2.4. круговые процессы. 2.5. второе начало термодинамики

2.4. Круговые процессы. Тепловые двигатели
2.4.1. Когда газ в цилиндре двигателя внутреннего сгорания
обладает большим запасом внутренней энергии: в момент
проскакивания электрической искры или в конце рабочего хода поршня?
Решение
Нагреватель
1. Двигатель внутреннего сгорания
представляет собой циклическую тепловую
Т1
машину, которая периодически совершает
dQ1
работу и возвращается после этого в
исходное
состояние.
Периодически

работающая тепловая машина должна иметь
Рабочее
«рабочее
тело»
термодинамическое
тело
состояние, которого меняется циклически,
нагреватель от которого «рабочее тело»
dQ2
забирает тепло и холодильник, которому
Т2
тепло отдаётся.
2. Механическая работа совершается за
Холодильник
счёт
изменения
внутренней
энергии
«рабочего тела». В соответствии с первым началом термодинамики для
круговых процессов должно выполняться равенство
(1)
Q1  dA  Q 2 ,
где Q1  количество тепла, забираемое у нагревателя «рабочим телом»,
Q2  количество тепла, получаемое холодильником от «рабочего тела».
3. Производство работы осуществляется за счёт изменения
внутренней энергии газообразного «рабочего тела». Максимальной
внутренняя энергия будет в момент воспламенения топливновоздушной смеси, которая в ДВС и является «рабочим телом». В конце
рабочего хода поршня запас внутренней энергии «рабочего тела»
уменьшается.
2.4.2. В результате кругового процесса газ совершил работу А = 1
Дж и передал холодильнику Q2 = 4,2 Дж. Определить
термодинамический коэффициент полезного действия цикла .
Решение
1. Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла
равен
173
Q1  Q 2
.
(1)
Q1
2. Определим количество тепла, получаемого «рабочим телом» от
нагревателя
(2)
Q1  Q 2  A  5,2 Дж.
3. Подставим значение Q1 в уравнение (1)
5,2  4,2
(3)

 0,19 .
5,2

2.4.3. Совершая замкнутый круговой процесс, газ получил от
нагревателя количество теплоты Q1 = 4 кДж. Определить работу
газа при протекании цикла, если его термический КПД  = 0,1.
Решение
1. Запишем уравнение термического КПД и определим количество
тепла Q2, отдаваемое газом холодильнику
Q1  Q 2

,  Q 2  Q1  Q1  Q1 1   .
(1)
Q1
2. Воспользовавшись уравнением (2) предыдущей задачи, определим
работу цикла
(2)
A  Q1  Q 2  Q1  Q1 1    Q1  0,4 кДж .
2.4.4. Идеальный двухатомный газ, содержащий  = 1 моль
вещества, совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар.
Наименьший объём Vmin = 10 л, наибольший  Vmax = 20 л, наименьшее
давление, при этом, составляет рmin = 246 кПа, наибольшее  р max =
410 кПа. Построить график цикла. Определить температуру Т для
характерных точек процесса и совершаемую за цикл работу.
174
р, кПа
400
3
2
300
240
5
1
10
15
4
20 V, л
Решение
1. Определим, используя уравнение
Клапейрона
Менделеева,
температуру
характерных точек процесса
p V 246 10 3 10 2
T1  1 1 
 296 K , (1)
R
1 8,3
p V 410 10 3 10 2
T2  2 1 
 494 K , (2)
R
1 8,3
pV
410 10 3  2 10 2
T3  2 3 
 988 K , (3)
R
1 8,3
p1V3 246 10 3  2 10 2
(4)

