Возможности применения метода подобия для

1
Моделирование стационарного температурного поля методом подобия.
Строганов Павел
Россия, Ставропольский край, г. Ставрополь,
ГОУ ДОД Центр «Поиск», 11 кл.
Текст работы.
Расчет параметров теплообмена является весьма важным при проектировании и
эксплуатации устройств различного назначения: строительных конструкций, силовой
техники, одежды и пр. Знание распределения температур и тепловых потоков
необходимо для оптимального выбора материалов, режима нагревания, расположения
систем охлаждения.
В сложных системах (с неправильной геометрической формой поверхностей,
неоднородными материалами) получение аналитического решения задачи сильно
затруднено, а порой невозможно; часто оказывается невозможным и проведение
экспериментальных измерений. В таких случаях обращаются к приближенным
численным методам, которые имеют множество ограничений (большие погрешности,
дороговизна программного обеспечения, высокие требования к ЭВМ). Альтернативой
является редко применяемое в теплотехнике экспериментальное моделирование,
основанное на аналогии явлений.
В представленной работе применен метод подобия тепловых и электрических
процессов для расчёта стационарного температурного поля при сложных граничных
условиях. Работа включает в себя прямой эксперимент со статистической обработкой
данных
и
моделирование
стационарного
теплообмена
в
специализированной
программе ELCUT.
Теоретические основы метода подобия.
Вначале остановимся на основных положениях теории подобия. Подобными
называют процессы, протекающие в геометрически подобных системах, при которых
отношение параметра А произвольной точки 1-й системы к параметру В сходственной
2
точки 2-й системы одинаково для любой точки, то есть величина А пропорциональна
величине В(см рис.1):
a1 a2 ai


b1 b2 bi
В этом случае константа подобия - есть отношение величин Аi к величинам Bi
Cab 
ai
bi
Из 3-ей теоремы подобия следует необходимое и достаточное условие для создания
подобия: 1) аналогия классов явлений, 2) пропорциональность сходственных
параметров, входящих в условия однозначности процессов (пропорциональность
индивидуальных характеристик систем: размеров, характеристик сред, начальных
условий, граничных условий и т.д.).
Основная идея метода заключается в вычислении по константам подобия
параметров точек изучаемой системы из найденных (обычно экспериментально)
параметров сходственных точек в подобной системе
ai  Cabbi .
Проиллюстрируем
электротепловое
подобие
процессов
стационарной
теплопроводности и протекания постоянного тока путем сопоставления основных
законов (видно, что выполняется первое условие подобия).
Таблица 1 – Основные законы теплопередачи и протекания тока в проводящей среде.
Тепло
Электричество
Закон Фурье (диф.)
q= -λ gradT
Закон Ома (диф.)
J= - gradф
Уравнение Пуассона
2T + F/λ=0
Уравнение Пуассона
2ф + /εε0=0
Уравнение Лапласа
2T=0
Уравнение Лапласа
2ф=0
Видно,
что
сходственными
параметрами
процессов
представленные в таблице 2.
Таблица 2 – Сходственные электрические и тепловые параметры.
являются
величины,
3
Тепло
Электричество
Количество
теплоты
dQ
dt
Ток
dQ
dФ

dt * dS dS
Вектор
плотности тока
Ф
Тепловой поток
Вектор плотности
теплового потока
Электрический
заряд
Q
q
Разность
температур
Т
Градиент
температуры
gradT 
dT
dn
Константа
подобия
q
I
J
dq
dt
dq
dI

dt * dS dS
Разность
потенциалов
ф
Градиент
потенциала
grad 
d
dn
qi
Ji
T
CT   i
 i
gradiT
CgrT / 
gradi
CqJ 
i
i
Теплопроводность

