теория вероятностей - Гродненский государственный

Учреждение образования
“Гродненский государственный университет имени Янки Купалы”
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
Учреждения образования
“Гродненский государственный
университет имени Янки Купалы”
___________________ Ю.Э.Белых
«___» _______ 2009 г.
Регистрационный № УД- _____/баз.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Учебная программа для специальностей
1-31 03 01-02 математика
(научно-педагогическая деятельность)
Гродно 2010
СОСТАВИТЕЛЬ: Русилко Т.В., доцент кафедры стохастичекого анализа и
эконометрического моделирования Учреждения образования “Гродненский
государственный университет имени Янки Купалы”, кандидат физикоматематических наук, доцент.
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
Доктор физ. - мат. наук, профессор, заведующий кафедрой ТВ и МС БГУ
Н.Н. Труш;
Доцент кафедры теории функций, функционального анализа и прикладной
математики, кандидат физ.-мат. наук А.Г. Дейцева (внутренний рецензент).
РЕКОМЕНДОВАНА К УТВЕРЖДЕНИЮ:
Кафедрой стохастического анализа и эконометрического моделирования
(протокол № 13 от 20.05.2009г.);
Методической комиссией по специальности
(протокол № 7 от 20.05.2009г.);
Советом факультета математики и информатики
(протокол № __ от 20.05.2009г.
Научно-методическим советом Учреждения образования “Гродненский
государственный университет имени Янки Купалы”
(протокол № __от _______);
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Курс теории вероятностей и математической статистики является одной
из базовых дисциплин подготовки специалистов с высшим математическим
образованием. Теория вероятностей, подобно другим разделам математики,
развилась из потребностей практики: в абстрактной форме она отражает
закономерности, присущие случайным событиям массового характера.
Современное развитие теории вероятностей характеризуется всеобщим
подъемом интереса к ней, а также расширением круга ее практических
приложений. Результаты теории вероятностей используются в физике,
технических дисциплинах, экономике, военном деле, инженерном деле и во
многих других областях. Математическая статистика – раздел математики,
изучающий методы обработки результатов массовых случайных явлений с
целью
выявления
статистических
закономерностей.
Опирается
математическая статистика в своих выводах на теорию вероятностей. Но,
если теория вероятностей формально-лигически изучает закономерности
случайных явлений и строит их математические модели, математическая
статистика имеет дело с практическими результатами опытов и наблюдений,
причем ограниченного объема. Также данный курс включает раздел теории
случайных процессов. Теория случайных процессов изучает случайные
явления в динамике их развития.
Целью преподавания теории вероятностей и математической статистики
является подготовка специалистов компетентных в методологии и методике
изучения случайных событий, случайных величин, случайных процессов,
статистических данных и их применения. Ознакомление студентов с
современным уровнем развития теории вероятностей, математической
статистики и теории случайных процессов, основными методами решения
возникающих задач и возможными областями применения теоретического
аппарата.
Задачи изучения курса:
 изучение основных результатов теории вероятностей, теории
случайных процессов и математических методов, при помощи которых эти
результаты получены;
 овладение основными методами математической статистики,
позволяющими оценивать параметры вероятностных моделей и
статистически проверять гипотезы об анализируемых явлениях и процессах.
 закрепление теоретических знаний с помощью решения задач.
Требования к уровню освоения дисциплины. Студенты должны
знать:
- основы теории случайных событий, случайных величин, случайных
процессов, математической статистики в соответствии с содержанием
учебного материала.
- иметь чёткое представление о современном состоянии развития
теории вероятностей, математической статистики и теории случайных
процессов;
уметь:
- самостоятельно доказывать основные результаты;
- решать задачи по темам учебного материала, применять стандартные
методы решения вероятностных и статистических задач;
- пользоваться расчетными формулами, таблицами, графиками при
решении задач;
- уметь содержательно интерпретировать формальные результаты.






Требования к компетенциям
академическим:
овладеть базовыми научно-теоретическими знаниями по теории
вероятностей, теории случайных процессов и математической статистике;
усвоить методы решения вероятностных и статистических задач;
социально-личностным:
укрепить способности к взаимодействию с членами малых групп,
объединенных целью коллективного решения научно-практических задач;
профессиональным:
уметь выделять круг научно-практических задач, для рения которых
применимы вероятностные методы;
уметь применять методы теории вероятностей и математической
статистики в научно-практической деятельности;
уметь адаптировать полученные знания и навыки к практике школьного
преподавания математики.