 592 K .
R
1 8,3
2. Определим количество тепла, отдаваемое газом охладителю на
изохорном участке 12
iR
5  8,3
494  296   4,1кДж .
Q 2   T2  T1   1
(5)
2
2
3. Определим совершаемую за цикл работу, которая численно будет
равна площади прямоугольника 1,2,3,4
A  p  V  410  264  10 3 1 10 2  1640 Дж .
(6)
T4 
2.4.5. Идеальный двухатомный газ в
количестве  = 1 кмоль, совершает
замкнутый цикл в соответствии с
приведённым графиком. Определить
количество теплоты Q1`, получаемое
от нагревателя, количество тепла,
отдаваемое
охладителю
Q2,
совершаемую за цикл работу A и
термический КПД процесса .
Решение
1. Определим количество теплоты, получаемое газом от нагревателя,
которое будет складываться из количества тепла Q1,2 на первом
изобарном участке цикла 1  2 и количества тепла Q2,3 на первом
изохорном участке 2  3
iR
iR p max  p min Vmin
Q1 2   T  
 2 10 4 Дж ,
(1)
2
2
R
175
Q 2 3  
i  2 p maxV
R
 3,5 1,6 10 4 1  5,6 10 4 Дж .
2
R
(2)
(3)
Q1  Q12  Q23  7,6 104 Дж .
2. Найдём количество тепла Q2, отдаваемое охладителю на участках
цикла 3,4,1
i
5
Q 34   p min  p max Vmax  4 10 3  3  3 10 4 ,
(4)
2
2
i  2 p min V
Q 41  
R
 3,5 1,2 10 4 1  4,2 10 4 Дж ,
(5)
2
R
Q 2  Q 34  Q 41  7,2 10 4 Дж .
(6)
3. Работа, совершаемая за один цикл
A  p  V  4 10 3 1  400 Дж .
(7)
4. Термический КПД процесса
A
400


 0,0526 5,26 % .
(8)
Q1 7,6 10 3
2.4.6. Идеальный двухатомный газ, содержащий  = 1 моль
вещества, находится под давлением р1 = 0,1 МПа при температуре Т1
= 300 К, нагревают при постоянном объёме до давления р2 = 0,2 МПа.
После этого газ расширился до начального давления, а затем изобарно
сжат до начального объёма V1. Построить график цикла, определить
характерные температуры и термический КПД .
Решение
1.
Определим,
используя
уравнение
Клапейрона

Менделеева, начальный объём газа
(1)
p1V1  RT1 ,
2
p2
RT1 1 8,3  300

 0,025 м 3 .(2)
p1
110 5
2. Определим температуру газа
в точке цикла 2
p V
2 10 5  2,5 10 2
T2  2 1 
 602 K
R
8,3
3. Поскольку участок цикла 2 
3 является изохорой, то Т 2 = Т3
4. Определим конечный объём
V1 
p1
3
1
V1
V2
176
газа при окончании изотермического расширения
RT2 1 8,3  602
V2 

 0,05 м 3 .
(3)
p1
110 5
5. Работа при изотермическом расширении определится уравнением
V
(4)
A 23  RT3 ln 2  8,3  602  ln 2  3,5 10 3 Дж .
V1
6. Количество тепла Q1, получаемое от нагревателя на участках
цикла 123
iR
iR p 2  p1 V1 i
Q1 2   T  
 p 2  p1 V1  6,25 10 3 Дж ,
(5)
2
2
R
2
Q23  A  3,5 103 Дж ,
Q1  Q12  Q23  10 10 Дж .
7. Количество тепла, отдаваемое охладителю на участке 31
i2
Q 2  Q 31  
R T3  T1   8,7 10 3 Дж .
2
8. Определим термический КПД цикла
Q1  Q 2 10  8,7


 0,13 (13%).
Q1
10
3
(6)
(7)
(8)
(9)
2.4.7. Одноатомный газ, содержащий количество вещества  = 100
моль, под давлением р1 = 0,1 МПа занимал объём V1 = 5 м3. Газ
сжимался изобарно до объёма V2 = 1 м3, затем сжимался адиабатно и
расширялся при постоянной температуре до начального объёма и
начальной температуры. Построить график процесса. Найти
температуры Т1, Т2, объёмы V2, V3 и давление р3, соответствующие
характерным точкам цикла. Определить количество тепла Q1,
получаемое от нагревателя и количество тепла  Q2, отдаваемое
охладителю. Вычислить работу, производимую за весь цикл и
термический КПД .
Решение
1. Определим начальную температуру газа Т1
177
p1 V1
 600 K .
(1)
R
3
p
2. Температура Т2 в конце процесса 3
изобарного сжатия газа
pV
T2  1 2  120 K .
(2)
R
3. Показатель адиабаты на участке
процесса 23
i  2 3 2
p1


