
T
1 Х
TН
TН
, а с учётом (4)
К 1 
P1V1
P2V2
.
(7)
Из (5), (6) и (7) получим:

PV
АК   К  QН  1  1 1
P2V2


V
  P2V2 ln К2
VК1

.
(8)
В (1) и (8) подставим численные значения:
A  P2  P1 V2  V1   2  10 5  1  10 5  50  10 6  25  10 6   2.5 Дж ;

10 5  25  10 6
АК  1 
5
6
 2  10  50  10

  2  10 5  50  10 6 ln 2  5.2 Дж .


A
Найдём отношение работ: К  5.2  2.08 .
A 2.5
A
Ответ: A  2.5 Дж ; АК  5.2 Дж ; К  2.08 .
A
211. Паровая машина мощностью P=14.7 кВт потребляет за время t=1 ч
работы массу m=8.1 кг угля с удельной теплотой сгорания q=33 МДжкг.
Температура котла Т1=473 К, температура холодильника Т2=331 К. Найти
27
фактический КПД машины и сравнить его с КПД К идеальной тепловой
машины Карно при тех же температурах.
212. Идеальная тепловая машина Карно совершает за один цикл работу
А=73.5 кДж. Температура нагревания Т1=373 К, холодильника Т2=273 К.
Найти КПД цикла, количество теплоты Q1, получаемое машиной за один
цикл от нагревателя, и количество теплоты Q2, отдаваемое холодильнику
за один цикл.
213. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Температура
нагревателя 500 К, охладителя 250 К. Определить термический КПД
цикла, а также работу, совершенную рабочим веществом, при
изотермическом расширении, если при изотермическом сжатии
совершена работа 70 Дж.
214. Определить КПД цикла Карно, если температуры нагревателя и
холодильника соответственно равны 200°С и 11°С. На сколько нужно
повысить температуру нагревателя, чтобы КПД повысился вдвое?
215. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. При этом 80%
теплоты, получаемой от нагревателя, передается холодильнику.
Количество теплоты, получаемое от нагревателя, равно 4.19 кДж. Найти
КПД цикла и работу, совершенную при полном цикле.
216. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, получает за
каждый цикл от нагревателя 2514 Дж теплоты. Температура нагревателя
400 К, температура холодильника 300 К. Найти работу, совершаемую за
один цикл, и количество теплоты, отдаваемое холодильнику за один
цикл.
217. Тепловая машина работает по циклу Карно. Температура нагревателя
327°С. Определить КПД цикла и температуру холодильника тепловой
машины, если за счет 2 кДж теплоты, полученной от нагревателя,
машина совершает работу, равную 400 Дж.
218. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя в 4 раза
больше температуры холодильника. Определить КПД цикла. Какую долю
количества теплоты, полученной от нагревателя, газ отдает
холодильнику?
219. Газ, являясь рабочим веществом в цикле Карно, получил от нагревателя
теплоту 4.38 кДж и совершил работу 2.4 кДж. Определить температуру
нагревателя, если температура охладителя 273 К.
220. Газ, совершающий цикл Карно, отдал охладителю 67% теплоты,
полученной от нагревателя. Определить температуру охладителя, если
температура нагревателя 430 К.
221. Определить работу изотермического сжатия газа, совершающего цикл
Карно, КПД которого равен 0.4, если работа изотермического
расширения равна 8 Дж.
222. Газ, совершающий цикл Карно, отдал охладителю теплоту 14 кДж.
Определить температуру нагревателя, если при температуре охладителя
280 К работа цикла 6 кДж.
28
223. Во сколько раз увеличится КПД цикла Карно при повышении
температуры нагревателя от 380 К до 580 К? Температура охладителя 280
К.
224. Газ, совершающий цикл Карно, получает теплоту 84 кДж. Какую работу
совершает газ, если температура нагревателя в 3 раза выше температуры
охладителя?
225. Цикл работы двигателя внутреннего сгорания состоит из двух изохор и
двух адиабат. Во сколько раз изменится КПД двигателя, если
коэффициент сжатия увеличить с 5 до 10? Рабочее вещество считать
многоатомным идеальным газом.
226. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар.
При этом объем газа изменяется от 25 cм3 до 50 cм3, а давление от 100
кПа до 200 кПа. Во сколько раз работа в таком цикле меньше работы в
цикле Карно, изотермы которого соответствуют наибольшей и
наименьшей температурам рассматриваемого цикла, если при
изотермическом расширении объем возрастает в 2 раза?
227. Цикл, совершаемый одним киломолем идеального двухатомного газа,
состоит из двух изохор и двух изобар. Совершаемая газом за цикл работа
равна 32 кДж.. Минимальные значения объема и давления равны 0.25 м3
и 170 кПа, максимальный объём 0.85 м3. Определить количество
полученной за цикл теплоты.
228. Цикл, совершаемый одним киломолем идеального двухатомного газа,