Форма
обучения
Дневная
Специальносць
Семестр
1-31 03 01-02 –
«Математика»
5, 6
Общее
количество
аудиторных
занятий
140
Лекции
Практичес
кие
Форма
контроля
70
70
5-й семестр
– зачет;
6-й семестр
– экзамен
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
Раздел 1. Теория вероятностей
1.1. Введение.
Предмет и методы теории вероятностей.
вероятностей. Пространство элементарных исходов.
Приложение
теории
1.2. Случайные события и их вероятности.
Случайные события и соотношения между ними. Вероятность на
дискретном пространстве элементарных исходов. Классическое определение
вероятности. Элементы комбинаторики и схемы выбора. Геометрическое
определение вероятности. Аксиоматическое определение вероятности.
Свойства вероятности.
Условные вероятности и независимость событий. Теорема умножения
вероятностей. Формула полной вероятности и формула Байеса.
Схема независимых испытаний Бернулли. Частная и общая теорема о
повторении опытов. Наиболее вероятное число успехов. Предельные
теоремы Муавра – Лапласа и Пуассона. Закон больших чисел в форме
Бернулли.
1.3. Случайные величины.
Случайные величины и распределения вероятностей, описание
случайной величины, функция распределения и ее свойства. Классификация
распределений случайных величин: дискретные, абсолютно непрерывные,
сингулярные. Смеси распределений. Основные законы распределения
случайных величин. Нормальное распределение и его свойства.
Распределения случайных величин, используемые в математической
статистике.
Многомерные случайные величины, классификация. Условные
функции распределения. Независимость случайных величин, критерии
независимости. Функциональные преобразования случайных величин.
1.4. Числовые и функциональные характеристики случайных
величин.
Математическое ожидание и его свойства. Условное математическое
ожидание. Неравенства, связанные с математическим ожиданием. Дисперсия
и ее свойства. Среднее квадратичное отклонение. Энтропия и количество
информации. Моменты и другие числовые характеристики случайных
величин. Ковариация, коэффициент корреляции.
Целочисленные случайные величины и их производящие функции,
теорема непрерывности. Характеристические функции и их свойства.
Теорема о непрерывности характеристической функции, формула
обращения.
1.5. Последовательности случайных величин.
Последовательность случайных величин. Виды сходимости случайных
последовательностей. Лемма Бореля – Кантелли. Соотношения между
видами сходимости. Критерии сходимости.
Закон больших чисел. Закон больших чисел в форме Чебышева.
Необходимое и достаточное условие для закона больших чисел. Теорема
Маркова. Закон больших чисел в форме Хинчина. Усиленный закон больших
чисел, теорема Колмогорова.
Центральная предельная теорема для одинаково распределенных
независимых слагаемых. Теорема Линдеберга. Теорема Ляпунова.
Раздел 2. Случайные процессы
2.1. Введение в теорию случайных процессов.
Определение случайного процесса и его вероятностных характеристик.
Статистические
средние
характеристики
случайных
процессов.
Стационарные случайные процессы. Эргодические стационарные процессы.
Функция корреляции и ее свойства. Спектральная плотность случайного
процесса.
2.2. Корреляционная теория случайных процессов.
Сходимость в среднем квадратичном для случайных процессов.
Непрерывность случайных процессов. Дифференцирование случайных
процессов. Интегрирование случайных процессов. ЗБЧ.
2.3. Гауссовские случайные процессы.
Многомерное нормальное распределение. Гауссовский случайный
процесс. Процессы с независимыми приращениями. Винеровский случайный
процесс.
2.4. Марковские случайные процессы.
Определение марковского процесса. Дискретные цепи Маркова.
Определение и классификация состояний цепи Маркова по арифметическим
и асимптотическим свойствам переходных вероятностей. Финальные
вероятности дискретной цепи Маркова.
Цепи Маркова с непрерывным временем. Определение и основные
свойства. Система прямых и обратных дифференциальных уравнений
Колмогорова для цепи Маркова с непрерывным временем и конечным
числом состояний. Финальные вероятности для цепи Маркова с
непрерывным временем.
Процесс размножения и гибели и его приложения. Пуассоновский
процесс. Марковские системы массового обслуживания.
Раздел 3. Математическая статистика
3.1. Методы нахождения оценок неизвестных параметров.
Предмет математической статистики. Теория оценивания. Точечные
оценки. Неравенство Чепмена–Роббинса. Неравенство информации.
Достаточные
статистики.
Критерий
факторизации.
Метод
максимального правдоподобия. Асимптотическая эффективность оценок
максимального правдоподобия.