 1,67 .
(3)
i
3
4. Определим объём V3, с учётом того,
V3
что переход газа из состояния 2 в
состояние 3 происходит по адиабатной схеме
T1 
2
V2

p 3  V2 
(4)
  .
p 2  V3 
Давление в точке 3 выразим из уравнения изотермы 34
pV
(5)
p3V3  p1`V1,  p3  1 1 .
V3
5. Подставим значение р3 из уравнения (5) в уравнение (4), которое
разрешим относительно V3
1
 V    1  1 
p1  p 2 ,  V3   2      0,09 м 3 . (6)
5
 V1 
6. Определим далее давление р3, воспользовавшись уравнением (5)
p V
1 10 5 1
p3  2 2 
 1 МДж .
(7)
V3
0,09
p1V1 V2

,
V3 p 2 V3
1, 49
7. Определим количество тепла Q2, отдаваемое газом охладителю
i2
3 2
Q12  C p T3  T2   
R T3  T2   830
480  1 МДж .
(8)
2
2
8. Определим количество тепла Q1 получаемое газом
V
Q1  RT1 ln 1  830  600  ln 55,5  2 МДж .
(13)
V3
9. Определим термический КПД процесса
Q1  Q 2

 0,5 50 % .
(14)
Q1
10. Работа, совершаемая за один цикл
178
1
V1
A1231  Q1  Q 2  1МДж .
(15)
2.4.8. Идеальный многоатомный газ совершает цикл, состоящий из
двух изохор и двух изобар, причём наибольшее давление в два раза
превосходило наименьшее давление, а наибольший объём в четыре раза
превосходил наименьший объём. Определить термический КПД цикла.
p
Решение
1. Определим, используя уравнение
Клапейрона Менделеева, характерные
температуры процесса
pV
2p V
T1  1 1 , T2  1 1 ,
(1)
R
R
2p 4V
p 4V
T3 1 1 , T4  1 1 , (2)
p1
R
R
1
4
2. Количество тепла Q1, получаемое
газом на
участках
V1
4V1 V многоатомным
123
i
Q12  R T2  T1   3p1V1 ,
(3)
2
i2
T3  T2   24 p1V1 ,
Q 23  R
(4)
2
(5)
Q1  Q12  Q 23  27 p1V1 .
3. Количество тепла Q2, отдаваемое газом охладителю на участках
процесса 341
i
Q 34  R T3  T4   12 p1V1 ,
(6)
2
i2
T4  T1   12 p1V1 ,
Q 41  R
(7)
2
(8)
Q 2  Q34  Q 41  24 p1V1 .
4. Определим термический коэффициент процесса
Q1  Q 2 27  24


 0,11 11 % .
(9)
Q1
27
2p1
2
3
2.4.9. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 2/3 количества
тепла Q1, получаемого от нагревателя, отдаёт охладителю,
температура которого составляет Т2 = 280 К. Определить
температуру Т1 нагревателя.
179
Решение
1. Определим термический КПД процесса
Q1  2 3Q1

 0,33 .
Q1
2. Запишем далее уравнение для КПД цикла Карно
T  T2
T
280
 1
,  T1  2 
 418 K .
T1
1   1  0,33
(1)
(2)
2.4.10. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура
охладителя равна Т2 = 290 К. Во сколько раз увеличится КПД цикла
если температура нагревателя повышается с Т1(min) = 400 К до Т1(max) =
600 К?
Решение
1. Определим КПД цикла для заданных температур нагревателя
T1(min)  T2 400  290
(1)
min 