Проводимость

C 
Геометрический
размер
aт
Геометрический
размер
аэ
CгеомТ / э 
аiТ
аiэ
Из дифференциальных законов Фуре/Ома следует связь между константами подобия:
CqJ  C * CgrT / ;
Аналогично из определений gradT и gradф:
CgrT / 
CT
CгеомТ / э
.
Для подобности конкретных систем (второе условие подобия) необходимо
обеспечить пропорциональность условий однозначности: форм и геометрических
размеров, параметров сред - теплопроводности/ проводимости, расположения и
интенсивности источников теплоты/заряда, разностей температур/потенциалов.
Постановка задачи.
Применим рассмотренный метод к решению абстрактной задачи
- построения
температурного поля и нахождения тепловых потоков при сложных граничных
условиях.
Дан очень длинный стальной брус прямоугольного поперечного сечения. Потоками
тепла вдоль бруса можно пренебречь – 2-х мерная задача. По всей длине проходит
толстостенная медная «труба». Труба заполнена жидкостью с известной и постоянной
температурой. Вся поверхность бруса имеет постоянную и точно измененную
температуру. Сечение бруса изображено на рис.2. Известны все геометрические
4
размеры и теплопроводности материалов. Требуется построить температурное поле в
установившемся режиме.
Экспериментальная установка.
Для решения задачи методом подобия была изготовлена экспериментальная
установка, в которой протекание электрического тока через различные проводящие
жидкости подобно переносу тепла в исследуемой системе. Линии теплового потока
идут в направлении изменения температуры, значит в рассматриваемой системе тепло
переносится в плоскости сечений бруса и достаточно смоделировать плоский слой
любой толщины.
В собранной установке (рис. 3) проводящей средой являлся водный раствор NaCl,
проводимость которого регулируется изменением концентрации соли. Раствор
заливался в открытую горизонтальную ванну с плоским непроводящим дном,
электродами и границами сред служили стенки и перегородки из медной фольги.
Координаты точек ванны определялись по построенной на дне прямоугольной
координатной сетке.
Разность потенциалов на электродах поддерживалась источником постоянного тока
(батарея Крона). Сила тока, протекающий через ванну, регулировалась переменным
резистором R и измерялась по падению напряжения на резисторе Rш (рис. 4).
Для обеспечения подобия экспериментальной установки изучаемой тепловой системе
была соблюдена пропорциональность условий однозначности (ниже приведены
константы подобия, заданные постановкой эксперимента; остальные вычисляются по
заданным):
Таблица 3 – Константы подобия
a1 a2 ai

  CгеомТ / э , где ai и bi – сходственные линейные размеры в
b1 b2 bi
Геометрия «тепловой» и «электрической» системах;
i=βi , где  и β – угловые размеры в этих системах.
Свойства
сред
1 2

 C , где λ и γ – теплопроводности и проводимости среды («1»
1  2
для первой среды, «2» – для второй)
5
Граничные
условия
T2  T1
 CT , где Т2 и Т1 – температуры внутреннего и внешнего
U полн
контуров, Uполн=ф2˗ф1 – разность потенциалов между ними
Аналогия классов явлений и соблюдение указанных соотношений обеспечили
подобие систем.
Прямое измерение напряжения (вольтметром) вносит искажения в поле токов,
поэтому в установке применялся мостовой метод. Прецизионный (0.5%) переменный
резистор Rп образовывал плечи моста, вольтметр являлся нуль-индикатором (рис.4).
Измерение потенциала точки производилось путем погружения щупа в раствор и
уравновешивания
моста.
По
углу

поворота
движка,
пропорциональному
сопротивлению:
R1 2


R13  полн
,
(где R1-2 и R1-3 - сопротивления между выводами 1 и 2, 1 и 3) из следующего
соотношения рассчитывался потенциал точки:
2  1  U
R1 2