Метод наименьших квадратов. Линейный случай. Свойства МНК
оценок, оптимальность метода. Выравнивание экспериментальных данных к
прямой линии. Некоторые нелинейные случаи. Корреляционный и
регрессионный анализ данных.
Байесовская оценка неизвестных параметров. Метод моментов.
Поправки Шеппарда.
Доверительные интервалы. Кратчайший доверительный интервал.
3.2.
Проверка
статистических
гипотез
и
применение
статистического анализа.
Проверка статистических гипотез. Подход Неймана – Пирсона.
Последовательный анализ Вальда. Критерий Стьюдента. Критерий Хиквадрат. Критерий согласия Колмогорова, Колмогорова – Смирнова.
Дисперсионный анализ.
Пакеты прикладных статистических программ.
ПРИМЕРНЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Тема лекционных / практических занятий
Введение.
Случайные события и их вероятности.
Случайные величины.
Числовые и функциональные характеристики
случайных величин.
Последовательности случайных величин.
Введение в теорию случайных процессов.
Корреляционная теория случайных процессов.
Гауссовские случайные процессы.
Марковские случайные процессы.
Методы нахождения оценок неизвестных
параметров.
Проверка статистических гипотез и применение
статистического анализа.
Итого
Всего
2
22
16
Часов
Лекцион Практич
ных
еских
2
10
12
8
8
18
8
10
14
8
12
2
18
8
4
6
2
8
6
4
6
10
16
8
8
14
6
8
140
70
70
ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ
ЛИТЕРАТУРА
Основная литература
1. в
Боровков, А.А. Математическая статистика / А.А. Боровков. – М.: Наука,
1984. – 472 с.
2.
Боровков, А.А. Теория вероятностей / А.А. Боровков. – М.: Наука, 1986. –
428 с.
3.
Вентцель, Е.С. Теоря случайных процессов и ее инженерные приложения /
Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. – М.: Высшая школа, 2000. – 383 с.
4.
Вентцель, Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. – М.: Высшая школа,
2001. – 575 с.
5.
Гихман, И.И. Введение в теорию случайных процессов / И.И. Гихман, А.В.
Скороход. М.: Наука, 1977. – 568 с.
6.
Гнеденко, Б.В. Курс теории вероятностей / Б.В. Гнеденко. – М.: Эдиториал
УРСС, 2001. – 320 с.
7.
Карлин, С. Основы теории случайных процессов / С. Карлин. – М.: Мир,
1971. – 536 с.
8.
Радюк, Л.Е. Теория вероятностей и случайных процессов / Л.Е. Радюк, А.Ф.
Терпугов. – Томск: Изд-во Том. ун-та, 1988. – 174 с.
9.
Розанов, Ю.А. Случайные процессы / Ю.А. Розанов. – М.: Наука, 1979. – 184
с.
10.
Терпугов, А.Ф. Математическая статистика / А.Ф. Терпугов. – Томск: Изд-во
Том. ун-та, 1974. – 136 с.
11.
Харин, Ю.С. Теория вероятностей / Ю.С. Харин, Н.М. Зуев. – Мн.: БГУ,
2004. – 199 с.
12.
Чистяков, В.П. Курс теории вероятностей и математической статистики /
В.П. Чистяков.– М.: Наука, 1987. – 256 с.
13.
Ширяев, А.Н. Вероятность / А.Н. Ширяев. – М.: Наука, 1980. – 416 с.
Дополнительная литература
1.
2.
3.
4.
Вентцель, Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей / Е.С. Вентцель,
Л.А. Овчаров. – М.: Издательский центр «Академия», 2003. – 448 с.
Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике / В.Е. Гмурман. – М.: Высш. шк. , 2000. – 400 с.
Емельянов, Г.В. Задачник по теории вероятностей и математической
статистике / Г.В. Емельянов, В.П. Скитович. – Л.: ЛГУ, 1967. – 331 с.
Ефимов, А.В. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы /
А.В. Ефимов. – М.: Наука, 1984. – 607 с.
5.
6.
7.
Маталыцкий, М.А. Теория вероятностей и математическая статистика / М.А.
Маталыцкий, Т.В. Русилко. – Гродно: ГрГУ, 2009. – 219 с.
Маталыцкий, М.А. Теория вероятностей в примерах и задачах: Учеб.
пособие / М.А. Маталыцкий, Т.В. Романюк. – Гродно: ГрГУ, 2002. – 247 с.
Свешников, А.А. Сборник задач по теории вероятностей, математической
статистике и теории случайных функций / А.А. Свешников. – М.: Наука, 1965. –
632 с.