 0,275 ,
T1(max)
400
T1(max)  T2 600  290
(2)
 0,517 .
T1(max)
600
2. Определим отношение коэффициентов полезного действия цикла
(3)
max min  1,88 .
max 
2.4.10. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура Т 1
нагревателя в три раза выше температуры охладителя Т 2. В течение
цикла нагреватель передаёт газу количество теплоты Q1 = 42 кДж.
Какую работу А совершил газ?
Решение
1. Определим КПД заданного цикла
T  0,33T1
 1
 0,667 .
(1)
T1
2. Работа, совершаемая газом за один цикл, определится уравнением
(2)
A  Q1  42 103  0,667  28 кДж .
2.4.11. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура
нагревателя равна Т1 = 470 К, температура охладителя  Т2 = 280 К.В
180
течение цикла газ совершает работу А = 100 Дж Определить
термический КПД цикла  и количество теплоты, отдаваемое газом
при его изотермическом сжатии.
Решение
1. Термический КПД цикла
T1  T2
(1)
 0,4 .
T1
2. Определим количество тепла Q1, получаемое газом от
нагревателя
A
A

,  Q1   250 Дж ,
(2)
Q1

с другой стороны, для цикла Карно можно записать для работы
следующее соотношение
(3)
A  Q1  Q 2 ,  Q 2  Q1  A  150 Дж .

2.4.12. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура
нагревателя Т1 в четыре раза выше температуры охладителя Т2.
Какую долю  количества тепла, получаемого за один цикл, газ отдаёт
охладителю?
Решение
1. Определим термический КПД процесса
4T  T2
 2
 0,75 .
(1)
4T2
2. Запишем значение термического КПД через количество теплоты
Q1  Q 2
Q 2

 1
 1  ,    0,25 .
(2)
Q1
Q1
2.4.13. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, получив от
нагревателя Q1 = 4,2 кДж теплоты, совершил работу А = 590 Дж.
Определить величину термического КПД цикла и отношение
температур нагревателя Т1 и охладителя Т2.
Решение
1. Определим термический КПД
A
590


 0,14 .
Q1 4200
181
(1)
2. Запишем уравнение термического КПД следующим образом
Q1  Q 2
Q 2

 1
.
Q1
Q1
3. Определим из уравнения (2) отношение Q1/Q2
Q 2
 1    0,86 ,
Q1
откуда видно, что Q1/Q2  1,16.
(2)
(3)
2.4.14. Идеальный газ совершает цикл Карно, совершая на стадии
изотермического расширения работу А = 5 Дж. Определить работу
изотермического сжатия, если термический КПД цикла  = 0,2.
Решение
1. Количество тепла Q1, получаемое газом от нагревателя
A
Q1   25 Дж .

2. Количество теплаQ2, отдаваемое газом охладителю
Q1  Q 2

,  Q 2  20 ДЖ .
Q1
3. Работа изотермического сжатия газа
A 2    Q 2  4 Дж .
(1)
(2)
(3)
2.4.15. Наименьший объём газа участвующего в цикле Карно V1 =
0,153 м3. Определить наибольший объём этого газа V3, если в конце
изотермического расширения объём газа составляет V2 = 0,6 м3, а в
конце изотермического сжатия V4 = 0, 189 м3.
p
Решение
1. Количество тепла, получаемое
газом от нагревателя и отдаваемое
охладителю, определяются как
V
Q1  RT ln 3 .
(1)
V2
2
Q1
3
1
V2 V1
V4
.
(2)
V2
2. Составим очевидную пропорцию
Q 2  RT ln
Q2
4
V3
V
V4
182
V3 V4
V V

,  V3  2 4  0,74 м 3 .
V2 V1
V1
2.4.16. Идеальный двухатомный газ
совершает цикл Карно, график которого
приведен на рисунке. Объёмы газа в точках В
и С соответственно равны V1 = 0,012 м3 и V2
= 0,016 м3. Определить термический КПД
цикла.
Решение
1. Определим показатель адиабаты
идеального двухатомного газа
i2 52


