Тема 1. Простые процентные и учетные ставки 1.2. Простые процентные ставки

МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Тема 1. Простые процентные и учетные
ставки
1.2. Простые процентные ставки
1.2.1. Рост суммы при простой процентной ставке
Задание. Предположим, что на банковский счет положено 100 рублей
на 3 года под 20% годовых. Рассчитать наращение суммы и показать
динамику роста вклада.
Методические указания. Воспользуйтесь формулой простых процентов:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. В конце первого года первоначальная сумма выросла до
величины
в конце второго года до величины
и, наконец, в конце третьего года до величины
Или по формуле:
Прирост суммы за три года
составляет 160−100=60 руб.
(процентные
деньги
за
весь
срок)
Такой рост суммы вклада, когда процентная ставка (равная 0,2)
каждый год применяется к одной и той же первоначальной величине
вклада (100 руб.), соответствует использованию простой процентной
ставки.
1.2.2. Простая переменная ставка и средние
арифметические величины
Задание 1. Пусть промежуток t1 составляет 1,5 года, промежуток t2 – 1
год и промежуток t3 – 2,5 года. Общий срок вклада Т равен 5 годам.
Соответстующие годовые процентные ставки:
i1 = 40%; i2 = 60%;
i3 = 20%.
1
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Определить среднюю процентную ставку i.
Методические указания. Воспользуйтесь формулой средней ставки:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. Найдем доли промежутков времени:
t1 = 1,5/5=0,3;
Отсюда
t2 = 1/5=0,2;
t3 = 2,5/5=0,5.
i = t1·i1 + t2·i2 + t3·i3 = 0,3×0,4 + 0,2×0,6 + 0,5×0,2 = 0,34.
Средняя ставка составляет 34% годовых.
Если бы промежутки были одинаковой длительности, то средняя ставка
оказалась бы равна среднему арифметическому ставок, т. е. 40% годовых.
Задание 2. Расчет средней ставки может быть проведен средствами
Excel. Сформировать в Excel схему расчета средней процентной ставки.
Методические указания. Взять за основу предыдущее задание. Однако
следует построить расчетную таблицу, ориентированную не только на
конкретные, но и на произвольные исходные данные. Важно отметить, что
не только длины периодов времени, но и число таких периодов может
быть не известно заранее.
Решение. Результаты расчета представлены в табл. 1.2.1.
Таблица 1.2.1
Расчеты с простой переменной ставкой
2
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
В ячейки строк 1, 2, 4, 6, 8, 10 и 12 введены заголовки. Ячейки строк 3
и 5, а также ячейка А7 содержат исходные данные для расчета. Числа в
этих ячейках отмечены жирным шрифтом.
Остальные ячейки содержат расчетные формулы. Они приведены в
табл. 1.2.2.
Таблица 1.2.2
Формулы для расчетов с простой переменной ставкой
Формулы в таблицу Excel могут вводиться в любом порядке. Мы укажем
тот порядок, при котором последовательность расчета становится
особенно простой и естественной.
1. В ячейку В2 вводим формулу
=СУММ(5:5)
для расчета общего срока вклада. Суммируется вся строка 5,
содержащая не только заданные в примере сроки, но и пустые ячейки, в
которые такие сроки могут быть впоследствии дополнительно введены.
2. Вводятся формулы расчета долей сроков в строку 9. Выделяется вся
строка 9, после этого строится формула
=А5/$B7.
Ввод завершается нажатием сочетания клавиш Ctrl+Enter (ввод в
диапазон). Таким образом, доли сроков оказываются рассчитанными не
только для имеющихся сроков из строки 5, но и для пустых ячеек этой
строки, в которых такие сроки могут в будущем появиться. Пока эти
ячейки пустые, их доли времени при расчете автоматически оказываются
равными 0.
3. В ячейке С7 вычисляется величина средней ставки. Для этого
следует
обратиться
к
Мастеру
функций,
найти
функцию
СУММПРОИЗВ и в ячейку С7 ввести формулу
=СУММПРОИЗВ(3:3;9:9).
В формуле участвуют все ячейки строк 3 и 9.
3
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
На этом построение универсальной схемы для расчета средней ставки
можно считать завершенным. Однако мы продолжим его, чтобы снабдить
расчет полезными графиками.
4. В строку 11 введем сроки нарастающим итогом. Для этого следует
выделить всю строку 11, перейти по клавише Enter в ячейку В11,
сформировать формулу
=А11+В5
и ввести ее в выделенную строку 11, нажав сочетание клавиш
Ctrl+Enter. После этого в ячейку А11 ввести формулу
=А5.
5. В строку 13 ввести формулы для расчета роста вклада.
Последовательность действий такая же, как в предыдущем пункте.