состоит из двух изохор и двух изобар. Минимальные значения объема и
давления равны 0.075 м3 и 330 кПа, максимальные – 0.135 м3 и 460 кПа.
Определить совершаемую газом за цикл работу.
229. Цикл, совершаемый одним киломолем идеального двухатомного газа,
состоит из двух изохор и двух изобар. Совершаемая газом за цикл работа
равна 42 кДж. Минимальные значения объема и давления равны 0.18 м3 и
290 кПа, максимальный объём – 0.39 м3; Определить максимальное
давление.
230. Цикл, совершаемый одним киломолем идеального двухатомного газа,
состоит из двух изохор и двух изобар. Количество полученной за цикл
теплоты равно 2300 кДж. Минимальные значения объема и давления
равны 1.3 м3 и 270 кПа, максимальное давление равно 490 кПа.
Определить максимальный объём.
231. Цикл, совершаемый одним киломолем идеального двухатомного газа,
состоит из двух изохор и двух изобар. Совершаемая газом за цикл работа
равна 75 кДж. Минимальные значения объема и давления равны 0.92 м3 и
190 кПа, максимальное давление 410 кПа. Определить количество
полученной за цикл теплоты.
232. Газ, совершающий цикл Карно, получает теплоту 84 кДж. Какую работу
совершает газ, если температура нагревателя в три раза выше
температуры охладителя?
29
233. Газ, совершающий цикл Карно, отдал охладителю теплоту 14 кДж.
Определить температуру нагревателя, если при температуре охладителя
280 К работа цикла равна 6 кДж.
234. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 2/3 количества теплоты,
полученной от нагревателя, отдает охладителю. Температура охладителя
280 К. Определить температуру нагревателя.
235. # В каком случае КПД цикла Карно повысится больше: при увеличении
температуры нагревателя на ΔT или при уменьшении температуры
холодильника на такую же величину?
236. # Идеальный газ совершает цикл Карно при температурах нагревателя и
холодильника 400 и 290 К соответственно. Во сколько раз увеличится
КПД цикла, если температура нагревателя возрастет до 550 К? Какой
должна была бы быть температура нагревателя при той же температуре
холодильника, чтобы КПД возрос до 80%?
237. # Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя равна
470 К, температура охладителя 280 К. При изотермическом расширении
газ совершает работу 100 Дж. Определить термический КПД цикла, а
также количество теплоты, которое отдает охладителю при
изотермическом сжатии газ.
238. # Найти КПД цикла, состоящего из двух изохор и двух адиабат, если в
пределах цикла объем идеального газа изменяется в 10 раз. Рабочим
веществом является азот.
239. # Идеальный двухатомный газ совершает цикл, состоящий из двух
изохор и двух изобар. Найти КПД такого цикла, если температура газа
возрастает в 3 раза как при изохорическом нагреве, так и при
изобарическом расширении.
240. # Идеальный двухатомный газ, находящийся при температуре 300 К,
нагревают при постоянном объеме до давления, вдвое большего
первоначального. После этого газ изотермически расширился до
начального давления и затем изобарически был сжат до начального
объема. Построить график цикла. Определить температуру газа для
характерных точек цикла и его термический КПД.
7. Энтропия.
2
dQ
dQ
; S12  
– определение энтропии по Клаузиусу;
T
T
1
T
V
S  CV ln 2  R ln 2 – изменение энтропии в процессах с идеальным газом;
T1
V1
dS 
S  k ln w – определение энтропии по Больцману; здесь w – термодинамическая
вероятность состояния системы (число микросостояний, которыми можно
реализовать данное макросостояние), p 
w
– математическая вероятность
N
состояния, N – полное число возможных состояний системы.
30
Примеры решения задач
Задача 7
Найти суммарное изменение энтропии при погружении 100 г нагретого до
0
300 С железа в воду при температуре 50С. Температуру воды считать
постоянной, удельная теплоемкость железа 500 Дж/(кг.К).
Решение
Дано:
Суммарное изменение энтропии воды и железа
m=100 г=0.1 кг
равно: S  S1  S 2 , где S1  Q - изменение энтропии
t0=50С
T0
T0=278К
для воды, поскольку её температура T0 остаётся
t1=3000С
неизменной. Количество теплоты, полученное водой,
T1=573 К
равно теплоте, отданной железом при охлаждении:
с=500 Дж/(кг.К)
cmT1  T0 
Q  cmT  cm T1  T0  , то есть S1 
.
T0
Найти:
Температура
железа
непостоянна,
поэтому
ΔS=?
Т
изменение энтропии для него S 2   dQ . Подставим
0
Т1
dQ  cmdT
и
вычислим
изменение энтропии: S 
интеграл:
S 2 
cmT1  T0 
T
 cm ln 1
T0
T0
численные значения: S  500
Т0

