Задача 1. - МГТУ им. Н. Э. Баумана

ГОУ лицей 1581 при МГТУ им. Н.Э. Баумана
Инновационные технологии профильного обучения физике
Применение законов сохранения в механике
при решении задач.
Автор:
Учитель физики
Волошина З.Л.
Москва 2011
Введение.
Основную задачу механики – определение положения тела в любой момент
времени – можно решить с помощью законов Ньютона, если известны начальные условия
и зависимости сил, действующих на тело, от координат и скоростей. В практике эти
зависимости не всегда известны. однако многие важные задачи в механике можно решить
и не зная характера сил, действующих на тело. Это возможно потому, что существуют
величины, которые остаются неизменными при любых взаимодействиях тел.
Если известно положение тела и его скорость в определенный момент времени, то
знание сохраняющихся величин позволяет определить положение и скорость этого тела
после любого взаимодействия, не прибегая к законам динамики.
Выбор системы тел и системы отсчета. Для использования закона сохранения
импульса при решении задач необходимо выбрать инерциальную систему отсчета и
рассмотреть замкнутую систему тел. Особо отметим, что закон сохранения импульса
выполняется во всех инерциальных системах отсчета, хотя общий импульс системы в
различных системах отсчета различен. Пусть
некоторой инерциальной системе отсчета:
другой системы со скоростью
равна
., то его скорость
скоростей:
– импульс замкнутой системы тел в
. Эта система движется относительно
.Если скорость какого либо тела в первой системе отсчета
во второй системе можно найти из закона сложения
. Следовательно, импульс
отсчета равен:
, где M общая масса системы тел.
Относительная скорость движения
постоянная, следовательно и импульс
системы тел во второй системе
инерциальных систем отсчета – величина
есть постоянная величина.
Проиллюстрировать вышесказанное позволяя рассмотренные далее задачи.
2
Задача 1.
Условие.
m2
Внутри неподвижной трубки, которая представляет
V2
собой горизонтально расположенное кольцо, находятся два
шарика массами m1 = 50 г и m2=30г (Рис. 1). Шарикам
сообщают начальные скорости V1 = 10 м/с и V2 = 15 м/с.
Каковы будут скорости шариков после 999 столкновений?
V1
m1
Все столкновения упругие и центральные, трения нет.
Рис.1
Решение.
m2
m1
m2
V1
V2
x
O
m2
V’2
m1
V1
V’1
x
O
m1
Рис.2
Запишем ЗСИ для шаров m₁ и m₂.
;
В проекции на ось OX: m₁+V₁+m₂V₂=m₁V₁´+m₂V₂´;
m₁(V₁-V₁´)=m₂(V₂'-V₂); (1)
Запишем закон сохранения механической энергии.
m₁V₁^2/2+m₂V₂^2\2=m₁V₁'^2\2+m₂V'₂^2\2;
m₁(V₁-V₁')(V₁+V₁')=m₂(V₂'-V₂)(V₂'+V₂); (2)
разделим формулу (2) на формулу (1).
V₁+V₁'=V₂+V₂' ;
V₂'=V₁+V₁'-V₂; (3)
3
V2
Подставим (3) В (1) Получим:
V₁'=2m₂V₂+V₁(m₁-m₂)\m₁+m₂ ; (4)
подставим (4) в (3).
V₂'=2m₁V₁+V₂(m₂-m₁)\m₁+m₂
V₁'=2m₂V₂+V₁(m₁-m)₂\m₁+m₂
V₁'=13.75 (м\с)
V₂'=8.75 (м\с); V1’ > V2’ => шар m1 ударит шар m2
Рассмотрим момент второго соударения шаров тогда скорости до ударов V' и V' , а
m1
после удара U и U соответственно.
m2
V’1
V’2
x
O
U₁=2m₂V'₂+V'₁(m₁-m)₂\m₁+m₂
m2
m1
U₂=2m₁V'₁+V'₂(m₂-m₁)\m₁+m₂
Рис.3
U2
U1
x
O
U₁=10 (м\с)
U₂=15 (м\с)
После каждого четного столкновения шары будут иметь скорость U₁=10 (м\с) и
U₂=15 (м\с).
После каждого нечетного столкновения шары будут иметь скорость
V₁'=13.75 (м\с) и V₂'=8.75 (м\с)
Следовательно после 999 — ого столкновения шары будут иметь скорость
V₁'=13.75 (м\с) и V₂'=8.75 (м\с) .
Ответ: после 999 — ого соударения шары массами m₁ и m₂ будут иметь скорость
V₁'=13.75 (м\с) и V₂'=8.75 (м\с) соответственно.
Задача 2.
Условие.
Два одинаковых (рис. 4), абсолютно гладких шара А и
B
2V
V
В движутся во встречных направлениях со скоростями V и
2V, причем прямые, проходящие через центры каждого из
A
Рис 4
шаров в направлении их движения, качаются другого шара. Найдите, под каким углом к
первоначальному направлению будет двигаться шар А после соударения. Удар шаров
считать абсолютно упругим.