Следует выделить всю строку 13, перейти по клавише Enter в ячейку
В13, сформировать формулу
=А13+$А7*В3*В5
и ввести ее в выделенную строку 13, нажав сочетание клавиш
Ctrl+Enter. После этого в ячейку А13 ввести формулу
=А7.
6. Провести в ячейке D7 расчет итоговой величины вклада. Для этого
обратиться к Мастеру функций, найти там функцию МАКС,
вычисляющую максимум величин, и в данную ячейку ввести
формулу
=МАКС(13:13),
определяющую максимальное значение среди ячеек строки 13.
На этом формирование расчетной таблицы заканчивается.
Дальше можно обратиться к Мастеру диаграмм и построить диаграмму,
отражающую рост вклада по простой переменной ставке и по средней
ставке. Такая диаграмма представлена на рис. 1.1.
4
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Рис. 1.1.1. Рост вклада по простой переменной и по средней ставке
1.2.3. Годовые, квартальные, месячные ставки
процента
Задание.
По
годовой
процентной
эквивалентную величину месячной ставки.
ставке
24%
рассчитать
Методические указания. Годовая ставка i и месячная ставка связаны
друг с другом равенством:
Для получения квартальной ставки следует годовую ставку разделить
на 4 или месячную умножить на 3.
При использовании квартальных ставок промежуток времени t
измеряется в кварталах. Например, для полуторагодового промежутка t =
6.
Решение. Годовая ставка равна 0,24. Тогда соответствующая месячная
ставка равна 0,24/12=0,02. За полтора года процентные деньги от
первоначального вклада 100 рублей составят в годовом исчислении:
В месячном исчислении процентные деньги составят ту же самую
величину, но рассчитанную по-иному:
5
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
1.2.4. Точные и обыкновенные процентные ставки
Начисления с обыкновенными процентами численно дают несколько
больший результат, чем начисления с точными процентами.
Задание. Пусть 100 тысяч рублей отданы в долг на 120 дней под 20%
годовых. Рассчитать итоговую сумму с точными и с обыкновенными
процентами. Найти величину расхождения в полученных суммах.
Методические указания. Следует воспользоваться формулой расчета с
точными процентами:
и с обыкновенными процентами:
Расхождения в расчетах по точным и обыкновенным процентам
составляет величину ΔS, определяемую в общем случае формулой
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. При расчете с точными процентами через 120 дней следует
получить
При расчете с обыкновенными процентами итоговая сумма составит
Разница составляет 91,20 рубля.
1.2.5. Задания для самостоятельного выполнения
Задание 1. На банковский счет положено 200 рублей на 4 года под
15% годовых. Рассчитать рост вклада и процентные деньги за этот
период.
Задание 2. На банковский счет положено 100 рублей на 3 года.
Процентные деньги составили 45 руб. Рассчитать будущую сумму вклада и
процентную ставку.
6
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Задание 3. Пусть промежуток t1 составляет 1,5 года, промежуток t2 –
2,5 года, промежуток t3 – 2 года, промежуток t4 – 4 года. Общий срок
вклада T равен 10 годам. Соответствующие годовые процентные ставки:
i1 = 40%; i2 = 30%; i3 = 20%;
Определить среднюю процентную ставку i.
i4 = 10%.
Задание 4. Расчет средней ставки может быть проведен средствами
Excel. Сформировать в Excel схему расчета средней процентной ставки для
предыдущего задания.
Задание 5. По годовой процентной
эквивалентную величину месячной ставки.
ставке
36%
рассчитать
Задание 6. По годовой процентной ставке 24% рассчитать
эквивалентную величину квартальной и полугодовой процентной ставки.
Задание 7. Пусть 170 тысяч рублей отданы в долг на 100 дней под
15% годовых. Рассчитать итоговую сумму с точными и с обыкновенными
процентами. Найти величину расхождения в полученных суммах.
1.3. Простые учетные ставки
1.3.1. Учет и дисконтирование
Задание 1. Допустим, что через 3 месяца должник должен уплатить
140 000 руб. Ссуда предоставлена под 36% годовых. Требуется
определить, какую сумму сейчас получит должник и какова величина
дисконта при математическом дисконтировании.
Методические указания. Следует воспользоваться формулой:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. При
S = 140 000, i = 0,36, t = 0,25
получим:
Величина дисконта D составит:
Задание 2. Имеется вексель фирмы на сумму 140 000 руб. со сроком
уплаты 30.04. За три месяца до срока владелец векселя решил учесть его
7
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
в банке по учетной ставке 36% годовых. Какую сумму денег получит
владелец?
Методические указания. Следует воспользоваться формулой:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. При
S = 140 000, d = 0,36, t = 0,25
получим:
1.3.2. Срок кредита, процентные и учетные ставки
Задание 1. Ссуда в размере 100 000 рублей выдана на условиях
начисления простых процентов по годовой ставке 25%. Через какое время
накопленная величина долга станет равна 150 000 рублей?