Т1
T
T
T
cmdT
 cm  ln 0  cm  ln 1
T
T1
T0
 T1
T
 1  ln 1
T0
 T0
, или S  cm

 .

.
Полное
Подставим
Дж
573 
Дж
 573
.
 0.01кг  
 1  ln
  11.7
кг  К
278 
К
 278
Ответ: S  11.7 Дж .
К
241. В сосуде содержится 5 молекул. Каким числом способов могут быть
распределены эти молекулы между левой и правой половинами сосуда?
Чему равно w(1,4) число способов такого распределения, при котором в
левой половине сосуда оказывается одна молекула, а в правой – четыре?
Какова математическая вероятность p(1,4) такого состояния? Чему равно
w(2,3) и p(2,3)?
242. Найти изменение энтропии 280 г азота при изотермическом увеличении
объема в 5 раз.
243. Определить изменение энтропии при изотермическом расширении
кислорода массой 0.01 кг при изменении объема от 25 л до 50 л.
244. Лед массой 2 кг при температуре 00С был превращен в воду той же
температуры с помощью пара, имеющего температуру 1000С. Определить
массу израсходованного пара. Каково изменение энтропии системы ледпар? Удельная теплота плавления льда равна 333 кДж/кг, удельная
теплота парообразования – 2.26 МДж/кг.
31
245. Найти изменение энтропии при охлаждении 100 г воды от 15 0С до 00С.
Удельная теплоемкость воды равна 4200 кДж/(кг.К).
246. Найти изменение энтропии при превращении 10 г льда, взятого при
температуре –200С, в пар при температуре 373 К.
247. Найти изменение энтропии при переходе 8 г кислорода от объема 10 л
при температуре 353 К к объему 40 л при температуре 573 К.
248. Масса 6.6 г водорода изобарически расширяется в 2 раза. Найти
изменение энтропии в этом процессе.
249. Лед массой 1 кг, имеющий температуру -250С, был последовательно
превращен в воду, а затем при атмосферном давлении – в сухой
насыщенный пар. Чему равно изменение энтропии в каждом из этих
процессов?
250. Найти изменение энтропии при нагревании 100 г воды от 0 0С до 1000С и
последующем превращении в пар при той же температуре.
251. Найти изменение энтропии при изотермическом расширении 10 г азота от
объема 25 л до объема 100 л.
252. Найти изменение энтропии 100 г железа при нагревании от 0 0С до 500С.
Удельная теплоемкость железа 500 Дж/(кг.К).
253. Водород массой 100 г был изобарически нагрет так, что его объем
увеличился в 3 раза, а затем изохорически охлажден так, что давление
уменьшилось в 3 раза. Найти полное изменение энтропии.
254. Два кг кислорода увеличили свой объем в 5 раз. Температура при этом
изменилась от 1000С до 100С. Найти изменение энтропии.
255. Один кг азота увеличил свой объем в 3 раза изотермически при
температуре 1000С, а затем изохорически уменьшил давление в 2 раза.
Найти суммарное изменение энтропии.
256. Найти изменение энтропии при изотермическом расширении 16 г
кислорода от 100 кПа до 50 кПа.
257. Найти изменение энтропии 1 моля углекислого газа при увеличении его
термодинамической температуры в 2 раза, если процесс нагревания: 1)
изохорический; 2) изобарический.
258. Во сколько раз следует увеличить изотермически объем 4 молей
идеального газа, чтобы его энтропия увеличилась на 23 Дж/К?
259. При нагревании 1 киломоля двухатомного газа его абсолютная
температура увеличилась в 1.5 раза. Найти изменение энтропии, если
процесс изобарический.
260. Найти суммарное изменение энтропии при погружении 100 г нагретого
до 3000С железа в воду при температуре 50С. Температуру воды считать
постоянной, удельная теплоемкость железа 500 Дж/(кг.К).
261. В сосудах 1 и 2 находится по 1.2 моля газообразного гелия. Объем
второго сосуда в 2 раза больше, чем первого, а абсолютная температура
газа в первом сосуде в 1.5 раза больше, чем во втором. Найти разность
энтропий газа в этих сосудах.
32
262. Найти приращение энтропии двух молей идеального газа с показателем
адиабаты 1.3, если в результате некоторого процесса объем газа
увеличился в 2 раза, а давление уменьшилось в 3 раза.
263. Процесс расширения двух молей аргона происходит так, что давление
газа увеличивается прямо пропорционально его объему. Найти
приращение энтропии газа при увеличении его объема в 2 раза.
264. # Найти изменение энтропии при нагревании воды массой 200 г от 00С до
1000С и последующем превращении воды в пар при той жe температуре.
Удельная теплоемкость воды равна 4200 кДж/(кг.К), удельная теплота
парообразования – 2.26 МДж/кг.
265. # Кислород массой 2 кг увеличил объем в 5 раз: один раз изотермически,
другой - адиабатически. Найти изменение энтропии в каждом из
указанных процессов.
266. # Найти изменение энтропии при изобарическом расширении азота
массой 4 г от объема 5ּ10-3 м3 до объема 9ּ10-3 м3.
267. # Масса 10 г кислорода нагревается от температуры 323 К до
температуры 423 К. Найти изменение энтропии, если нагревание
происходит: 1) изохорически; 2) изобарически.
268. # Изменение энтропии на участке между двумя адиабатами в цикле
Карно 4.19 кДж/К. Разность температур между двумя изотермами 100 К.
Какое количество теплоты превращается в работу в этом цикле?
269. # Гелий массой 1.7 кг адиабатически расширили в 3 раза и затем
изобарически сжали до первоначального объема. Найти изменение
энтропии.
270. # Два моля идеального газа сначала изохорически охладили, а затем
изобарически расширили так, что температура газа стала равна
первоначальной. Найти изменение энтропии газа, если его давление в
данном процессе изменилось в 3.3 раза.
8. Реальный газ.

P  a

Vm2

a
P  2
Vm

Vm  b   RT


– уравнение Ван дер Ваальса, где Vm 
V

– молярный объем;
– внутреннее (молекулярное) давление;
a
8a
Vm  3b ; p к 
;Tк
– критические параметры газа;
2
к
27bR
27b
3
4  d эфф 


b  4N A  
– связь Ван дер Ваальсовской поправки b на объем и
3  2 
собственного объема молекул газа;
U m  CV T 
a
– внутренняя энергия реального газа.
Vm
33
Таблица 3. Поправки в уравнении Ван дер Вальса.
Вещество
Водяной пар
Углекислый газ
Кислород
Аргон
Азот
Водород
Гелий
а.10-5, Н.м4/кмоль2
5.56
3.64
1.36
1.36
1.36
2.44.10-1
3.43.10-2
b.102, м3/кмоль
3.06
4.26
3.16
3.22
3.85
2.63
2.34
Таблица 4. Критические значения Тк и рк.
Вещество
Водяной пар
Углекислый газ
Кислород
Аргон
Азот
Водород
Гелий
Тк, К
647
304
154
151
126
33
5.2
рк, атм
217
73
50
48
33.6
12.8
2.25
рк..10-6, Па
22
7.4
5.07
4.87
3.4
1.3
0.23
Примеры решения задач
Задача 8
В сосуде объемом 10 л находится 0.25 кг азота при температуре 270С. 1)
Какую часть давления газа составляет давление, обусловленное силами
взаимодействия молекул? 2) Какую часть объема сосуда составляет
собственный объем молекул?
Решение
Дано:
В модели Ван-дер-Ваальса
m=0.25 кг
молекулы
можно
считать
0
t=27 С
абсолютно твёрдыми шариками с
T=300 К
диаметром,
равным
μ=0.028 кг/моль
эффективному диаметру dэфф.
3
V=0.01 м
Собственный
объём
одной
.
5
. 4
2
. 4
2
3
а=1.36 10 Н м /кмоль =0.136 Н м /моль
4  d эфф 