 1,4 .
(1)
i
5
2. Поскольку точки В и С лежат на адиабате, то справедливы
соотношения следующие соотношения между начальными и конечными
параметрами процесса
 1
T2  V1 
 0,012 
    
  0,891 .
(2)
T1  V2 
 0,016 
3. Определим далее КПД цикла, из условия что точка В
соответствует температуре нагревателя Т 1, а точка С температуре
охладителя Т2
T
  1  2  1  0,891  0,11 11 % .
(3)
T1
0, 4
2.4.17. В цилиндрах карбюраторного двигателя внутреннего
сгорания газ сжимается политропически до V2 = V1/6. Начальное
давление в цилиндре равно р1 = 90 кПа, начальная температура  Т1 =
400 К. Определить давление р2 и температуру Т2 в конце процесса
сжатия газа. Показатель политропы равен n = 1,3.
Решение
1. Запишем уравнение политропического процесса
p1V1n  p 2 V2n .
2. Выразим в уравнении (1) величину V2 через V1
(1)
n
V 
p1V  p 2  1  ,  p 2  p1 6 n  924 Па .
 6 
n
1
183
(2)
3. Запишем уравнение политропического процесса через его
начальную и конечную температуру
(3)
T1V1n 1  T2 V2n 1 ,
или, после замены V2, получим
V 
T1V1n 1  T2  1 
 6 
n 1
,
(4)
откуда
T2  T1  6n 1  400 60,3  684,7 K .
(5)
2.5. Второе начало термодинамики
2.5.1. К воде с массой m1 = 5 кг с температурой Т1 = 280 К добавили
m2 = 8 кг воды с температурой Т2 = 350 К. Определить температуру
смеси и изменение энтропии, при смешивании воды
Решение
1. Установившуюся после перемешивания температуру определим
из уравнения теплового баланса
m T  m 2 T2
cm1   T1   cm 2 T2  ,    1 1
 323 K .
(1)
m1  m 2
2. Определим энтропии масс m1 и m2 воды


cm dT
dQ

Дж
S1  
  1  cm1 ln
 3 10 3
,
(2)
T
T
T
К
1
T
T
1

S2 

T2
1`

cm 2 dT
dQ

Дж

 cm 2 ln
 2,7 10 3
.
T T
T
T1
К

(3)
2`
3. Определим изменение энтропии при смешивании воды массами
m1 и m2
184
S  S1  S2  300
Дж
.
К
(4)
2.5.2. В результате изохорного нагревания водорода давление
увеличилось в два раза. Определить изменение энтропии водорода S,
если масса газа равна m = 110  3 кг.
Решение
1. Изменение энтропии в общем виде записывается следующим
образом
T2
S 

T1
dQ
.
T
(1)
2. Для изохорного процесса первое начало термодинамики имеет вид
m
(2)
dQ  U  C V dT ,

mi
(3)
dQ  U 
RdT ,
 2
3. Подставим значение dQ из уравнения (3) в уравнение (1)
T
S 
T
m i 2 dT m i
R

R ln 2 .
 2 T T
 2
T1

(4)
1
4. Определим отношение температур, рассмотрев систему уравнений
Клапейрона  Менделеева для заданных состояний водорода
p1V  RT1 
T2
(5)
2.
, 
2p1V  RT2 
T1
5. Вычислим изменение энтропии с учётом уравнения (5)
110 3 5
Дж
.
S 
 8,3  0,7  7,26
К
2 10 3 2
(6)
2.5.3. Найти изменение энтропии S при изобарном расширении
азота массой 410  3 кг от объёма V1 = 510  3 м3 до V2 = 910  3 м3.
Решение
1. Изменение энтропии при переходе газа из состояния 1 в состояние
2 в общем случае определяется уравнением
2
S 

1
185
dQ
,
T
(1)
где dQ в соответствии с первым началом термодинамики для
изобарного процесса определится как
m
m i2
(2)
dQ  dU  A  C p dT 
RdT .

