Постановка Задачи: Имеется сосуд с жидкостью, находящийся

Постановка Задачи:
Имеется сосуд с жидкостью, находящийся под некоторым давлением
(прессом). После уменьшения давления в жидкости начинают
образовываться пузырьки, которые всплывают на вверх.
Определить на каком расстоянии от дна сосуда начинают образовываться
пузырьки. Какова скорость всплытия в зависимости от давления. И найти
изменение диаметра, образованных пузырьков.
Действующие силы
Рассмотрим так будто пузыри уже образованы. Предварительно следует
смоделировать движение единичного пузырька малого диаметра.
Движение пузырька включает в себя несколько этапов. Ламинарное и
турбулентное режимы. На всплывающий пузырёк действуют силы: тяжести,
Архимедова сила, сила сопротивления и сила, связанная с давлением поршня.
Fg  mg  
Fa  Vg 
Для
 4 R3
3
 4 R3
3
стоксовского
г g
ж g
режима
движения
пузырька(Re<=1)
коэффициент
сопротивления равен СD=24/Re
Где число Рейнольдса определяется зависимостью Re  жuD /  , где  динамическая вязкость жидкости.
С учетом сил, Уравнение движения одиночного пузырька примет вид:

du
9
 g ( ж  1) 
u,
dt
г
2г R2
B(
Примем
ж
 1) g
г
и
A
9ж
2г R2
Тогда уравнение можно переписать в виде:
du
 B  Au
dt
Зависимость изменения радиуса пузырька от давления:
Давление вероятно, влияет на его скорость всплытия. Исследуем, как
изменяется радиус пузырька при его подъёме вверх
4
4
4
3
3
V   r0  V   r0  r    r 3
3
3
3
Пусть V - первоначальный объём пузырька,
,
-
V изменённый объём пузырька при его всплытии.
На пузырек жидкости действуют давления p  воды g h  p0  pп , где h - высота
сосуда, p 0 - атмосферное давление, pп - давление поршня.При всплытии на
x метров давление на пузырёк изменилось и стало равно.
p  воды g  h  x   p0  Pп ;
При постоянной температуре окружающей среды по закону Бойля-Мариотта
происходит увеличение объёма пузырька. Используя закон, получим
соотношение
3
r
воды g h  p0  pп
  
 r0  воды g  h  x   p0  p п
Отсюда обратная величина изменения радиуса пузырька равна
 ж gh
1
1
  (x 
 1)1/3
r
r0
 ж gh  p0  pпоршня
r  r0 / (1 
Примем
 ж gh
 ж gh  p0  pпоршня
K
 ж gh
 x)1/3
 ж gh  p0  pпоршня
Тогда r  r0 / (1  К  x)1/3
Плотность газа
Так как с увеличением объема пузырька, масса не меняется, значит
изменяется плотность.
ρ- плотность расширенного пузырька
V
p

;
V
p
3
r

  

 r0 
г
r
  г   
 r0 
3
Расчеты
Подставим полученные, ранее выражения в уравнение движения вида:
x ''[t ]  B  Ax '[t ]
С начальными условиями
R (t ) 
x(0)  0
x '(0)  0
r0
(1  Kx(t ))1/3
 R (t ) 
 (t )   г 

 r0 
9
A
2  (t ) R (t )
3
 

B   ж  1 g
  (t ) 
K
 ж gh
 ж gh  p0  pп (t )
Найдем зависимости скорости всплытия от времени, с учетом изменения
давления поршня и плотности.
Имеем следующие параметры для расчета:
g  9.80665 м / с 2
 ж  103 кг / м3
 г  1.205кг / м3
µ  103 Па·с
p0  105 Па
r0  0.001м
h  5м
Движение поршня зададим как гиперболическую функцию от времени
pп (t )  2 p 0 (sin(10t )  2)
С учетом этих данных получаем
графики.
На первом графике скорость всплытия от времени.
На втором скорость всплытия от расстояния.
Найдем теперь зависимость скорости от пройденного пузырьком расстояния.
Для этого решим уравнение для х. Рассмотрим в неявном виде. Для этого
введем безразмерные параметры:
t0 
u0
g
  tt
0
x0  u0  t0
  xx
0
y u
u0
Тогда исходное наше уравнение примет вид
t0 du
u
u
 1
u0 dx
u0
Перейдя к безразмерным переменным τ, ξ, y получим
y
dy
 1 y
d
Проинтегрировав дифференциальное уравнение с нулевыми начальными
условиями получим
  ( y  ln(1  y))
Теперь рассмотрим решение, так что бы зависимость получилась в явном
виде.
du
 B  Au
dt
du dx
du
u
 B  Au
dx dt
dx
udu  ( B  Au )dx
Проинтегрировав с учетом начальных условий x=0, y=0 получим:
x
B
A2
A 
A
u

Ln
(1

u)
 B
B 
ж
 1) g
г
9ж
A
2г R2
B(
Где
Обратная зависимость скорости всплытия от х.


B  

2
B

A
r

B
log(
)  
0
1

B
A2 x
e
u  1  W  exp  1 

 
A
B
B
B


  



  