4
Решение.
Дано: mA=mB; VA=V; VB=2V
Найти: γ - ?
V B O3
O2
α
O1
VA α
α
γ
VAY
y
B
β
VB0X
V’A
y’
Рис 5
VAX
C
x
1. Проведем ось ОХ через центры шаров О1О2
2. Проведем ось ОУ через точку их соприкосновения по касательной. Из треугольника
О1О2О3 видно, что треугольник прямоугольный, О1О3 = R, О1О2 = 2R => α = 30°.
3. Из за гладкости шаров y – составляющие импульсов, следовательно и скоростей шаров,
не изменяются после удара. Вдоль оси х удар получается центральный.
4. Так как вдоль оси х удар центральный и абсолютно упругий, а массы шаров одинаковы,
то после удара обмениваются х - составляющими импульсов, следовательно и скоростей.
Из треугольника O1A1B1:
5
5. Рассмотрим треугольник О1ВС:
Тогда
6. Искомый угол АО1В, то есть угол γ.
Окончательно
Ответ:
Задача 3.
Условие.
На идеально гладком горизонтальном столе (рис.6)
лежит квадратная рамка массой M. Внутри рамки начинает
двигаться шарик массой m со скоростью Vo, направленной
m
вдоль линии, соединяющей середины смежных сторон
Vo
рамки. Определите, насколько уменьшится кинетическая
энергия шарика после двух его ударов с рамкой. Удары
M
считать абсолютно упругими.
Решение.
Рис. 6
Дано:
Так как внешних горизонтальных сил нет, то
Fтр = 0 Н.
Масса рамки М.
Шарик массой m и скоростью Vo
Найти:
ΔEк после двух ударов.
насколько уменьшится кинетическая энергия шарика
после
двух
ударов,
настолько
же
увеличится
кинетическая энергия рамки.
Так как стол идеально гладкий, то внешний
силы трения нет, и вообще нет никаких внешних сил,
6
действующих на систему по горизонтали. Так как удары шарика о рамку абсолютно
упругие, действуют только внутренние силы.
До ударов:
Направление скорости центра масс совпадает с направлением начальной скорости
шарика.
Выясним,
как
направлена
скорость
шарика
m
Vo
-Vo
относительно рамки после двух ударов.
M
НСО – рамка, ПСО – земля, тело - шарик
Так как удары абсолютно упругие и шарик движется
Рис. 7
вдоль линии, соединяющей середины смежных сторон, то
Вернемся в систему, связанную с земными координатами
НСО – земля. ПСО – рамка Тело – шарик
Скорость шарика после двух ударов:
где U – скорость рамки после двух ударов.
Найдем скорость центра масс после двух ударов.
Так как скорость центра масс неизменна, то:
Так как насколько уменьшится кинетическая энергия шарика после двух ударов,
настолько же увеличится кинетическая энергия рамки, то
7
Ответ:
Задача 4.
Условие.
В середине ящика массой m лежит груз такой же массы m.
Вся эта конструкция движется со скоростью V по горизонтальной
m
V
m
плоскости по направлению к стенке (Рис. 8). Как будет
происходить удар этой конструкции о стенку? Какими будут
скорости ящика и груза, когда все соударения закончатся? Трения
Рис 8
нигде нет, все удары абсолютно упругие. При абсолютно упругих ударах тела равной
массы обмениваются скоростями.
Решение.
Процесс взаимодействия конструкции со стенкой можно разделить на три стадии:
1. Ящик сталкивается со стенкой и отскакивает от нее со скоростью V. При этом
лежащий в ящике груз продолжает двигаться к стенке с прежней скоростью.
2. Ящик сталкивается с грузом, направления скоростей ящика и груза после удара
изменяются на противоположные. Ящик и груз обменялись импульсами и
скоростями, так как их массы одинаковые. Ящик вновь начнет двигаться в сторону
стены, со скоростью V, а груз с такой же скоростью по величине от стены.
3. Ящик снова сталкивается со стенкой и отскакивает от нее, а груз по прежнему
движется со скоростью V от стены. Теперь и груз и ящик движутся от стены с
одинаковой скоростью V. При этом груз по прежнему находится в середине ящика.
Литература.
1. Сивухин Д. В. Общий курс физики — Издание 5-е, стереотипное. — М.:
Физматлит, 2006. — Т. I. Механика. — 560 с. — ISBN 5-9221-0715-1
2. Физика: Практический курс для поступающих в университеты. Драбович К.Н.,
Макаров В.А., Чесноков С.С. М.: Физматлит 2006; ISBN 5-9221-0652-X
3. Демков В.П., Третьякова О.Н. Физика. Теория. Методика. Задачи. – М.:Высш.шк.
2001. – 669с. ISBN 5-06-003859-9
8