Практические занятия_6

Тема 4 . Динамический анализ механизмов. Приведение сил и масс.
Определение закона движения звена приведения
Пример 1. Для кривошипно-ползунного механизма (рис. 4.1) найти приведенную к оси шарнира
В силу FП, перпендикулярную линии AB, от силы Q = 1000 Н, приложенной к звену 3 (поршню),
а также приведенную к той же точке массу mп от масс всех звеньев механизма. Расчет
провести для положения звена приведения, когда угол φ = 45°. Размеры звеньев и положения
центров масс их: lAB =65 мм, lBC = 320 мм, координата центра масс звена 2 равна lBs2 = 60 мм,
центр масс звена 1 лежит на оси шарнира А. Масса второго звена m2 = 0,4 кг, момент инерции
звена 2 относительно оси, проходящей через его центр масс, IS2 = 6  10 3 кгм 2 , масса
третьего звена т3 = 0,5 кг, момент инерции звена 1 относительно оси, проходящей через
центр масс, I S 1  12  10 3 кгм 2 .
Рис. 4.1 Схема приводимого механизма, масштаб kl;
1 – кривошип, 2 – шатун, 3 – ползун, 4 – стойка,
x-x – ось направляющей.
Решение.
На основании векторных уравнений

 
VC  VB  VCB ;



VC  VCX  VCCX ,
строим план скоростей (рис.4.2).
Учитывая, что приведенные массы и силы зависят только от соотношения скоростей,
план скоростей строим, задавшись длинами векторов плана: pVc = 40 мм, pVb = 50 мм, bc =36
мм, pVs2 = 46 мм.
Рис. 4.2 План скоростей механизма
Приведенную силу определяем в соответствии с известным выражением
 
FП = P3/VB = Q  VCcos(Q, VC )/VB Q= Q  pvc cos 0 / pvb  1000  40  1/ 50  800 Н
Вычислим приведенную массу
mП  2(T1  T2  T3 ) / V 2 B ,
где T1 , T2 , T3 - кинетическая энергия звеньев 1,2 и 3. Значения энергии звеньев
T1  I S 1 21 / 2  I S 1V 2 B / 2l AB ,
T 2  I S 2 2 2 / 2  m2V 2 S 2 / 2  I S 2V 2 CB /( 2lBC )  m2V 2 S 2 / 2
T 3  m3V 2C / 2
В значениях T1 и T2 угловые скорости 1 и 2 выражены через
соответствующие линейные скорости VB и VCB, т. е. 1 = VB/lAB, 2=VCB /lBC. Подставляя в
формулы значения кинетических энергий Т1 Т2 и Т3, вычисленные для каждого звена, и заменяя
величины скоростей соответствующими отрезками из плана скоростей, окончательно получим
.
Пример 2. Для рядного редуктора (рис. 4.3) найти приведенный к валу О1 колеса 1 момент Мп
и приведенный к тому же валу момент инерции Iп от массы
колеса 3, если к колесу 3 приложен момент М3 = 4 нм, а момент инерции колеса 3
относительно его оси вращения I3 = 0,04 кгм2; числа зубьев колес z1 = 30, z2 = 20 и z3 = 60.
Рис. 4.3 Кинематическая схема редуктора
Решение.
Определим приведенный момент Мп:
30

z
MП = М3 3 = М3 i3-1 = М3 1 = 4
= 2нм.
60
1
z2
Мощность приведенного момента равна численно и по знаку мощности приводимого
момента. Здесь момент Мп имеет тот же знак, что и момент М3, так как знак i3-1 положителен.
Найдем приведенный момент инерции Iп. Его выражение имеет вид
Пример 3. К водилу Н планетарной зубчатой передачи приложен момент МH. Найти
приведенный к валу колеса 1 момент МП (рис. 4.4), а также приведенный к валу колеса 1 момент
инерции IП планетарной передачи. Модуль m всех колес одинаков, I S1 , I S 23 , I S 4 - моменты инерции масс
зубчатых колес m1,m2,3, m4 - их массы.
Рис. 4.4 Кинематическая схема планетарной
передачи; z1,z2,z3,z4 – числа зубьев колес,
С — центр тяжести сателлитов.
Зададимся произвольной угловой скоростью 1 колеса 1. Используя метод обращенного
движения, вычисляем H:
Вычислим приведенный к валу колеса момент
Если k<l, направления моментов МП и, МH совпадают, а если k > 1, они противоположны.
Скорость точки C
VC  H  m( z1  z2 ) / 2
Угловая скорость саттелитов
2,3  2  VC / m  z3
Приравнивая кинетическую энергию масс механизма и приведенной массы, получаем
Подставляя значения н, 2-3 и Vc,запишем
I П  I S1  I H
1
(mz1  mz2 ) 2
(mz1  mz2 ) 2