молекулы
равен:
.
V


1
b=3.85.10-2 м3/кмоль=3.85.10-5 м3/моль
3  2 
Найти:
ΔS=?
P
?
P
Vмолек.
?
V
Суммарный собственный объём
всех N молекул, содержащихся
в
сосуде,
будет
Vмолек.
4  d эфф
 N   
3  2




3
. Поправка b
на собственный объём молекул в
34
уравнении Ван-дер-Ваальса равна учетверённому собственному объёму
4 d
молекул, содержащихся в одном моле вещества: b  4 N A   эфф
3  2
Vмолек. 
N
m b
b  .
4  N Ав.
 4
V


V
m
Vмолек.
mb
0.25  3.85  10 5


 8.6  10 3 .
V
4   V
4  0.028  0.01
взаимодействия молекул, равно P   a2 , где
Vm
Искомое отношение
Давление, обусловленное силами
Vm 
3

 . То есть

– молярный объём. Давление реального газа P найдём из уравнения
Ван-дер-Ваальса

P  a

Vm2


Vm  b   RT


:
a
Vm2
P
1



RT
a
P
Vm2
RT
 2
Vm  b  Vm Vm  b   a  1
P
RT
a
 2
Vm  b  Vm
1
RTVm

b
a  1 
 Vm




1
. Их отношение:
1
.
RT  V
1
 bm

m  a  1 
V 

Подставим численные значения:
P

P
1
1
1


 0.049 .
RT  V
8.31  300  0.028  0.01
0.698
1
1
1
0.0328
 bm
 3.85  10 5  0.25 


m  a  1 
0.25  0.136  1 
V 
0.028  0.01 


Проанализируем полученные величины. Собственный объём молекул
занимает менее 1% объёма сосуда:
Vмолек.
 0.86% ,
V
следовательно, в уравнении
Ван-дер-Ваальса для данного газа можно было бы пренебречь поправкой b.
Поправкой же a пренебрегать не следует, так как давление, обусловленное
силами взаимодействия молекул, составляет около 5% давления газа:
Ответ:
V
P
 0.049 ; молек.  0.0086 .
P
V
P
 4.9% .
P
271. Вычислите, пользуясь формулой Ван-дер-Ваальса, давление массы 1.1 кг
углекислого газа, заключенного в баллоне объемом 20 л, при температуре
130 С. Сравните полученный результат с давлением идеального газа при
тех же условиях.
272. В баллоне объемом 20 л находится 80 моль некоторого газа. При 14 0С
давление газа равно 90 атм, при 630С – 109 атм. Вычислите постоянные
Ван-дер-Ваальса для этого газа.
273. Масса m=10 г гелия занимает объем V=100 см3 при давлении р=100 МПа.
Найти температуру Т газа, считая его: а) идеальным; б) реальным.
274. 1 кмоль гелия занимает объем 0.237 м3 при температуре –2000С. Найти
давление газа, считая его: а) идеальным; б) реальным.
275. 1 кмоль кислорода занимает объем 0.056 м3 при давлении 920 атм. Найти
температуру газа, считая его: а) идеальным; б) реальным.
35
276. Аргон массой 4 г занимает объем 0.1 л под давлением 2.5 МПа. Найти
температуру газа, считая его: а) идеальным; б) реальным. Относительная
атомная масса аргона равна 40.
277. Определить критическую температуру и давление для аргона, зная для
него постоянные Ван-дер-Ваальса.
278. Вычислить давление, обусловленное силами взаимодействия молекул,
для воды, зная постоянную a в уравнении Ван-дер-Ваальса.
279. Найти критический объем кислорода в количестве 1 моль по известным
для него значениям критической температуры и давления.
280. Найдите давление, обусловленное силами взаимодействия молекул газа,
находящегося при нормальных условиях. Критическая температура и
критическое давление этого газа равны соответственно Тк=417 К и рк=76
атм. Доказать, что для такого газа можно пренебречь собственным
объемом молекул. Написать уравнение состояния такого полуидеального
газа.
281. Для водорода силы взаимодействия между молекулами незначительны;
преимущественную роль играют собственные размеры молекул. 1)
Написать уравнение состояния такого полуидеального газа. 2) Найти,
какую ошибку мы допустили бы при нахождении числа молей водорода,
находящегося в некотором объеме при температуре t=0О С и давлении
р=2.8 . 107 H/м2, не учитывая собственных размеров молекул.
282. 20 кг азота адиабатически расширяются в пустоту от V1=1м3 до V2=2 м3.
Найти понижение температуры при этом расширении, считая известной
для азота постоянную a, входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса.
283. 0.5 кмоля трехатомного газа адиабатически расширяется в пустоту от
V1=0.5 м3 до V2=3 м3. Температура газа при этом понижается на 12.20.
Найти из этих данных постоянную a, входящую в уравнение Ван-дерВаальса.
284. Найти внутреннюю энергию углекислого газа массой 132 г,
занимающего объем 0.7 л при температуре 300 К, в двух случаях, когда
газ рассматривают как: а) идеальный, б) реальный.
285. Найти среднюю длину свободного пробега молекул углекислого газа при
273 К и давлении 105 Па. Критические параметры считать известными.
286. Найти плотность водяных паров в критическом состоянии, считая
известной для них постоянную b, входящую в уравнение Ван-дерВаальса.
287. Найти плотность гелия в критическом состоянии, считая известными для
гелия значения критических величин.
288. Найти плотность азота в критическом состоянии по известным значениям
критических параметров.
289. Водород находится при температуре 270С и давлении 0.2 МПа. Считая
известными для него критические параметры, найти коэффициент
диффузии водорода.
36
290. Найти эффективный диаметр молекул кислорода по известным
значениям критических параметров.
291. Определить критический объем 1 моля углекислого газа по известным
значениям критических параметров.
292. # Пользуясь данными о критических величинах Тк и рк для газов, найти
для водяного пара и гелия постоянные а и b, входящие в уравнение Вандер-Ваальса.
293. # В баллоне емкостью 30 л заключен углекислый газ массой 1.5 кг при
температуре 170С. Найти давление газа, считая его: а) идеальным; б)
реальным.
294. # Объем кислорода массой 4 г увеличивается от 1 до 5 л. Найти работу
против сил внутреннего давления.
295. # Какова средняя длина свободного пробега молекул азота при н.у., если
известна постоянная Ван-дер-Ваальса b для него?
296. # Найти плотность водорода в критическом состоянии, считая
известными для него значения критических величин Тк и рк (табл.4).
297. # 0.5 кмоля некоторого газа занимает объем V1=1 м3. При расширении
газа до объема V2=1.2 м3 была совершена работа против сил
взаимодействия молекул, равная А=5680 Дж. Найти для этого газа
постоянную a, входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса.
298. # Найти, во сколько раз давление 1 моля газа больше его критического
давления, если его объем и температура вдвое больше критических
значений этих величин.
299. # 1 моль аргона занимает при температуре 300 К объем 1 л. Вычислить
давление аргона: а) считая, что он обладает свойствами идеального газа;
б) принимая во внимание поправку Ван-дер-Ваальса на давление,
пренебрегая поправкой на объем; в) принимая во внимание поправку на
объем, но пренебрегая поправкой на давление; г) принимая во внимание
обе поправки.
300. # Найти эффективный диаметр d молекулы азота двумя способами: а) по
данному значению средней длины свободного пробега молекул при
нормальных условиях 95 нм; б) по известному значению постоянной b в
уравнении Ван-дер-Ваальса.
9. Молекулярные силы в жидкостях

