Примеры решения задач 6.1. Уравнение состояния идеального

Примеры решения задач
6.1. Уравнение состояния идеального газа. В сосуде объемом V = 30 л
содержится идеальный газ при температуре 0 °С. После того как часть газа
без изменения температуры была выпущена наружу, давление в сосуде
понизилось на p = 0,78 атм. Найдите массу выпущенного газа. Плотность 0
данного газа при нормальных условиях 1,3 г/дм3, давление p0 при
нормальных условиях – 1 атм.
Решение. Запишем уравнение КлапейронаМенделеева для начального
состояния газа:
m
(1)
pV  RT .
M
Из уравнения (1), по условию задачи V = const и T = const, имеем:
m
(2)
V p 
RT ;
M
MV p
.
(3)
m 
RT
Неизвестную молярную массу M газа выразим из уравнения
КлапейронаМенделеева для нормальных условий:
m
(4)
p0V0 
RT0 .
M
В уравнении (4) учтено, что T = T0. Из этого уравнения найдем:
mRT 0 RT
(5)
M

.
p0V0
p0
Подставив (5) в (3), получим
 V p
m  0
 0,33  кг  .
p0
Вариант 1
1. Азот нагревался при постоянном давлении, причем ему было сообщено
количество теплоты Q = 21 кДж. Определить работу А, которую совершил
при этом газ, и изменение ΔU его внутренней энергии. [6 кДж; 15 кДж]
2. Кислород массой m = 2 кг занимает объем V1 = 1 м3 и находится под
давлением p1=0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до
объема V2=3 м3, а затем при постоянном объеме до давления p2=0,5 МПа.
Найти: 1) изменение внутренней энергии ΔU газа; 2) совершенную им работу
А; 3) количество теплоты Q, переданное газу. Построить график процесса.
[3,25 МДж; 0,4 МДж; 3,65 МДж]
3. Гелий массой m=l г был нагрет на ΔT=100 К при постоянном давлении р.
Определить: 1) количество теплоты Q, переданное газу; 2) работу А
расширения; 3) приращение ΔU внутренней энергии газа. [520 Дж; 208 Дж;
312 Дж]
Вариант 2
1. Какая доля ω1 количества теплоты Q1, подводимого к идеальному газу
при изобарном процессе, расходуется на увеличение ΔU внутренней энергии
газа и какая доля ω2 — на работу А расширения? Рассмотреть три случая,
если газ: 1) одноатомный; 2) двухатомный; 3) трехатомный. [1) 0,6 0,4 2)
0,71; 0,29 3) 0,75; 0,25]
2. Смешали воду массой m1=5 кг при температуре T1=280 К с водой массой
m2=8 кг при температуре Т2=350 К. Найти: 1) температуру θ смеси; 2)
изменение ΔS энтропии, происходящее при смешивании. [323 К; 0,3 кДж/К]
3. В результате изохорного нагревания водорода массой m=l г давление р
газа увеличилось в два раза. Определить изменение ΔS энтропии газа.
[7,2 Дж/К]
Вариант 3
1. Найти изменение ΔS энтропии при изобарном расширении азота массой
m=4 г от объема V1=5 л до объема V2=9 л. [2,43 Дж/К]
2. Кусок льда массой m=200 г, взятый при температуре t1=-10 °С, был
нагрет до температуры t2=0 °С и расплавлен, после чего образовавшаяся вода
была нагрета до температуры t=10 С. Определить изменение ΔS энтропии в
ходе указанных процессов. [291 Дж/К]
3. Лед массой m1=2 кг при температуре t1=0 °С был превращен в воду той
же температуры с помощью пара, имеющего температуру t2=100°С.
Определить массу m2 израсходованного пара. Каково изменение ΔS энтропии
системы лед–пар? [251 г; 610 Дж/кг ?]
Вариант 4
1. Кислород массой m=2 кг увеличил свой объем в n=5 раз один раз
изотермически, другой – адиабатно. Найти изменения энтропии в каждом из
указанных процессов. [836 Дж/К; 0]
2. Водород массой m=100 г был изобарно нагрет так, что объем его
увеличился в n=3 раза, затем водород был изохорно охлаждён так, что
давление его уменьшилось в n=3 раза. Найти изменение ΔS энтропии в ходе
указанных процессов. [457]
3. На космическом корабле-спутнике находятся часы, синхронизированные до полета с земными. Скорость υ0 спутника составляет
7,9 км/с. На сколько отстанут часы на спутнике по измерениям земного
наблюдателя по своим часам за время τ0=0,5 года? [0,57 с]
Вариант 5
1. Фотонная ракета движется относительно Земли со скоростью υ=0,6 с.
Во сколько раз замедлится ход времени в ракете с точки зрения земного
наблюдателя? [1,25]
2. В системе К' покоится стержень, собственная длина l0 которого равна
1 м. Стержень расположен так, что составляет угол φ0=45° с осью x'.