,
U
R13
 полн
где ф1, ф2 и ф3 – потенциалы точек 1,2 и 3, U=ф3-ф1 – полное напряжение на ванне, 
- угол поворота движка резистора, полн – угол, соответствующий полному повороту.
Таким образом, измерив полное напряжение U, углы полн и , находится разность
потенциалов между внешним контуром ванны и точкой раствора:
i  1  U
i
 полн
Для измерения проводимости раствора применялось устройство: две одинаковые
проводящие пластинки расположены параллельно друг другу и жёстко скреплены.
Размеры пластин много больше расстояния между ними (рис. 5). Такая конструкция
погружалась в раствор, и омметром находилось сопротивление между пластинами.
Далее из соотношения
R=
1 d
Y S
где R – измеренное сопротивление,  - проводимость раствора, S и d – площадь пластин
и расстояние между ними, находилась проводимость раствора 
6
Y=
1 d
RS
.
При построении построения изолиний работали по методике:
Установив щуп в произвольную точку и уравновесив мост, находим потенциал точки.
Смещая щуп, находим и отмечаем точки с этим же потенциалом. Нанося точки на
чертеж, проводим эквипотенциальную линию. После завершения всей линии выбираем
новую исходную точку и строим следующую эквипотенциальную линию. Результатом
эксперимента являются картина распределения изолиний и их потенциалы.
Обработка картины поля.
При построении полученные в эксперименте точки соединяются замкнутыми
линиями, не пресекающими друг друга.
Так как в среде нет выраженных неоднородностей, то параметры (φ, gradφ, J)
монотонно и плавно переходят от одного значения к другому, поэтому эквипотенциали
проводятся как плавно изогнутые линии без изломов.
Далее построены линии тока. Эти линии начинаются на внутреннем контуре и
заканчиваются
на
внешнем,
не
пересекают
друг
друга,
в
каждой
точке
перпендикулярны к пересекаемой эквипотенциали, проходят без изломов.
Полученная картина показана на рис.7..
Для проведения дальнейших расчетов построена более точная картина с оценкой
погрешностей построения (построены границы полос, за которые соответствующие
эквипотенциальные линии не могут выходить) - рис.6.
По построенной картине найдены значения градиентов потенциала для каждого
отрезка линии тока, ограниченного соседними эквипотенциалями:
grad 
2  1
l
,
где (ф2-ф1) – разность потенциалов между концами отрезка, l – его длина,
определенная методом границ по картине поля с ошибками.
Следующий этап исследований построение поля температур. Согласно теории
подобия если в «электрической» системе потенциалы каких-то точек равны, то в
«тепловой» системе температуры сходственных точек также равны, значит в этих
системах расположение и форма изолиний одинаковы (построенная картина
7
потенциалов изображает тепловое поле с условной температурой), также совпадают и
линии тока. Для нахождения истинного значения температуры по потенциалам (точнее
не температуры, а разности температур между изолиниями и внешним контуром, т.к.
потенциалы измерялись именно так) используем приведенное выше соотношение Ti –
T0 = (фi – ф0) CТф, отсюда: Ti = (фi – ф0) CТф +T0.
Аналогично вычисляются градиенты температур (их направления совпадают с
направлениями gradф): gradi T = gradi ф Cgr T/ф.
Плотность теплового потока (для точек с найденным градиентом) определяется по
уравнению Фурье: qi = -λ gradi T.
Результаты пересчета представлены на рисунке 7.
Компьютерное моделирование.
Для проверки полученных методом аналогии результатов сравним их с численными
моделированием температурного поля в программе ELCUT, использующей метод сеток
и релаксационное решение уравнений.
Результаты эксперимента и моделирования приведены на рисунке 8. В таблице 4
приведены результаты для нескольких точек (и экспериментальные, и полученные в
ELCUT)
Таблица 4
№
точки
Эксперимент
Расчет в
ELCUT
7,40
3,85
gradT
7,4 ± 4,5
3,9 ± 2,3
q
gradT
6,4 ± 3,8
7,28
2
3,3 ± 2,0
4,07
q
gradT
3,9 ± 2,5
5,81
3
2,0 ± 1,3
3,02
q
gradT
4,3 ± 2,7
7,01
4
2,2 ± 1,4
3,64
q
gradT
6,8 ± 5,2
7,75
5
3,5 ± 2,7
4,03
q
Значения градиента температуры (gradT) даны в 103
К/м, а плотности теплового потока (q) – в 105 Вт/м2
1
Выводы.
8
Методом экспериментального моделирования, основанном на электротепловом
подобии,
построено температурное поле
Полученные
результаты
хорошо
при
согласуются
сложных
с
граничных
результатами
условиях.
моделирования
численными методами в пакете ELCUT.
Метод легко реализуется практически и дает весьма точные результаты.
В отличие от специализированного расчетного пакета, реализующего
только
двухмерные поля, примененный метод позволяет работать в трех измерениях без
каких-либо усложнений. Также исследование не усложняется очень большим
разнообразием
материалов.
Преимуществом
перед
экспериментом
является
возможность измерений в сплошных средах.
Среди недостатков следует отметить, что электротепловая аналогия неприменима для
моделирования нестационарных тепловых процессов, тепломассообмена, теплообмена
излучением, систем с зависимостью свойств материалов от температуры/теплового
потока.
Применение метода целесообразно, когда невозможно компьютерное моделирование
(при очень сложной геометрии (трёхмерное поле, сложные поверхности), высоких
требованиях к точности результатов), и когда прямой эксперимент не даёт результатов
(экспериментальные неточности, сплошные среды). При конструировании установки
необходимо
учитывать
влияние
побочных
электрохимических
процессов
(возникновение ЭДС на границах электролит-металл, некоторое отклонение от закона
Ома, изменение проводимости раствора в процессе эксперимента).
Дальнейшие
задачи:
разработать
метод
автоматизированной
обработки
результатов эксперимента (автоматизированного построения картины поля, расчёта
параметров температурного поля), решить экспериментальные проблемы (например:
неточность определения проводимости раствора, принудительная эквипотенциальность
разделов сред, неточность и трудоёмкость определения координат точек), применение
метода к решению какой-либо конкретной практической задачи.
Литература:
1.
Теплотехника: Учебн. для вузов/ В.Н. Луканин, М.Г. Шатров, Г.М.
Кемфер идр. Под ред. В.Н. Луканина. – 3-у изд., испр. – М.: Высш. шк.,
2002. – 671 с.: ил.
9
2.
Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное
поле. Учебник.- 9- изд., перераб. и доп. М.: Гардарики, 2001. – 317с.: ил.
3.
Методы подобия и размерности в механике. Седов Л. И., изд. 8-е,
переработанное, Главная редакция физико-математической литературы
издательства «Наука», М., 1977, 440 стр.
Иллюстрации.
1-я система
2-я система
Рисунок 1 (изображены две
геометрически подобные
системы; одинаковыми
цифрами обозначены
сходственные точки)
Рисунок 2. (иллюстрация
условию задачи)
к
10
Рисунок 5. (схема
измерителя
проводимости)
Рисунок.3(общий вид установки)
11
Рисунок 4. (электрическая схема установки)
12
Рисунок 6. (построение
учётом ошибок)
с
13
Рисунок 7. (результат экспериментального
моделирования)
14
Рисунок 8. (результат моделирования в пакете
ELCUT)