 2
2. Совместим уравнения (2) и (1)
T
S 
T
m i  2 2 dT m i  2
R

R ln 2 .
 2
T

2
T1
T

(3)
1
3. Определим отношение температур по аналогии с уравнением (5)
предыдущей задачи
pV1  RT1 
T2 9
(4)
  1,8 .
, 
pV2  RT2 
T1 5
4. Вычислим изменение энтропии, подставив отношение температур
из уравнения (5) в уравнение (3)
4 10 3 5  2
Дж
.
(5)
S 
 8,3  ln 1,8  2,44
К
28 10 3 2
2.5.4. Лёд массой m = 0,2 кг, взятый при температуре Т1 = 263 К
был нагрет до температуры Т2 = 273 К и расплавлен. Образовавшуюся
воду нагрели до температуры Т3 = 283 К. Определить изменение
энтропии указанных процессов.
Решение
1. Изменение энтропии при нагревании льда от температуры Т 1 до
температуры Т2
T2
S1 

T1
T
T
dQ 2 c1mdT
Дж
.

 c1m ln 2  4187  0,2  ln 1,03  31,2
T T T
T1
К

(1)
1
2. Изменение энтропии при плавлении льда
2
S2  
1
dQ m 0,2  3,3 10 5
Дж
,


 242
T0
T0
273
К
(2)
где   удельная теплота плавления льда, Т0 = 273 К  температура
плавления льда.
3. Изменение энтропии при нагревании воды от Т 0 = 273 К до Т3 =
283 К
T3
S3 

T0
T
c 2 mdT
283
Дж
 c 2 m ln 3  4182  0,2  ln
 30
.
T
T0
273
К
4. Общее изменение энтропии
186
(3)
S  S1  S2  S3  303
Дж
.
К
(4)
2.5.5. Два одинаковых тела, нагретых до разных температур,
приводятся в тепловой контакт друг с другом. Температуры тел
уравниваются. Покажите, что при этом процессе энтропия системы
увеличивается.
Решение:
1 При теплообмене справедливо уравнение теплового баланса
(1)
c1m1 (T1  )  c2 m2   T2  ,
с учётом того, что массы m1, m2 и теплоёмкости с1,с2 – соответственно
одинаковы, то
T T
(2)
T1      T2    1 2    T1;   T2 .
2
2 Изменение энтропии тел в процессе теплообмена составит:
c m   T2  c1m1 T1  
,
(3)
s  2 2



или
cm
(4)
2T1  T2   2cmT1  T2   0 .
s 

2.5.6. Найдите приращение энтропии 1 кг льда при его плавлении.
Решение:
1. Процесс перехода вещества из одного состояния в другое
происходит в данном случае без изменения температуры, поэтому
изменение энтропии будет вызвано только плавлением, т.е.
2
s  
1
Q m
Дж
.

 1245
T0
T0
К
(1)
2.5.7. На сколько возрастет энтропия 1 кг воды, находящейся при
температуре 293 К, при превращении ее в пар?
Решение:
1 Изменение энтропии при нагревании данной массы воды до
температуры кипения Т2 составит:
s1 
T2

T1
cmdT
T
 cm ln 2 ,
T
T1
187
(1)
(2)
s1  1 4190  ln 1,366  1307 Дж / К .
2 Изменение энтропии в процессе фазового перехода воды из
жидкого состояния в газообразное
2
s 2  
1
Q mr

 6058 Дж / К .
T2
T2
(3)
3 Суммируя уравнения (1) и (2), получим возрастание энтропии при
нагревании и испарении 1 кг воды
(4)
s  s1  s 2  7365 Дж / К .
2.5.8. Найдите приращение энтропии водорода при расширении его
от объема V1 до 2 V1: а) в вакууме; б) при изотермическом процессе.
Масса водорода составляет величину m.
Решение:
1. Изменение энтропии при переходе водорода из состояния 1 в
состояние 2 определяется уравнением
2
s  
1
Q
.
T
(1)
В соответствии с первым началом термодинамики
(2)
Q  dU  PdV  Cv dT  PdV .
Второе слагаемое уравнения (2) содержит две переменных величины P и
V, поэтому необходимо сделать замену на основе уравнения
Клапейрона – Менделеева
(3)
P  RT V ,
тогда
(4)
Q  CvdT  RT dV V .
2. Запишем уравнение (1) с учётом значения изменения количества
тепла (4)
T2
V2

dT
dV 
s   C v 
 R 
,
(5)