Определить длину l стержня и угол φ в системе K, если скорость υ о системы
K' относительно К равна 0,8 с. [0,825 м; 59о]
3. В системе К находится квадрат, сторона которого параллельна оси х'.
Определить угол φ между его диагоналями в системе К, если система К'
движется относительно К со скоростью υ=0,95 с. [72066]
Вариант 6
1. В лабораторной системе отсчета (K-система) пи-мезон с момента
рождения до момента распада пролетел расстояние l=75 м. Скорость υ пимезона равна 0,995 с. Определить собственное время жизни τ0 мезона. [25 нс]
2. Собственное время жизни τ0 мю-мезона равно 2 мкс. От точки рождения
до точки распада в лабораторной системе отсчета мю-мезон пролетел
расстояние l=6 км. С какой скоростью υ (в долях скорости света) двигался
мезон? [0,995]
3. Две релятивистские частицы движутся в лабораторной системе отсчета
со скоростями υ1=0,6 с и υ2=0,9 с вдоль одной прямой. Определить их
относительную скорость u21 в двух случаях: 1) частицы движутся в одном
направлении; 2) частицы движутся в противоположных направлениях.
[0,195с; 0,974с]
Вариант 7
1. В лабораторной системе отсчета удаляются друг от друга две частицы с
одинаковыми по модулю скоростями. Их относительная скорость u в той же
системе отсчета равна 0,5 с. Определить скорости частиц. [0,268с]
2. Ион, вылетев из ускорителя, испустил фотон в направлении своего
движения. Определить скорость фотона относительно ускорителя, если
скорость υ иона относительно ускорителя равна 0,8 с. [с]
3. Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость υ1= =0,4 с. В
момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего
движения β-частицу со скоростью υ2=0,75 с относительно ускорителя. Найти
скорость u21 частицы относительно ядра. [0,5с]
Вариант 8
1. Два ускорителя выбрасывают навстречу друг другу частицы со
скоростями |υ|=0,9 с. Определить относительную скорость и21 сближения
частиц в системе отсчета, движущейся вместе с одной из частиц. [0,994с]
2. Частица движется со скоростью υ=0,5 с. Во сколько раз релятивистская масса
частицы больше массы покоя? [1,15]
3. С какой скоростью υ движется частица, если ее релятивистская масса в три раза
больше массы покоя? [0,943с]
Вариант 9
1. Отношение заряда движущегося электрона к его массе, определенное из
опыта, равно 0,881011 Кл/кг. Определить релятивистскую массу т электрона и его
скорость υ. [2m0; 0,866с]
2. На сколько процентов релятивистская масса частицы больше массы покоя при
скорости υ=30 Мм/с? [0,5%]
3. Показать, что выражение релятивистского импульса переходит в
соответствующее выражение импульса в классической механике при υ<<c. []
Вариант 10
1. Электрон движется со скоростью υ=0,6 с. Определить релятивистский
импульс р электрона. [2,0510-22кгм/с]
2. Импульс р релятивистской частицы равен т0с (т0 — масса покоя).
Определить скорость υ частицы (в долях скорости света). [0,707с]
3. В лабораторной системе отсчета одна из двух одинаковых частиц покоится,
другая движется со скоростью υ=0,8 с по направлению к покоящейся частице.
Определить: 1) релятивистскую массу движущейся частицы в лабораторной
системе отсчета; 2) скорость частиц в системе отсчета, связанной с центром
инерции системы; 3) релятивистскую массу частиц в системе отсчета,
связанной с центром инерции. [1,67 m0; 0,5с; 1,15 m0]
Вариант 11
1. В лабораторной системе отсчета находятся две частицы. Одна частица с
массой покоя т0 движется со скоростью υ=0,6 с, другая с массой покоя 2т0
покоится. Определить скорость Vc центра масс системы частиц. [0,231с]
2. Полная энергия тела возросла на ΔE=1 Дж. На сколько при этом
изменится масса тела? [11,1 фг]
3. Определить, на сколько должна увеличиться полная энергия тела, чтобы
его релятивистская масса возросла на Δm=1 г? [90ТДж]
Вариант 12
1. Вычислить энергию покоя: 1) электрона; 2) протона; 3) α-частицы.
Ответ выразить в джоулях и мегаэлектрон-вольтах. [81,6 фДж или 0,511
МэВ; 150 пДж или 938 МэВ; 596 пДж или 3,73103 МэВ]
2. Известно, что объем воды в океане равен 1,37·109 км3. Определить, на
сколько возрастет масса воды в океане, если температура воды повысится на
Δt=1 °С. Плотность р воды в океане принять равной 1,03·103 кг/м3.