I
2

3

m
23
(1  k ) 2
(mz3 ) 2 (1  k ) 2
(1  k ) 2
Приведенная к точке А, лежащей на окружности колеса 1, масса механизма
Пример 4. Силы и массы машинного агрегата приведены к звену АВ инерции маховика в случае,
(рис. 4.5). Момент движущих изменяется в соответствии с графиком МД = MД(φ), момент сил
сопротивления Мс постоянен на всем цикле установившегося движения. Моментом инерции
масс звеньев агрегата можно пренебречь ввиду их малости по сравнению с искомым моментом
инерции Iм маховика. Средняя угловая скорость звена приведения соср = 100 сек-1. Коэффициент
неравномерности движения  = 0,02. Найти величину момента инерции Iм маховика, которая
бы обеспечила заданную неравномерность движения.
Рис. 4.5 Схема приведенного агрегата
P e ш e н и е.
Определяем величину постоянного момента сопротивления Мс из условия, что работа
движущих сил и работа сил сопротивления за цикл установившегося движения равны между
собой. При этом используем данные диаграмм приведенных моментов(рис. 4.6) .
Рис. 4.6 Диаграммы приведенных моментов
сил движущих и сопротивления.
Имеем:
M C  2  M Д max 
2
,
2
откуда
M Д max
 20 Нм,
2
так как согласно графику (рис. 4.6) M Д max = 40 Нм.
MC 
Положения звена А В, при которых его угловая скорость  принимает наибольшее max и
наименьшее min значения, находятся по графикам момента движущих сил МД = МД (φ) и
момента сил сопротивления Мс = const (рис. 4.6). Очевидно, что при φ= π/2 будет иметь место
наименьшее min значение угловой скорости, а при φ = Зπ/2 наибольшее ее значение max .
Работа А пропорциональна площадке F (рис.4.6), а величина этой работы равна
20
A
 10 дж
2
Величина момента инерции маховика определяется по известному выражению
Пример 5. Силы, приложенные к механизму, и его массы приведены к звену АВ (рис.4.7). Движение
звена АВ принято установившимся. Одному циклу этого движения соответствует один оборот
звена АВ на угол φц, равный 2π. Угловая скорость при φ = 0 равна 0 = 10 сек-1. Момент сил
сопротивления Мс изменяется в соответствии с графиком на рис. 4.8, причем его максимальное
значение Мс тах равно 40 нм. Момент движущих сил Mд постоянен на всем цикле движения звена
АВ. Приведенный момент инерции Iп также постоянен и равен Iп = 0,8 кгм2. Требуется построить
графики изменения кинетической энергии Т — Т (φ), угловой скорости  =  (φ) и углового
ускорения  =  (φ) звена АВ, а также найти коэффициент  неравномерности вращения звена АВ.
Рис. 4.7 Расчетная схема звена приведения
Решение.
Находим значение постоянного движущего момента МД, исходя из того, что за цикл
установившегося движения работа движущих сил АД равна работе сил сопротивления Aс:
Графики моментов движущих сил МД и моментов сил сопротивления МС построены в
общей для них системе координат (рис. 4.8).
Рис. 4.8 Диаграммы приведенных моментов движущих сил и сил сопротивления,
 рад
масштаб М = 1 Нм/мм, φ =
.
40 мм
Масштабы графиков приняты равными по оси абсцисс  
2 2  рад


(так как
x5 80 40 мм
отрезок x5 принят равным 80 мм), по оси ординат M  1Нм / мм .
2) Вычисляем значения кинетической энергии Т звена А В. Для этого угол φц поворота звена АВ
делим на ряд равных частей, в нашем случае на четыре, и на графике (рис. 4.8) размечаем
площадки F12, F23, F34 и F45, которые пропорциональны избыточным работам соответственно на
участках 1 — 2,2 — 3,3 — 4 и 4 — 5 угла φц. Эти площади в нашем примере по абсолютной
20  20
величине одинаковы и равны
= 200 мм2. Значения избыточных работ A12, А23, A34 и A45
2
пропорциональны этим площадкам:
Значения кинетической энергии Т для каждого положения звена будут равны:
По полученным значениям кинетической энергии строим график зависимости ее от угла
φ (рис. 4.9). Масштаб его по оси ординат принимаем равным T = 1,0 Нм/мм.
Рис. 4.9 Диаграмма изменения кинетической энергии за цикл
 рад
движения звена приведения, масштаб T = 1,0 Нм/мм, φ =
40 мм
Вычисляем значения угловой скорости  звена АВ по формуле i  (2Ti ) / I Пi ,
где Ti – кинетическая энергия механизма в i - м положении, IП – приведенный момент инерции
звеньев в i - м положении ( в нашем случае IП = const) :
По найденным значениям угловой скорости  строим график  =  (φ) (рис. 4.10), масштаб его
по оси ординат принимаем равным  = 0,5 сек-1/мм.
Рис. 4.9 Диаграмма изменения угловой скорости за цикл
движения звена приведения, масштаб  = 0,5 с-1/мм, φ =
Находим значения углового ускорения  звена АВ по формуле  i 
 рад
40 мм
M Дi  M Сi
,
I Пi
По найденным значениям  строим график зависимости его от угла поворота звена АВ
(рис.4.10), масштаб по оси ординат графика принят равным  = 2,0 сек-2/мм.
Рис. 4.10 Диаграмма изменения угловой скорости за цикл
движения звена приведения, масштаб  = 2,0 с-2/мм, φ =
 рад
40 мм
Находим коэффициент  неравномерности движения звена AB по формуле
max  min
11,3  7,8
 9,55 с-1; подставляя значения максимальной max,
2
2
минимальной min и средней ср угловых скоростей в формулу, найдем значение коэффициента
 неравномерности движения звена АВ:
где ср 