T
V 
T1
V1


интегрируя которое, получим
s  Cv ln T2 T1   R ln V2 V1  .
(6)
3. Поскольку процесс изменения состояния происходит при
постоянной температуре, то в обоих случаях увеличение энтропии
составит
(7)
s  R ln V2 V1   R ln 2 .
188
2.5.9. Вычислите приращение энтропии водорода массы m при
переходе его от объема V1 и температуры T1 к объему V2 и
температуре Т2, если газ: а) нагревается при постоянном объеме V1, а
затем изотермически расширяется; б) расширяется при постоянной
температуре T1 до объема V2, затем нагревается при постоянном
объеме; в) адиабатически расширяется до объема V2, а затем
нагревается при постоянном объеме.
Решение:
1. Изменение энтропии во всех трёх заданных случаях будет
одинаковым, потому что
m
m RT
Q  dU  A  C v dT 
dV ,
(1)

 V
s 

1m i
m RT

RdT 
dV  ,
T   2
 V

2
s 
m
R
 1

3 dT dV

2 T
V
,
3
3




 T2  2  m
V2  T2  2 
m  V2

s  R ln
 ln    R ln
   .

V
  V1
T 
 T1   

 1  1  

(2)
(3)
(4)
2.5.10. Кусок льда массы 0,1 кг при температуре 0° С бросают в
теплоизолированный сосуд, содержащий 2 кг бензола при 50° С.
Найдите приращение энтропии системы после установления
равновесия. Удельная теплоемкость бензола 1,75 кДж/(кгК).
Решение:
1. Определим установившуюся температуру, используя уравнение
теплового баланса
(1)
m11  c2 m2   T2   c3m3 T3   ,
c3 m 3T3  c 2 m 2 T2  1m1
 309 K .
c 2 m 2  c3m3
2. Изменение энтропии при плавлении льда

2
s1  
1
Q1
m
Дж
  1 1  123
.
T1
T1
K
(2)
(3)
3. Изменение энтропии при нагревании образовавшейся изо льда
воды
189

s 2 

T2
m 2 c 2 dT

Дж
m 2 c 2 ln
 52
.
T
T2
K
(4)
4. Изменение энтропии при охлаждении бензола
T3
s 3  
m 3c3dT
T
Дж
 m 3c3 ln 3  155
.
T

K


5. Общее изменение энтропии
s  s1  s 2  s3  20 Дж K .
(5)
(6)
2.5.11. Водород массой m = 610  3 кг расширяется изотермически,
давление изменяется от р1 = 0,1 МПа до р2 = 0,05 МПа. Определите
изменение энтропии процесса S.
Решение
1. Изменение энтропии при изменении состояния газа определяется
уравнением
2
s  
1
Q
.
T
(1)
2. В соответствии с первым началом термодинамики
m
(2)
Q  dU  A  C V dT  pdV .

3. Запишем уравнение (2) выразив величину давления из уравнения
Клапейрона  Менделеева
m RT
,
(3)
p
 V
и подставим его в уравнение (2)
m i2
m RT
(4)
Q 
dT 
dV .
 2
 V
4. Подставим значение Q из уравнения (4) в уравнение (1)
2
2
V
m i  2 dT
1 m RT
m i  2 T2 m
S 
d

dV 
ln
 R ln 2 .
(5)
 2
T 1T  V
 2
T1 
V1
1


5. Для изотермического процесса можно записать следующие
очевидные соотношения
V2 p1
T