[6,57107кг]
3. Кинетическая энергия Т электрона равна 10 МэВ. Во сколько раз его
релятивистская масса больше массы покоя? Сделать такой же подсчет для
протона. [20,6; 1,01]
Вариант 13
1. Во сколько раз релятивистская масса протона больше релятивистской
массы электрона, если обе частицы имеют одинаковую кинетическую
энергию Т= 1 ГэВ? [1,94]
2. Электрон летит со скоростью υ=0,8 с. Определить кинетическую энергию
Т электрона (в мегаэлектрон-вольтах). [0,341 МэВ]
3. При какой скорости υ кинетическая энергия любой частицы вещества
равна ее энергии покоя? [260 Мм/с]
Вариант 14
1. Определить скорость электрона, если его кинетическая энергия равна: 1)
Т=4 МэВ; 2) T=1 кэВ. [298 Мм/с; 18,9 Мм/с]
2. Найти скорость протона, если его кинетическая энергия равна: 1) T=1 МэВ;
2) T=1 ГэВ. [13,8 Мм/с; 263 Мм/с]
3. Две релятивистские частицы движутся навстречу друг другу с
одинаковыми (в лабораторной системе отсчета) кинетическими энергиями,
равными их энергии покоя. Определить: 1) скорости частиц в лабораторной
системе отсчета; 2) относительную скорость сближения частиц (в единицах
с); 3) кинетическую энергию (в единицах т0с2) одной из частиц в системе
отсчета, связанной с другой частицей. [0,866с; 0,9897с; 6 т0с2]
Вариант 15
1. Определить импульс р частицы (в единицах m0с), если ее кинетическая
энергия равна энергии покоя. [1,73 т0с]
2. Кинетическая энергия релятивистской частицы равна ее энергии покоя. Во
сколько раз возрастет импульс частицы, если ее кинетическая энергия
увеличится в n=4 раза? [2,82]
3. Импульс р релятивистской частицы равен m0с. Под действием внешней
силы импульс частицы увеличился в два раза. Во сколько раз возрастет при
этом энергия частицы: 1) кинетическая? 2) полная? [2,98; 1,58]
Вариант 16
1. При неупругом столкновении частицы, обладающей импульсом m0с, и
такой же покоящейся частицы образуется составная частица. Определить: 1)
скорость υ частицы (в единицах с) до столкновения; 2) релятивистскую массу
составной частицы (в единицах т0); 3) скорость составной частицы; 4) массу
покоя составной частицы (в единицах m0); 5) кинетическую энергию частицы
до столкновения и кинетическую энергию составной частицы (в единицах
т0с2). [0,707с; 2,4142 т0; 0,414с; 2,1973 т0; 0,414 т0с2; 0,217 т0с2]
Вариант 17
1. Частица с кинетической энергией m0с2 налетает на другую такую же
частицу, которая в лабораторной системе отсчета покоится. Найти
суммарную кинетическую энергию Т' частиц в системе отсчета, связанной с
центром инерции системы частиц. [0,551 т0с2]
2. Найти скорость частицы, при которой кинетическая энергия частицы равна
ее энергии покоя. [

3
c
2 ]
Вариант 18
1. При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул
азота больше их наиболее вероятной скорости на 50м/с?
83 К
2. Барометр в кабине летящего вертолета показывает давление р = 90 кПа. На
какой высоте h летит вертолет, если на взлетной площадке барометр
показывал давление p0 = 100 кПа? Считать, что температура Т воздуха равна
290 К и не изменяется с высотой.
≈ 893 м
Вариант 19
1. Идеальный газ с показателем адиабаты  расширили по закону Р = αV, где
α = const. Первоначальный объем газа V1. В результате расширения объем
увеличился в η раз. Найдите приращение внутренней энергии газа.
.
2. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из:
Изохоры, адиабаты и изотермы;
Изобары, адиабаты и изотермы,
причем изотермический процесс проходит при минимальной температуре
цикла. Найти кпд каждого цикла, если температура в его пределах
изменилась в n раз.
В обоих случаях   1 
ln n
n 1
Вариант 20
1. В цилиндре под поршнем находится водород массой m = 0,02 кг при
температуре Т1 = 300 К. Водород начал расширяться адиабатно, увеличив
свой объем в 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа
уменьшился в 5 раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения и
работу, совершенную газом. Изобразить процесс графически.
Т = 157,6 К;
А = 8,6Дж
2. Идеальная холодильная машина имеет в качестве холодильника резервуар
с водой при 0°С, а в качестве нагревателя – резервуар с кипящей водой.
Определить холодильный коэффициент. Какую работу надо совершить,
чтобы превратить в лед 1 кг воды? Какое количество воды в нагревателе
превратится при этом в пар? Удельная теплота плавления льда
λ = 340 кДж/кг, удельная теплота парообразования воды r = 2260 кДж/кг.
2,73;
125 кДж;
0,2 кг