dE поверхн.пот.
;
dS
 1
1 

p    
 R1 R2 
dFпов.нат.
– коэффициент поверхностного натяжения;
dl
– давление под искривленной поверхностью жидкости
(формула Лапласа);
2 cos 
– высота поднятия жидкости в капиллярной трубке.
h
rg
37
Примеры решения задач
Задача 9
Пространство между двумя стеклянными параллельными пластинами
площадью поверхности 100 см2 каждая, расположенными на расстоянии 20 мкм
друг от друга, заполнено водой. Определить силу, прижимающую пластинки
друг к другу. Считать мениск вогнутым с диаметром, равным расстоянию
между пластинами. Коэффициент поверхностного натяжения для воды равен
0.073 Н/м.
Решение
Дано:
Мениск
имеет
форму
S=0.01 м2
цилиндра (рис. 3), поэтому в
d=20.10-6 м
формуле Лапласа для избыточного
α=0.073 Н/м
давления
под
искривлённой
поверхностью
жидкости
Найти:
 1
1 
 один из радиусов
p    
F=?
 R1
R2 
кривизны поверхности в точке О
R1→∞, а второй равен половине расстояния между
пластинами, поскольку смачивание полное. Таким


 1 1  2 
образом, p      
. Силу найдём по
 d 
d


2

определению давления p  F : F  S  p  S  2   . Подставим
S
d
2  0.073
F  0.01 
 73Н .
20  10 6
Ответ: F  73Н .
Рис.3
численные значения:
301. Какую силу нужно приложить к горизонтальному алюминиевому кольцу
высотой 10 мм, внутренним диаметром 50 мм и внешним диаметром 52
мм, чтобы оторвать его от поверхности воды? Какую часть от найденной
силы составляют силы поверхностного натяжения? Коэффициент
поверхностного натяжения для воды равен 0.073 Н/м.
302. Фитиль поднимает воду на высоту 8 см. На какую высоту по тому же
фитилю поднимется керосин? Смачивание считать полным.
Коэффициенты поверхностного натяжения для воды и для керосина
равны 0.073 и 0.03 Н/м соответственно. Плотность керосина 0.8 г/см3.
303. Капилляр диаметром 1.5 мм опущен в воду, при этом радиус кривизны
мениска также равен 1.5 мм. Найти, во сколько раз высота поднятия воды
меньше, чем в случае полного смачивания этого капилляра.
304. Какую работу против сил поверхностного натяжения нужно совершить,
чтобы, выдувая мыльный пузырь, увеличить его диаметр от 1 см до 9 см?
38
Коэффициент поверхностного натяжения для мыльной воды равен 0.043
Н/м.
305. Поверхностное натяжение на границе вода-масло можно принять равным
0.018 Н/м. Какую работу надо произвести, чтобы каплю масла массой 1 г
раздробить внутри воды на капельки диаметром 2 мкм, если процесс
изотермический? Плотность масла 900 кг/м3.
306. Сколько капель воды содержится в 1 мл, если она вытекает из отверстия
диаметром 1.8 мм, а диаметр шейки капли равен диаметру трубки?
307. Вычислить коэффициент поверхностного натяжения масла, если при
пропускании через пипетку 4 мл масла получено 270 капель. Диаметр
шейки пипетки 1.2 мм. Плотность масла 910 кг/м3.
308. На конце трубки диаметром 2 мм повисла капля воды, имеющая вид
шарика. Найти диаметр этой капли в момент отрыва. Коэффициент
поверхностного натяжения для воды равен 0.073 Н/м.
309. Деревянная палочка длиной 4 см и массой 1 г плавает на поверхности
воды. По одну сторону от палочки осторожно налили мыльный раствор.
С каким ускорением начнет двигаться палочка? Сопротивление воды не
учитывать. Коэффициенты поверхностного натяжения для чистой воды и
для мыльной воды равны 0.073 и 0.043 Н/м соответственно.
310. На какую высоту поднимется вода между двумя параллельными друг
другу стеклянными пластинами, если расстояние между ними 0.2 мм?
Коэффициент поверхностного натяжения для воды равен 0.073 Н/м.
Смачивание полное.
311. Найти массу воды, вошедшей в стеклянную трубку с диаметром канала
0.8 мм, опущенную в воду на малую глубину. Считать смачивание
полным. Коэффициент поверхностного натяжения для воды равен 0.073
Н/м.
312. Между двумя вертикальными плоскопараллельными стеклянными
пластинками, находящимися на расстоянии 0.25 мм друг от друга, налита
жидкость. Найти плотность жидкости, если высота поднятия жидкости
между пластинками равна 3.1 см, коэффициент поверхностного
натяжения 0.03 Н/м. Смачивание полное.
313. Капля ртути объемом 22.5 мм3 помещена между двумя расположенными
горизонтально стеклянными пластинками. С какой силой нужно
прижимать друг к другу пластинки, чтобы установить между ними зазор
3 мкм? Несмачивание полное.
314. Какую силу надо приложить, чтобы оторвать друг от друга (без сдвига)
две смоченные фотопластинки размером 9х12 см? Толщину водяной
прослойки между пластинами считать равной 0.05 мм. Смачивание