, T  const,  ln 2  0 .
(6)
T1
V1 p 2
190
6. Таким уравнение (5) с учётом соотношений (6) можно переписать
следующим образом
p
m
6 10 3
0,1
Дж
S  R ln 1 
 8,3  ln
 17 ,26
.
(7)

p 2 2 10 3
0,05
К
2.5.12. Изменение энтропии между адиабатами в цикле Карно
составляет S = 4,2 кДж/К, изотермы процесса соответствуют
разности температур Т = 100 К. Найдите количество теплоты
трансформирующееся в работу в этом цикле.
Решение
1. Запишем уравнение изменения энтропии
dQ Q1
S 

,
(1)
T
T1
и выразим из него температуру нагревателя
Q1
T1 
.
(2)
S
2. Запишем уравнение КПД цикла
T  T2 TS
A
 1


.
(2)
T1
Q1
Q1
3. На основании уравнения (2) величину работы, можно определить
следующим образом
(3)
A  ST  4,2 103 100  4,2 105 Дж .

2.5.13. Лёд массой m1 = 2 кг при температуре Т1 = 273 К был
превращён в воду той же температуры с помощью пара, имеющего
температуру Т2 = 373 К. Найдите массу израсходованного пара и
изменение энтропии термодинамической системе вода пар.
Решение
1. Обозначим массу израсходованного пара через m2, удельную
теплоёмкость пара с2, удельную теплоту плавления льда , удельную
теплоту парообразования r. В этом случае уравнение теплового
баланса, с учётом того, что пар при контакте со льдом превращается при
конденсации в воду, запишется следующим образом
(1)
m 2 r  m 2 c 2 T2  T1   m1 .
2. Выразим из уравнения (1) искомую массу пара
m1 
2  3,3 10 5
m2 

 0,25 кг .
(2)
r  c 2 T2  T1  2,2 10 6  4200 100
191
3. Определим изменение энтропии системы лёд пар с учётом того,
что пар конденсируется, а образовавшаяся при этом вода охлаждается,
отдавая тепло льду
S 

T
T
dQ1
dQ2 1 dQ3 m1 m 2 r 1 c 2 m 2 dT
,





T
T
T
T1
T2 T
T
T



2
S 
S 
(3)
2
m1 m 2 r
T

 c 2 m 2 ln 2 .
T1
T2
T1
2  3,3 10 5 0,25  2,2 10 6
Дж
.

 4200  0,25  0,3  628
273
337
К
(4)
(5)
2.5.14. Кислород массой m = 2 кг увеличил свой объём в  = 5 раз
один раз изотермически, другой  адиабатно. Определите изменение
энтропии в каждом из указанных процессов.
Решение
1. Найдём изменение энтропии при изменении состояния газа по
изотермической схеме
2
S 

1
dQ
,
T
где количество тепла dQ = pdV.
2. Выразим давление из уравнения Клапейрона  Менделеева
m RT
m
dV
.
p
,  dQ  RT
 V

V
3. Подставим значение dQ из уравнения (3) в уравнение (1)
(2)
(3)
V
S1 
m 2 dV m
2
Дж
.
R
 R ln  
 8,3 1,6  830
3
 V V

К
32 10
1

(4)
4. Изменение энтропии при адиабатном расширении газа будет
равно нулю, потому что dQ = 0, т.е. теплообмена с внешней средой не
происходит.
2.5.15. Водород массой m = 0,1 кг был изобарно нагрет при
увеличении его объёма в  = 5 раз, а затем водород изохорно охладили,
так что давление уменьшилось в  = 3 раза. Определите изменение
энтропии при осуществлении этих процессов.
Решение
1. Определим изменение энтропии при изобарном расширении газа
192
2
S1 

1
m
m i2
dQ
, где dQ  dU  A  C p dT 
RdT ,
T

 2
(1)
T
m i  2 2 dT m i  2
Дж
.
S1 
R

R ln   1596
 2
T
 2
К
T

(2)
1
2. Изменение энтропии при изохорном охлаждении водорода
T2
S2 

T1
C V mdT i m
1
0,1
Дж
.

R ln  2,5
 8,3   1  1141
T
2

К
2 10 3
(3)
3. Определим изменение энтропии при осуществлении изобарного
расширения и изохорного охлаждения
Дж
S  S1  S2  455
.
(4)
К
193