Методические указания. Следует использовать формулу:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. На основе этой формулы имеем:
Поскольку по условию задачи процентная ставка годовая, то и
рассчитанное по формуле время выражено в годах. Таким образом,
накопленная величина долга станет равна 150 000 рублей через 2 года.
Задание 2. По договору предусмотрено погашение кредита через 4
месяца в сумме 120 000 рублей. Первоначальная величина кредита
составляет 100 000 рублей. Требуется определить величину годовой
процентной ставки и величину годовой учетной ставки.
Методические указания. Следует воспользоваться формулами:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. Переводим месячные периоды в годовые. 4 месяца
составляют 1/3 года. По полученным выше формулам определяем:
8
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Таким образом, годовая процентная ставка i равна 60%, а годовая
учетная ставка d равна 50%.
Другими словами, если кредит выдается на условиях его возврата с
начисленными процентами, то исходные данные примера соответствуют
60%-ной годовой ставке. Проверим правильность расчета. Действительно,
за год по этой ставке к 100 000 рублей должны прибавиться 60 000, а за 4
месяца – в три раза меньше, т. е. 20 000 рублей. Итоговая сумма
составляет 120 000, что полностью соответствует исходным условиям
примера.
Если же кредит выводится на условиях удержания процентов в момент
выдачи и возврата в конце срока самой суммы кредита без процентов, то
исходные условия примера соответствуют 50%-ной годовой учетной
ставке.
Проверим наш расчет. Действительно, по условиям примера сумма
кредита в этом случае составляет 120 000 рублей. За годовой период с
этой суммы по данной учетной ставке должно быть удержано 60 000, а за
4 месяца в три раза меньше, т. е. 20 000 рублей. В результате удержания
этой суммы исходная величина кредита 120 000 рублей уменьшается до
100 000. Эту сумму и получает заемщик в полном соответствии с
условиями примера.
1.3.3. Основные соотношения между процентными и
учетными ставками
Задание. Определить и представить в табличной форме соотношения
между численными значениями равносильных ставок для различных
интервалов времени.
Методические указания. Расчеты следует провести по формулам:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. В табл. 1.3.1 приведен ряд значений учетной ставки d и
соответствующий ряд процентной ставки. В табл. 1.3.2, наоборот,
исходным является ряд значений процентной ставки и вместе с ним даны
соответствующие значения учетной ставки. Оба вида ставок в этих
таблицах выражены в процентах.
9
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Таблица 1.3.1
Таблица 1.3.2
d
i
i
d
5%
5,26%
5%
4,76%
10%
11,11%
10%
9,09%
15%
17,65%
15%
13,04%
20%
25,00%
20%
16,67%
25%
33,33%
25%
20,00%
30%
42,83%
30%
23,08%
В таблицах приведены данные для фиксированного интервала времени,
равного одному году. С ростом интервала времени расхождения между
равносильными значениями ставок возрастают. В табл. 1.3.3 даны
значения процентной ставки i для разных периодов времени,
соответствующие одной и той же учетной ставке d, равной 10%.
Таблица 1.3.3
t, число лет
i, %
0,2
%
10,2
0,5
%
10,5
1
%
11,1
2
%
12,5
3
%
14,3
5
%
20,0
В таблице 1.3.4 даны значения учетной ставки d для разных периодов,
соответствующие процентной ставке i, равной 10%.
Таблица 1.3.4
t, число лет
d, %
0,2
%
9,80
0,5
%
9,52
1
%
9,09
2
%
8,33
3
%
7,69
5
%
6,67
1.3.4. Задания для самостоятельного выполнения
Задание 1. Должник должен уплатить 150 000 руб. через 4 месяца
Ссуда предоставлена под 24% годовых. Требуется определить, какую
сумму сейчас получит должник и какова величина дисконта при
математическом дисконтировании.
Задание 2. Должник должен уплатить 5000 руб. через 6 месяцев Ссуда
предоставлена под 36% годовых. Требуется определить, какую сумму
10
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
сейчас получит должник и какова величина дисконта при математическом
дисконтировании.
Задание 3. Имеется вексель фирмы на сумму 15 000 руб. За 4 месяца
до срока владелец векселя решил учесть его в банке по учетной ставке
24% годовых. Какую сумму денег получит владелец?
Задание 4. Ссуда в размере 150 000 рублей выдана на условиях
начисления простых процентов по годовой ставке 15%. Через какое время
накопленная величина долга станет равна 250 000 рублей?
Задание 5. По договору предусмотрено погашение кредита через 5
месяцев в сумме 140 000 рублей. Первоначальная величина кредита
составляет 90 000 рублей. Требуется определить величину годовой
процентной ставки и величину годовой учетной ставки.
Задание 6. Определить и представить в табличной форме соотношения
между численными значениями равносильных ставок для различных
интервалов времени.
11