полное. Коэффициент поверхностного натяжения для воды равен 0.073
Н/м.
315. Глицерин поднялся в капиллярной трубке диаметром канала 1 мм на
высоту 21 мм. Определить коэффициент поверхностного натяжения
39
глицерина. Считать смачивание полным. Плотность глицерина 1.26103
кг/м3.
316. После покрытия слоем парафина радиус отверстия решета стал равен 1.5
мм. Приняв во внимание, что вода не смачивает парафин, определить
высоту слоя воды, который можно носить в решете так, чтобы вода не
пролилась через отверстия.
317. Кольцо внутренним диаметром 25 мм и внешним 26 мм подвешено на
пружине с коэффициентом жесткости 1.0 Н/м и соприкасается с
поверхностью жидкости. При опускании поверхности жидкости кольцо
оторвалось от нее при растяжении пружины на 5.3 мм. Найти
коэффициент поверхностного натяжения жидкости.
318. В сосуд с водой опущен открытый капилляр внутренним диаметром 1 мм.
Разность уровней воды в сосуде и в капилляре равна 2.8 см. 1) Чему
равен радиус кривизны мениска в капилляре? 2) Чему была бы равна
разность уровней, если бы смачивание было полным? Коэффициент
поверхностного натяжения для воды равен 0.073 Н/м.
319. Каким должен быть наибольший диаметр пор в фитиле керосинки, чтобы
керосин поднимался со дна керосинки до горелки, расположенной на
высоте 10 см? Считать поры цилиндрическими трубками, смачивание
полным. Коэффициент поверхностного натяжения для керосина равен
0.03 Н/м, плотность керосина 800 кг/м3.
320. Какое количество теплоты получает капля ртути, образовавшаяся при
слиянии 64 капель радиусом 2 мм каждая? На сколько градусов нагреется
ртуть? Коэффициент поверхностного натяжения для ртути равен 0.5 Н/м;
удельная теплоемкость 138 Дж/(кг.К).
321. Разность уровней в коленах U-образной трубки 23 мм. Диаметры каналов
2 мм и 0.4 мм. Плотность жидкости 800 кг/м3. Определить коэффициент
поверхностного натяжения жидкости. Смачивание полное.
322. Найти давление в пузырьке воздуха диаметром 4 мкм, который находится
в воде на глубине 5 м. Атмосферное давление нормальное. Коэффициент
поверхностного натяжения для воды равен 0.073 Н/м.
323. # Вычислить разность уровней воды в капиллярах диаметром 0.5 мм и 1
мм, которые погружены в сосуд с водой. Смачивание полное. Какова
была бы разность уровней, если бы капилляры погрузили в сосуд с
ртутью? Не смачивание полное. Коэффициенты поверхностного
натяжения для воды и ртути равны 0.073 и 0.5 Н/м соответственно.
324. # Две капли дождя диаметром 2 мм каждая слились в одну. На сколько
градусов изменилась температура воды? Коэффициент поверхностного
натяжения для воды равен 0.073 Н/м, удельная теплоемкость воды 4200
Дж/(кг.К).
325. # Спирт по каплям вытекает из сосуда через вертикальную трубку
внутренним диаметром 2 мм. Считая, что капли отрываются через 1 с
одна после другой, найти, через сколько времени вытечет 10 г спирта.
Диаметр шейки капли в момент отрыва считать равным внутреннему
40
диаметру трубки. Коэффициент поверхностного натяжения для спирта
равен 0.02 Н/м.
326. # В дне сосуда с ртутью имеется отверстие. Каким может быть
наибольший диаметр отверстия, чтобы ртуть из сосуда не выливалась при
высоте столба ртути, равном 3 см? Коэффициент поверхностного
натяжения для ртути равен 0.5 Н/м.
327. # На поверхность воды положили жирную (полностью не смачиваемую
водой) стальную иголку. Какой наибольший диаметр иголки, при
котором она еще может держаться на воде? Коэффициент
поверхностного натяжения для воды равен 0.073 Н/м. Плотность стали
7800 кг/ м3.
328. # Водомерка бегает по поверхности воды. Найти массу водомерки, если
известно, что под каждой из шести лапок насекомого образуется ямка,
имеющая форму полусферы радиусом 0.1 мм. Коэффициент
поверхностного натяжения для воды равен 0.073 Н/м.
329. # Найти, на какой глубине под водой находится пузырек воздуха, если
плотность воздуха в нем 2 кг/м3. Диаметр пузырька 0.015 мм,
температура 200С, атмосферное давление нормальное. Коэффициент
поверхностного натяжения для воды равен 0.073 Н/м.
330. # Между двумя горизонтальными плоскопараллельными стеклянными
пластинками помещено 5 г ртути. Когда на верхнюю пластинку
положили груз 5 кг, расстояние между пластинками стало равно 0.087
мм. Пренебрегая весом пластинки, найти коэффициент поверхностного
натяжения ртути. Несмачивание полное.
10. Упругие свойства твердых тел, тепловое расширение и
классическая теория теплоемкости твердых тел
ε=‫ ׀׀‬l – относительное удлинение;
l
d
– относительное поперечное сжатие;
d
dF
 
– механическое напряжение;
dS

F  kl ; ε=‫ – ׀׀‬закон Гука;
E
K П    / ε ‫ –׀׀‬коэффициент Пуассона;
 
l  l0 1  t  – линейное расширение твердых тел при нагревании;
V  V0 1  t  – объемное расширение твердых тел при нагревании;
  3
– связь коэффициентов линейного и объемного расширения для
изотропных тел и для кристаллов с кубической решеткой;
C  3Rz – закон Дюлонга и Пти.
41
Вещество
Относительный
атомный
вес
Алюминий
Железо
Латунь
Медь
Платина
27
56
64
195
Сталь
Цинк
65
Плотность,
кг/м3
2600
7900
8400
8600
2140
0
7700
7000
Таблица 5. Свойства твердых тел.
Коэффициент Модуль
Предел
линейного
Юнга,
прочности,
.
-10
теплового
Е 10 , Па σпр.10-8, Па
расширения,
α.105 К-1
2.4
6.9
1.1
1.2
19.6
6
1.9
1.7
11.8
2.4
0.89
1.06
2.9
21.6
-
7.85
-
Примеры решения задач
Задача 10
Пользуясь классической теорией теплоемкости, найти, из какого материала
сделан металлический шарик массой 25 г, если для его нагревания от 10 0С до
300С потребовалось 117 Дж теплоты.
Решение
Дано:
Количество теплоты, необходимой для нагрева
m=0.025 кг
Q  cmT  cm T2  T1  ,
шарика, равно
где удельная
t1=100С
теплоёмкость с связана с молярной С соотношением:
T1=283 К
C
c  . По закону Дюлонга и Пти молярная теплоёмкость
t2=300С

T2=303 К
равна C  3Rz , где z – число атомов в молекуле и для
Q=117 Дж
3R
металла равно 1. Таким образом, получим: c  ,

Найти:
3R 3R  m  T2  T1 
. Подставим численные значения:


μ=?
c
Q

3  8.31  0.025  20
 0.107 кг / моль .
117
По таблице Менделеева
находим металл с относительной атомной массой 107: это серебро.
Ответ: шарик сделан из серебра (   0.107 кг / моль).
Задача 11
Медная
проволока
натянута
горячей
при
0
Дано:
температуре
150 С
между
двумя
прочными
0
t1=150 C
неподвижными стенами. При какой температуре,
.
10
E=11.8 10 Па
остывая, проволока разорвется? Считать, что закон Гука
.
-5
-1
α=1.7 10 К
выполняется вплоть до разрыва проволоки.
.
8
σпр=2.4 10 Па
Решение
Найти:
t2=?
42
Длина нагретой проволоки при температуре t1 l1  l0 1    t1  ; при этом
проволока не деформирована (не натянута). Длина остывшей до искомой
температуры ненатянутой проволоки l 2  l0 1    t 2  . Но, поскольку проволока
закреплена между неподвижными стенами, она оказывается растянутой на
l  l1  l 2  l0    t1  t 2  . По закону Гука
ε=‫ ׀׀‬ , где ε=‫ ׀׀‬ l – относительное
E
l2
удлинение, σ=σпр. – механическое напряжение. Тогда l  l 2
или l0 1    t 2 
Далее,
 пр.
E
t2 
 l 0 t1  t 2  , откуда 1    t 2 
t1 
 пр.
 E .
 пр. 

1 
E

8
2.4  10
150 
1.7  10 5  11.8  1010
t2 

2.4  10 8 
1 

10 
11
.
8

10


Подставим
 пр.
E
 пр.
E
 l 0 1    t 2 
  t1  t 2  , и t 2 
численные
  t1 
 пр.
E
;
 пр.
E .
  пр. 

  1 
E 

значения:


 30.30 С .
Ответ: t 2  30.30 С .
331. Какую длину должны иметь стальной и медный стержни при 0 0С, чтобы
при любой температуре стальной стержень был длиннее медного на 5 см?
332. Концы железной балки сечением 75 см2 упираются в две стены.
Температура 00С. Определить силу, которая будет действовать на стены,
если температура повысится на 20 К.
333. При каком растягивающем напряжении медный стержень получит такое
же удлинение, как и при нагревании от 00С до 1000С?
334. Какие силы надо приложить к концам латунного стержня с площадью
поперечного сечения 10 см2, чтобы не дать ему расшириться при
нагревании от 00С до 300С?
335. Груз математического маятника подвешен на стальной проволоке длиной
1.2 м. На сколько изменится период колебаний маятника при увеличении
температуры от 00С до 500С?
336. Вычислить по классической теории теплоемкости удельные
теплоемкости кристаллов: алюминия, меди, платины. Относительные
атомные массы алюминия, меди, платины 27, 63.5 и 195 соответственно.
337. Вычислить по классической теории теплоемкости удельные
теплоемкости кристаллов KCl и CaCl2. Относительные атомные массы
калия, хлора и кальция 39, 35.5 и 40 соответственно.
43
338. К стальной проволоке радиусом 1 мм подвешен груз. Под действием
груза проволока получила такое же удлинение, как при нагревании от 00С
до 200С. Найти величину груза.
339. Пользуясь классической теорией теплоемкости, найти, во сколько раз
удельная теплоемкость алюминия больше удельной теплоемкости
платины. Относительные атомные массы алюминия и платины 27 и 195
соответственно.
340. Медная проволока натянута горячей при температуре 1500С между двумя
прочными неподвижными стенами. При какой температуре, остывая,
проволока разорвется? Считать, что закон Гука выполняется вплоть до
разрыва проволоки.
341. При 00С цинковый стержень имеет длину 200 мм, а медный 201 мм.
Поперечные размеры их при 00С одинаковы. При какой температуре их
длины одинаковы? При какой температуре их объемы одинаковы?
342. Сколько атомов приходится на одну примитивную ячейку в кристаллах с
простой, объемно-центрированной и гранецентрированной кубической
структурой?
343. Какое давление надо приложить к торцам стального цилиндра, чтобы
длина его не изменилась при повышении температуры на 100С?
344. Зная плотность меди 8900 кг/м3, вычислить постоянную ее
гранецентрированной кубической решетки.
345. Определить плотность кристалла NаС1, постоянная кристаллической
решетки которого равна 0.563 нм.
346. Сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку
гранецентрированной решетки кубической сингонии?
347. Определить число элементарных ячеек кристалла объемом 1 м3 меди
(гранецентрированная решетка кубической сингонии).
348. Найти плотность кристалла неона (при Т=20 К), если известно, что
решетка гранецентрированная кубической сингонии. Постоянная решетки
при той же температуре равна 0.452 нм. Относительная атомная масса равна
20.
349. Найти плотность кристалла стронция, если известно, что решетка
гранецентрированная кубической сингонии, а расстояние между
ближайшими соседними атомами равно 0.43 нм. Относительная атомная
масса равна 87.6.
350. Найти постоянную решетки и расстояние между ближайшими
соседними атомами кристалла алюминия (решетка гранецентрированная
кубической сингонии).
351. Определить число элементарных ячеек в единице объема кристалла бария
(решетка объемно-центрированная кубическая). Плотность бария 3.5·103кг/м3.
Относительная атомная масса равна 137.
352. Барий имеет объемно-центрированную кубическую решетку. Плотность
кристалла бария считать равной 3.5·103 кг/м3. Определить постоянную
решетки. Относительная атомная масса равна 137.
44
353. Алюминий имеет гранецентрированную кубическую решетку. Постоянная
решетки равна 0.404 нм. Определить плотность алюминия, сравнить с
табличным значением. Относительная атомная масса равна 27.
354. Найти постоянную решетки и расстояние между ближайшими
соседними атомами кристалла вольфрама (решетка объемноцентрированная кубической сингонии). Плотность вольфрама равна 19.3
г/см3, относительная атомная масса 183.85.
355. # -железо имеет кубическую объемно-центрированную структуру
(а=2.86 А ), -железо – кубическую структуру с центрированными
гранями (а=3.56 А ). Как изменится плотность железа при переходе его из
- в -модификацию?
356. # Алюминиевый диск, взятый при температуре 00С, при нагревании до
1000С увеличил свой объем на 4.6 см3. Какое количество теплоты
затрачено на нагревание?
357. # Разность длин медного и алюминиевого стержней при любой
температуре составляет 15 см. Какую длину при 00С будут иметь эти
стержни?
358. # Пользуясь классической теорией теплоемкости, найти, из какого
материала сделан металлический шарик массой 25 г, если для его
нагревания от 100С до 300С потребовалось 117 Дж теплоты.
359. # При нагревании некоторого металла от 0 до 5000С его плотность
уменьшается в 1.027 раза. Найти для этого металла коэффициент
линейного теплового расширения, считая его постоянным в данном
интервале температур.
360. # На нагревание медной болванки массой 1 кг, находящейся при
температуре 00С, затрачено 138 кДж. Во сколько раз при этом увеличился
ее объем? Теплоемкость меди найти по закону Дюлонга и Пти.
Относительная атомная масса меди равна 63.5.
45
Библиографический список
1. Волькенштейн, В.С. Сборник задач по общему курсу физики /
В.С.Волькенштейн. – СПб.: Лань, 1999. – 328 с.
2. Иродов, И.Е. Задачи по общей физике: учебное пособие / И.Е.Иродов. –
СПб.: Лань, 2001. – 416 с.
3. Калашников, Н.П. Основы физики. Упражнения и задачи: учеб. пособие
для вузов / Н.П.Калашников, М.А. Смондырев. – М.: Дрофа, 2004. – 464 с.
4. Калашников, Н.П. Основы физики: учеб. для вузов: в 2 т. /
Н.П.Калашников, М.А.Смондырев. - 2-е изд., перераб. – М.: Дрофа, 2003.
5. Детлаф, А.А. Курс физики: учеб. пособие для вузов / А.А. Детлаф, В.М.
Яворский. - М.: Высш.шк., 1989.- 608 с.
6. Трофимова, Т.И. Курс физики / Т.И. Трофимова.-М.: Высш. шк., 1999.542 с.
Содержание
Требования к оформлению и общие методические указания по
выполнению индивидуальных домашних заданий ………………………...…..2
1. Идеальный газ……………….……………………..………………………..3
2. Понятие о классической статистике. Скорости молекул. Распределение
молекул по скоростям и энергиям. Барометрическая формула…….………….7
3. Столкновения молекул……………………………………………….…...13
4. Явления переноса……………………………………..…………….……..17
5. Термодинамика. Теплоемкость. Изопроцессы……..…………………....20
6. Круговой процесс (цикл). КПД цикла. Цикл Карно…..…….…...….…..26
7. Энтропия…………………………………………………………………...30
8. Реальный газ……………………………………………………………….33
9. Молекулярные силы в жидкостях………………………………………..37
10.Упругие свойства твердых тел, тепловое расширение и классическая
теория теплоемкости твердых тел…………………………………………..….41
Библиографический список…………………………………..………….….46
46
47
48